南京机电职业学院-庆七一诗歌

锐角三角函数知识点
1、勾股定理：直角三角形两 直角边
a
、
b
的平方和等于斜边
c
的平方。
a
2
b
2
c
2

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：
定 义 表达式 取值范围 关 系
A的对边
正
0sinA1

a

sinA

sinA
c
弦 (∠A为锐角)
斜边
A的邻边
余
0cosA1

b

cosA

cosA
c
弦 (∠A为锐角)
斜边
A的对边
正
tanA0

a

tanA

tanA
b
切 (∠A为锐角)
A的邻边
A的邻边
余
cotA0

b

cotA

cotA
a
A的对边
切 (∠A为锐角)
sinAcosB

cosAsinB

sin
2
Acos
2
A1

tanAcotB

cotAtanB

1
(倒数)
tanA
cotA
tanAcotA1


3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
B
sinAcosB
由AB90
cosAsinB


得B90A


sinAcos(90A)
cosAsin(90A)


A
斜边
c

对
a

边
C

b

邻边
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tanAcotB

cotAtanB

由AB90

tanAcot(90A)

cotAtan(90A)

得B90A

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
sin


cos


0°

0

1
0
不存在

30°
1

2
45°
2
2
2
2
60°
3

2
1

2
90°
1

0
不存在


0


3

2
3

3
tan


cot







1
1
3

3

3
3

- 1 - 12

锐角三角函数题型训练

类型一：直角三角形求值
3
1．已知Rt△ABC中，
C90,ta nA,BC12,
求AC、AB和cosB．
4

2．已知：如图，⊙ O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，
sinAOC
求：AB及OC的长．


3


4
3
3．已知：⊙O中，OC ⊥AB于C点，AB＝16cm，
sinAOC

5
(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；
(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．


4.已知
A< br>是锐角，
sinA
8
，求
cosA
，
tanA的值
17


类型二. 利用角度转化求值：
1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．







A

D

E

B

F

C

2. 如图4 ，沿
AE
折叠矩形纸片
ABCD
，使点
D
落在
BC
边的点
F
处．已知
AB8
，
BC10
,则tan∠EFC
的值为 ( )
Ａ．
34
Ｂ．
43
Ｃ．
3

5
Ｄ．
4

5
3. 如图6，在等腰直角三角形
ABC
中，
C90，
AC6
，
D
为
AC
上一点，若
tanD BA
的长为( )A．
2
B．
2
C．
1
D．
22



4. 如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线



C
1
，则
AD
5
AD=
163
求∠B的度数及边BC、AB的长.
3
A
- 2 - 12

D
B

类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1 （2012•安徽） 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2
3
，求AB的长．


例2．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，
sinA< br>1


3
(1)求AB边上的高CD；
(2)求△ABC的面积S；
(3)求tanB．



例3．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ABC的值．


对应训练
1．（2012•重庆 ）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）


2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．



类型四：利用网格构造直角三角形
例
1
（
2012•
内江）如图所示，△
ABC
的顶点是正方形网格的格点，则
si nA
的值为（ ）

A
．
1
510
25
B
．
C
．
D
．

2
5
510
C

对应练习：
1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

AB
特殊角的三角函数值
例1．求下列各式的值
tan60sin
2
452cos30
=. 计算：3
－
1
+(2π－1)
0
－
- 3 - 12

3
tan30°－tan45°=
3

0

3

1

=
2cos302sin45tan60

tan45sin30
=
2cos60sin45
tan30

2

2
1cos60



在
ABC
中，若
cosA
12
2
 (sinB)0
，
A，B
都是锐角，求
C
的度数22


例2．求适合下列条件的锐角

．
(1)
cos




0
（5）已知
为锐角，且
tan(

30)
2
3
1
(2)
tan


(3)
sin2



3
2
2
(4)
6cos(

16

)33

3
，求
tan

的值


（）在
ABC中，若
cosA



例3. 三角函数的增减性
1．已知∠A为锐角，且sin A <
12
2
(sinB)0，
A，B
都是锐角，求
C
的度数
22
1，那么∠A的取值范围是
2
A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°
2. 已知A为锐角，且
cosAsin30
，则 （ ）
A. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°
例4. 三角函数在几何中的应用
1．已知：如图，在菱形AB CD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
sinA
求此菱形的周长．


2．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，
ACBC3
，作∠ DAC＝30°，AD交CB于D点，求：
(1)∠BAD；
(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．



- 4 - 12

0
12


13

3. 已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝9 0°，
tanB
1
，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．
3

解直角三角形：
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，
①三边之间的等量关系：________________________________．
②两锐角之间的关系：__________________________________．
③边与角之间的关系：
sinAcosB
______；
co sAsinB
_______；
tanA
1
1

__ ___；
tanB
______．
tanA
tanB
④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
CD
2
＝_________；AC
2
＝_________； BC
2
＝_________；AC·BC＝_________．
类型一
例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)已知：a＝35，
c352，求∠A、∠B，b；(2)已知：
a23
，
b2
，求∠A、∠B， c；

(3)已知：
sinA

(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积
S123,
求a、b、c及∠B．


例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．




例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B ＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的
长．




例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB 及BC的长．





- 5 - 12

23
，
c6
，求a、b；(4)已知：
tanB,b 9,
求a、c；
32

类型二：解直角三角形的实际应用
仰角与俯角：
例1．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别 是30°、45°，如果此时热气球C处的
高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两 点的距离是（ ）
A． 200米 B． C． D．
200米 220米 100（）米
例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子 的顶端在B点；当它靠
在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45° ．点D到地面的垂直距离
DE32m
，
求点B到地面的垂直距离BC．




例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．
从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，
测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．





例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为
30
的直角三角板测 量树高，已知小聪和树都与
地面垂直，且相距
33
米，小聪身高AB为1.7米，求这 棵树的高度.




例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山 顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，
又知河宽CD为50m．现需从 山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带
根号)．





例5．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB的高度 ，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20
米，到达点C，再次测得点A的仰角为60 °，则物体AB的高度为（ ）

A． B． 10米 C． D．
10米 20米
米


例6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要 原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知
- 6 - 12

A
B
C

D
E

识检测车 速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行
驶 ，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．
（1）求B、C两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米小时的限制速度？
（计算时距离精确到1米， 参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，
3
≈1.732，60千米小时≈16.7
米秒）


类型四. 坡度与坡角
例．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：
3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的
长度是（ ）
A．100m B．100
3
m C．150m D．50
3
m

类型五. 方位角
1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔 M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度
航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45° ，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距
离是多少?(精确到0.1海里，
31. 732
)





综合题：
三角函数与四边形：
（西城二模）1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠B CD=90°，AB=BC=2，
tan∠BDC=
6
．
3
(1) 求BD的长； (2) 求AD的长．



（2011东一）2．如图，在平行四边形
ABCD
中，过点A分别作AE⊥BC于点 E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）若AE=4，AF=


三角函数与圆：
- 7 - 12

24
3
，
sinBAE
，求CF的长．
5
5

1． 如图，直径为10的⊙A经过点
C(0 ，5)
和点
O(0，0)
，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，y
则cos∠OBC的值为（ ）
C
A
A．
3
3
1
4
B． C． D．
2
5
5
2
O
第8题图
B
D
x

（延庆）19. 已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,
(1) 求证：∠AOD=2∠C
C
D
4
(2) 若AD=8，tanC=，求⊙O 的半径。
3

B
A

O





（2013朝阳期末）21.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切 点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取
一个点F，使EF=BF.
（1）求证:BF是⊙O的切线;

E
（2）若
cosC





作业：
（昌平）1．已知
sinA
4
, DE=9，求BF的长．
5
O
D
B
F
C
1
，则锐角A的度数是
2
A．
75
B．
60
C．
45
D．
30

（西城北）2．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=
5
，则tanA的值为
A．
525
1
B． C． D．2
55
2
A
3
(房山)3．在△ABC中，∠C=90°， sinA=，那么tanA的值等于（ ）.
5
3
434
A． B. C. D.
5
543
(大兴)4. 若
sin


B
C
3
，则锐角

＝ .
2
(石景山)1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2， 则tanB的值是
A．
23
B．
32
C．
25

5
D．
213

13
（丰台）5．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是
- 8 - 12

α

A．
1
25
5
B．2 C． D．
2
5
2
3

5
3

4
4

3
4

5
o
(大兴)5. △ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则
sin

的值是
A. B. C. D.
(通县)4．如图，在直角三角形
ABC
中，斜 边
AB
的长为
m
，
B40
，
则直角边
BC
的长是（ ）
A．
msin40

o

o
B．
mcos40
C．
mtan40
D．
o
m

tan40
o
P
α
第1题图
（通州期末））1．如图，已知P是射线OB上的任意一点 ，PM⊥OA于M，
且OM : OP=4 : 5，则cosα的值等于（ ）
A．
B
4
3
34
B． C． D．
3
5
45
OM
A
3
，
5
（西城）6．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10，
cosBOD
则AB的长是（ ) A . 20 B. 16 C. 12 D. 8
4
，那么tanA的值是
5
3534
A． B． C． D．
5343
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=
3
1 1．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ADC= 90°，若sinA=，则cos∠BCD的值为 ．
5
A
C
13.计算：
2cos302sin45tan 60
13．计算
2sin602cos453tan30tan45
.





13．计算：
2sin604cos30+sin45tan60
．




14.如图，小聪用一块有一个锐角为
30
的直角 三角板测量树高，已知小聪和树都与地
面垂直，且相距
33
米，小聪身高AB为1.7 米，求这棵树的高度.



15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90° ，a=
46
，b=
122
.解这个直角三角形
- 9 - 12

A
B
o
2
ooo
D
B
C

D
E

1
CD
20. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，求的值．
2
BD
C
D
B




（延庆）19. 已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,
(3) 求证：∠AOD=2∠C
(4) 若AD=8，tanC=


（延庆期末）19．如图，某同学在楼房的
A
处测得荷塘的一端
B
处的俯角为
30
，荷塘另一端
D
处
C
、< br>B
在
同一条直线上，已知
AC32
米，
CD16
米，
求荷塘宽
BD
为多少米？（结果保留根号）







18.（6分）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆
经过A，C两点，交AB于点D，已知2∠A +∠B =
90
．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA=6，BC=8，求BD的长．






（西城）15．如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=
的长和tanA的值．



[来源学科网]
A
C
D
4
，求⊙O 的半径。
3
A
O
B
C
A
O
第18题图
D
B< br>12
CD，sin∠CBD=，求AD
23

18．如图，一艘海轮位 于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，
它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的 北偏东30°方向上的B处.
- 10 - 12

（1）B处距离灯塔P有多远？
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔2 00海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海
里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海 轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由



22．已知，如图，在△
ADC
中，
ADC90
，以DC为直径作半圆
eO
， 交边AC于点F，点B在CD的延长线上，
连接BF，交AD于点E，
BED2C
．
（1）求证：BF是
eO
的切线；
（2）若
BFFC
，
AE3
，求
eO
的半径．
A

F


E



B

O

D

C



15．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30º，又向前走了2 0米后到达点
D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60º，求楼A B的高
．







14.（2009·眉山中考）海船以5海里小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东 60°方向，
2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的 距离。


15.（2009·常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为3 0
o
，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC
的坡度为i=1∶0.5，求山的 高度（不计测角仪的高度，
3≈1.73
，结果保留整数）．






16.（2008·广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决 定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑
滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．
- 11 - 12

（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的 空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是
否可行？说明理由。
(参考数据：
21.414,31.732,62.449
)


18. 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学 生在河东岸点
A
处观测到河对岸水边有一点
C
，测得
C
在< br>A
北偏西
31
的方向上，沿河岸向北前行20米到达
B
处， 测得
C
在
B
北偏西
45
的方向上，请你根据以上数据，帮 助该同学计算出这条河的宽度．
3
1
（参考数值：tan31°≈，sin31°≈）
5
2
．












图13

- 12 - 12