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2020年高三数学理科模拟试卷1
数学试卷（理科）
一、选择题
1.集合
A

xN|log
2
x1

,集 合
BxZ|x
2
5
,则
AB
（ ）
A.

2



1,2

C.

0,1,2

D.

B.

2
2.已知

1i



1i

z
，
i
为虚数单位，则
z
（）
A.
1i
B.
1i
C.
1i
D.
1i

31x
3.已知函数
f

x
x
和
g

x

2
，命题
p:f

x

，
g

x

在定 义域内都是增函数；命题
q:
函数
yf

x

 g

x

的零点所在区间为

0,2

， 则在命题：
pq
，
pq
，
pq
中，真命题的个数< br>为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知
cos
x






3

，则
cosxcos

x


（ ）


3

6

3

C.A.
1
B.
1

23

3
D.
3

5.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，普州（现四川省安岳县）人。他在所著的《数书九章》中
提出 的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九
韶算法求某 多项式的一个实例，若输入的
x
值为9，则输出
v
的值为（ ）

A.
9
100
B.
9
100
1
C.
10
100
B.
10
100
1

4
，
5
6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若
c osA
cosC
12
，
a1
，则
b
（ ）
13
C.A.2 B.
56

13
21

13
D.
56

39
7.函数
f

x


cos


x

的部分图象可能 是（ ）
2
x2x2
1 5

A B C D
8.把函数的
f

x

sin2xcos2x
的图象向右平移
m

m0

个单位长度，得到函数
g

x

的图象 ，
当
x

3
B.
时，
g

x

取最小值，则
m
的最小值为（ ）
A.


24

12
C.


6
D.


4
9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的右侧曲线为半圆弧，则几何体表面积为（ ）
A.
3

422
B.
3

222
C.
3

222

2
D.
3

222

2

x
2
y
2
2
10.已知离心率为2的双曲线
2
2
1
的右焦点
F
2
是抛物线
y8x
的焦点 ，过点
F
2
作一直线
l
ab
与双曲线的右半支交于两点P, Q，
F
1
为双曲线的左焦点，若
PF
1
QF
1< br>，则直线
l
的斜率为（ ）
A.

7

3
B.

7

2
C.

3

3
D.

37

7
11.某海上油田A到海岸线（ 近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100
海里有一原油厂C，现计划在B C之间建议石油管道中转站M。已知海上修建石油管道的单位长度
费用是陆地上的3倍，要是从油田A处 到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距
离应为（ ）
A.
52
海里 B.
5
2
海里 C.
5
海里
2
D.
10
海里
2 5

12.在三棱锥
PABC
中，点P在底面的正投影恰好落 在等边△ABC的边AB上，点P到底面ABC
的距离等于底面边长。设△PAC与底面所成的二面角大 小为

，△PBC与底面所成的二面角大小为

，则
tan





的最小值为（ ）
A.
332383
B. C.


4513
D.

53

8
二、填空题
1 3.上和组织峰会将于2018年6月在青岛召开，组委会预备在会议期间将A,B,C,D,E五名工作人员分
配到两个不同的地点参与接待工作，要求A,B必须在同一组，且每组至少2人，则不同分配方法的种数为____________________
14.如图，在梯形ABCD中，
A DBC
，
ABAD
，
AB2
，
BC2
，E为 AB的中点，若
CEBD2
，则向量
CD
在
BC
上的 投影为__________________________________-

x 0

15.不等式组

x3y4
所表示的平面区域为D。若直线
yk(x3)
与D有公共点，则实数
k
的

3xy 4

取值范围是___________________
xx
16.对于 函数
yef

x

（
e
是自然对数的底数），若 存在实数
T
使得
ef

x

T
在

0,

上恒成
2x2
立，则称函数
f

x

具有性质T。给出下列函数：①
f

x
2e1
；②
f

x

x2x
；③f

x

sinx
；④
f

x

三、解答题
1
。其中具有性质T的所有函数的序号为_____________________--
x
17.已知等差数列

a
n

的公差
d 1
，等比数列

b
n

的公比
q2
， 若1是
a
1
和
b
1
的等比中项，设向
量
a 

a
1
,a
2

，
b
b
1
,b
2

，
ab5

（1） 求数列

a
n

和

b
n
的通项公式；
（2）设
c
n
2
n
log
2
b
n
，求数列

c
n

的前
n< br>项和
T
n
。
a
18.如图，梯形
ABCD
中，AD=BC，AB∥CD，AC⊥BD，平面BDFE⊥平面ABCD，EF∥BD，BE⊥BD
（1）求证：平面AFC⊥平面BDFE；
（2）若
AB2CD22
,
BEEF2
,求BF与平面DFC所成角的正弦值。
3 5

19.某市2016年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批 树苗中随机抽取100棵进行
跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：

（ 1）求树高在225~235cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值和方差；（方差四舍
五入保留整数）
（2）若将树高以等级呈现，规定：树高在185~205cm为合格，在205~ 235cm为良好，在235~265cm
为优秀。视样本频率分布为总体的概率分布，若从这批树苗中 随机抽取3棵，求树高等级为优秀的
棵数

的分布列与数学期望；
2
（3）经验表明，树高
X~N

,

。用样本平均值作为

的估计值，用样本的方差作为

的估

2
计值，试求该 批树苗小于等于255.4cm的概率。
（提供数据：
27116.45
，
30517.45
，
34018.45
）
2
附：若随机变量 Z服从正态分布
N

,

，则
P(

< br>
Z



)0.6826
，
< br>P(

2

Z

2

) 0.9544
，
P(

3

Z

 3

)0.9974

1
x
2
y
220.已知椭圆
C:
2

2
1

ab0

的焦距为
23
，斜率为的直线与椭圆交于A,B两点，若
ab2
线段AB中点为D，且直线OD的斜率为

（1）求椭圆C的方程；
（2）若过左焦点F斜率为
k
的直线
l
与椭圆交于M，N两点，P为椭圆上一 点，且满足
OPMN
，
问
1
。
2
11

是否为定值？若是，求出该定值；若否，说明理由。
2< br>MN
OP
2x
21.已知函数
f

x
(xax1)e

4 5

（1）若函数< br>f(x)
在R上无极值点，试讨论函数
g(x)lnf(x)(m1)x(mR )
的单调性；
（2）证明：当
2a
1
时，对于任意
x

1,

，不等式
f(x)a(x1)
恒成 立。
2
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系
xOy
中， 直线
l
的参数方程为

x3tcos


t为 参数

，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方
y2tsin


程为

2cos


（1）求直线
l
和圆C的普通方程；
（2）已知直线
l
上 一点
M

3,2

，若直线
l
与圆C交于不同的两 点A、B，求
围。
23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数
f

x

xa2x1,aR

（1）当
a1
时， 求不等式
f

x

1
的解集。
（2）设关于< br>x
的不等式
f

x

2x1
解集为P ，且

1,

P
，求
a
的取值范围。 4
11

的取值范
MAMB


1


5 5