涟水教育-小年祝福短信

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角形应用举例(对应学生用书
(文)、(理)55～56页)


考情分析
正余弦定理在应用题中的应用．

考点新知
能准确地建立数学模型，并能用正弦定
理和余弦定理解决问题.

1. (必修5P 11习题4改编)若海上有A、B、C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC
＝60°，∠ ABC＝75°，则B、C间的距离是________海里．
答案：56
解析：由正弦定理，
BCAB
知＝，
sin60°sin（180°－60°－75°）
解得BC＝56(海里)．
2. (必修5P20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一
水面 上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则
两条船相距 ________m.
答案：103

解析：如图，OA为炮台，M、N为两条船 的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°
3
＝30，ON＝A Otan30°＝
3
×30＝103，由余弦定理，得MN＝
3
900＋30 0－2×30×103×
2
＝300＝103(m)．
3. (必修5P18例1改编)如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m的
C、 D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则AB的距离是< br>__________ m.

答案：206
解析：由已知知△BDC为等 腰直角三角形，故DB＝40；由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A、
B、C、D四点共圆，

所以∠BAD＝∠BCD＝45°；
在△BDA中，运用正弦定理可得AB＝206.
4. (必修5P21习题2改编)某人在 C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东
40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________m.
答案：10

解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10.
由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，
即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，
∴ h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．

5. 如图，一船在海上自西向 东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm
后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角 ，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该
船继续东行．当α与β满足条件_______ _时，该船没有触礁危险．
答案：mcosαcosβ>nsin(α－β)
解析：∠MA B＝90°－α，∠MBC＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴ ∠AMB
BMm
＝α－β.由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝
sin（90°－ α）sin（α－β）
mcosαmcosαcosβ
.要使船没有触礁危险，需要BMsin (90°－β)＝>n，所以α与β满足
sin（α－β）sin（α－β）
mcosαcos β>nsin(α－β)时船没有触礁危险．

1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
2. 实际问题中的常用角
(1) 仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线 的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫
仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．

(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等．
(3) 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
(4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．


[备课札记]


题型1 测量距离问题
例1 要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距3 km的C、 D两点，并且测得∠ACB
＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A 、B之间的距离．
解：△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴ AC＝CD＝3 km.在△BCD中，∠
BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴ BC＝
3sin75°6＋2
＝.在△ABC中，由余弦
2
sin60°6＋2

6＋2

2
定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC· BC·cos∠ACB＝(3)2＋

－2·3·
2
cos75°＝5，

2

∴ AB＝5 km.故A、B之间的距离为5 km.
变式训练

设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出A C的距离为50m，
∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A、B两点的距离．
解：由题意知∠ABC＝30°，
ACAB
由正弦定理＝，
sin∠AB Csin∠ACB
2
50×
2
AC·sin∠ACB
得AB＝＝1
＝502 m.
sin∠ABC
2
故A、B两点的距离为502 m.
题型2 测量高度问题

例2 某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h
＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.

(1) 该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；
(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β< br>之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？
HhHHhH
解：(1) 由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，解
tanαtanβtanβtanαtanβtanβ
htanα
4×1.24
得H ＝＝＝124.
tanα－tanβ1.24－1.20
因此，算出的电视塔的高度H是124 m.
H
(2) 由题设知d＝AB，得tanα＝
d
.
H－h
Hh
由AB＝AD－BD＝－，得tanβ＝
d
，
tanβtanβ
tanα－tanβ
所以tan(α－β)＝＝
1＋tanαtan β
hh
≤，
H（H－h）
2H（H－h）
d＋
d
H（H－h）
当且仅当d＝，即d＝H（H－h）＝125×（125－4）＝555时，上式取等号． 所
d
ππ
以当d＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<
2< br>，则0<α－β<
2
，所以当d＝555时，α－
β最大．故所求的d是555 m.

备选变式（教师专享）

如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以 选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现
测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点 C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
CD·sin∠BDC
BCCD
解：在△B CD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得＝，所以BC＝
sin∠BDCsin∠CBDsin∠ CBD
＝
s·sinβ
.
sin（α＋β）
s·tanθsinβ
.
sin（α＋β）
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝
题型3 测量角度问题
例3 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，距离A 2海里的B处有一艘走私船，在A处北
偏东45°方向，距离A (3－1)海里的C处的缉私船奉命以 103海里小时的速度追截走私
船．此时，走私船正以10海里小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜 ，问缉私船沿什么方
向能最快追上走私船？

解：由已知条件得，AB＝2，AC＝3－1，∠BAC＝120°，

∴ BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝4＋4－23＋23－2＝6.
ABBC
在△ABC中，＝，
sin∠ACBsin∠BAC
2
解得sin∠ACB＝
2
，∴ ∠ACB＝45°，
∴ BC为水平线，设经过时间t小时后，缉私船追上走私船，则在△BCD中，
BD＝10t，CD＝103t，∠DBC＝120°，
3
10t×
2BDsin∠CBD
1
sin∠BCD＝＝＝，
CD
103t
2
∴ ∠BCD＝30°，
∴ 缉私船沿北偏西60°的方向能最快追上走私船．
备选变式（教师专享）


如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10
海里小 时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向
追赶渔船乙，刚好用 2 h追上，此时到达C处．
(1) 求渔船甲的速度；
(2) 求sinα的值．
解：(1) 依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，∠BCA ＝α.在△ABC
中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝12 2＋202－2×12×20×cos120°＝784，
解得BC＝28海里．
BC
所以渔船甲的速度为
2
＝14海里小时．
(2) 在△ABC 中，因为AB＝12海里，∠BAC＝120°，BC＝28海里，∠BCA＝α，由正弦定理，
ABB C
得＝.
sinαsin120°
3
12×
2
AB·si n120°
33
即sinα＝＝＝
BC2814
.

1. 在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是________．
答案：钝角三角形
解析：由正弦定理可把不等式转化为a2＋b2＜c2，cosC＝
a2＋b2－c2
＜0，所以三角形为钝角
2ab

三角形．
2. 已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
2
答案：－
4

解析：设最小边为a，则其他两边分别为2a，2a .由余弦定理，得最大角的余弦值为cosα＝
a2＋（2a）2－（2a）2
2
＝－
4
.
2a×（2a）
3. (2013·上海一模)一人在海面某处测得某 山顶C的仰角为α(0°＜α＜45°)，在海面上向山顶
的方向行进m m后，测得山顶C的仰角为90°－α，则该山的高度为________m．(结果化简)

1
答案：
2
mtan2α
解析：由题意知∠CAB＝α，∠CDB ＝90°－α，∠CDA＝90°＋α，且AD＝m，则∠ACD＝90°
mcosα
ADAC mAC
－2α.由正弦定理得＝，即＝，即AC＝，所
sin（90°－2α）sin（90° ＋α）cos2αcosαcos2α
msinαcosα
1
以山高BC＝ACsin α＝＝
2
mtan2α.
cos2α
ACBCAB2
4. 已知△ ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则
BC
＋
AC
＋的最大值为__ ______．
BC·AC
答案：22
AC2＋BC2＋AB2
ACBC AB2
解析：
BC
＋
AC
＋＝.
BC·ACBC·AC
又AC2＋BC2＝AB2＋2AC·BC·cosC，
4S△ABC
2AB2
∴ 原式＝2cosC＋＝2cosC＋
BC·A CBC·AC
2BC·AC·sinC
＝2cosC＋＝2cosC＋2sinC
BC·AC

π

＝22sin
C＋
4
，

π
∴ 当C＝
4
时，最大值为22.

1. 某人在汽车站M的北偏西20°的方向上的A处(如图所示)，观察到C处有一辆汽车沿公路
向M 站行驶，公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A处的距离为31 km，汽车
前进20 km后，到A处的距离缩短了10 km.问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站M?

解：设汽车前进20 km后到达B处，在△ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21，由余弦 定理，
AC2＋BC2－AB2
23123
得cosC＝＝
31
，则 sinC＝
31
.所以sin∠MAC＝sin
(
120°－C
)< br>＝sin120°cosC
2AC·BC
353
31×
62
A C·sin∠MAC
353
－cos120°sinC＝
62
.在△MAC中 ，由正弦定理，得MC＝＝＝35，从
sin∠AMC
3
2
而有MB＝MC－ BC＝15 km.
答：汽车还需行驶15 km，才能到达汽车站M.
2. 某港口O要 将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于
港口O北偏西30°且与该 港口相距20海里的A处，并正以30海里时的航行速度沿正东方向
匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以 v海里时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2) 假设小艇的最高航行速 度只能达到30海里时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速
度的大小)，使得小艇能以最短时间 与轮船相遇，并说明理由．
解：(1) 设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝900t2＋400－2·30t·20·cos（90°－30°）
＝900t2－600t＋400
＝

1

900
t－
3
＋300 .

2
1
故当t＝
3
时，Smin＝103 海里，
103
此时v＝
1
＝303 海里时．
3
即小艇以303海里时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2) 设小艇与轮船在B处相遇，
600400
则v2t2＝400＋900t2－2·20·30 t·cos(90°－30°)，故v2＝900－
t
＋
t2
.
∵ 0＜v≤30，
600400232
∴ 900－
t
＋
t2
≤900，即
t2
－
t
≤0，解得t≥
3
.
2 2
又t＝
3
时，v＝30海里时．故v＝30海里时时，t取得最小值，且最小值等于
3
.
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下 ：航行方向为北偏东

30°，航行速度为30海里时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

3. 如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点 北偏东
45°、B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距
203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，该救援船达到D点需
要 多长时间？
解：由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝ 90°－45°＝45°，
DBAB
所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105° .在△ADB中，由正弦定理得＝，
sin∠DABsin∠ADB
AB·sin∠DAB5（ 3＋3）·sin45°
所以DB＝＝
sin∠ADBsin105°
＝
5 （3＋3）·sin45°
＝103海里．
sin45°cos60°＋cos45°sin 60°
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里， 在△DBC中，由余
1
弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝3 00＋1 200－2×103×203×
2
＝900，所以
30
CD＝30 海里，则需要的时间t＝
30
＝1 h．所以救援船到达D点需要1 h.

4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB< br>为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？
解：设∠AO B＝α，在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22< br>－2×1×2×cosα
＝5－4cosα，
于是，四边形OACB的面积为
13
S＝S△AOB＋ S△ABC＝
2
OA·OBsinα＋
4
AB2
13
＝
2
×2×1×sinα＋
4
(5－4cosα) < br>53

π

53
＝sinα－3cosα＋
4
＝2sin
α－
3
＋
4
.

ππ5π5π< br>因为0＜α＜π，所以当α－
3
＝
2
，α＝
6
，即∠ AOB＝
6
时，
四边形OACB面积最大．

1. (1) 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．
(2) 利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．
(3) 应用题要注意作答．
2. (1) 测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．
(2) 分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形中应用正、余弦定理．
(3) 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．
请使用课时训练(A)第8课时(见活页)．


[备课札记]