上海招考-房屋租赁合同常用版

2018届高三考前模拟数学（文科）

全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的 姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡
上。
2．作答选择题时，选出 每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题 指定的位置上，写在本试卷
上无效。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1. 集合
Axx
2
x20

，
Bxx1

，则
A(C< br>R
B)
=
（ ）

(A)
xx1

(B)
x1x2

(C)
xx1

(D)
x1x2


2．
设
z
(A)



1
i
（
i
为虚数单位），则

（ ）

z
1i
2
(B)
2
2
(C)
1
(D)
2

2
3．等比数列

a
n

中，
a
1
a
2
2
，
a
4a
5
4
，则
a
10
a
11
< br>（ ）
rr
rrrr
4. 已知向量
ab
，
ab2,
则
2ab
（ ）
(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64
(A)
22
(B)
2
(C)
25
(D)
5．下列说法中正确的是（ ）
(A) “
f(0)0
”是“函数
f(x)
是奇函数”的充要条件
2
(B) 若
p:x
0
R,x
0
x
0
10
，则
p:xR,xx10

10

2
(C) 若
pq
为假命题，则
p,q
均为假命题 1

1
”的否命题是“若


，则
sin

”
6262
6．已知输入实数
x12
，执行如 图所示的流程图，则输出的
x
是 （ ）
(D) “若


，则
sin



开始


输入
x

n=1
n=n+1 x=2x+1
n≤3
是
否
输出
x
结束
(A)
25
(B)
102
(C)
103
(D)
51

7．将函 数
f

x


1

5

个单位后得到函数
g

x

cos

2x


（


）的图象向右平移

4212

的图象，若
g

x

的图象关于直线
x
(A)

9
对称，则


（ ）
7



7

(B) (C)

(D)


18181818

xy0

y
8．已知
x
,
y
满足条件

xy40
，则的 最大值是 ( )
x

x10

(A)
1
(B)
2
(C) 3 (D) 4

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
(A)
83323
163
(B) (C) (D)
163

33
3

10．已知函数
y f(x)
的定义域为

x|x0

，满足
f(x)f (x)0
，当
x0
时，
f(x)lnxx1
，
则函数
yf(x)
的大致图象是（ ）

(A) (B) (C) (D)
2
11．已知P为抛物线
y4x
上一个动点，Q为圆
x

y4< br>
1
上一个动点，则点P到
2
2
点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ）
171
(B)
252
(C)
2
(D)
17

1
12. 设定义在
R
上的函数
yf

x

满足任意
tR
都有
f

t2


，且
x

0,4

时，
f

t

(A)

f

x


f

x

x
(A)
2f

2018

f

2016

4 f

2017

(B)
2f

2018

f

2016

4f

2017< br>

(C)
4f

2017

2f
2018

f

2016

(D)
4f

2017

2f

2018
f

2016

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 。
13．已知数据
x
1
,x
2
,L,x
n
的平均数为2，则数据
x
1
2,x
2
2,L,x
n< br>2
的平均数为 .
ab
14．设
a0,b0，且
3
是
3
与
3
的等比中项，则
，则
f

2016

、4f

2017

、2 f

2018

的大小关系是（ ）

11

的最小值为 .
ab
15．当双曲线< br>C
不是等轴双曲线时，我们把以双曲线
C
的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称 为

双曲线
C
的“伴生椭圆”．则离心率为
3
的双曲线 的“伴生椭圆”的离心率为 ．
16．已知平面区域
M{
< br>x,y

|xy4}
，
N{

x,y

|yx2}
，在区域
M
上
22
随机取一点A
，点
A
落在区域
N
内的概率为 ． 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
在
ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，已知
cosCcosAcosB2cosAsinB
.
（1）求
tanA
；
（2）若
b25
，
AB
边上的中线
CD17
，求
ABC
的面积.








18．（本小题满分12分）
在某大学联盟的自主招生考试中，报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目
“语文”和“数学”的考试. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，本次
考试中 成绩在
[90,100]
内的记为
A
，其中“语文”科目成绩在
[8 0,90)
内的考生有10人.

（1）求该考场考生数学科目成绩为
A
的人数；
（2）已知参加本场测试的 考生中，恰有两人的两科成绩均为
A
.在至少一科成绩为
A

的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为
A
的概率.

19．（本小题满分12分）
如图1,在直角梯形
ABCD
中,
ADC90
,
CDAB
,
ADCD
1
AB2
,
2
点
E
为
AC
中点,将
ADC
沿
AC
折起, 使平面
ADC

平面
ABC
,得到几何
体
DABC
,如图2所示.
（1）在
CD
上是否存在一 点
F
,使
AD
平面
EFB
？若存在，证明你的结论，
若不存在，请说明理由；
（2）求点
C
到平面
ABD
的距离.

D

C
E


A

图1








20．（本小题满分12分）
D
C
B
图2
E
B
A
x
2
y
2
1
的 左、右焦点，点
P
在椭圆
C
上. 已知
F
1
，F
2
分别为椭圆
C
：
82
uuuruuuur
（1）求
PF
1
PF
2
的最小值；
（2）设直线
l
的斜率为
uuuruuuur
且
PF
1
PF
2
1
，求
ABP
面积的最大值.







1
，直线
l
与椭圆
C
交于
A
，
B
两点，若点
P
在第一象限，
2

21．（本小题满分12分）
已知函数
f
x

ax
3
bxc
，其导函数
f

x

3x
2
3
，且
f
0

1
，

g

x

xlnx
m

m1

．

x
（1
）求
f

x

的极值；

（
2
）求证：对任意
x
1
,x
2


0, 

，都有
f

x
1

g

x
2

．







（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。
答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程


x2 22cos

(

为参数
)
，以直角坐标系原点
O
为极点，

已知曲线
C
的参数方程为



y222sin

x
轴正半轴为极轴建立极坐标系
.
（
1
）求曲线
C
的极坐标方程；

（
2< br>）设射线
l
1
:



3
，
l
2
:



6
，若
l
1,l
2
分别与曲线
C
相交于异于原点的两点
A,B
，< br>
求
ABO
的面积．


数学（文科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
答案
1
D
2
B
3
B
4
C
5
D
6
C
7
D
8
C
9
B
10
A
11
A
12
C
1 .
【解析】
Ax1x2

,
C
R
Bxx 1

,
AC
R
Bx1x2

,
故选
D
．

2.
【解析】
z

1
i

1i

i1i11
2
，故选择
B.
i
，所以
z
2

，则

z
1i

1i

1i

222< br>2
33999
3
3
3.【解析
a
4
a5
a
1
qa
2
q4
，解得
q2
，
a
10
a
11
a
1
qa
2q(a
1
a
2
)q
2216
.
故选B

rr
4. 【解析】
2ab
r
2
r
2
rr
rr
2
(2ab)
＝
4a b4ab16425
．故选C．
2
5.【解析】 试题分析：
f (x)xx
时，
f(0)0
，但
f(x)
是不是奇函数，A错 ；
2
命题
p:x
0
R,x
0
x
0
10
的否定是
p:xR,xx10
，B错；
p,q
中只要有一个为假
2
命题，则
pq
为假命题，C错；“若


是正确的，故选D．
6.【解析】输入
x12
，

6
，则
sin


1

1
” 的否命题是“若


，则
sin


”
2 62
经过第一次循环得到
x212125,n2
， 经过第二循环得到
x225151,n3
，
经过第三次循环得到
x2511103,n4
，此时输出
x
， 故选C．
考点：程序框图的识别及应用
7.
【解析】因为
f

x


所以


15



15

1



cos2x

cos

2x


，所以
g

x

cos

2

x



，
41246
4





2

5

11


7


kZ

，又


，所以



k



kZ

，解得

k


，
9618218
故选
D.
8.【解析】．
因为
z
y0
，如图所示经过原点

0,0

的直线斜率最大的为直线
xy40
与直线
x 1
的
x0
3
3
，选C.
1
交点

1,3

，故
z
max










9.【解析】由三视图可知该三棱锥 底面是边长为4的正三角形，面积为
43
，高为4，
则
V
1163
434
，故选B．
33
1 0.【解析】由
f(x)f(x)0
，知
f(x)
是奇函数，故排除C ,D；当
x
1
时，
2

1
111111< br>f()ln1lnln2lne
2
ln20
，从而A正确 .
222222
11.【解析】根据抛物线的定义，点P到准线的距离等于到焦点的距离，则 距离之和等于
PQPF
，
画图可得,
PQPF
的最小值为圆心C与焦点F连线与抛物线相交于点P，则最小值等于
CFr
， 圆心
C(0,4)
，得
CF4
2
 1
2
17
，所以最小值为
171
，故选A.
12.【解析】
由题意可得：

f

t

f

t2

1
，则：

f

t2

f

t4

1
，

据此有：

f

t

f

t 4

，即函数
f

x

是周期为
4
的周期函数，

构造新函数
F

x


f

x

x
,x

0,4

， 则
F'

x


f'

x
xf

x

x
2
0
，

则函数
F

x

是定义域

0,4
内的增函数，

有：

f

1

1< br>
f

2

2

f

4< br>
4
，即：

4f

1

2f< br>
2

f

4

，

利用函数的周期性可得：

f

2016

f< br>
4

,f

2017

f
< br>1

,f

2018

f

2< br>
，

据此可得：

4f

2017

2f

2018

f

2016

.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 4 14. 4 15.

13.
【解析】平均数为

2
2
16.
4

2
x
n

2n
x
1
2



x
2
2


L


x
n
2



x
1
x
2

L
nn
224
ab2
14.【解析】试题分析：因
33(3)3
,即
3
ab
3
,故
ab1
,
所以

1111ab
(ab)()24
,应填
4
. ababba
22
x
2
y
2
ab
15.【解析】试题分析：设双曲线
C
的方程为
2

2
1< br>，所以
e3，b
2
2a
2

，
< br>ab
a
y
2
x
2
b
2
a
2
a2

∴双曲线
C
的
“
伴生椭圆
”方程为：
2

2
1
，∴
“
伴生椭圆
”
的离心率为

ba
b2
2a

16.【解 析】【答案】

2

4

【解析】由题意可得，集合M表 示坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，集合N表示图中的阴
影区域，其中
S
阴影

11

2
2
22

2 ，
42

由几何概型公式可得：点
A
落在区域
N内的概率为
p


2

2
.

2

24

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应 写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17.
（本小题满分
12
分）

【答案】（1）
tanA2
; （2）当
c2
时，
S
V
ABC

1
bcsinA4
；当
c6
时，
S
ABC
12
.
2
【解析】试题分析：（1 ）将
C



AB

代入化简求值即可；（Ⅱ ）在
VACD
中，由余弦定理解
得
c2
或6，利用面积公式求解即可.
试题解析：
（1）由已 知得
cosCcosAcosBcos


π

A B



cosAcosB

cos

AB

cosAcosBsinAsinB
， ……2分
所以
sinAsinB2cosAsinB
， ………4分
因为在
ABC
中，
sinB0
，
所以
sinA2cosA
，
则
tanA2
． ……………6分
（2）由（1）得，
cosA
525
，
sinA
， ……………8分
55
2
在
ACD
中，
c

c

CD
2
b
2


2bcosA，
2

2

2
代入条件得
c 8c120
，解得
c2
或6， ………10分
当
c2
时，
S
ABC


1
bcsinA4
；当
c6
时，
S
ABC
12
． ………12分
2

18.

（本小题满分
12
分）

0.25=40
人
. ………2
分

解：
(1)
该考场的考生人数为
10÷

数学科目成绩为
A
的人数为

A
，所以还有两名同学

40×(1-0.0025× 10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3
人
. ………5
分

(2)
语文和数学成绩为
A
的各有
3
人，其中有两人的两科成绩均为
只有一科成绩为
A
. ……………7
分


A
，则在至少一科成绩为
M
的考生中，设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为
随机抽取两人进行访谈，基本事件为
{
甲，乙
}
，
{
甲，丙
}
，
{< br>甲，丁
}
，
{
乙，丙
}
，
{
乙，丁
}
，

{
丙，丁
}
共
6
个，
…………… 10
分

设
“
随机抽取两人，这两人的两科成绩均为
A
”
为事件
M
，则事件
M
包含的事件有
1
个，

则
P(M)



1
. ……………12
分

6
19. 试题解析：(1)存在
CD
的中点
F
成立
, 连结
EF
,
BF

在
ACD
中,
QE,F
,分别为
AC
,
DC
的中点 ……2分

EF
为
ACD
的中位线

AD

EF

………4分

EF
平面
EFB
AD
平面
EFB


AD
平面
EFB
……………6分
(2) 设点
C
到平面
ABD
的距离为
h

Q平面
ABD
⊥
平面
ABC
,
平面
ABD
I平面
ABC=AB
,
且BC
⊥
AB

BC
⊥
平面
ADCBC
⊥
AD
，
AD
⊥
DC

……………7分
AD
⊥
平面
BCD
即
A D
⊥
BD

S
ADB
23

………9分
三棱锥
BACD
的高
BC22
,
S
ACD
2
………10分

11
QV
BACD
V
CADB
即
22223h

33
h

20.
（本小题满分
12
分）

26
………12分
3

uu uruuuur
【答案】（1）
PF
1
PF
2
的最小值为
4
; （2）12.
【解析】试题分析：
2
uuuruuu ur
3x
0
（1）设
P

x
0
,y
0

，由向量数量积的坐标运算求得
PF
1
PF
24
，注意椭圆中
4
有
22x
0
22
，因此可得最小值；
（ 2）由直线与圆锥曲线相交的弦长公式求得弦长
AB
，求出
P
点坐标，再求得
P
到直线
AB
的距
离
即三角形的高，从而得
P AB
面积
S
PAB
b
试题解析：
（1）有题意可知
F
1
6,0
，
F
2
100
2

4b

由基本不等式可得最大值．
2

uuuruuuur
则
PF

6x,y
，
PF

2

6,0
，设点
P(x< br>0
,y
0
)

6x
0
,y
0
，

………2分

uuuruuuur
22
∴
PFPFx y
1200
6
，
x
0
2
y
0
2
x
0
2
2
1
，即
y
0
 2
∵点
P

x
0
,y
0

在椭 圆
C
上，∴，

………3分
824
uuuruu uur
x
0
2
3x
0
2
2
64< br>∴
PF
1
PF
2
x
0
2
（
22x
0
22
）， ………4分
44
uuuruuuur
∴当
x
0
0
时，
PF
1
PF
2
的最小值为
4
． ………6分
（注：此问也可用椭圆的参数方程表达点P求解）
（2）设
l
的方程
y
1
xb
，点
A

x
1
,y
1

，
B

x
2
,y
2

，
2
1

yxb,


2
22
由


2
得
x2bx2b40
， ………7分
2

x

y
1

2

8

令
4b
2
8b
2
1 60
，解得
2m2
．
2
由韦达定理得
x
1
x
2
2b
，
x
1
x
2
2b4
，
由弦长公式得
AB1
1
4

x
1
x
2

2
4x
1
x
2
54b
2
， ………8分

uuuruuuur
且
PF
1
PF< br>2
1
，得
P

2,1

．
又 点
P
到直线
l
的距离
d
b
1
1
4

2b
5
， ………9分
∴
S
PAB

11
2b
ABd54b< br>2

b
2
4b
2

22
5< br>

b
2
4b
2
2
， ………11分
2
当且仅当
b2
时，等号成立，
∴
PAB
面积最大值为2. ……12分


21.（本小题满分12分）
解析：
（
1
）依题意得
f

x

x3x1
，

f


x

3x33

x 1

x1


………2
分

32< br>知
f

x

在

,1
和

1,

上是减函数，在

1,1

上是增函数
………4分
∴
f

x

极小值
f

1

3
，
f

x

极大值
f

1

1
（2 ）法1：易得
x0
时，

f

x

最大值
1
，

依题意 知，只要
1g

x

(x0)1xlnx

………5分
m

m1

(x0)

x
由
a1
知，只要
xx
2
lnx1(x0)x< br>2
lnx1x0(x0)

………7分
令< br>h

x

x
2
lnx1x(x0)
，则
h


x

2xlnxx1

………8分
注意到
h


1

0，当
x1
时，

h


x

0
；当
0x1
时，

h


x

0
，
………9分

即
h

x

在

0,1

上是减函数，在

1,

是增函数，

h

x

最小值
h

1

0
即< br>h

x

0
，综上知对任意
x
1
,x
2


0,

，都有
f

x
1

g

x
2


………10分
………12分

法2：易得
x0
时，

f

x

最大值
1
，

………7分
由
a1
知,
g

x
< br>xlnx
11
(x0)
,令
h

x

xlnx(x0)
………8分
xx
1x
2
1则
h


x

lnx1
2
l nx
2
………9分
xx
注意到
h


1

0
，当
x1
时，

h


x

0
；当
0x1
时，

h


x

0
，
………10分
即
h

x

在

0,1

上是 减函数，在

1,

是增函数，

h

x

最小值
h

1

1
，所以h

x

最小值
1
,

即
g

x

最小值
1
.
综上知对任意
x
1
,x
2


0,

，都有
f

x
1

g

x
2

.
法3: 易得
x0
时，

f

x

最大值
1
，

………7分

………12分
1
(x0)
,
………8分

x
11
令
h

x

xlnx(x0)
,则
h


x

lnx1
2
(x0)
………9分
xx
111
令< br>

x

lnx1
2
(x0)
,则



x


3
0
,
………10分

xxx
由
a1
知,
g
x

xlnx
知


x

在
0,

递增,注意到


1

0
,
所以,
h

x

在

0,1

上是减函数，在

1,

是增函数,有
h

x

最小值
1
,即
g

x

最小值
1

综上知对任意
x
1
,x
2


0,

，都有
f

x
1

g

x
2

. ……12
分


22.

（本小题满分
10
分）



x222cos

(

为参数）
解：(1)∵曲线
C
的参数方程为




y222sin

∴曲线的普通方 程为
(x2)(y2)8
即
xy4x4y0
……2分
将
x

cos

,y

s in

代入并化简得：

4cos

4sin


即曲线
C
的极坐标方程为

4cos

4sin

. …………5分
2222





（2）由

得到
OA
1
223
…………7分
3

< br>
4cos

4sin


同理
O B

2
223
. ………… 9分
又∵
AOB
∴
S
AOB


3


6


6

1
OAOBsinAOB423
.
2
即
AOB
的面积为
423
. …………10分