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努力的你，未来可期!
2018年上海市虹口区高考数学一模试卷



一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为 ．

2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）= ．

3．（4分）首项和公比均为
= ．

4．（4分）在 △ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：
c=2：3：4，那么cos C= ．

5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是 ．

6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三
门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地
理这三门也至少要选一门 ，则该生的可能选法总数是 ．

7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱A B、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC
的体积为V
1
，三棱锥N﹣MBC的体积为V< br>2
，则等于 ．

的等比数列{a
n
}，S
n
是它的前n项和，则
8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y
2
=12x
的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为 ．

9 ．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形
△ABC， 则△ABC的面积等于 ．

10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，过焦点F
1
的直线交椭
= ．

圆于M、N两点，若△MNF
2
的内切圆的面积为π，则
11．（5分）在△ ABC中，D是BC的中点，点列P
n
（n∈N
*
）在线段AC上，且满足，若a
1
=1，则数列{a
n
}的通项公式a
n
= ．

12．（5分）设f（x）=x
2
+2a•x+b•2
x
，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与
函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点 完全相同，则（a，b）为 ．

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!


二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（ ）

A． B．（0，π） C． D．（0，π]

14．（5分）命题：“若x
2
=1，则x=1”的逆否命题为（ ）

A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1

C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1

15．（5分）已知函数
=（ ）

A．2017 B．1513 C． D．

，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）
16．（5分）已知 Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有
两个动点M和N，满足 ，，则的取值范围是（ ）


A．
C．




B．[4，6]

D．

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17．（ 14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，
M为 AC的中点．

（1）求证：PM⊥平面ABC；

（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

18．（14分）已知函数
且此函数的最小正周期等于π．

（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；

（2）求此函数在的最大值和最小值．

，其中x∈R，ω＞0，
19．（1 4分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为
1km的矩形，矩形两边AB 、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直
线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条 路交于点P和Q．

（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；

（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．


20．（16分）已知平 面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过
点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲 线C，在曲线C上任取一点A，过A
作l的垂线，垂足为E．

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；

（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．


拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
21．（18分）已 知无穷数列{a
n
}的各项均为正数，其前n项和为S
n
，a
1=4．

（1）如果a
2
=2，且对于一切正整数n，均有
（2 ）如果对于一切正整数n，均有a
n
•a
n
+
1
=S
n
，求S
n
；

（3）如果对于一切正整数n，均有a
n
+a
n
+
1
=3S
n
，证明：a
3n﹣
1
能被8整除．



，求S
n
；

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

2018年上海市虹口区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析



一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为 （﹣∞，2） ．

【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．

函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．

故答案为：（﹣∞，2）．



2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）= 0 ．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，

即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，

故答案为：0．



3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a
n
}，S
n
是它的前n项和，则
1 ．

【解答】解：根据题意，等比数列{a
n
}的首项和公比均为，

=
则其前n项和S
n
=
则=1；

=1﹣（）
n
，

故答案为：1．



4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：
c= 2：3：4，那么cosC= ﹣ ．

【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
则根据余弦定理得：cosC=
故答案为：﹣



==﹣．

5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是 [
【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，

∴，即a
2
+b
2
=1，

，] ．

令a=cosθ，b=sinθ，

则ab=cosθ•sinθ=
∴ab∈[，]．

．

，

故答案为：


6．（4分）某学生要从物理、化学、 生物、政治、历史、地理这六门学科中选三
门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门 ，政治、历史、地
理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 18 ．

【 解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、
历史、地理这三门也至少要 选一门，

分2种情况讨论：

①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政 治、历史、地理这三门选2门，有
C
3
1
C
3
2
= 9种选法，

②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有< br>C
3
1
C
3
2
=9种选法，

则一共有9+9=18种选法；

故答案为：18


< br>7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC
的体积 为V
1
，三棱锥N﹣MBC的体积为V
2
，则
拼搏的你，背影很美！
等于 ．

努力的你，未来可期!
【解答】解：如图，


设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，

∵M是AB的中点，∴，

，

∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为
则，，

∴=．

故答案为：．



8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线
的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为
的一个顶点与抛物线y
2
=12x
．

【解答】解：根据题意，抛物线y
2
=12x的焦点为（3，0），

若双曲线的一个顶点与抛物线y
2
=12x的焦点重合，

则双曲线的顶点坐标为（±3，0），

则有a
2
=9，

则双曲线的方程为：﹣y
2
=1，


双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为
故答案为：



拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
9．（5分）已知y =sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形
△ABC，则△ABC的面积 等于 ．

【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象 的连续的三
个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，

∵底边长为一个周期T=2π，高为
∴△ABC的面积=2
故答案为：


10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F
1
、F
2
， 过焦点F
1
的直线交椭
= 4 ．

．

=
，

，

圆于M、N两点，若△MNF
2
的内切圆的面积为π，则
【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F
1
，F
2
，a=2，

过焦点F
1
的直线交椭圆于M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
）两点，

△MNF
2
的内切圆的面积为π，

∴△MNF
2
内切圆半径r=1．

∴△MNF
2
面积S=×1×（MN+MF
2
+MF
2
）=2a=4，

故答案为：4




11．（5分）在△ABC中，D是 BC的中点，点列P
n
（n∈N
*
）在线段AC上，且满
足
【解答】解：如图所示，

∵D是BC的中点，∴=+=+，

，若a
1
=1，则数列{a
n
}的通项公式a
n
= ．

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
又∴
=
+=
+，
+a
n
（+
+
），
，

，

化为：=（1﹣a
n
﹣a
n
+
1
）
∵点列P
n
（n∈N
*
）在线段 AC上，

∴1﹣a
n
﹣a
n
+
1
+化为：a
n
+
1
=﹣
=1，

，又a
1
=1，

则数列{a
n
}是等比数列，首项为1，公比为﹣．

∴a
n
=
故答案为：
．

．




12．（5分）设f（x）=x
2
+2a•x+b•2
x
，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与
函数y=f（f（x））都有零点且它 们的零点完全相同，则（a，b）为 （0，0）或
（1，0） ．

【解答】解：根 据题意，函数y=f（x）的零点为方程x
2
+2a•x+b•2
x
=0的根 ，

如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即
x
2
+2a•x+b•2
x
=x，

方程x
2
+2a•x+b•2
x
=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x）） 的零点，

则有，解可得x=0，

即x
2
+2a•x+b •2
x
=0的1个根为x=0，分析可得b=0，

则f（x）=x
2
+2a•x，

解可得x
1
=0或x
2
=﹣2a，

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
f（f（x））=（ x
2
+2a•x）
2
+2a（x
2
+2a•x），

若函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，

分析可得a=0或a=1，

则（a，b）为（0，0）或（1，0）；

故答案为（0，0）或（1，0）．



二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（ ）

A． B．（0，π） C． D．（0，π]

【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，

∴θ的范围是（0，
故选：C．



14．（5分）命题：“若x
2
=1，则x=1”的逆否命题为（ ）

A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1

C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1

【解答】解：命题：“若x
2
=1，则x=1”的逆否命题为

“若x≠1，则x
2
≠1”；

即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．

故选：C．



15．（5分）已知函数
=（ ）

A．2017 B．1513 C． D．
，


]．

，则f（1）+f（2）+f（3）+… +f（2017）
【解答】解：∵函数
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
=1009×f（﹣1）+1008×f（0）

=1009×2
﹣
1
+1008×2
0

=．

故选：D．



16．（5分）已知Rt △ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有
两个动点M和N，满足，， 则的取值范围是（ ）


A．
C．


B．[4，6]

D．

【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），

∵|
∵
|=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．

，∴N是MC的中点．

设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），

∴
∴|
=（cosα﹣4，sinα+3），

|
2
=（cosα﹣4）
2
+（sinα+3）
2
=6sinα﹣8cosα+ 26=10sin（α﹣φ）+26，

|取得最小值
=6．

=4，

∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，|
当sin（α﹣φ）=1时，|
故选B．

|取得最大值
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!



三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17．（ 14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，
M为 AC的中点．

（1）求证：PM⊥平面ABC；

（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．


【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，

∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．

∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，

∴PM⊥AB，

∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．

解：（2）连结BM，

∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，

∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，

∴PM=
BM==
=，

=，

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
∴tan∠PBM===，

∴．

．

∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan



18．（14分）已知函数
且此函数的最小正周期等于π．

（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；

（2）求此函数在
【解答】解：函数
（ωx），


，其中x∈R，ω＞0，
的最大值和最小值．

=sinωx+cosωx= 2sin
（1）∵函数的最小正周期等于π．即
∴ω=2．

可得f（x）=2sin（2x
由
得：
2x
≤x≤

），

，k∈Z

故得函数的单调递增区间为[
（2）∵f（x）=2sin（2x
当，

），

，]，k∈Z

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
（2x
∴当2x
当2x


）∈[
=
=
]

时，函数f（x）取得最大值为2．

时，函数f（x）取得最小值为﹣1．

19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为
1km的 矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直
线的路l，这条路不能穿过古 建筑群，且与另两条路交于点P和Q．

（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；

（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．


【解答】解：（1）设AQ=x，

则由
即AP=
故S=

得：

=（x＞1）；

（x＞1）；

（2）由 （1）得：S′=
当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，

故x=2时，S
min
=4．



20．（16 分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过
点F且与直线l相切，记圆心M 的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A
作l的垂线，垂足为E．

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．


【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，

FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，

即有F（，0），直线l：x=﹣，

动圆M过点F且与直线l相切，

可得|AE|=|AF|，

由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，

可得方程为y
2
=2px；

（2）点A到直线l的距离为d，可得 |AE|=|AF|=d，且
设A（x
0
，y
0
），可得y
0
2
=2px
0
，

即有d=x
0
+，则x
0
=d﹣，

即有|EF|
2
=p
2
+y
0
2
=p
2
+2p （d﹣）=2pd，

在△EAF中，

cos∠EAF=
可得﹣≤cos∠EAF≤，

可得arccos≤π﹣arccos，

则∠EAF的取值范围是[arccos]；

=1﹣，

，

（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．

设A（x
0
，y
0
），可得y
0
2
=2px
0
，

当A与O重合时，显然一个交点；

当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，

可得∠AMF=∠MAF，

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
即有|MF|=|AF|=d，

四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，

可得∠AMF+∠EFM=90°，

tan∠AMF=cot∠EFM=
可设y
0
＞0，

则直 线AM的方程为y﹣y
0
=
则y
0
y﹣y
0
2=px﹣px
0
，

化为y
0
y=px+px
0
，

代入抛物线的方程y
2
=2px，

消去x可得，y
2﹣2y
0
y+2px
0
=0，

即为（y﹣y
0
）
2
=0，

可得y=y
0
，x=x
0
，

即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．

（x﹣x
0
），

=，




21．（18分）已知无穷数列{a
n
}的各项均为正数，其前n项和为S
n
，a
1
=4．

（1）如果a
2
=2，且对于一切 正整数n，均有
（2）如果对于一切正整数n，均有a
n
•a
n
+< br>1
=S
n
，求S
n
；

（3）如果对于一切 正整数n，均有a
n
+a
n
+
1
=3S
n
，证明：a
3n
﹣
1
能被8整除．

【解答】解：（1）∵ 无穷数列{a
n
}的各项均为正数，其前n项和为S
n
，a
1
=4．

a
2
=2，且对于一切正整数n，均有，

，求S
n
；

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
∴
由此猜想
==1，=，

=2
3
﹣
n
．

再利用数学归纳法证明：

①当n=1时，=4，成立．

，

=2
（
6﹣
2k
）﹣（
4
﹣
k
）
=2
2
﹣
k
=2
3
﹣（
k
+
1
）
．< br>
②假设n=k时，成立，即
则a
k
+
1
=
由①②得
=
，

=
∴{a
n
}是首项为4，公比为的等比数列，

∴S
n
==8（1﹣）．

（2）∵对于一切正整数n，均有an
•a
n
+
1
=S
n
，

∴ S
n
=a
n
a
n
+
1
，S
n﹣
1
=a
n
﹣
1
a
n
，
< br>∴a
n
=a
n
（a
n
+
1
﹣an
﹣
1
），∴a
n
+
1
﹣a
n
﹣
1
=1．

a
1
=4，由a
n
•a< br>n
+
1
=S
n
，得a
2
=1，a
3
=5，a
4
=3，…

∴当n为偶数时，
===．

+

当n为奇数时，S
n
=
==．

++

证明：（3）∵对于一切正整数n，均有a
n
+a
n
+
1
=3S
n
，

∴a
n
+a< br>n
+
1
=3S
n
，a
n
﹣
1
+a
n
=3S
n
﹣
1
，

∴a
n
+
1
﹣a
n
﹣
1
=3a
n
，< br>
a
1
+a
2
=3a
1
，

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
a
2
=2a
1
=8，能被8整除，

a
3
﹣a
1
=3a
2
，a
3
=28，假设a
3 k
﹣
1
=8m，m∈N
*
．

则a
3k< br>+
2
=3a
2k
+
1
+a
3k
=3 （3a
3k
+a
3k
﹣
1
）+a
3k

=10a
3k
+a
3k
﹣
1

=40p+24q，p，q∈N
*
能被8整除，

综上，a
3n
﹣
1
能被8整除．




拼搏的你，背影很美！