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2020年高考数学：正弦定理的常见变形及推广
（
1
）已知
△
ABC
中，

A
=60
，
a3
,
则
A
．
1
C
．












a+b+c


sinA+sinB+sinC






B
．
2
D
．无法求解

3

（
2
）已知△
ABC
中，

B
=45
，
b23
，则其外接圆半径等于

A
．
23

C
．
3

















B
．
6

D
．无法求解

（< br>3
）在
△ABC
中，若
A:B:C
1
∶
2
∶
3
，则
a
∶
b
∶
c
＝

A
．
1
∶
2
∶
3













B
．
3
∶
2
∶
1
D
．
2
∶
3
∶
1 C
．
1
∶
3
∶
2
【参考答案】（
1
）
B
；（
2
）
B
；（
3
）C
．

【试题解析】（
1
）根据正弦定理的变形，可得
abca
2
．故选
B
．

sinAsinBs inCsinA
（
2
）根据正弦定理的推广，可得
b23
26 2R
，即
R6
，

sinBsin45
故
△< br>ABC
的外接圆的半径为
6
，故选
B
．

（
3
）设
A
＝
k
，
B
＝
2k
，
C
＝
3k
，由
A+B+C＝
，
k
＝< br>30°
，

180
，得
6k
＝
180°

，
C＝
90°
∴
A
＝
30°
，
B
＝
60°
，∴
a
∶
b
∶
c
＝
sin A
∶
sin B
∶
sin C
＝
1
∶
3
∶
2
．故选
C
．
【解题必备】正弦定理的常见变形及推广如下：

（
1
）
s inAasinCcsinBb
,,,asinBbsinA,asinCcsinA,bs inCcsinB
．

sinBbsinAasinCc
（
2）
abcabacbcabc

sinAsinBsinC sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinAsinBsinC
．

（
3
）
a:b:csinA:sinB:sinC
．
< /p>

abc
2R
，其中
R
为
△ABC
外接圆的半径．

sinAsinBsinC
abc
===2R
的两种变形的应用：

（
5
）
sinAsinBsinC
（
4
）正弦定理 的推广：
①（边化角）
a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC
；< br>
②（角化边）
sinA
abc
,sinB,sinC
．

2R2R2R
熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的 效果．


1
．在
△ABC
中，角
A
，< br>B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c< br>，若
A60
,
a
的外接圆的面积为

A
．
3
，则
△ABC


2



















B
．
2

3
C
．

D
．
4

2
．在
△ABC
中，角
A，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，c
，若
△ABC
的外接圆的半径是
3
，
a3
，则
A

A
．
30
















B
．
60

D
．
30
或
150
C
．
60
或
120

3
．
在
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
若
则
△ABC
中最 长的边是

A
．
a

C
．
c





















B
．
b

sinAcosBcosC

，
abc
D
．
b或c

4
．已知
△ABC
的外接圆的半径
R33
cm
，
A
＝
60°
，则< br>BC
边的长为
______________

cm
．


1
．【答案】
C
【解析】由
2
．【答案】
D
a
2R
得
R1
，所以
△ABC
的外接圆的面积为

，故选
C
．

sinA

【解析】根据正弦定理，得
aa31
2R
，
sinA
，

sinA2R62
∵
0A180
，∴
A30
或
A150
．故选
D
．

3
．【答案】
A
【解析】由正弦定理可知
sinBcosB
，
sinCcosC
，所以
BC45
，

故
A90
，所以
a
为最长的边．故选
A．

4
．【答案】
9

【解析】根据正弦定理的推广可 知
BC
2R
，所以
sinA
BC2RsinA
63


3
9
cm
．

2