檀香山大学-广东水平测试

课时作业2 余弦定理
时间：45分钟 满分：100分
课堂训练 1．在△
ABC
中，已知
a
＝5，
b
＝4，∠
C
＝120°.则
c
为( )
A.41
C.41或61
【答案】 B
【解析】
c
＝
a< br>2
＋
b
2
－2
ab
cos
C
＝

1

5＋4－2×5×4×

－

＝61.

2

22
B.61
D.21
2 ．△
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边分别 为
a
，
b
，
c
，若
a
，
b
，
c
满
足
b
2
＝
ac
，且
c< br>＝2
a
，则cos
B
＝( )
1
A.
4
C.
2

4
3
B.
4
D.
2

3
【答案】 B
【解析】 由
b
2
＝
ac
，又
c
＝2
a
，由余弦定理
a
2
＋
c
2
－
b
2
a
2
＋4
a
2
－
a
×2
a
3
cos< br>B
＝＝＝.
2
ac
2
a
·2
a
4
3．在△
ABC
中，三个角
A
、
B
、
C< br>的对边边长分别为
a
＝3、
b
＝4、
c
＝6，则bc
cos
A
＋
ca
cos
B
＋
ab
cos
C
＝________.
61
【答案】
2b
2
＋
c
2
－
a
2
【解析】
bc
cos
A
＋
ca
cos
B
＋
ab< br>cos
C
＝
bc
·＋
2
bc

c
2
＋
a
2
－
b
2
a
2
＋
b
2
－
c
2
1
222
1
222
1
2
ca
·＋
ab
·＝(
b
＋
c
－
a
)＋(
c
＋
a
－
b
)＋(< br>a
2
ac
2
ab
222
1
222
6 1
＋
b
－
c
)＝(
a
＋
b
＋c
)＝.
22
22
4．在△
ABC
中：
( 1)
a
＝1，
b
＝1，∠
C
＝120°，求
c；
(2)
a
＝3，
b
＝4，
c
＝37，求最大角；
(3)
a
:
b
:
c
＝1:3 :2，求∠
A
、∠
B
、∠
C
.
【分析】 (1)直接利用余弦定理即可；
(2)在三角形中，大边对大角；
(3)可设三边为
x
，3
x,
2
x
.
【解析】 (1)由余弦定理，得
c
2
＝
a
2
＋< br>b
2
－2
ab
cos
C

1
＝1＋1－2×1×1×(－)＝3，∴
c
＝3.
2
22
(2)显然∠
C
最大，
a
2
＋< br>b
2
－
c
2
3
2
＋4
2
－ 371
∴cos
C
＝＝＝－.∴∠
C
＝120°.
2ab
2×3×42
(3)由于
a
:
b
:
c＝1:3 :2，可设
a
＝
x
，
b
＝3
x，
c
＝2
x
(
x
>0)．
b
2＋
c
2
－
a
2
3
x
2
＋4< br>x
2
－
x
2
3
由余弦定理，得cos
A＝＝＝，
2
bc
2·3
x
·2
x
2
∴∠
A
＝30°.
1
同理cos
B
＝，cos
C
＝0.∴∠
B
＝60°，∠
C
＝90°.
2
【规律方法】
1．本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦
定理的结构特征．
2．对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求

出∠
A，进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求∠
B
，但要注
意讨论解的情况．
课后作业
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．△
ABC
中，下列结论：
①
a
2
>
b
2
＋
c
2
，则△
ABC
为钝角三角形；
②
a
2
＝
b
2
＋
c
2
＋
bc
，则∠
A
为60°；
③
a
2
＋
b
2
>
c
2
，则△
ABC
为锐角三角形；
④若∠
A
:∠
B
:∠
C
＝1:2:3，则
a
:
b
:
c
＝1:2:3，
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3
【答案】 A
D．4
b
2
＋
c
2
－
a
2
【解析】 ①cos
A
＝<0，
2
bc
∴∠
A
为钝角，正确；
b
2
＋< br>c
2
－
a
2
1
②cos
A
＝＝－，
2
bc
2
∴∠
A
＝120°，错误；
a
2
＋
b
2
－
c
2
③cos
C
＝> 0，
2
ab
∴∠
C
为锐角，但∠
A
或∠
B
不一定为锐角，错误；
④∠
A
＝30°，∠
B
＝60°，∠
C
＝90°，
a
:
b
:
c
＝1:3 :2，错误．故选A.
2 ．△
ABC
的三内角
A
、
B
、
C
所对边长 分别为
a
、
b
、
c
，设向量
p
＝(
a
＋
c
，
b
)，
q
＝(
b
－< br>a
，
c
－
a
)．若
p
∥
q
，则∠
C
的大小为( )

π
A.
6
π
C.
2
【答案】 B
π
B.
3
2
D.π
3
【解析】 ∵
p
＝(
a< br>＋
c
，
b
)，
q
＝(
b
－
a
，
c
－
a
)且
p
∥
q
， ∴(
a
＋
c
)(
c
－
a
)－
b
(
b
－
a
)＝0
a
2
＋
b< br>2
－
c
2
ab
1
即
a
＋
b
－
c
＝
ab
，∴cos
C
＝＝＝.
2< br>ab
2
ab
2
222
π
∴∠
C
＝.
3
π
3．△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，∠
A
＝，
a
＝7，
3
b
＝1，则
c
等于( )
A．22
C.3＋1
【答案】 B
【解析】 由余弦定理 得，
a
2
＝
b
2
＋
c
2
－2bc
cos
A
，
π
所以(7)＝1＋
c
－2×1×
c
×cos，
3
22
B．3
D．23
即
c
2
－c
－6＝0，解得
c
＝3或
c
＝－2(舍)．故选B.
4．在不等边三角形
ABC
中，
a
为最大边，且
a
2<
b
2
＋
c
2
，则∠
A
的
取 值范围是( )
π
A．(，π)
2
ππ
C．(，)
32
【答案】 C
ππ
B．(，)
42
π
D．(0，)
2

【解析】 因为
a
为最大边，所以∠
A
为最大角，即∠
A
>∠
B
，∠
A
>∠
C
，故2∠
A
>∠
B
＋∠
C
.又因为∠
B
＋∠
C
＝π－∠
A
，所以2∠A
>π
π
b
2
＋
c
2
－
a< br>2
222
－∠
A
，即∠
A
>.因为
a
<
b
＋
c
，所以cos
A
＝>0，所以0<
32
bc
πππ
∠
A
<.综上，<∠
A
<.
232
5．在△
ABC
中，已知
a
＝4，
b
＝6， ∠
C
＝120°，则sin
A
的值为( )
57
A.
19
3
C.
38
【答案】 A
【解析】 由余弦定 理得
c
2
＝
a
2
＋
b
2
－2ab
·cos
C
＝4
2
＋6
2
－
1< br>2×4×6(－)＝76，
2
476
∴
c
＝76.由正弦定理得＝，即＝，
sin< br>A
sin
C
sin
A
sin120°
4sin120 °57
∴sin
A
＝＝.
19
76
6．△
ABC
中，
a
、
b
、
c
分别为∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边，且2
b
＝
a
3
＋
c
，∠
B
＝30°，△
ABC
的面积为，那么
b
等于( )
2
1＋3
A.
2
2＋3
C.
2
【答案】 B
【解析】 ∵2
b
＝
a
＋
c
，又由于∠
B
＝30°，
B．1＋3
D．2＋3
21
B.
7
57
D．－
19
ac

113
∴
S
△
ABC
＝
ac
sin
B
＝
a c
sin30°＝，解得
ac
＝6，
222
由余弦定理：
b
2
＝
a
2
＋
c
2
－2
accos
B

＝(
a
＋
c
)
2
－2
ac
－2
ac
·cos30°＝4
b
2
－12 －63，
即
b
2
＝4＋23，由
b
>0解得
b< br>＝1＋3.
7．在△
ABC
中，若
a
cos
A＋
b
cos
B
＝
c
cos
C
，则这个 三角形一定是
( )
A．锐角三角形或钝角三角形
B．以
a
或
b
为斜边的直角三角形
C．以
c
为斜边的直角三角形
D．等边三角形
【答案】 B
【解析】 由余弦定理
a
cos
A
＋
b
cosB
＝
c
cos
C
可变为
b
2
＋
c
2
－
a
2
a
2
＋
c
2
－
b
2
a
2
＋
b
2
－
c
2
a
·＋
b
·＝
c
·，
2
bc
2
ac
2
ab
a
2
(
b
2
＋< br>c
2
－
a
2
)＋
b
2
(
a
2
＋
c
2
－
b
2
)＝
c
2
(
a
2
＋
b
2
－
c
2
)
a
2
b
2
＋
a
2
c
2
－
a
4
＋
b
2
a
2
＋
b
2
c
2
－
b
4
＝
c
2
a
2
＋
c
2
b
2
－
c
4

2
a
2
b
2
－
a
4
－
b
4
＋
c
4
＝0，
(
c
2
－
a
2
＋
b
2
)(
c
2
＋
a
2
－
b
2
)＝0，
∴
c
2
＋
b
2
＝
a
2
或
a
2
＋
c
2
＝
b
2
，
∴以
a
或
b
为斜边的直角三角形．
8．若△
AB C
的周长等于20，面积是103，∠
A
＝60°，则
BC
边
的长是( )
A．5
C．7
【答案】 C
B．6
D．8

1
【解析】 依题意及面积公式
S
＝
bc
sin
A
，
2
1
得103＝
bc
×sin60°，即
bc
＝40.
2
又周长为20，故
a
＋
b
＋
c
＝20，
b
＋
c
＝20－
a
.
由余弦定理，得
a
2
＝
b
2
＋
c
2
－2
bc
cos< br>A
＝
b
2
＋
c
2
－2
bc
cos60°＝
b
2
＋
c
2
－
bc
＝(< br>b
＋
c
)
2
－3
bc
，
故
a
2
＝(20－
a
)
2
－120，解得
a
＝7.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．在△
ABC
中，三 边长
AB
＝7，
BC
＝5，
AC
＝6，则
→
AB
·
→
BC
的值为
________．
【答案】 －19
【解析】 由余弦定理可求得cos
B
＝
19
→
＝ |
→
，∴
→
AB
·
BCAB
|·|
→BC
35
|·cos(π－
B
)＝－|
→
AB
|·|
→
BC
|·cos
B
＝－19.
10．已知等腰三 角形的底边长为
a
，腰长为2
a
，则腰上的中线长
为_______ _．
【答案】
6
a

2

【解析】 如图，
AB
＝
AC
＝2
a
，
B C
＝
a
，
BD
为腰
AC
的中线，过
AEC
1
作
AE
⊥
BC
于
E
，在△AEC
中，cos
C
＝＝，在△
BCD
中，由余弦定理
AC
4
13
2
得
BD
＝
BC
＋
C D
－2
BC
·
CD
·cos
C
，即
BD< br>＝
a
＋
a
－2×
a
×
a
×＝
a
，
42
222222
6
∴
BD
＝
a< br>.
2
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、
证 明过程或演算步骤)
11．在△
ABC
中，已知
b
2
si n
2
C
＋
c
2
sin
2
B
＝2< br>bc
cos
B
·cos
C
，试判断
三角形的形状．
【分析】 解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题
转化成角或边的关系求解．
【解析】 方法一：由正弦定理＝＝＝2
R
，
R
为△
sin
A
sin
B
sin
C
abc
ABC
外接圆 的半径，将原式化为
8
R
2
sin
2
B
sin< br>2
C
＝8
R
2
sin
B
sin
C< br>cos
B
cos
C
.
∵sin
B
sin< br>C
≠0，sin
B
sin
C
＝cos
B
co s
C
，

即cos(
B
＋
C
)＝0 ，∴∠
B
＋∠
C
＝90°，∠
A
＝90°，故△
A BC
为直
角三角形．
方法二：将已知等式变为
b
2
(1－ cos
2
C
)＋
c
2
(1－cos
2
B< br>)＝
2
bc
cos
B
cos
C
.
222222
a
＋
b
－
ca
＋
c
－
b
由余弦定理可得：
b
2
＋
c
2
－
b< br>2
·()
2
－
c
2
()
2
＝
2
ab
2
ac
a
2
＋
b
2
－< br>c
2
a
2
＋
c
2
－
b
2< br>2
bc
··.
2
ab
2
ac
即
b
2
＋
c
2
＝
[
a
2
＋
b
2
－
c
2
＋
a
2
＋
c
2
－
b
2
]
2

4
a
2
也 即
b
2
＋
c
2
＝
a
2
，故△ABC
为直角三角形．
【规律方法】 在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边
a
，
b
，
c
及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化．
12．(2013·全国新课标Ⅰ，理)如图，在△
ABC
中，∠
ABC＝90°，
AB
＝3，
BC
＝1，
P
为△
AB C
内一点，∠
BPC
＝90°.

1
(1)若
PB
＝，求
PA
；
2
(2)若∠
APB
＝150°，求tan∠
PBA
.

【解析】 (1)由已知得，∠
PBC
＝60°，∴∠
PBA
＝30°，
11 7
在△
PBA
中，由余弦定理得
PA
＝3＋－2×3×cos30° ＝，
424
2
7
∴
PA
＝.
2
(2)设 ∠
PBA
＝
α
，由已知得，
PB
＝sin
α
，
3sin
α
在△
PBA
中，由正弦定理得＝，化简得，
sin150°sin30°－
α
3cos
α
＝4sin
α
，
33
∴tan
α
＝，∴tan∠
PBA
＝.
44