托尔斯泰的作品-高二语文教案

梦想不会辜负每一个努力的人
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）



一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.< br>
1．（5分）设集合A={x|x
2
﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3 ＞0}，则A∩B=（ ）

A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（，3）

2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（ ）

A．1 B． C． D．2

3．（5分）已知等差数列{a
n
} 前9项的和为27，a
10
=8，则a
100
=（ ）

A．100 B．99 C．98 D．97

4．（5分）某公司的班车在7：00 ，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30
之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻 是随机的，则他等车时间不超过
10分钟的概率是（ ）

A． B． C． D．

5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离
为4，则 n的取值范围是（ ）

A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）

6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 垂
直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）


A．17π B．18π C．20π D．28π

7．（5分）函数y=2x
2
﹣e< br>|
x
|
在[﹣2，2]的图象大致为（ ）

梦想不会辜负每一个努力的人
A． B．
C． D．

8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）

A．a
c
＜b
c
B．ab
c
＜ba
c

C．alog
b
c＜blog
a
c D．log
a
c＜log
b
c

9．（5分）执行下面的程 序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值
满足（ ）


A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x

10．（5分）以抛物 线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、
E两点．已知|AB|=4
A．2 B．4 C．6
，|DE|=2
D．8

，则C的焦点到准线的距离为（ ）

梦想不会辜负每一个努力的人
11．（5分）平面α过正方体A BCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点A，α ∥平面CB
1
D
1
，α∩平
面ABCD=m，α∩平面ABB
1
A
1
=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．

），x=﹣
，
为f（x）12．（5分）已知函数f（x）=s in（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤
的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（）上 单调，则
ω的最大值为（ ）

A．11 B．9


二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）设向量=（ m，1），=（1，2），且|+|
2
=||
2
+||
2
， 则m= ．

14．（5分）（2x+）
5
的展开式中，x
3
的系数是 ．（用数字填写答案）

C．7 D．5

15．（5分）设等比数列{a< br>n
}满足a
1
+a
3
=10，a
2
+a4
=5，则a
1
a
2
…a
n
的最大值为 ．

16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产
一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要
甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，
生产一件产品B的利润为90 0元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在
不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B的利润之和的最大值为
元．



三、解答题： 本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或
演算步骤.

17． （12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）< br>=c．

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

18．（12分）如图，在 以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方
形，AF=2FD，∠AFD=90° ，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．

（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；

梦想不会辜负每一个努力的人
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．


19．（12分）某公司计划购 买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有
一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件 作为备件，每个200元．在
机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机 器时应
同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换
的易损 零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损 零件数发生的
概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的
同 时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；


（Ⅲ）以购买易 损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其
一，应选用哪个？
20．（12分）设圆x
2
+y
2
+2x﹣15=0的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x轴不
重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C
1
，直线l交C
1
于M，N两点，过B且与l垂直的直
线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

21．（12分）已知函数 f（x）=（x﹣2）e
x
+a（x﹣1）
2
有两个零点．

（Ⅰ）求a的取值范围；

梦想不会辜负每一个努力的人
（ Ⅱ）设x
1
，x
2
是f（x）的两个零点，证明：x
1
+x
2
＜2．



请考生在22、23、24题中任选一题作 答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选
修4-1：几何证明选讲]

22．（1 0分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为
半径作圆．

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．




[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xO y中，曲线C
1
的参数方程为（t为参数，a＞0）．在
以坐标原点为极点，x轴正半 轴为极轴的极坐标系中，曲线C
2
：ρ=4cosθ．

（Ⅰ）说明C
1
是哪种曲线，并将C
1
的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C
3
的极坐标方程为θ=α
0
，其中α
0
满足tanα
0
=2，若曲线C
1
与C
2
的公
共点都在C
3< br>上，求a．



[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．

（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；

（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．

梦想不会辜负每一个努力的人

梦想不会辜负每一个努力的人

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集 合A={x|x
2
﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ）

A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（，3）

【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．

【解答】解：∵集合A={x|x
2
﹣4x+3＜0}=（1，3），

B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），

∴A∩B=（，3），

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．



2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（ ）

A．1 B． C． D．2

【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．

【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，

∴x+xi=1+yi，

即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，

故选：B．

【点评 】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本
题的关键．



3．（5分）已知等差数列{a
n
}前9项的和为27，a
10< br>=8，则a
100
=（ ）

A．100 B．99 C．98 D．97

【分析】根据已知可得a
5
=3，进而求出公差，可得答案．

梦想不会辜负每一个努力的人
【解答】解：∵等差数列{a
n
}前9项的和为27，S
9
=
∴9a
5
=27，a
5=3，

又∵a
10
=8，

∴d=1，

∴a
100
=a
5
+95d=98，

故选：C．

==9a
5
．

【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的
关键．



4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：5 0至8：30
之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过
1 0分钟的概率是（ ）

A． B． C． D．

【分析】求出小明等车 时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算
公式，可得答案．

【解答】解：设小明到达时间为y，

当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，

小明等车时间不超过10分钟，

故P==，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．


5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离
为4，则n的取值范围是（ ）

A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）

【分析】由已知可得c=2，利用4=（m
2
+n）+（3m
2
﹣n），解得 m
2
=1，又（m
2
+n）
（3m
2
﹣n）＞0， 从而可求n的取值范围．

梦想不会辜负每一个努力的人
【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，

当焦点在x轴上时，

可得：4=（m
2
+n）+（3m
2
﹣n），解得：m
2
=1，

∵方程﹣=1表示双曲线，

∴（m
2
+n）（3m
2
﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n） ＞0，

解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．

当焦点在y轴上时，

可得：﹣4=（m
2
+n）+（3m
2
﹣n），解得：m
2
=﹣1，

无解．

故选：A．

【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．



6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂
直 的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）


A．17π B．18π C．20π D．28π

【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半 径，然后求
解几何体的表面积．

【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：

可得：=，R=2．

=17π．

它的表面积是：×4π•2
2
+
故选：A．

梦想不会辜负每一个努力的人

【点评】本题考查三视图求解几何体 的体积与表面积，考查计算能力以及空间想
象能力．



7．（5 分）函数y=2x
2
﹣e
|
x
|
在[﹣2，2]的图象大致 为（ ）

A． B．
C． D．

【分析】根据已知中函数的 解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用
排除法，可得答案．

【解答】解 ：∵f（x）=y=2x
2
﹣e
|
x
|
，

∴f（﹣x）=2（﹣x）
2
﹣e
|﹣
x
|
=2x
2
﹣e
|
x
|
，

故函数为偶函数，

当x=±2时，y=8﹣e
2
∈（0，1），故排除A，B；

当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x
2
﹣e
x
，

∴f′（x）=4x﹣e
x
=0有解，

故函数y=2x
2
﹣e
|
x
|
在[0，2]不是单调的，故排除C，

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采 用排除
法解答．

梦想不会辜负每一个努力的人
8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）

A．a
c
＜b
c
B．ab
c
＜ba
c

C．alog
b
c＜blog
a
c D．log
a
c＜log
b
c

【分析】根据已知中a＞b ＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分
析各个结论的真假，可得答案．

【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，

∴函数f（x）=x
c
在（0，+∞）上为增函数，故a
c
＞b
c
，故A错误；

函数f（x）=x
c
﹣
1
在（0，+∞）上为减函数，故a
c
﹣
1
＜b
c
﹣
1
，故ba
c
＜abc
，即ab
c
＞ba
c
；故B错误；

lo g
a
c＜0，且log
b
c＜0，log
a
b＜1，即错误；

0＜﹣log
a
c＜﹣log
b
c，故﹣bl og
a
c＜﹣alog
b
c，即blog
a
c＞alog< br>b
c，即alog
b
c＜blog
a
c，
故C正确；

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对 数函数和幂函数的
单调性，是解答的关键．



9．（5分）执行 下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值
满足（ ）
=＜1，即log
a
c＞log
b
c．故D

梦想 不会辜负每一个努力的人

A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变
量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答
案．

【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，

则x=0，y=1，不满足x
2
+y
2
≥36，故n=2，

则x=，y=2，不满足x
2
+y
2
≥36，故n=3，

则x=，y=6，满足x
2
+y
2
≥36，

故y=4x，

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是程序框图 ，当循环的次数不多，或有规律时，常采
用模拟循环的方法解答．


10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、
E两点．已知| AB|=4
A．2 B．4 C．6
，|DE|=2
D．8

，则C的焦点到准线的距离为（ ）

【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解
即可．

梦想不会辜负每一个努力的人
【解答】解：设抛物线为y
2
=2px，如图：|AB|=4
|DE|=2
x
A
=
，|DN|=< br>=，

，|ON|=，

，|AM|=2，

|OD|=|OA|，

=+5，

解得：p=4．

C的焦点到准线的距离为：4．

故选：B．


【点评】 本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计
算能力．转化思想的应用．



11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点A，α∥平面CB
1
D
1
，α∩平
面ABCD=m，α∩平面ABB
1
A
1
=n， 则m、n所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．

【解答】解：如图：α∥平面 CB
1
D
1
，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA
1
B
1
=n，

可知：n∥CD
1
，m∥B
1
D
1
，∵△CB
1
D
1
是正三角形．m、n所成角就是∠C D
1
B
1
=60°．

则m、n所成角的正弦值为：．

梦想不会辜负每一个努力的人
故选：A．


【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．



12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤
的零点 ，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（
），x=﹣
，
为f（x）
）上单调，则
ω的最大值为（ ）

A．11 B．9 C．7 D．5

为f（x）的零点，
，
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣< br>x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（
）上单调，可得 ω的最大值．

【解答】解：∵x=﹣
∴，即
为f（x）的零点，x=
，（n∈N）

为y=f（x）图象的对称轴，

即ω=2n+1，（n∈N）

即ω为正奇数，

∵f（x）在（
即T=≥
，）上单调，则﹣=≤，

，解得：ω≤12，

+φ=kπ，k∈Z，

当ω=11时，﹣
∵|φ|≤，

梦想不会辜负每一个努力的人
∴φ=﹣，

，）不单调，不满足题意；

此时f（x）在（
当ω=9时，﹣
∵|φ|≤
∴φ=，

，

+φ=kπ，k∈Z，

此时f（x）在（，）单调，满足题意；

故ω的最大值为9，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较
大．



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13 ．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|
2
=||
2
+||
2
，则m= ﹣2 ．

【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．

【 解答】解：|+|
2
=||
2
+||
2
，

可得•=0．

向量=（m，1），=（1，2），

可得m+2=0，解得m=﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．



14．（5分）（2x+）
5
的展开式中，x
3
的系数是 10 ．（用数字填写答案）

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指 数为3，求出r，
即可求出展开式中x
3
的系数．

【解答】解：（ 2x+）
5
的展开式中，通项公式为：T
r
+
1
==25
﹣

梦想不会辜负每一个努力的人
r
，

令5﹣=3，解得r=4

∴x
3
的系数2=10．

故答案为：10．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．



15．（5分）设等比数列{a
n
}满足a
1
+a
3
=10，a
2
+a
4
=5，则a
1
a
2
…a
n
的最大值为 64 ．

【分析】求出数列的等 比与首项，化简a
1
a
2
…a
n
，然后求解最值．

【解答】解：等比数列{a
n
}满足a
1
+a
3
= 10，a
2
+a
4
=5，

可得q（a
1
+a
3
）=5，解得q=．

a1
+q
2
a
1
=10，解得a
1
=8．

则a
1
a
2
…a
n
=a
1
n
•q
1
+
2
+
3
+
…
+（
n
﹣
1
）
=8
n
•
当n=3或4时，表达式取得 最大值：
故答案为：64．

【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用， 转化思想的应用，考查
计算能力．



16．（5分）某高科技企 业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产
一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B需要
甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品 A的利润为2100元，
生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90 kg，则在
不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000
元．

【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式
组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其
=
=2
6
=64．

=，

梦想不会辜负每一个努力的人
最大值即可；

【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．

由题意，得，z=2100x+900y．

不等式组表示的可行域如图：由题意可得
100），

，解得：，A（60，
目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：
21 00×60+900×100=216000元．

故答案为：216000．


【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解
法的 运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求
出最优解是解题的关键．


三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过 程或
演算步骤.

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c，已知2cosC（acosB+bcosA）
=c．

（Ⅰ）求C；

梦想不会辜负每一个努力的人
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

【分析】（Ⅰ）已知等式利 用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数
公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出co sC的值，即可确定出出C的度数；

（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列 出关系式，求出a+b的
值，即可求△ABC的周长．

【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0

已知等式利用正 弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，

整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，

即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC

2cosCsinC=sinC

∴cosC=，

∴C=；

（Ⅱ）由余弦定理得7=a
2
+b
2
﹣2ab•，

∴（a+b）
2
﹣3ab=7，

∵S=absinC=
∴ab=6，

∴（a+b）
2
﹣18=7，

∴a+b=5，

∴△ABC的周长为5+．

ab=，

【点评】此题考查了正弦、 余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等
变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．



18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方
形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都 是60°．

（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．

梦想不会辜负每一个努力的人

【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EF DC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面
ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅱ）证 明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求
出平面BEC、平面ABC的法 向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余
弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．

∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，

∵DF∩EF=F，

∴AF⊥平面EFDC，

∵AF⊂平面ABEF，

∴平面ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，

可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；

由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，

∵BE⊥EF，

∴BE⊥平面EFDC

即有CE⊥BE，

可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．

可得∠DFE=∠CEF=60°．

∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，

∴AB∥平面EFDC，

∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，

∴AB∥CD，

∴CD∥EF，

∴四边形EFDC为等腰梯形．

以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，

梦想不会辜负每一个努力的人
则E（0，0，0），B（0，2a，0），C （，0，
∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），
a），A（2a，2a，0），

=（﹣2a，0，0）

，

设平面BEC的法向量为=（x< br>1
，y
1
，z
1
），则
则，取=（，0，﹣1）．< br>
设平面ABC的法向量为=（x
2
，y
2
，z
2< br>），则，

则，取=（0，，4）．

设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ=
==﹣，

．


则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣

【点评】本题考查平面与平面垂直的 证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建
立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键 ．



19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即 被淘汰．机器有
一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在
机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应
同时购买几个易损零 件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换
的易损零件数，得如图柱状图：

梦想不会辜负每一个努力的人
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的
概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的
同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；


（Ⅲ）以购买易 损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其
一，应选用哪个？
【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求
出相 应的概率，由此能求出X的分布列．

（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=
（X≤n）≥0.5中n的最小值．
（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX
1
，P（ X≤19）=．由此能确定满足P
和买20个所需费用期望EX
2
，由此能求出买19 个更合适．

法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部< br>分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，
费用的期望 ，从而得到买19个更合适．

【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，

P（X=16）=（
P（X=17）=
P（X=18）=（
P（X=19）=
）
2
+2（
）
2
=，

，

）
2
=，

=，

梦想不会辜负每一个努力的人
P（X=20）=
P（X=21）=< br>P（X=22）=
∴X的分布列为：

X

P

16



=
=
，

，

=，

17



18



19



20



21



22



（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）

==．

P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

=+=．

∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．

（Ⅲ ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）< br>
=+=．

买19个所需费用期望：

EX
1=200×
×3）×
+（200×19+500）×
=4040，
+（200×19+500×2）×+（200×19+500
买20个所需费用期望：

EX
2
=
∵EX
1
＜EX
2
，

∴买19个更合适．

解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，

另一部分为备件不足时额外购买的费用，

当n=19时，费用的期望为：19×20 0+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，

当n=20时 ，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，

∴买19个更合适．

+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，

梦想不会辜负每一个努力的人
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数 学期望的求法及应用，是中档题，
解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．


20．（12分）设圆x
2
+y
2
+2 x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不
重合，l交圆A于C，D两点，过B作A C的平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨 迹为曲线C
1
，直线l交C
1
于M，N两点，过B且与l垂直的直
线 与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心 和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性
质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得 E的轨迹为以A，B为焦点
的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；

（Ⅱ ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，
由PQ⊥l，设 PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得
|PQ|，再由四边形的面积 公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求
范围．

【解答】解：（Ⅰ）证明 ：圆x
2
+y
2
+2x﹣15=0即为（x+1）
2
+y< br>2
=16，

可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，

由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，

由AC=AD，可得∠D=∠C，

即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，

则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，

故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，

且有2a=4，即a=2，c=1，b=
则点E的轨迹方程为+
=，

=1（y≠0）；

（Ⅱ）椭圆C
1
：+=1，设直线l：x=my+1，

由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），

梦想不会辜负每一个努力的人
由可得（3m
2
+4）y
2
+6my﹣9=0，

设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
） ，

可得y
1
+y
2
=﹣
则|MN|=
， y
1
y
2
=﹣
•|y
1
﹣y
2
| =•
，


=•=12•，

A到PQ的距离为d==，

|PQ|=2=2=，

则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•

=24•=24，

当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•
）．

=8，

即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8

【点评 】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆
方程联立，运用韦达定理和弦长 公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等

梦想不会辜负每一个努力的人
式的性质，属于中档题．



21．（12分）已知函数f（x） =（x﹣2）e
x
+a（x﹣1）
2
有两个零点．

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x
1
，x
2
是 f（x）的两个零点，证明：x
1
+x
2
＜2．

【分析】 （Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e
x
+a（x﹣1）
2
可得：f′（x） =（x﹣1）e
x
+2a
（x﹣1）=（x﹣1）（e
x
+2a）， 对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．

（Ⅱ）设x
1
，x
2
是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）
=，则g（x
1
）=g（ x
2
）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g
，

（1+ m）﹣g（1﹣m）=
设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x
1
＞0，可得结论．

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e
x
+a（x﹣1）
2
，

∴f′（x）=（x﹣1）e
x
+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e
x
+2a），

①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e
x
=0⇔x=2，

函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；

②若a＞0，那么e
x
+2a＞0恒成立，

当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；

当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；

此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，

由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；

当x＜1时，e
x
＜e，x﹣2＜﹣1＜0，

∴f（x）=（x﹣ 2）e
x
+a（x﹣1）
2
＞（x﹣2）e+a（x﹣1）
2
=a（x﹣1）
2
+e（x﹣1）
﹣e，

令a（x﹣1）
2
+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t
1
，t
2
，且t
1
＜t
2
，

则当x＜t
1
，或x＞t
2< br>时，f（x）＞a（x﹣1）
2
+e（x﹣1）﹣e＞0，

故函数f（x）在x＜1存在一个零点；

梦想不会辜负每一个努力的人
即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；

③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，

当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，

ex
+2a＜e
ln
（﹣
2a
）
+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（e
x
+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e
x
+2a＞e
ln
（﹣
2a
）
+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（e
x
+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，

当x＞1时，x﹣1＞0，ex
+2a＞e
ln
（﹣
2a
）
+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（e
x
+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，

由f（ln（﹣2a））=[ln （﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]
2
=a{[ln（﹣2a）
﹣2]
2
+1}＜0得：

函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；

④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，

当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0， e
x
+2a＜e
ln
（﹣
2a
）
+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（e
x
+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

当x＞1时，x﹣1＞0，e
x
+2a＞e
ln
（﹣2a
）
+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（e
x
+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

故函数f（x）在R上单调递增，

函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；

⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，

当x＜1时，x﹣1＜0，e
x
+2a＜e
ln
（﹣
2a
）
+2a=0，
< br>即f′（x）=（x﹣1）（e
x
+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e
x
+2a＜e
ln
（ ﹣
2a
）
+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（e
x
+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，

当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0 ，e
x
+2a＞e
ln
（﹣
2a
）
+2a=0，< br>
即f′（x）=（x﹣1）（e
x
+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增 ，

故当x=1时，函数取极大值，

梦想不会辜负每一个努力的人
由f（1）=﹣e＜0得：

函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；

综上所述，a的取值范围为（0，+∞）

证明：（Ⅱ）∵x
1
，x
2
是f（x）的两个零点，
∴f（x
1
）=f（x
2
）=0，且x
1
≠1，且x< br>2
≠1，

∴﹣a==，

令g（x）=，则g（x
1
）=g（x
2
）=﹣a，

∵g′（x）=，

∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；

当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

设m＞0，则g（1+m）﹣g （1﹣m）=
设h（m）=
则h′（m）=
，m＞0，

＞0恒成立，

﹣=，

即h（m）在（0，+∞）上为增函数，

h（m）＞h（0）=0恒成立，

即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，

令m=1﹣x
1
＞0，

则g（1+1﹣x
1
）＞ g（1﹣1+x
1
）⇔g（2﹣x
1
）＞g（x
1
）=g（ x
2
）⇔2﹣x
1
＞x
2
，

即x
1
+x
2
＜2．

【点评】本题考查的知识点 是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论
思想，难度较大．



请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选
修4- 1：几何证明选讲]

梦想不会辜负每一个努力的人
22．（10分 ）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为
半径作圆．

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．

【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥
AB，∠A=3 0°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．

（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．

【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，

∵OA=OB，∠AOB=120°，

∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，

∴直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点 所在圆的圆心．设T是A，B，
C，D四点所在圆的圆心．

∵OA=OB，TA=TB，

∴OT为AB的中垂线，

同理，OC=OD，TC=TD，

∴OT为CD的中垂线，

∴AB∥CD．

【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决 问题的能
力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．



[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，曲线C
1
的参数方程为（t为参数，a＞0）．在
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中 ，曲线C
2
：ρ=4cosθ．

（Ⅰ）说明C
1
是哪种曲 线，并将C
1
的方程化为极坐标方程；

梦想不会辜负每一个努力的人
（Ⅱ）直线C
3
的极坐标方程 为θ=α
0
，其中α
0
满足tanα
0
=2，若曲线C1
与C
2
的公
共点都在C
3
上，求a．
【分析】（Ⅰ）把曲线C
1
的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，
可知曲线C
1
是圆，化为一般式，结合x
2
+y
2
=ρ< br>2
，y=ρsinθ化为极坐标方程；

（Ⅱ）化曲线C
2
、 C
3
的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C
1
与
C
2
的公共弦所在直线方程，把C
1
与C
2
的方程作差，结合 公共弦所在直线方程为
y=2x可得1﹣a
2
=0，则a值可求．

【解答】解：（Ⅰ）由
1）
2
=a
2
．

∴C
1
为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．

化为一般式：x
2
+y
2
﹣2y+1﹣a
2
=0．①

由 x
2
+y
2
=ρ
2
，y=ρsinθ，得ρ
2﹣2ρsinθ+1﹣a
2
=0；

（Ⅱ）C
2
：ρ= 4cosθ，两边同时乘ρ得ρ
2
=4ρcosθ，

∴x
2
+y
2
=4x，②

即（x﹣2）
2
+y
2
=4．

由C
3< br>：θ=α
0
，其中α
0
满足tanα
0
=2，得y= 2x，

∵曲线C
1
与C
2
的公共点都在C
3
上，

∴y=2x为圆C
1
与C
2
的公共弦所在直线方程，

①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a
2
=0，即为C
3
，

∴1﹣a
2
=0，

∴a=1（a＞0）．

【点 评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标
的互化，训练了两圆公共弦所 在直线方程的求法，是基础题．



[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．

（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；

（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．

，得，两式平方相加得，x
2< br>+（y﹣

梦想不会辜负每一个努力的人

【分析】（Ⅰ）运用 分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，
即可得到所求图象；

（ Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，
取交集，最后求并集即可得 到所求解集．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，

由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：

（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得

当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；

当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，

即有﹣1＜x＜或1＜x＜；

当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．

综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．

则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．

梦想不会辜负每一个努力的人

【点评】本题考查绝对值函数的图象 和不等式的解法，注意运用分段函数的图象
的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．< br>