心理咨询师三级真题-生活常识百科宝典

有关向量的最值问题的四种解题方法
函数法
(1)已知向量a＝(3sin θ，1)，b＝(1，cosθ)，则a·b的最大值为________．
→




参数法
→
为________．
→
(2)(2017·课标全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切 的圆上．若AP＝
→→
λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．22
C.5 D．2
→→
（3）给定两个长度为1的平面向量OA和OB， 它们的夹角为
2π
.如图所示，点C在以O为
3
→
(1)(2017 ·北京，文)已知点P在圆x
2
＋y
2
＝1上，点A的坐标为(－2，0)， O为原点，则AO·AP的最大值
→→
(2)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB ＝5，P为AB边上任意一点，则CP·(BA－BC)的最大值为________．
→→→
︵
圆心的圆弧AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．




数形结合法
→→
(1)已知正方形AB CD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·DC的最大值为________．
(2)(20 13·湖南，理)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围 是( )
A．[2－1，2＋1] B．[2－1，2＋2]
C．[1，2＋1] D．[1，2＋2]
(3)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)· (b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 B．2
C.2 D.

2

2

基本不等式法
1AB4AC
(1) (2015·福建，理)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且 AP＝＋，
t
→→
|AB|
→→
则PB·PC的最大值等于( )
A．13 B．15
C．19 D．21
2π
(2)在△ABC中，BC＝2，A＝，则AB·AC的最小值为________．
3
→
12
则＋的最小值是( )
ab
A．2 B．4
C．6 D．8




三角不等式法
(1 )(2018·广州模拟)已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－ 2)，O为坐
→→→→
标原点，动点P满足|CP|＝1，则|OA＋OB＋OP|的最小值是 ( )
A.3－1 B.11－1
C.3＋1 D.11＋1
→→→
(2)[2015·湖南高考]已知点A，B，C在圆x
2
＋y
2
＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA＋PB＋PC|
的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9







→→→→
1.在平面直角坐标系中，O为原点，A (－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的最大值→
(3)设e
1
，e
2
是平面内两个不共线的向量，AB＝(a －1)e
1
＋e
2
，AC＝be
1
－2e
2
(a>0，b>0)，若A，B，C三点共线，
→→
|AC|
→→→→→
→ →

为( )
A．6 B．7－1C.7＋1 D．19＋1
→
则点P的横坐标的取值范围是________．
3.若 已知a，b是平面内 两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 B．2
C.2 D.
2

2
→
2.( 2017·江苏)在平面直角坐标系中xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x
2
＋y
2
＝50上．若PA·PB≤20，
4.设a，b，c是单位向量，且a ·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为( )
A．－2 B.2－2 C．－1 D．1－2
xy
5.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一 点，则OP·FP的最大值为( )
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A．2 B．3
C．6 D．8 < br>6.[2015·九江一模]如图，在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a
2
＝b
2
＋c
2
＋bc，a＝3，S为△
→→
A BC的面积，圆O是△ABC的外接圆，P是圆O上一动点，当S＋3cosBcosC取得最大值时，PA·P B的最大值为
________．
7.已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|ka＋ b|＝3|a－kb|(k>0)，那么向量a与向量b的夹角的最大值为________．
8.已 知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cos C，cosC＋1)，
若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为( )
A．10－53 B．10＋53
C．10－23 D．10＋23
9.(2 016·浙江，文)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a ·e|＋|b·e|的最大值是________．

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→→