财务统计-江苏省劳动合同条例

2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）



一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有 一项是符合题目要求的.

1．（5分）若集合A={2，4，6，8}，B={x|x
2
﹣9x+18≤0}，则A∩B=（ ）

A．{2，4} B．{4，6} C．{6，8} D．{2，8}

2．（5分）若复数
A．﹣3 B．﹣2 C．2
（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（ ）

D．3

3．（5分）袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，
“6”． 现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率
是（ ）

A． B． C． D．

4．（5分）设a=0.2
3
，b=lo g
0.3
0.2，c=log
3
0.2，则a，b，c大小关系正确的是（ ）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a

5．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，
c=2， 则△ABC的面积为（ ）

A． B． C． D．

，则该双曲线的离心率6．（5分）若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的
为（ ）

A． B． C．2 D．

7．（5分）将函数y=sin（6x+< br>向右平移
A．
）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再
个单位，得到的函 数的一个对称中心（ ）

B． C．（） D．（）

8．（5分）函数f（x）=•cosx的图象大致是（ ）

第1页（共25页）

A． B． C．
D．

9．（5分 ）祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上
提出了体积计算的原理：“幂势既 同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几
何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的 体积相等．此即祖暅原
理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何< br>体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平
面截该几何体， 则截面面积为（ ）


A．4π B．πh
2
C．π（2﹣h）
2
D．π（4﹣h
2
）

10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（ ）

第2页（共25页）

A．335 B．336 C．337 D．338

11．（5分）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A< br>1
B
1
C
1
D
1
，球O与该正方体的各个面
相切，则平面ACB
1
截此球所得的截面的面积为（ ）

A． B． C． D．

12．（5分）若f（x）=sin
3
x+acos2
x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范
围是（ ）

A．（0，）


二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13．（5分）已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|= ．

14．（5分）已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）= ．

B．（0，] C．[，+∞） D．（0，+∞）

15．（5分）直线ax﹣y+ 3=0与圆（x﹣2）
2
+（y﹣a）
2
=4相交于M，N两点，若
|MN|≥2，则实数a的取值范围是 ．

第3页（共25页）

16．（5分）若实数x，y满足不等式组
值为12，最小值为0，则实数k= ．



，目标函数z=kx﹣y的最大
三、解答题：解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）设S
n
为数列{a
n
}的前n项和，且S
n
=2a
n
﹣n+1（n∈N
*< br>），b
n
=a
n
+1．

（1）求数列{b
n
}的通项公式；

（2）求数列{nb
n
}的前n项和T
n
．

18 ．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与
AC相交于点G， AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．

（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；

（2）若∠EAG=60°，求三棱锥F﹣BDE的体积．


19．（12 分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民
的月用电量划分为三档，月用电 量不超过200度的部分按0.5元度收费，超过
200度但不超过400度的部分按0.8元度收费， 超过400度的部分按1.0元度
收费．

（1）求某户居民用电费用y（单位：元） 关于月用电量x（单位：度）的函数解
析式；

（2）为了了解居民的用电情况，通过 抽样，获得了今年1月份100户居民每户
的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这 100户居民中，今
年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；

（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民
用户用电量的概率， 且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用
第4页（共25页）

户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．

20．（12分）已成椭圆C：
顶点的距离为
+=1（a＞b＞0）的离心率为．其右顶点 与上
，过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M是AB中点，且Q点的坐标为（，0），当QM ⊥AB时，求直线l的
方程．

21．（12分）已知函数f（x）=（ax+1）l nx﹣ax+3，a∈R，g（x）是f（x）的导
函数，e为自然对数的底数．

（1）讨论g（x）的单调性；

（2）当a＞e时，证明：g（e
﹣
a
）＞0；

（3）当a＞e时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由．



[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中xOy中，曲 线E的参数方程为
参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出曲线E的普通方程和极坐标方程；

（2）若直线l与曲线E相交于点A、 B两点，且OA⊥OB，求证：
为定值，并求出这个定值．



[选修4-5：不等式选讲]

23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x．

（1）当a=1，解不等式f（x）＜g（x）；

第5页（共25页）

（α为
+

（2）对任意x∈[﹣1，1]，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．




第6页（共25页）

2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）若集合A={2，4，6，8} ，B={x|x
2
﹣9x+18≤0}，则A∩B=（ ）

A．{2，4} B．{4，6} C．{6，8} D．{2，8}

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．

【解答】解：∵ A={2，4，6，8}，B={x|x
2
﹣9x+18≤0}={x|（x﹣3）（x﹣6） ≤
0}={x|3≤x≤6}，

∴A∩B={4，6}，

故选：B．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．



2．（5分）若复数
A．﹣3 B．﹣2 C．2
（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（ ）

D．3

，又根据复数（a∈R）【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数
为纯虚数，列出方程组，求解即 可得答案．

【解答】解：
∵复数
==，

（a∈R）为纯虚数，

∴，

解得：a=﹣2．

故选：B．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础
题．



第7页（共25页）

3．（5分 ）袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，
“6”．现从中随机选 取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率
是（ ）

A． B． C． D．

【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数< br>字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能
构成等差数列的概 率．

【解答】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4 ”，
“6”，

现从中随机选取三个球，

基本事件总数n==4，

所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：

（2，3，4），（2，4，6），共有2个，

∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．

故选：C．
< br>【点评】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可
能事件概率计算公 式的合理运用．



4．（5分）设a=0.2
3
，b= log
0.3
0.2，c=log
3
0.2，则a，b，c大小关系正确的是 （ ）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：a=0.23
=0.008，b=log
0.3
0.2＞log
0.3
0. 3=1，c=log
3
0.2＜1，

∴b＞a＞c，

故选：B．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计 算能力，
属于基础题．



5．（5分）△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，
第8页（共25页）

c=2，则△ABC的面积为（ ）

A． B． C． D．

【分析】由题意cosC=，a=1，c=2，余弦定理求解b，正弦定理在求解sin B，那
么△ABC的面积即可．

【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2，

那么：sinC=
cosC==
，

，解得b=2．

=
，可得sinB=
=
．

，


那么△ABC的面积S=
或者：由
那么△ABC的面积
故选：A．

【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理的运用，属于基础题．



6．（5分）若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的
为（ ）

A． B． C．2 D．

，则该双曲线的离心率
【分析】利用双曲线的焦点到渐近线的距 离是焦距的
率即可．

【解答】解：设双曲线方程：
坐标（c，0），

双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的
可得：，

．

，

，列出关系式求解离心
，可得渐近线方程为：bx﹣ay=0，焦点整理得：5b
2
=4c
2
，即c
2
=5a
2< br>，解得e=

第9页（共25页）

故选：D．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．



7．（5分）将函数y=sin（6x+
向右平移
A．
）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再
个单位，得到的函数的一个对称中心（ ）

B． C．（） D．（）

【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的 解析式，再根据三角函数
的性质进行验证：若f（a）=0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项．

【解答】解：函数
图象的解析式为
再向右平移
当x=

的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到
个单位得到图象的解析式为 =sin2x

时，y=sinπ=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心．

故选：A．

【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三 角函数
中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．



8．（5分）函数f（x）=•cosx的图象大致是（ ）

A． B． C．
第10页（共25页）

D．

【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．

【解答】解：f（﹣x）=
∴f（x）为奇函数，

∴函数f（x）的图象关于原点对称，

当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，

•cos（﹣x）=•cosx=﹣f（x），

∴f（x）＞0在（0，
故选：C．

）上恒成立，

【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值，属于
基础题



9．（5分）祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上
提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几
何体在同高处 截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原
理．利用这个原理求球的体积时，需要 构造一个满足条件的几何体，已知该几何
体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（ 0＜h＜2）的平
面截该几何体，则截面面积为（ ）


第11页（共25页）

A．4π B．πh
2
C．π（2﹣h）
2
D．π（4﹣h
2
）

【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个 圆锥，得到截面为圆环，
明确其半径求面积．

【解答】解：由已知得到几何体为一个 圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，
截面为圆环，小圆半径为r，大圆半径为2，设小圆半径为r ，则
所以截面圆环的面积为4π﹣πh
2
=π（4﹣h
2
）；

故选：D．

【点评】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法；关键是 明确几何体
形状，然后得到截面的性质以及相关的数据求面积．



10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（ ）

，得到r=h，

A．335 B．336 C．337 D．338

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i的值．

【解答】解： 模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中
第12页（共25页）

能同时被2和3整除的数的个数i，

由于：2017=336×6+1，

故程序框图输出的i的值为337．

故选：C．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过 程，正
确得出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．



1 1．（5分）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
，球O与该正方体的各个面
相切，则平面ACB
1
截此球所得 的截面的面积为（ ）

A． B． C． D．

【分析】求出平面AC B
1
截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面ACB
1
截此
球所 得的截面的面积．

【解答】解：由题意，球心与B的距离为
=
=，B到平面 ACB
1
的距离为
﹣=，∴平，球的半径为1，球心到平面ACB
1
的距离为
=
=
，

，

面ACB
1
截此球所得的截面的圆的半径为
∴平面ACB
1
截此球所得的截面的面积为
故选：D．

【点评】本题考查平面ACB
1
截此球所得的截面的面积，考查 学生的计算能力，
属于中档题．



12．（5分）若f（x）= sin
3
x+acos
2
x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范< br>围是（ ）

A．（0，） B．（0，] C．[，+∞） D．（0，+∞）

【分析】设t=sinx，由x∈（0，π）和正弦函数的性质求出t的范 围，将t代入f
（x）后求出函数的导数，求出临界点，根据条件判断出函数的单调性，由导数
与函数单调性的关系列出不等式，求出实数a的取值范围．

【解答】解：设t=sinx，由x∈（0，π）得t∈（0，1]，

第13页（共25页）

∵f（x）=sin
3
x+acos
2
x=sin
3
x+a（1﹣sin
2
x），

∴f（x）变为：y=t
3
﹣at
2
+a，

则y′=3t
2
﹣2at=t（3t﹣2a），

由y′=0得，t=0或t=，

∵f（x）=sin
3
x+aco s
2
x在（0，π）上存在最小值，

∴函数y=t
3
﹣a t
2
+a在（0，1]上递减或先减后增，

即＞0，得a＞0，

∴实数a的取值范围是（0，+∞），

故选：D．

【点评】本题 考查正弦函数的性质，导数与函数单调性的关系，以及构造法、换
元法的应用，考查化简、变形能力．< br>


二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13．（5分）已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|= 5
【分析】⊥，可得
．

=0，解得x．再利用向量模的计算公式即可得出．

=x+6=0，解得x=﹣6．

【解答】解：∵⊥，∴
∴=（﹣5，5）．

=5
．

．

∴|+|=
故答案为：5
【点评】本题考查了向量垂直与数量积 的关系、向量模的计算公式，考查了推理
能力与计算能力，属于基础题．



14．（5分）已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）= ．

【分析】由已知利用诱导公式可求sin（α﹣
三角函数基本关系式计算可解．
【解答】解：∵cos（α+）=sin[﹣（α+
）=，结合角的范围，利用同角
）]═ sin（﹣α）=﹣sin（α﹣）
第14页（共25页）

=﹣，

∵α是锐角，α﹣
∴cos（α﹣
故答案为：
）=
．

∈（﹣，），

==．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三 角函数基本关系式在三角函数化简求
值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．



15．（5分）直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣2）
2
+（y﹣a）2
=4相交于M，N两点，若
|MN|≥2，则实数a的取值范围是 a≤﹣ ．

【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆
心到直线的距离 d，利用|MN|≥2，建立不等式，即可得到a的范围．

【解答】解：由圆的方程得：圆心（2，a），半径r=2，

∵圆心到直线ax﹣y+3=0的距离d=，|MN|≥2，

∴
解得：a≤﹣，

，

故答案为：a≤﹣．
< br>【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到
直线的距离公式， 垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．



16．（5分）若实数x，y满足不等式组
值为12，最小值为0，则实数k= 3 ．

【分析】先画出可行域，得到角点坐标．利用k与0的大小，分类讨论，结合目
标 函数的最值求解即可．

，目标函数z=kx﹣y的最大
第15页（共25页）

【解答】解：实数x，y满足不等式组
B（1，﹣2），C（4，0）．

的 可行域如图：得：A（1，3），
①当k=0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0， 不满足题意．

②当k＞0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z =kx﹣y过
C（4，0）时，Z取得最大值12．

当直线z=kx﹣y过A（1，3）时，Z取得最小值0．

可得k=3，满足题意．

③当k＜0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最 小值为0，当直线z=kx﹣y过
C（4，0）时，Z取得最大值12．可得k=﹣3，

当直线z=kx﹣y过，B（1，﹣2）时，Z取得最小值0．可得k=﹣2，

无解．

综上k=3

故答案为：3．


【点评】本题主要考查简单线性规划以及分类讨论思想．解决本题计算量较大．属
于中档题．



三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1 7．（12分）设S
n
为数列{a
n
}的前n项和，且S
n
=2a
n
﹣n+1（n∈N
*
），b
n
=a
n+1．

（1）求数列{b
n
}的通项公式；

（2）求数列{nb
n
}的前n项和T
n
．

第16页（共25页）

【分析】（1）求出数列的首项 ，利用通项与和的关系，推出数列b
n
的等比数列，
求解通项公式．

（2）利用错位相减法求解数列的和即可．

【解答】解：（1）当n=1时，a1
=S
1
=2a
1
﹣1+1，易得a
1
=0， b
1
=1；

当n≥2时，a
n
=S
n
﹣ S
n
﹣
1
=2a
n
﹣n+1﹣[2a
n
﹣
1
﹣n+1+1]，

整理得a
n
=2a
n
﹣
1
+1，

∴b
n
=a
n
+1=2（a
n
﹣
1
+1 ）=2b
n
﹣
1
，

∴数列{b
n
}构成 以首项为b
1
=1，公比为2等比数列，

∴数列{b
n
} 的通项公式b
n
=2
n
﹣
1
，n∈N
•
；

（2）由（1）知b
n
=2
n
﹣
1
，则 nb
n
=n•2
n
﹣
1
，

则T
n
=1×2
0
+2×2
1
+3×2
2
+…+n•2
n
﹣
1
，①

∴2T
n
=1×2+2×2
2
+3×2
3
+…+n×2
n
，②

由① ﹣②得：﹣T
n
=2
0
+2
1
+2
2
+2
3
+…+2
n
﹣
1
﹣n•2
n
=
∴T
n
=（n﹣1）2
n
+1．

【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．



18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与
AC 相交于点G，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．

=2
n
﹣1﹣n•2
n
，

（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；

（2）若∠EAG=60°，求三棱锥F﹣BDE的体积．


【分析】（1 ）连接EG，说明BD⊥AC，证明BD⊥EG，推出BD⊥平面ACFE，然后
证明平面ACEF⊥平 面ABCD；

（2）说明点F到平面BDE的距离为点C到平面BDE的距离的两倍，利用V
F
﹣
BDE
=2V
C
第17页（共25页）

﹣
BDE
，转化求解三棱锥F﹣BDE的体积即可．

【解答】解：（1）证明：


连接EG，

∵四边形ABCD为菱形，

∵AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，

在△EAD和△EAB中，

AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，

∴△EAD≌△EAB，

∴ED=EB，

∴BD⊥EG，

∵AC∩EG=G，

∴BD⊥平面ACFE，

∵BD⊂平面ABCD，

∴平面ACEF⊥平面ABCD；

（2）∵EF∥GC，EF=2GC，∴点F到平 面BDE的距离为点C到平面BDE的距离的
两倍，

所以V
F
﹣< br>BDE
=2V
C
﹣
BDE
，

作EH⊥AC，∵平面ACEF⊥平面ABCD，EH⊥平面ABCD，

∴V
C
﹣
BDE
=V
E
﹣
BCD
=
∴三棱锥 F﹣BDE的体积为．

=，

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理 以及性质定理的应用，几何体的体
积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．



19．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民
第18页（共25页）

的月用电量划分为三档，月用电量不超 过200度的部分按0.5元度收费，超过
200度但不超过400度的部分按0.8元度收费，超过4 00度的部分按1.0元度
收费．

（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月 用电量x（单位：度）的函数解
析式；

（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样， 获得了今年1月份100户居民每户
的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100 户居民中，今
年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；

（3） 在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民
用户用电量的概率，且同组 中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用
户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．< br>

【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出．

（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．

（3）由题意可知X可取 50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图
的性质即可得出．

【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y=0.5x；

当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，

当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，
所以y与x之间的函数解析式为：y=．

（2）由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，
结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，

∴a=0.0015，b=0.0020．

第19页（共25页）

（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．

当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，

当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，

当x= 250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，

当 x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，
当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0 .15，

当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410 ，∴P（y=410）=0.05．

故Y的概率分布列为：

Y

25

75

140

220

310

410

P

0.1

0.2

0.3

0.2

0.15

0.05

所以随机变量Y的数学期望

EY=25×0.1+75 ×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．

【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布
列及其数学期望 ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．



20．（12分）已成椭 圆C：
顶点的距离为
+=1（a＞b＞0）的离心率为．其右顶点与上
，过点P（0， 2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2 ）设M是AB中点，且Q点的坐标为（，0），当QM⊥AB时，求直线l的
方程．

【分析】（1）椭圆的离心率为
求出a=，b=
．其右顶点与上顶点的距离为，列出方程组，< br>，由此能求出椭圆C的方程．

（2）若直线l的斜率不存在，直线方程为x=0；若直 线l的斜率存在，设其方程
为y=kx+2，与椭圆方程联立，得（2+3k
2
）x< br>2
+12kx+6=0，由此利用根
的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件能求 出直线l的方程．

第20页（共25页）

【解答】解：（1）∵椭圆C：
其右顶点与上顶点的距离为
+
，

=1（a＞b＞0）的离心率为．

∴由题意知：，解得a=，b=，

∴椭圆C的方程为：．

（2）①若直线l的斜率不存在，此时M为原点，满足QM⊥AB，∴方程为x=0；

②若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+2，A（x
1
，y
1
），B （x
2
，y
2
），

将直线方程与椭圆方程联立
△ =72k
2
﹣48＞0，
设M（x
0
，y
0
），则
由QM⊥AB，知
，
，化简得3k
2
+5k+2=0，

，得（2+3k
2
）x
2
+12kx+6=0，

，

，

解得k=﹣1或k=﹣，将结果代入△=72k
2
﹣48＞0验证，舍掉k=﹣，

此时，直线l的方程为x+y﹣2=0，

综上所述，直线l的方程为x=0或x+y﹣2=0．

【点评】本题考查椭圆方程的 求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要
认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭 圆等知识点的合理运用．



21．（12分）已知函数f（x）=（ax +1）lnx﹣ax+3，a∈R，g（x）是f（x）的导
函数，e为自然对数的底数．

（1）讨论g（x）的单调性；

（2）当a＞e时，证明：g（e
﹣
a
）＞0；

（3）当a＞e时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由．

第21页（共25页）

【分析】（1）求导，由导数与函数单调性的关系，即可求得g（x）的单调区间；

（2）由g（e
﹣
a
）=﹣a
2
+e
a
，构造函数 h（x）=﹣x
2
+e
x
，求导，当x＞e时，h′（x）
＞0，函 数单调递增，即可求得h（x）=﹣x
2
+e
x
＞﹣e
2
+ e
e
＞0，

（3）由（1）可知，函数最小值为g（）=0，故g（x）恰 有两个零点x
1
，x
2
，
则可判断x
1
，x
2
是函数的极大值和极小值，由函数零点的存在定理，求得函数f
（x）只有一个零点．
【解答】解：（1）对函数f（x），求导得g（x）=f′（x）=alnx+，

g′（x）=﹣=，

①当a≤0时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上为减函数；

②当a＞ 0时，′（x）＞0，可得x＞，故g（x）的减区间为（0，），增区间
为（，+∞）；
< br>（2）证明：g（e
﹣
a
）=﹣a
2
+e
a
，设h（x）=﹣x
2
+e
x
，则h′（x）=e
x
﹣2x ，

易知当x＞e时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，

h（x） =﹣x
2
+e
x
＞﹣e
2
+e
e
＞0，< br>
∴g（e
﹣
a
）＞0；

（3）由（1）可知，当a＞e时，g（x）是先减再增的函数，

其最小值为g（）=aln+a=a（ln+1）＜0，

，g（e
﹣
a
）＞0，且e
﹣
a
＜＜而此时g（
点x
1
，x
2
，

）=1+，故g（x）恰有两个零
∵当x∈（0，x
1
）时，f′（x）=g（x）＞0；

当x∈（x
1
，x
2
）时，f′（x）=g（x）＜0；

当x∈（x
2
，+∞）时，

f′（x）=g（x）＞0，

∴f（x）在x
1
，x
2
两点分别取到极大值和极小值，且x
1
∈（0，），

由g（x
1
）=alnx
1
+=0，知a=﹣，

第22页（共25页）

∴f（x
1
） =（ax
1
+1）lnx
1
﹣ax
1
+3=lnx
1
+
∵lnx
1
＜0，∴lnx
1
+
题意，

≤﹣2，但当lnx
1
+
+2，

=﹣2时，lnx< br>1
=，则a=e，不合
所以f（x
1
）＜0，故函数f（x）的图象与 x轴不可能有两个交点．

∴函数f（x）只有一个零点．

【点评】本题考 查导数的综合应用，考查导数与函数的单调性及及的关系，考查
函数零点的判断，考查计算能力，属于中 档题．



[选修4-4：坐标系与参数方程]

22． （10分）在直角坐标系中xOy中，曲线E的参数方程为
参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系．

（1）写出曲线E的普通方程和极坐标方程；

（2）若 直线l与曲线E相交于点A、B两点，且OA⊥OB，求证：
为定值，并求出这个定值．
【分析】（1）曲线E的参数方程消去参数，能求出曲线E的普通方程，进而能求
出曲线E的极坐标 方程．

（2）不妨设设点A，B的极坐标分别为A（ρ
1
，θ），B（）， 从而得
+
（α为
到，由此能证明（定值）．

【解答】解：（1）∵ 曲线E的参数方程为
∴消去参数得曲线E的普通方程为
∴曲线E的极坐标方程为
∴所求 的极坐标方程为3ρ
2
cos
2
θ+4ρ
2
sin
2
θ=12．

，

（α为参数），

，

（2）证明：不妨设设点A，B的极坐标分别为A（ρ
1
，θ），B（），

第23页（共25页）

则，

即，

∴=，即（定值）．

【点评】本题考查参数方程、普通方程 、极坐标方程的互化，考查代数式和为定
值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意普通方程、极坐 标方程的互化公
式的合理运用．



[选修4-5：不等式选讲]

23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x．

（1）当a=1，解不等式f（x）＜g（x）；

（2）对任意x∈[﹣1，1]，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．

【 分析】（1）把a=1代入f（x）后化简f（x）＜g（x），对x分类讨论，分别去
掉绝对值求出x 的范围，最后再求并集可得答案；

（2）由条件求出g（x），由绝对值不等式的解法化简| x+a|＜3，求出a的表达式，
由x的范围和恒成立求出a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=1，f（x）=|x+1|，

由f（x）＜g（x）可得 |x+1|＜|x+3|﹣x，即|x+3|﹣|x+1|﹣x＞0，

当x≤﹣3时，原不等式等价于﹣x﹣2＞0，即x＜﹣2，∴x≤﹣3，

当﹣3＜x＜﹣1时，原不等式等价于x+4＞0，即x＞﹣4，∴﹣3＜x＜﹣1，

当x≥﹣1时，原不等式等价于﹣x+2＞0，即x＜2，∴﹣1≤x＜2，

综上所述，不等式的解集为（﹣∞，2）；

（2）当x∈[﹣1，1]时，g（x）=|x+3|﹣x=3，

∵对任意x∈[﹣1，1]，f（x）＜g（x）恒成立，

∴对任意x∈[﹣1，1]，|x+a|＜3恒成立，

第24页（共25页）

∴﹣3＜x+a＜3，即﹣3﹣x＜a＜3﹣x，当x∈[﹣1，1]时恒成立，

∴a的取值范围﹣2＜a＜2．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题 转化为求最值问题，以及分
类讨论思想，考查化简、变形能力．




第25页（共25页）