山东财经燕山学院-经典生日祝福语

.
解三角形的基本题型

睢县回族高级中学 杨少辉

解三角形问题是高考的一种基本问题，可以说是常考；
下面就这类问题来做个总结， 有不对的地方希望大家指正。
一、与解三角形有关的公式、定理、结论：
1、正弦定理：< br>abc

2
R
,(R
是
ABC
的外接 圆半径
)
；
sinAsinBsinC
正弦定理的变形：
a:b :csinA:sinB:sinC

（根据合比定理）
ababc2R,(R是ABC的外接圆半径)

sinAsinBsinAsinBs inC
2、余弦定理：
a
2
b
2
c
2
2bccosA



b
2
a
2
c
2
2accosB

c
2
a
2
b
2
2abcosC
< br>余弦定理的变形：
sin
2
Asin
2
Bsin
2
C2sinBsinCcosA



sin
2
Bsin
2
Asin
2
C2sin AsinCcosB

sin
2
Csin
2
Asin< br>2
B2sinAsinBcosC

3、三角形面积公式：
（1）
S
ABC

1
底高
；
2（2）（两边及夹角）
S
ABC

1
absinC
1
bcsinA
1
acsinB
；
222

.
1
2
1
2

S
ABC
a
2
bc
（3）（两角及夹边）；
2si n(BC)2sin(AC)2sin(AB)
（4）（两角及对边）
S
AB C

1
2
sin(AB).sinB1
2
sin

BC

.sinC
1
2
sin

A C

.sinA
abc
；
2sinA2sinB2sinC< br>abc

p

pa

pb

pc

;

其中p

；
2

（5）（三边）
S
ABC

（6）（代入正弦定理）
S
ABC
2R
2
sinAsinBsinC
abc
；
4R
（7）
S
ABC

1

abc

.r;(其中r为内切圆半径)
；
2
4、三角形中的边角关系：
（1）
ABC

,A

B


C,
AB



C
；
222
（2）转化为三角函数：


sin
AB

sinC,cos

AB

 cosC
；
CC

AB

AB

sin


cos,cos

sin
；

22

2

2

（3）大边对大角：


abABsinAsinBcosAcosB
；
abABsinAsinBcosAcosB
；
（4）锐角与钝角的判定：
角A为锐角
a
2
b2
c
2
sinAcosA1
；
角A为直角
a
2
b
2
c
2
sinAcosA1< br>；
角A为钝角
a
2
b
2
c
2
sinAcosA1
；

.
（5）锐角三角形中的边角关系：

AB

2
A

2
B
sinA

cosB
；
二、解三角形的常见题型：
题型一：已知两边及对角，判断三角形解的个数；
例1、根据已知条件，判断下列
ABC
解的个数：
（1）
a7 ,b14,A30
0
；（2）
b4,c5,B30
0
；
（3）
b25,c3,C150
0
；（4）
a1,b解析：显然应使用正弦定理：
（1）
ab
14

5


，故：
7
，解得：
sinB1
，
B

0,

；由


1
sinB
sinAs inB

6

2
3,B60
0
；
图形可知：

直线
y1
与
ysinB
只有唯一的交点，所以：只有唯一解；
（2）由
5


bc
解得：
sinC
5
，
C



0,

；实际就是研究sinBsinC8

6

5

y

8

图像交点的个数；由图像知：

5



ysinx,x

0,



6



.

有两个交点，即：有两个解；
（3）由
bc
解得：
sinB
25
，这样的角

sinB sinC6
B不存在，无解；
；故：
A

；
6
（4）由
ab
解得：
sinA
1
，又
0A
2


sinAsinB23
（变式1）已知
ABC
中，
a
3
,A

，若此三角形有两个解，
23
求边
b
的取值范围？
分析：由正弦定理知：
ab
，
b3si nB
；只需：

sinAsinB


2


y3sinx,x


0,


3

有两个不同的交点即可；由图像可知：


yb

3
b3
；
2
（变式2）
（1）在
ABC
中，
sinA
4
，
cosB
5
5
，求
cosC
；
13
（2）在
ABC
中，
sinA
4
，
cosB
12
，求
cosC
；
513
分析：

.
（1）由于
cosCco s

AB

sinAsinBcosAcosB
；
s inB
`12
；关键
13
是
cosA
的正负；也就是分析 角A是锐角还是钝角；即：
4

y

5
交点的情况；如图 ：只有一个交点，角


ysinx,x

0,
B


A
是一个锐角；即：
cosA
3
；
5
4125333
；
cosC..
51313565

（2）类似分析可知：
c osA
3
，故：
cosC
33
或
56
；
56565
总结：解决这类问题一般用正弦定理，转化成图像交点的个
数问题；
题型二：利用正弦定理求外接圆半径；
例2、直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
BB
1
2,BC1,A
，求其外接球
6
的表面积；
分析：此题的关键是确定球心的位置并求球的半径；如图：

.

o
1
c
为
ABC
的外接圆半径；由正弦定理：
2 CO
1

BC
；解得：
sinA
CO
1
 1
，
oo
1
1
；球的半径
oc2
，故：球的表 面积为
8

；
（变式）二面角

l

为

，点P为二面角内部一点，点P
3
到面

和面

的距离分别为1和2；求点P到直线
l
的距离；
分析：先作出P到直线
l
的距离，然后放入一个三角形求解；

过 点P作
PA

于点A，过点P作
PB

于点B，过点A 作
ACl
于点C；可得：
PC
为所求距离；显然，A、B、C、P四点共< br>圆；PC为
ABC
外接圆直径；

.
AB3
；由余弦定理知：
AB
2
AC
2
B C
2
ACB
；
ABC
中，
PC
AB

sinC
3
2
；
3
2
题型三：判断三角形的形状；
例3、在
ABC
中， 已知
a
2
tanBb
2
tanA
,判断
ABC
的形状；
分析：判断三角形的形状，一般有两条思路：（1）证明角的
关系；（2）证明边的关系；
法一：将角转化成边；
原式转化为：
a
2
sinB
b< br>2
sinA
，代入正弦定理：
cosBcosA
ab
，应
cosBcosA
b
2
c
2
a
2
a
2
c
2
b
2
b
用余弦定理可得：
a
2bc2ac
a
4
a
2
c
2
b< br>4
b
2
c
2
0
；
，进一步化简得：< br>
a
2
b
2
c
2

a
2
b
2

0
；故：
a
2
b
2
c
2
或
ab
，即：
ABC
为等腰
三角形或直角三角形；
法二：将边转化成角；
原式可化为：代入正弦定理得：
a cosAbcosB
；
sinAcosAsinBcosB
，
即： sin2Asin2B
；故：
2A2B
或
2A2B
< br>；
ABC
为等腰三角形或
直角三角形；
（变式）在
AB C
中，已知

a
2
b
2

sin

AB



a
2
b
2

sin

AB

,判断
ABC
的形状；
题型四：已知三角形中的边角混合式，解三角形；

.
例4、在< br>ABC
中，已知
a
2
c
2
2b
，且< br>sinAcosC3cosAsinC
；求
b
；
解析：由于要求的是边，应将角转化为边；
sinAcosC3cosAsinC
可化为：
acosC3ccosA
；
a
2
b
2
c
2
b
2
c
2
a
2
3c.继续应用余弦定理转化可得：
a.
2ab2bc
；
化简得：
2

a
2
c
2

b
2
，结合：
a
2
c
2
2b
，可得：
b
2
2b
；解得：
b2
；
例5、在
ABC
中，已知cos

AC

cosB
3
,b
2ac
；求
B
；
2
解析：由于要求的是角，应尽量将所有的边转化为角；
3

co sACcosAC

；
3
3


si nB
故：
即：
2
解得
sin
2
B,B

0,


；

2
4

sin
2
BsinAsinC

；
解得：
B

或
2

；由
cosB
3
cos

A C

0
，
B

；
3323
例6、 在
ABC
中，已知
acosC
（1）求角A；
（2）若
a
2,
S
ABC

解析：
（1）边化角：
sinAcosC
统一角：
sinAcosC
化简得：< br>3
，求
b,c
；
3asinCbc0
；
3sinAsinCsinBsinC0
；
3sinAsinCsin

AC

sinC0

3sinAsinCsinCcosAsinC0
；


1

A,A0,

进一步化简可得：
sin

；解得：
；
A



6

23
（2）从第一问
A

得到启发，面积公式应用：
3