乞巧节的习俗-三八祝福语

2020年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）
数学（理科）参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的 主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准指定相应的
评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一部分 解答未改变该题的内容和难度，可视影响的
程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部
分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．B 2．C 3．A 4．D 5．A 6．A
7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
13．
x
2
2y
14．
16
15．

16．
{1,3}

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
1 7．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换
等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转 化思想、
函数与方程思想等．满分12分．
1

解：（
1
）因为
cosBDC
，
sin
2
BDCcos
2
BDC1
，
7
43
.……………………………………2
分

7

在
BDC
中，
C=,DBC CBDC
，

3
所以
sinBDC
所以
sinDBCsin(BDCC)
…………………………………………………………3分

sinBDCcosCcosBDCsinC
…………………… ………………………………4
分

4311333
. …………………………………………………………5
分


72721 4
CDBD

（
2
）在
BDC
中，由正弦定理得 ，
…………………………………6
分

sinDBCsinC
< br>3
即
33
14
3
，解得
BD7
.………… ………………………………………………8
分

2

33
因 为
ABDDBC
，
sinDBC
，

2
14
理科数学答案与评分细则 第1页 共10页

BD< /p>

所以
cosABD

33
，
……………9< br>分

14
在
ABD
中，
AB33
，根据余弦定理，

AD
2
AB
2
BD
2
2ABBDcos ABD
…10
分

(33)
2
7
2
 2337
33
49

14
解得
AD7
．
…………………………12
分

18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基
础知 识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满
分12分．
解：
解法一：
（1）当点
N
为棱
BC
的中点时，符合题目要求，………1分
下面给出证明.
分别连结
NH
，
ND

.
在
HNC
中，
NH
22
D'
A'
B'
C'
D
A
H
B
N
C
NC
2
CH
2
2NCCHcos
2

3
3

所以
HCNCHN
，因此
HNC

2
，即
NHBC
，…………2分
因为
D'
在底面上的投影
H
恰为
CD
的中点，
所以
D

H
平面
ABCD
，
又
BC
平面
ABCD
，所以
D

HBC
，…… ……………3分
又
NHBC
，
D

HINHH
，
D

H,NH
平面
D

HN
,
所以
BC
平面
D

HN
,
因此，点< br>N
即为所求，平面
D

HN
即为

.……… …………5分
（2）证明：由题（1）知可得
HNBC
,
HNDB
,
ADBC
，
所以
ADBD
,…………………6分
uuuruuur
分别以
DA,DB
为
x,y
轴的正方向，以过D
点垂直于平面
ABCD
的方向为
z
轴，建立空
理科数 学答案与评分细则 第2页 共10页

间直角坐标系
Dxyz
，
HD

2 3
，
H(1,3,0)
，
B(0,23,0)
，
D

(1,3,23)
，
C(2,23,0)
，
D(0,0,0 )
，
C

(3,33,23)
，.…………………7分
uuuuruuuur
所以
D

P

D

C



(2,23,0)(2

,2 3

,0)

易得平面
AHB
的一个法向量为
m (0,0,1)
.……………8分
uuuruuuur
HB(1,3,0),HD

(0,0,23)
A'
z
D'
B'
C'
，
D
x
A
H
B
N
uuuruuuuruuuur

HPHDDP(2

,23

,23)

设
n(x,y,z)
为平面
PBH
的一个法向量，则： C
y
uuur



nHB0

x3y0
，即得，
r

uuu




nHP0

2

x23

y23z 0
令
x3
，得
n(3,1,2

)
，.… ………………10分
因为二面角
PBHA
为
3

|m n|2
3
，所以
|cosm,n||cos|
，即
| |
，
4
4
|m||n|2
所以
|2

|
44

2

2
，又因为二面角
PBHA< br>的大小为钝角，故

1
.
.
………………12
分< br>
2
解法二：
（1）当点
N
为棱
BC
的中 点时，符合题目要求，.…………………1分
下面给出证明.
分别连结
NH
，
ND

，
BH
.
因为
D'
在底面上的投影
H
恰为
CD
的中点，所以
D

H
平面
ABCD
，
又
BC
平 面
ABCD
，所以
D

HBC
..…………………2分
在
HBC
中，
HCBC2,HCB

3
,故
HBC
为等边三角形，
又点
N
为棱
BC
的 中点，所以
NHBC
，.…………………3分
理科数学答案与评分细则 第3页 共10页

又
D

HBC
，
D

HINHH
，
D

H,NH
平面
D

HN
,
所以
BC
平面
D

HN
,
因此，点< br>N
即为所求，平面
D

HN
即为

..…… ……………5分
（2）证明：连结
HA
，
在平行四边形
ABCD
中，
因为
ADDHHCBC2, HCB
所以
DHA

3
,ADH
2
< br>,
3

632
uuuruuuruuuur
分别以
HA,HB,HD

为
x,y,z
轴的正方向建立空间直角坐标系
H xyz
，
,BHC

，故
AHB

， 即
HAHB
,…………………6分
HD

23
，H(0,0,0)
，
A(23,0,0)
，
B(0,2,0)
，
D

(0,0,23)
，
C

(23,2,23 )
，
uuuuruuuur
D

P

D

C



(23,2,0)(23

, 2

,0)
……7分
易得平面
AHB
的一个法向量为
m(0,0,1)
……8分
z
设
n(x,y,z)
为平面
PBH
的一个法向量，则：
uuur



nHB0

2y0
，即，
r

uuu




23
x2

y23z0

nHP0
令
x1
，得
n(1,0,

)
，…………………9分
因 为二面角
PBHA
为
x
A
D'
A'
B'
C'
D
H
B
N
C
y
3
，
4
所以
|cosm,n||cos
3

|mn|2
|
，即
||
，
4
|m||n|2
所以
|
|
1

2

2
，又因为二面角
P BHA
的大小为钝角，解得

1
.……………12
分

2
（其他正确建系方法酌情相应给分）




理科数学答案与评分细则 第4页 共10页

19．本题主要考查直线椭 圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推
理论证能力，考查函数与方程思想、化归 与转化思想，考查考生分析问题和解决问题
的能力，满分12分．
2
x
2< br>y
2
解：（1）因为椭圆
C:
2

2
1( ab0)
的离心率为，
2
ab
c2
，即
2c
2
a
2
，又
a
2
b
2
c
2
，所以
bc
，…………………………… 1分

a2
1
因为
MF
1
F
2
面积的最大值为2，所以
2c b2
，即
cb2
，
2
所以
e
又因为< br>bc
，所以
bc2
，
a
2
4
，…… ………………………… 3分
x
2
y
2
故椭圆
C
的方程为
1
.……………………………… 4分
42
（2）由（1）得
F
2
(2,0)
，
当直线
l
的斜率为
0
时，符合题意，………………… 5分
当直线
l
的斜率不为
0
时，
x
2
y2
设直线
l
的方程为
xty2
，代入
1
消去
x
整理得：………………… 6分
42
(t
2
2 )y
2
22ty20
，易得
(22t)
2
8( t
2
2)16t
2
160
，…………………7分

22t
y
1
y
2

2


t2
，………………… 8分 设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
，则


yy
2

12
t
2
2

记直线
P A,QA
的斜率分别为
k
PA
,k
QA
，则
k< br>PA
k
QA

y
1
y
2
y
1
y
2
2tyy2(y
1
y
2
)
 
12
x
1
22x
2
22ty
1
2ty
2
2(ty
1
2)(ty
2
2)
 4t4t
()
22
t2t2
0
(ty
1
2)(ty
2
2)
……………11分
所以
k
PA< br>k
QA
，因此直线
PA
与直线
QA
关于
x
轴对称．……………………………… 12分




理科数学答案与评分细则 第5页 共10页

20．本小题主要考查导数 及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能
力、创新意识等，考查函数与方程思想、 化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思
想等．满分12分．
解
:
（
1
）定义域为
(0,)
，
< br>1ax
2
(a1)x1(ax1)(x1)
.………………………… …1
分

f

(x)ax(a1)
xxx
当
a0
时，
ax10
，

所以函数
f(x)
的单调递增区间为
(0,1)
，递减区间为
(1,)
；
………………………… 2
分

1
当
a0
时，令
f

(x)0
，得
x1
或
x
，< br>………………………………………3
分

a
(x1)
2
0
恒成立，

当
a 1
时，
f

(x)
x
所以函数
f(x)
的单调递增区间为
(0,)
，无减区间；
…………………………………4
分

1
当
a1
时，
01
，
< br>a
1


1

所以函数
f(x)
的单调递增区间为

0,

和
(1,)
，单调递减区 间为

,1

；
………5
分

a


a

当
1a0
时，

1< br>1
，

a
1


1


所以函数
f(x)
的单调递增区间为

0,1

和

,

，单调递减区间为

1,

．
………6
分

a


a


综上所述，当
a0
时，函数
f(x)
的单调递增区间为
( 0,1)
，递减区间为
(1,)
；

当
a1
时，函数
f(x)
的单调递增区间为
(0,)
，无减区间；

1


1

当
a1
时，函数
f(x)
的单调递增区间为

0,

和
(1,)< br>，单调递减区间为

,1

；

a
< br>
a

1


1


< br>当
1a0
时，函数
f(x)
的单调递增区间为

0,1

和

,

，单调递减区间为
< br>1,

．
a
a


(2)
设
h(x)6x(1lnx)2x
3
3x
2
5
，< br>

h

(x)666lnx6x
2
6x 6(lnxx
2
x)
，
…………………………………7
分< br>
由（
1
）可知，当
a2
时，
f(x)lnx x
2
x
，

且
f(x)
的单调递增区间为
(0,1)
，递减区间为
(1,)
，

所以
h

(x)
的单调递增区间为
(1,)
，递减区间为
(0,1)
，
…………………………………8
分

故
h
(x)h

(1)0
，所以
h(x)
在
(0, )
上单调递增
. …………………………………9
分

理科数学答案与评分细则 第6页 共10页

又
h(1)6(1ln1)2350
，

所以当
0x1
时，
h(x)0
，
x1
时，
h(x)0
；
…………………………………10
分

又当
0x1
时，
1x
2
0
，
x1
时，1x
2
0
，
…………………………………11
分

6x(1lnx)2x
3
3x
2
7
0
. .………………………………………12
分

所以
2
1x
21．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、正态分布、随机事件的概率、数列及其性
质等基础知识 ，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统
计思想、化归与转化思想．满 分12分．
解：（1）直方图可得
x

0.012540.05 80.1375120.375160.12520

411.8
… ………… 2分
∵

x11.8
，

3.2
，

2

18.2
∴旅游费用支出不低于
1820< br>元的概率为
P(x

2

)
1P(

2

x

2

)10.9544< br>0.0228
，
…………… 3
分
22
∴
5000.02211.4
，
估计
2019< br>年有
11.4
万的游客在本市的年旅游费用支出不低于
1820
元．< br>…………… 4
分

17
1
，
………………… ……………………………………………5
分

（
2
）（
i< br>）
P
3
88
P
4
1
2113

，
……………………………………………………………………6
分

1616
1
1

7

ab,
PaPP bP,
210



3

84
4
………………7
分

所以

即

1
1 371

PaPPbP,

ab,
4321


4
4

168
1

a,


2
………8
分

解得

1
< br>b.

8

（
i
）数列

Pn

从第三项起单调递减
. ……………9
分

111
P
n
P
n1
P
n2
P
n3< br>(n3)
，

248
1111

1

1


故
P
n1
P
n


P
n
 P
n1
P
n2



P
n1P
n2
P
n3


4848

2

2

理科数学答案与评分细则 第7页 共10页

1

11111
1111
< br>1
P
n
P
n1
P
n2
P
n3


P
n1
P
n2
P
n 3

P
n1
P
n2
P
n3

2

24888
2488

4
1
P< br>n3

16

又
P
n
0
，所 以

1
P
n3
0
，
……………………………… 10
分

16
即从第三项起数列
{P
n
}
单调递减
. 由此，可知随着抽查人数
n
的增加，事件
“
不连续
3
人 的旅游费用支出超出

”
的可能性会
越来越小
. (
即最终 会出现连续
3
人的旅游费用支出超出

这一事件
).………………… 12
分


22．选修
44
；坐标系与参数方程
本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用
知识和运算求解能 力． 满分10分．



（1）因为点
A
的极坐标为< br>
1,

，直线
l
的极坐标方程为

cos

2

sin

80
，

2


x

cos

由

， ………………………………………………………………………………2分
y

si n


得点
A
的直角坐标为

0,1
< br>，…………………………………………………………………3分
直线
l
的直角 坐标方程为
x2y80
．……………………………………………………4分
x y
解法一：（2）设
B(x,y)
，则由条件知点
(,)
在曲线C
1
上，所以……………………6分
2
3







x
cos



x2cos

2
，即

，…………………………………… ……………………7分
y
y3sin



sin< br>
3

3sin

1

cos

,
又因为
P
为
AB
中点，所以
P

，……………………………………8分
2


72sin



cos

3sin

7
6

，…………………………9分 则点
P
到直线< br>l
距离为

55




当< br>sin




1
时，
72sin



取得最小值
5
，故
AB
中点
P
到直线
l
距离的最小值
6

6
< br>为
5
．………………………………………………………………………………………10分
理科数学答案与评分细则 第8页 共10页

xy
解法二：（2 ）设
B(x,y)
，则由条件知点
(,)
在曲线
C
1
上，…………………………6分
2
3







x
cos



x2cos< br>
2
，即

，…………………………………………………………7分
y
y3sin



sin

3028
5

6
5
则点
A
到直线
l
的距离为，…………………………………………………8分


84s in



2cos

23sin

8
6

点
B
到直线
l
距离为，
< br>55




当
sin

< br>

1
时，
84sin




取得最小值
4
，
6

6

4故点
B
到直线
l
距离的最小值为，…………………………………………… ………9分
5
又因为点
P
为
AB
中点，则点
P< br>到直线
l
距离的最小值为
5
．………………………
10
分

23．选修
45
：不等式选讲
本小题考查含绝对值、参数 的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、
推理论证能力，考查化归与转化思想等． 满分10分．
解法一：（1）存在实数
x
使得
f

x
3
成立等价于存在实数
x
使得
xmx12
成立
，
而
xmx1xmx1m1
，………………………… ………………………2分
故存在实数
x
使得
f

x

3
成立等价于
m13
，………………………………………3分 < br>解得
4m2
，……………………………………………………………………………4 分
又因为
mN
*
，则
m1
……………………………… ……………………………………5分
（2）由（1）得m1，故

4
< br>1


1

1
，
1
1
，…………………………………………………………………………

6
分

4

1
由

,

0
，

所以


故

14

10
，

4

14

1
1
，

1
，……………………………………………… ………………………
7
分

4
理科数学答案与评分细则 第9页 共10页
所以








11151

159

1

2





，……………… 9分
4

144

144

4

14 4

33
9
当且仅当

,


时取最小值.……………………………………………………10分
42
4
解法二：（
1
）同解法一；

（
2
）由

4

1


1
< br>1
，

得
4

4



0
，

11
1
，即………………………………… ……………………………………………
7
分

4

由

,

0
，


11

1

59


 12
……………………………
9
分

所以






4

44

4

44

33
9
当且仅当

,

时取最小值
.
……………………………………………………
10
分

4
42



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