2010年考研英语-综治述职报告

三角形中的最值（或范围）问题

解三角形问 题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定
理等知识点，是三角，函数 ，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其
中，三角形中的最值问题又是一个重点 。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：
一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解 决，二是也可以利用重要不等式来解决。
类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决
例1．在△ABC中，

a,b,c
分别是内角
A,B,C
的对边，且2asinA =（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.
(1) 求角A的大小；（2）求
sinBsinC
的最大值.





变式1：已知向量
m(ac,b)
，
n(ac ,ba)
，且
mn0
，其中
A,B,C
是△ABC的内
角，
a,b,c
分别是角
A,B,C
的对边.
(1) 求角
C
的大小；（2）求
sinAsinB
的最大值.
222< br>解：由
mn
(ac)
(ac)b(ba)0
，得a+b —c=ab=2abcosC
1

，从而C=60
2

O
故
sinAsinBsinAsin(120A)
=
3
s in(60+A)
所以cosC=
所以当A=30时，
sinAsinB
的最大值是
3


22
变式2．已知半径为R的圆O的内接⊿ABC 中，若有2R（sinA—sinC）=（
2
a—b）sinB成
立，试求⊿ABC的 面积S的最大值。
解：根据题意得：

a
2
c
2
b
2
2R(—)=(a—b)*
22
4R4R
2R
222
化简可得 c=a+b—
2
ab, 由余弦定理可得：
C=45, A+B=135



11
absinC=2RsinA*2RsinB*si nC
22
=
2
sinAsin(135

—A)
R
2
=(
2
sin(2A+45

)+1
2
S=
∵0
∴45

<2A+45

<315


∴ 当2A +45

＝90

即A=15

时，S取得最大值
2＋1
2
R
。
2
类型二：利用重要不等式来解决
例2< br>（13年重庆中学）在
ABC
中，角A,B,C的对边分别为
a,b,c且
cosA
（1）若
bc6
，且
b
<
c
，求
b,c
的值．（2）求
ABC
的面积的最大值。
1
,a4
.
4
解 （1）由余弦定理
a
2b
2
c
2
2bccosA
，
1
∴
16(bc)
2
2bcbc

2
∴
bc8
，
又∵
bc6,
b
<
c
，

bc6
解方程组



bc8
得
b2,c4
或
b4,c2
(舍)．
∴
b2,c4

（2）由余弦定理
a
2< br>b
2
c
2
2bccosA
，
1
∴
16b
2
c
2
bc

2
∵
b
2
c
2
2bc

15
32
∴
bc
，又
sinA

4< br>3
1132415
∴
S
ABC
bcsinAsin A

2233
415
即
bc
时三角形最大面积为
3
变式3．在⊿ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c, ⊿ABC的外接圆半径R=< br>3
,且
cosC
＝
cosB
2sinA—sinC

sinB
（1）求B和b的值； （2）求⊿ABC面积的最大值
解：由已知< br>cosC2sinA—sinC
＝，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sin AcosB
cosBsinB

即sin(B+C)= 2sinAcosB
∵A+B+C=π ∴sinA =2sinAcosB
1
∴B=60
。

2
∵R=
3
, ∴b=2RsinB=2
3
sin60

=3,
∵sinA≠0 ∴cosB=
故角B=60

,边b=3
由余弦定理得b
2
=a
2
+c
2
-2accosB
即9＝a
2
+c
2
-2accos 60


∴9＋ac= a
2
+c
2
≥2ac(当且仅当a=b时取等号)
即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)
19
1
acsinB≤*9*sin60

=
3

24
2
9
∴三角形得面积的最大值是
3

4


∴三角形得面积s=
变式4：⊿ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是
答案：解法1.由a=2,c=1, ∴a=2c
∴2sinA=4sinC ∴sinC =
∵0

11
sinA≤
22
a
2
＋b
2
－c< br>2
4＋b
2
－1
1
3
3
解法===(b+) ≥,故0

2ab4b
2
b
4

练习：
ππ
bsin2C
1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，＜C＜且＝。
32
a－bsinA－sin2C
BC
的取值范围． （1）判断△ABC的性状； (2)若|
BA
＋
BC
|＝2，求
BA
·
解：(1)由
bsin2C
＝及正弦定理得sinB＝sin 2C，∴B＝2C，且B＋2C＝π，
a－bsinA－sin2C
ππ
2
若B＝2C，＜C＜，∴
π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等 腰三
323
角形．
2－a
2
π
(2)∵|
BA< br>＋
BC
|＝2，∴a＋c＋2ac·cosB＝4，∴cosB＝
2
( ∵a＝c)，而cosB＝－cos2C，＜
a3
22
π
142
BC BC
C＜，∴＜cosB＜1，∴1＜a
2
＜，又
BA
·＝acco sB＝2－a
2
，∴
BA
·∈(，1)．
2233
Ba＋c
2、在△ABC中，cos
2
＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边 )，则△ABC的形状为（ ）
22c
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角

三角形 < br>cosB＋1a＋c
B
a＋c
a
解析：∵cos
2
＝ ，∴＝，∴cosB＝，
22c22cc
a
2
＋c
2
－b
2
a
∴＝， ∴a
2
＋c
2
－b
2< br>＝2a
2
，即a
2
＋b
2
＝c
2
， ∴△ABC为直角三角形． 答
2acc
案：B
3、在

ABC中，sin(C-A)=1, sinB=
1
。
3
（I）求sinA的值； (II)设AC=
6
，求

ABC的面积。
解：（I）由< br>sin(CA)1,

CA

,
知
C A
又
ABC

,
所以
2AB

2
。

2
,
即
2A

2
 B,0A

4
.

故
cos2AsinB,12s inA
2
13
,sinA.

33
(II)由（I）得：
cosA
又由正弦定理，得：

所以
S
ABC

6
.

3
BCACsinA
,BCAC32,

sinAsinB sinB
11
ACBCsinCACBCcosA32.

22
2
C
所对应的边分别为
a
，
b
，4. 在
ABC
中，角
A
，且
n4is
B
，
c
，
AB
ocs2
2
C
7
．
2
（Ⅰ）求角
C
的大小；


3
（Ⅱ）求
sinAsinB
的最大值．
3

5. 在
ABC
中，
a、、b
分
c
别为内角A、B、C
的对边，且
2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC
2

（Ⅰ）求
A
的大小；
3

.
（Ⅱ）若
sinBsinC1
，试判断
ABC
的形状. 等腰三角形
c
，则
cosC
的6．（2012陕西）在
ABC< br>中，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，若
ab2
222

最小值为（ C ）
A.
11
32
B. C. D.


22
22
7.(2014新标1) 已知
a,b, c
分别为
ABC
的三个内角
A,B,C
的对边，
a
=2，且
(2b)(sinAsinB)(cb)sinC
，则
ABC< br>面积的最大值为 .
【解析】由
a2
且
(2 b)(sinAsinB)(cb)sinC
，即
(ab)(sinAsinB) (cb)sinC
，由及正弦定理得：
(ab)(ab)(cb)c
∴< br>b
2
c
2
a
2
1

，∴
A60
0
，∴
b
2
c
2
4bc

bcabc
，故
cosA
2bc2
222
1< br>4b
2
c
2
bcbc
，∴
S
AB C
bcsinA3
，
2
8.（2012安徽文）设
ABC< br>的内角
A,B,C
所对的边为
a,b,c
，且有
2siBnc AosAsinCcoAs

C
（Ⅰ）求角
A
的大小；学（II） 若
b2
，
c1
，
D
为
BC
的中点，求
AD
的长。
【答案】（Ⅰ）

7
（II）
；
3
2
9.(2014新标2文) 四边形
ABCD
的内角
A
与
C
互补，
AB1,BC3,CDDA2
.
（1）求
C
和
BD
； （2）求四边形
ABCD
的面积.
【答案】（I）
C60
，
BD
0
7
。 （Ⅱ）
23

10.（2013湖北）在△
ABC
中，角
A
，
C
对应的边分别是
a
，
b
，
B
，
c
. 已知
cos2A3cos(BC)1
.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△
ABC
的面积
S53
，
b5
，求
sinBsinC
的值.
s2c
【简解】（ Ⅰ）由
o(3oscA)1BC
osc
，得
2
2
3o scA20A
，解得
cosA
1
或
cosA2
2
（舍去）.
因为
0Aπ
，所以
A
π
.
3
1133
（Ⅱ）由
SbcsinAbcbc53,
得< br>bc20
. 又
b5
，知
c4
.
2224

由余弦定理得
a
2
b
2
c2
2bccosA25162021,
故
a21
.
bcbc2035
又由正弦定理得
sinBsinCsinAsinA
2
sin
2
A
.
aaa2147
11．(2013江西) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C＋(cos A－3
sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
π
【简解】(1)由已知sin Asin B－3sin Acos B＝0，sin B－3cos B＝0，tan B＝3， B＝.
3
(2) b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝(a＋c)
2
－3ac≥(a＋c)
2
－3

11
∴b≥. 又a＋c>b，∴b<1，∴≤b<1.
22
A－B
12.（2013四川）在△A BC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos
2
cos B－sin(A
2
3
→→
－B)sin B＋cos(A＋C)＝－. (1)求cos A的值； (2)若a＝42，b＝5，求向量BA在BC方向
5
上的投影．
A－B
3
【简解】(1)由2cos
2
cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得
25
33
[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.
55
33
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
55
34abbsin A2
(2)由cos A＝－，055sin Asin Ba2
3
π
－

， 由题知a>b，则A>B，故B＝，根据余弦定 理，有(42)
2
＝5
2
＋c
2
－2×5c×
< br>
5

4
2
→→→
解得c＝1或c＝－7(舍去)． 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝

2
13.(2013新标2) △ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
【简解】(1) sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．sin B＝cos B.
π
又B∈(0，π)，所以B＝.
4
12
π
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.由已知及余弦定理得4＝a
2
＋c
2
－2accos .
244
4
22
又
a
＋
c
≥2
ac
，故
ac
≤，当且仅当
a
＝
c
时，等号成立．因此△ABC
面积的最大值为
2－2
a＋c

2
11
＝(a＋c)
2
＝，等号可以成立
4

2

4

2＋1.
14、（2 015年新课标2文）△ABC中D是BC上的点,AD平分

BAC,BD=2DC.
（I）求
sinB
； （II）若
BAC60
,求
B
.
sinC





1、已知
ABC
中,三个内角A,B, C的对边分别为
a,b,c,
若
ABC
的面积为S,且

2S

ab

c
2
,则tanC

（ ）
A．
【答
2
等于
3

4
案】
B．
C
4

3
由
C．

2
4

3
得
D．

3

4
,即
2S

ab

c
2
,所以
2Sa
2b
2
2abc
2
2
2a
2
1
2absinCa
2
b
2
2abc
2
2
asbinC
,所以
b
又,
a
即
b
a
2
b
2
c
2
absinC2absinC
cosC 1
2ab2ab2
cCos
sCin
1
,
2< br>C
CCCC
2

22

4
,选C．
2cos
2
sincos
,所以
tan2
,即
tanC
2
2222
123
2
C
1tan
2
2tan

2、若三角形
ABC
的内角满足
sinA 2sinB2sinC
，则
cosC
的最小值是 ．
【解析】cosC
2

abc

2ab
222
a
2
b
2
(
a2b
2
3
2
1
2
23
2
1
2
)ababab
242242

2


2ab2ab2ab4
3
2
1
2
ab
42

2

62
2ab44
3、在△
ABC
中，
D
为
BC
边上一点，< br>BAD

,
　
CAD

，
2531 0
cos

,cos


510
．
（1）求
BAC
的大小； （2）当
D为BC中点
时，求
AC
的值．
AD
解：（1） 由已知，
sin

1cos


2
5102
，
sin

1cos



510
253105102


5105102
co sBACcos(



)cos

cos

sin

sin


∵
BAC(0,
)
∴
BAC
（2）
ABD中，


4
。
BCAC
BDAD

（1）
ABC中，
（2）

sin(



)sinB
sin

s inB
1
BC
2

(2)ACBCsin

2si n

25210
2
(1)ADsin(



)BDsin(



)55
BD
4、
已知函数
f(x)msinx2cosx(m0)
的最大值为2. (1)求函数
中,
f(A
f(x)
在
[0,

]
上的单调递减区间; （2)△ABC

B、C所对的边分别是a、b 、c,且C=60
)f(B)46sinAsinB
,角A、
44
< br>,c=3,
求△ABC的面积.

222
5、在△< br>ABC
中,内角
A
、
B
、
C
的对边分别是< br>a
、
b
、
c
,且
abc3bc
.
(Ⅰ)求
A
; (Ⅱ)设
a3
,
S
为△< br>ABC
的面积,求
S3cosBcosC
的最大值,并指
出此时B
的值.

5
答案：（1）
A

（2）
BC
，最大值3
12
6