万里长城的作文-欧美个性签名

一、知识点
（一）正弦定理：
abc
2R,
其中R
是三角形外接圆半径.
sinAsinBsinC
a
2
b
2
c
2
2bccosA
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
（二）余弦定理：
bac2accosB

222
c
2
a
2
b
2
2abcosC
b
2
c
2
a
2
a
2
c
2
b
2
a
2
b
2
c
2
,cosB,cosC.< br>. 由此可得：
cosA
2ab2ac2ab
注：
a
＞
bc

A是钝角；
a
=
bc

A是 直角；
a
＜
bc

A是锐角；
（三）三角形面积公式：（1）
S
V
ABC

二、例题讲解
（一）求边的问题
1、在△
ABC
中，角
A,B,C
的对 边分别为
a,b,c
，
A
222222222
111
ab sinCbcsinAacsinB.

222

3
,
a3,b1
，则
c
（ ）
A、1 B、2 C、
31
D、
3

2、 在△ABC中，
a,b,c
分别为
A, B,C
的对边.如果
a,b,c
成等差数列，
B
30°，△A BC的面
积为
A、
3
，那么
b
（ ）
2
13
23
B、
13
C、 D、
23

2
2
3、在△ABC中，角
A,B,C
所对的边长分别为
a,b,c
，若
C
120°，
c2a，则（ ）
A、
ab
B、
ab
C、
ab
D、
a
与
b
的大小关系不能确定 < br>4、在△ABC中，
a10
，
B
60°,
C
45°,则
c
等于（ ）
A、
103
B、
1031


C、
31
D、
103

5、若△ABC的周长等于20，面积是
103
，< br>A=
60°，则
BC
边的长是（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
6、已知锐角三角形的边长分别为2、3、
x
，则
x
的取值范围是（ ）
A、
1x5
B、
5x13
C、
0x

- 1 -
5
D、
13x5

7、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余 弦是方程
5x7x60
的根，则三角形的另一边长
为（ ） A、52
2

B
、
213
C、16 D、4
22
（ab）c4
，且C=60°，则ab的值为 8 、若
ABC
的内角A、B、C所对的边a、b、c满足
（A）
4
3
（B）
843
(C) 1 (D)
2
3

9、在△
ABC
中，
A
60°，
C
45°，
b2
，则此三角形的最小边长为 。 < br>10、在△
ABC
中,
a1,b1
,
C
120 °则
c
。
11、在
ABC
中.若b=5，
B

1
4
，sinA=
3
，则
a
_ __________________.
12、若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于
13 、如图，在△ABC中，若
b1,c3
，
C
2

， 则
a

B
3
。
14、在△ABC中，若< br>
3
A:B:C1:2:3
,则
a:b:c

15、在△ABC中，
2
a

33,c2,B
150 °，则
b

（二）求角的问题
C

3
A
1、
ABC
的内角
A,B
1
,C
的对边分别为
a,b,c
，若
a,b,c
成等比数列，且
c2a< br>，则
cosB
（
A、
1
4
B、
3
4
C、
2
4
D、
2
3

2、在△ABC中，
A
60°，
a 43,b42
，则
B
等于（ ）
A、45°或135° B、135° C、45° D、以上答案都不对
3、在
ABC
中，
a15,b10,A
60°，则
cosB
=（ ）
A、－
222
3
B、
2
3
C、－
66
3
D、
3

4、在△ABC中，a3
，
b7
，
c2
，那么
B
等于（ ）
A、30° B、45° C、60° D、120°
5、在△ABC中，
a23
，
b22
，
B
45°，则
A等于（ ）
A、30° B、60° C、60°或120° D、30°或150°
6、在△ABC中，已知
a
2
b
2
c
2
bc
，则
A
为（ ）

- 2 -
）

A、


3
B、


6
C、
2


3
D、

2

或
33
7、已知△AB C的面积为
3
，且
b2,c3
，则
A
等于（ ）
2
A、30° B、30°或150° C、60° D、60°或120°
8、已知在△
ABC
中,
sinA:sinB:sinC3:2:4
,那么
cosC
的值为（ ）
A、

1122
B、 C、

D、
4433

9、在△
ABC
中，
sinAsin B
是
AB
的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
10、若△< br>ABC
的内角，
A,B,C
满足
6sinA4sinB3sinC
，则
cosB

A．
15

4
B．
3

4
C．
315

16
D．
11

16
11、在
ABC
中 ，角
A,B,C
所对的边分
a,b,c
．若
acosAbsinB
，则
sinAcosAcos
2
B

1
C． -1
2
12、已知在△
ABC
中，
a 10,b56,A
45°,则
B
。
A．- B．
13、在△
ABC
中，
b
1

2
D．1
3,c3
,
B
30°，则
A
。
3
，
AC2B
, 14、已知
a,b,c
分别 是△ABC的三个内角
A,B,C
所对的边，若
a1,b
则
sinC
。
15、在△ABC中，

bc

:

ca

:

ab

4:5:6
，则△ABC的最大内角的度数是
16、已知

a bc

bca

3bc
，则
A

17、在
ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b ,c
，若
a2
，
b2
，


sinBcosB2
,则角
A
的大小为 .



- 3 -

（三）判断三角形形状的问题
1、在△
ABC
中，若
abc
，则△
ABC
是（ ）

cosAcosBcosC
A、直角三角形 B、等边三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形
2、在
ABC
中，已知
2si nAcosBsinC
，那么
ABC
一定是（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、正三角形
3、△ABC中，
a2bcosC
，则此三角形一定是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形
4、在△ABC中，若
acosAbcosB
，则△ABC的形状是（ ）
A、等腰三角形
5、在△ABC中，若
B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形
cosAcosBsinC
，则△ABC是（ ）

abc
B、等腰直角三角形 A、有一内角为30°的直角三角形
C、有一内角为30°的等腰三角形 D、等边三角形
6、在△
ABC
中，
bcosAacosB
，则三角形为（ ）
A、直角三角形

B
、
锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
7、在△
ABC
中，已知
B30°,
b503
,
c150
，那么这个三角形是（ ）
A、等边三角形
2
B、直角三角形 C、等腰三角形
22
D、等腰三角形或直角三角形
8、△
ABC
中 ，
sinAsinBsinC
，则△
ABC
为（ ）
A、直角三角形 B、等腰直角三角形
9、已知关于
x
的方程
xxc osAcosB2sin
则
ABC
一定是（ ）
A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
10、△
ABC
中，




- 4 -
22
C、等边三角形 D、等腰三角形
C
0
的两根之和等于两根之积的一半，
2
tanAsinA

，则三角形为 。
tanBsinB

（四）三角形的面积的问题
1、在△ABC中，
AB
A、

2、已知△ABC的三边长
a3,b5,c6
，则△ABC的面积为（ ）
A、
14
B、
214
C、
15
D、
215

3
,
AC1
,
A30
，则△ABC面积为（ ）
3

4
C、
3

2
B、
3
或
3

2
D、
33
或
42
3、在△ABC中，
asin10
°，
bsin50
°，
C=
70°，那么△ABC的面积为（ ）
1
1
1
C、 D、
8
16
324、在△
ABC
中，
a2
，
A
30°,
C 
45°，则△
ABC
的面积
S
ABC
等于（ ）
A、 B、
A、
2
1

64

B
、
22
C、
31
D、
1
(31)

2
5、
ABC
中，
B120,AC7,AB5
，则
ABC
的面积为_________．
6、已知
ABC
的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则< br>ABC
的面积为
o
_______________
(五)综合应用
1、 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
π
A＋

＝2cosA, 求A的值； (1)若sin


6

1
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
3< br>2、在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
3a2csinA

(Ⅰ)确定角C的大小：
（Ⅱ）若c＝
7
,且△ABC的面积为
33
2
,求a＋b的值。
1
3、设△ABC的内角A、B、C所对的边分 别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝.
4
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos(A－C)的值．

- 5 -

4.在
ABC
中，
BC
（Ⅰ）求AB的值。
（Ⅱ）求
sin(2A
5,AC3,sinC2sinA


4
)
的值。











5、 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.










6、在
ABC
中，
A、B
为锐角，角
A
且
sinA
、B、C< br>所对的边分别为
a、b、c
，
（I）求
AB
的值；
（II）若
ab
510
,sinB

510
21
，求
a、b、c
的值。
w.w.w.k

- 6 -

解三角形复习
一、知识点
（一）正弦定理：
abc
2R,
其中
R
是三角形外接圆半径.
sinAsinBsinC
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC < br>a
2
b
2
c
2
2bccosA
（二） 余弦定理：
b
2
a
2
c
2
2accosB< br>
c
2
a
2
b
2
2abcosC< br>b
2
c
2
a
2
a
2
c
2
b
2
a
2
b
2
c
2
, cosB,cosC.
由此可得：
cosA
2ab2ac2ab
注：
a
2
＞
b
2
c
2

A是 钝角；
a
2
=
b
2
c
2

A是 直角；
a
2
＜
b
2
c
2

A是 锐角；
（三）三角形面积公式：（1）
S
V
ABC

11 1
absinCbcsinAacsinB.

222
题型一：正余弦定理的基本应用：（四种题型：）
（1）已知两角一边用正弦定理；（2）已经两边及一边对角用正弦定理；
（3）已知两边及两边的夹角用余弦定理；（4）已知三边用余弦定理
例1、在
A BC
中，已知
a20,A30

C45

求
B,b,c

例2．已知下列各三角形中的两边及一角，判断三角形是否有解，并作出解答
（1）
a23,b6,A30

（2）
a2,b2,A45


（3）
a5,b3,A120

（4）
a3,b4,A60


例3．（1）在
ABC中，已知
b
2
c
2
a
2
bc
， 则A= ；
（2）若△ABC的周长等于20，面积是
103
，
A=
60°，则边
BC
=
（3）、已知锐角三角形的边长分 别为2、3、
x
，则
x
的取值范围是=
（4） 在△ABC中，已知
a
2
b
2
c
2
bc，则
A
=


- 7 -

题型二：判断三角形的形状
例4．（1）在
ABC
中，若
bacosC
试判断
ABC
的形状。
（2）在
AB C
中，若
acosAbcosB
试判断
ABC
的形状。
（3）在
ABC
中，若
acosBbcosA
试判断
ABC
的形状。
例5．
（1）在
ABC
中，已知
b
2
c
2
a
2
bc
，且
sinBsinC< br>3
4
，判断三角形的形状；
（2）在
ABC
中，
(abc)(bca)3bc
且
sinA2sinBcosC
，判断其形 状；

题型三：三角形的面积的问题
例6、（1）已知中

- 8 -
，

- 9 -
,
，
求

、
及外接圆的半径。
（2）在△
ABC
中，已知
2sinBcosAsin(AC)
．
（Ⅰ）求角
A
； （Ⅱ）若
BC2
，△
ABC
的 面积是
3
，求
AB
．


题型四、正余弦定理的综合应用

- 10 -
、