证券从业资格考试通过率-拒绝平庸作文

2021届高考数学总复习：三角形中的最值
一、知识点
1.求角的三角函数值的最值
【例3】 在△ABC中，a
2
＋c
2
＝b
2
＋2ac。
(1)求B的大小；
(2)求2cosA＋cosC的最大值。
解 (1)由余弦定理和已知条件可得
a
2
＋c
2
－b
22ac2
cosB＝
2ac
＝
2ac
＝
2
，
π
又因为04
。
3π
(2)由(1)知A＋C＝
4
，所以

3π

2cosA＋cosC＝2cosA＋cos

4
－A



22
＝2cosA－
2
cosA＋
2
sinA

π

22
＝
2
cosA＋
2
s inA＝cos

A－
4

。

3π
因为04
，
π
所以，当A＝
4
时，2cosA＋cosC取得最大值1。
< br>本题主要考查了余弦定理、三角形内角和定理、辅助角公式
以及三角函数的最值；解此类问题的关 键是熟练地运用余弦定理、
两角差的正余弦公式以及辅助角公式。
【变式训练】 若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，
则cosC的最小值是________。
解析 由sinA＋2sinB＝2sinC，结合正弦定理可得a＋2b
a
2
＋b
2
－c
2
3a
2
＋2b
2
6－2< br>2
＝2c，所以cosC＝
2ab
＝
8ab
－
4≥
4
，当且仅
6－2
22
当3a＝2b时取“＝”，故cosC 的最小值是
4
。

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6－2
答案
4

2．求边的最值
【例4】 (2019·石家庄市一模)如图，四边形ABCD的对角
线交点位于四边形的内部 ，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，
当∠ABC变化时，BD的最大值为________。
解析

π

设∠ACB＝θ

0<θ<
2

，则∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ


π
＋< br>2
，由余弦定理可知，AC
2
＝AB
2
＋BC
2－2AB·BCcos∠ABC，即

π

AC＝DC＝2＋2cos2 θ＝2cosθ

0<θ<
2

，由余弦定理知，BD
2< br>＝BC
2

＋DC
2
－2BC·DCcos∠DCB，即B D
2
＝4cos
2
θ＋1－

π

π< br>

2×1×2cosθcos
θ＋
2
＝2cos2θ＋ 2sin2θ＋3＝22sin
2θ＋
4

＋3。

πππ5ππ
2
由0<θ<
2
，可得
4
<2θ＋
4
<
4
，则(BD)
max
＝22＋3，此时θ＝
8
，
因此(BD)
max
＝2＋1。
答案 2＋1

边的 最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的
三角函数值，再结合角的范围求解。有时也可利用 均值不等式求
解。
【变式训练】 在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC
的最大值为________。
BCABAC3
解析 因为
sinA
＝
sinC
＝
sinB
＝
sin60°
，所以AB＝2sinC，BC

2π
＝2sinA，因此AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin

3< br>－A

＋4sinA＝


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5sinA＋3cosA＝27sin(A＋φ)，因为

2π

φ∈(0,2π)，A∈

0，
3

，所
以AB＋2BC的最大值为27。
答案 27
3．求三角形面积的最值
【例5】 (2019·南昌市联考)在圆内接四边形ABCD中，AC
＝8，AB＝2AD， ∠BAD＝60°，则△BCD的面积的最大值为
________。
解析 设AD＝t，因 为AB＝2AD，∠BAD＝60°，由余弦定
理得BD
2
＝4t
2
＋t
2
－2×2t×tcos60°＝3t
2
，所以BD＝3t，所以
AB
2
＝BD
2
＋AD
2
，所以∠ADB＝90°，即A B为四边形ABCD外接
圆的直径，如图，设∠BAC＝θ(0°<θ<60°)，因为∠ACB＝90 °，
843
AC＝8，所以BC＝8tanθ，AB＝
cosθ
，所以BD＝
cosθ
，又∠CBD
143
＝60°－θ，所以△BCD的面积S＝
2
×8tanθ×
cosθ
×sin(60°－
163sinθsin6 0°－θ
θ)(0°<θ<60°)，所以S＝
＝
cos
2
θ< br>24sinθcosθ－83sin
2
θ
2
＝24tanθ－83ta n
θ(0°<θ<60°)，所以
2
cos
θ
3
tanθ＝
2
时S取得最大值63。
答案 63


利用三角函数 的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余
弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是 一种
解决此类问题的常规方法。

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【变式训练】 (2019·郑州质量预测)在△ABC中，角A，B，
C的对 边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b，若△ABC的面积S
＝3c，则ab的最小值为( )
A．28 B．36
C．48 D．56
解析 在△ABC中，2ccosB ＝2a＋b，由正弦定理，得
2sinCcosB＝2sinA＋sinB。又A＝π－(B＋C)，所 以sinA＝sin[π－
(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sinCcosB＝2sin(B ＋C)＋sinB＝
2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，得2sinBcosC＋s inB＝0，因为
12
sinB≠0，所以cosC＝－
2
，又03
π。由S＝3c
113ab
＝
2
absinC＝
2
ab×
2
，得c＝
4
。由余弦定理得，c
2＝a
2
＋b
2
－
2abcosC＝a
2
＋b< br>2
＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，

ab

2
所以

4

≥3ab，得ab≥48，所以ab的最 小值为48。故选C。

答案 C




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