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必修五数学知识点归纳资料
第一章 解三角形
1、三角形的性质：
①.A+B+C=

,


sin(AB)sinC
，
cos(AB)cosC

AB

CABC


sincos

22222
②.在
ABC
中,
ab
＞c ,
ab
＜c A＞B

sinA
＞
sinB
,
A＞B

cosA＜cosB, a ＞b

A＞B

③.若
ABC
为锐角

，则
AB
＞,B+C ＞,A+C ＞;
222

a
2
b
2
＞
c
2
，
b
2c
2
＞
a
2
，
a
2
＋
c< br>2
＞
b
2

2、正弦定理与余弦定理：
①.正弦定理：
abc
2R
(2R为
ABC
外接圆的直径)
sinAsinBsinC

a2RsinA
、
b2RsinB
、
c2RsinC
（边化角）
abc
、
sinB
、
sinC
（角化边）
2R2R2R
111
面积公式：
S
ABC
absinCbcsinAacsinB

222
sinA
②.余弦定理：
c
2
a
2
b
2
2abcosC

a
2
b< br>2
c2
2
cbocs
、
b
2
Aa2
c
2
2accosB
、
b
2
c
2
a
2
a
2
c
2
b
2
a
2
b
2
c
2
cosA
、
cosB
、
cosC
（角化边）
2bc2ac2ab
补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos





cos

cos

sin

sin

；⑵
cos




cos

cos

sin

sin

；
⑶
sin





sin

cos

cos

si n

；⑷
sin





s in

cos

cos

sin

；
⑸
tan






tan< br>
tan



（
tan

tan

tan





1 tan

tan


）；
1tan

tan

- 1 -

< br>⑹
tan






tan
tan



（
tan

tan

tan





1t an

tan


）．
1tan

tan

二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2

2sin

cos

．
 1sin2

sin
2

cos
2

2sin

cos

(sin

cos

)
2

⑵
cos2

cos
2

sin
2

2cos
2

112si n
2



升幂公式
1cos

2c os
2

22
cos2

11cos2
，
sin
2


．

降幂公式
co s
2


22
,1cos

2sin
2


3、常见的解题方法：（边化角或者角化边）
第二章 数列
1、数列的定义及数列的通项公式：
①.
a
n
f(n)< br>，数列是定义域为N的函数
f(n)
，当n依次取1，2，

时的 一列函
数值
②.
a
n
的求法：
i.归纳法

S
1
,n1
ii.
a
n


若
S
0
0
， 则
a
n
不分段；若
S
0
0
，则
a
n
分段
SS,n2
n1

n
iii. 若
a
n1
pa
n
q
，则可设
a
n1
mp(a
n
m)
解得m,得等比数列

a
n
m



S
n
f(a
n
)
iv. 若
S
n
f(a
n
)
，先求
a
1
，再构造方程组：< br>
得到关于
a
n1
和
a
n
的递推

S
n1
f(a
n1
)
关系式

S
n
2a
n
1
S
n
2a
n
1
先求
a
1
，
a
n1
2a
n1< br>2a
n
例如：再构造方程组：（下减上）


S2a 1
n1

n1
2.等差数列：
① 定义：
a
n1
a
n
=
d
（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。
② 通项:
a
n
a
1
(n1)d
,d0
时，
a
n
为关于n的一次函数；
d
＞0时，< br>a
n
为单调递增数列；
d
＜0时，
a
n
为单 调递减数列。
- 2 -

③ 前n项和：
S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)

na
1
d
，
22
d0
时，
Sn
是关于n的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。
④ 性质：i.
a
m
a
n
a
p
a
q
（m+n=p+q）
ii. 若

a
n
< br>为等差数列，则
a
m
，
a
mk
，
a
m2k
，…仍为等差数列。
iii. 若

a< br>n

为等差数列，则
S
n
，
S
2n
S
n
，
S
3n
S
2n
，…仍为等差数列。
iv 若A为a,b的等差中项，则有
A
3.等比数列：
① 定义：
a
n1
q
（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。
a
n
ab
。
2
② 通项:
a
n
a
1
q
n1
(q=1时为常数列)。

na
1
,q1

③.前n项和,
S
n


a
1

1q
n

aa q
,需特别注意,公比为字母时要讨论.
1n
,q1

1q

1q



④.性质：
i.
a
m
a
n
a< br>p
a
q

mnpq

。
ii.< br>
a
n

为等比数列,则a
m
,a
mk< br>,a
m2k
,仍为等比数列
，公比为
q
k
。
iii.

a
n

为等比数列,则S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n
,K仍 为等比数列
，公比为
q
n
。
iv.G为a,b的等比中项,
Gab

4.数列求和的常用方法: < br>①.公式法:如
a
n
2n3,a
n
3
n1< br>
②.分组求和法:如
a
n
3
n
2
n 1
2n5
，可分别求出

3
n

，

2
n1

和

2n5

的和，
然后把三部分加起来即可。
- 3 -


1

③.错位相减法:如
a
n


3n2


，

2


1

1

1

1


S
n
5< br>
7

9

(3n1)


2

2

2

2
234
23n1
n

1



3n 2




2

nn1
n
1

1

1

1

1

1


S
n

5

7

9


…＋

3n1




3n2


2

2

2

2

2

2

23n

n1
1

1

1

1< br>
1

1

两式相减得：
S
n
5

2

2

2


3n2


2

2
2

2

2

2

④.裂项相 消法:如
a
n

111
;a
n

n< br>
n1

nn1
1
n1n
，以下略。
n1n
，

a
n

1

11





等。 < br>2n12n122n12n1


1
⑤.倒序相加法 .例：在1与2之间插入n个数
a
1
,a
2,
a
3,
,a
n
，使这n+2个数成等差数
列，
求：
S
n
a
1
a
2
a
n< br>，（答案：
S
n

第三章 不等式
1.不等式的性质:
① 不等式的传递性:
ab,bcac

② 不等式的可加性:
ab,cRacbc,
推论:
3
n
）
2
ab


acbd

cd

③ 不等式的可乘性:
ab

ab

ab0

acbc;acbc;

acbd 0

c0

c0

cd0

④ 不等式的可乘方性:
ab0a
n
b
n
0;ab0< br>n
a
n
b0

2.一元二次不等式及其解法:
①.
ax
2
bxc0,ax
2
bxc0,f

x

ax
2
bxc
注重三者之间的密切联系。
如：
ax
2
bxc
＞0的解为：

＜x＜

, 则
ax
2
bxc
＝0的解为
x
1


,x
2


；
函数
f

x

ax
2
bxc
的图像开口向下，且 与x轴交于点


,0

，


,0
。
- 4 -

对于函数
f

x

ax
2
bxc
，一看开口方向,二看对称轴，从 而确定其单调区间等。
②.注意二次函数根的分布及其应用.
如：若方程
x< br>2
2ax80
的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有
f(0)
＞0且
f(1)
＜0且
f(4)
＜0且
f(5)
＞0
3.不等式的应用：
①基本不等式：
a0,b0,
ab
2
ab, a
2
b
2
2ab, 2

a
2
b
2



ab


2
当a＞0,b＞0且
ab
是定值时，a+b有最小值；
当a＞0,b＞0且a+b为定值时，ab有最大值。
②简单的线性规划:
Ax ByC0

A0

表示直线
AxByC0
的右 方区域.
AxByC0

A0

表示直线
Ax ByC0
的左方区域
解决简单的线性规划问题的基本步骤是：
①.找出所有的线性约束条件。
②.确立目标函数。
③.画可行域，找最优点，得最优解。
需要注意的是，在目标函数中，x的系数的符号，
当A＞0时，越向右移，函数值越大，当A＜0时，越向左移，函数值越大。
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：
zAxBy;

y
yb
;
或
z
x
xa
②“斜率” 型：
z
③“距离”型：
zx
2
y
2
或
zx
2
y
2
;

z(xa)
2
(yb)
2
或
z(xa)
2
(yb)
2
.

画——移——定——求：
- 5 -

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线
l
0
:AxBy0 ，平
移直线
l
0
（据可行域，将直线
l
0
平 行移动）确定最优解；第三步，求出最优解
(x,y)
；
第四步，将最优解
( x,y)
代入目标函数
zAxBy
即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
利用
z
的几何意义：
y
Az
z
x
,为直线的纵截距.
BB
B
①若
B 0,
则使目标函数
zAxBy
所表示直线的纵截距最大的角点处，
z取得
最大值，使直线的纵截距最小的角点处，
z
取得最小值；
②若B0,
则使目标函数
zAxBy
所表示直线的纵截距最大的角点处，
z
取得
最小值，使直线的纵截距最小的角点处，
z
取得最大值.



- 6 -