甘肃农业大学研究生院-新课标全国卷

公众号：安逸数学工作室
上海市宝山区2017—2018学年高三第一学期期末测试卷

数学2017.12
考生注意:
1. 答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚, 并在规定的区域内贴上条
形码.
2.
本试卷共有
23
道试题
,
满分
150
分
.
考试时间
20
分钟
.
一. 填空题（本大题满分54分）本大题有14题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写
结果, 每个空格填对得4分, 否则一律得零分.
1. 设集合
A=
2.
lim
n
3，4，12
}
，B=
{
0，1，2，3
}
, 则
AI
{
2，
n
B=
________.
5n
-7
n
5+7
n
=
________.
3. 函数
y=2cos
2
(3px)-1
的最小正周期为________.
4. 不等式
5. 若
z=
x+2
>1
的解集为________.
x+1
-2+3i
（其中
i
为虚数单位）, 则
Imz=
________.
i
0，1，2，3
中任选一个数
m
, 则使得函数
f(x) =(m
2
-1)x+1
在
R
上单
6. 若从五个数
-1，
调递增的概率为________. （结果用最简分数表示）
7. 在
(
3
x
2
+x)
n
的二项展开式中, 所有项的二项式系数之和为1024, 则常数项的值等于
________.
8. 半径为
4
的圆内接三角形
ABC
的面积是
则
abc
的值为 ________.
x
2
y
2
9. 已知抛物线
C
的顶点为坐标原点, 双曲线
-=1
的右焦点是
C
的焦点
F
. 若斜率
25144
B
两点, 则
AB=
________. 为
-1
, 且过
F
的直线与
C
交于
A，
1
b、c
,
B、C
所对应的边依次为
a、
, 角
A、
16
10. 直角坐标系
xOy
内有点
P(-2,-1)
,
Q(0,-2)
将
DPOQ
绕
x
轴旋转一周, 则所得几何
体的体积为________.
11. 给出函数
g(x)=-x
2
+bx
,
h(x)=-mx
2
+x-4
, 这里
b,m,xÎR
, 若不等式
ì
ï
g(x),x
£
t
, 恰有两
g(x)+b+1?0
（
xÎR
）恒成立,
h(x)+4
为奇函数, 且函数
f(x)=
ï
í
ï
h(x),x>t
ï
î
个零点, 则实数
t
的取值范围为________.
12. 若
n
（
n³3
,
n
Î¥
*
）个不同的点
Q
1
(a
1
,b
1
)
,
Q
2
(a
2
,b
2
)
,
L
,
Q
n
(a
n
,b
n
)
满足:
a
1
2
n
, 则称点
Q
1
,Q
2
,L,Q
n
按横序排列. 设四个实数
k，x
1
，x
2
，x
3
使得

1

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22
成等差数列, 且两函数
y=x
2
,
y=
2k(x
3
-x
1
)，x
3
，2x
2
1
+3
图象的所有交点P
1
(x
1
，y
1
)
,
x
P
2
(x
2
，y
2
)
,
P
3
(x
3
，y
3
)
按横序排列, 则实数
k
的值为________.
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题, 每题有且只有一个正确答案, 考生应在
答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑, 选对得5分, 否则一律得零分.
ì
?3x4y=1
13. 关于
x，
的增广矩阵为（ ） < br>y
的二元一次方程组
ï
í
ï
x
-
3y
=
10
ï
î
骣骣骣骣
34-1
÷
341
÷
341
÷
341
÷
çççç
÷÷÷÷
ççç A.
ç
B. C. D.
÷÷÷÷
çççç
÷÷ ÷÷
1-3101-3-101-3101310
÷÷÷
ççç
ç
桫 桫桫桫
14. 设
P
1
，P
2
，P
3
，P
4
为空间中的四个不同点, 则“
P
1
，P
2
，P
3
，P
4
中有三点在同一条直线
上”是“
P
1< br>，P
2
，P
3
，P
4
在同一个平面上”的（ ）


A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
15. 若函数
y=f(x-2)
的图象与函数
y=log
3
x+2
的图象关于直线
y=x
对称, 则
f(x)=
（ ）
A.
3
2x-2
B.
3
2x-1
C.
3
2x
D.
3
2x+1

16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积. 设: 数列甲:
2，L，5
）; 数列乙:
y
1
，x
1
，x2
，L，x
5
为递增数列, 且
x
i
Î
N*
（
i=1，
y
2
，y
3
，y
4，y
5
满足
y
i
?{1,1}
（
i=1，2， L，5
）.
则在甲、乙的所有内积中（ ）
A. 当且仅当
x< br>1
=1，x
2
=3，x
3
=5，x
4
=7， x
5
=9
时, 存在
16
个不同的整数, 它们
B. 当且 仅当
x
1
=2，x
2
=4，x
3
=6，x
4
=8，x
5
=10
时, 存在
16
个不同的整数, 它
C. 不存在
16
个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数;
D. 存在
16
个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数.
同为奇数;

们同为偶数;


三. 解答题（本大题满分76分）本大题共5题, 解答下列各题必须在答题纸相应的编号规
定区域内写出必要的步骤
17. （本题满分14分）本题共有2个小题, 第1题满分6分,
第2题满分8分.
如图, 在 长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1中,
已知
AB=BC=4
,
DD
1
=8
,
M
为棱
C
1
D
1
的中点.
（1）求四棱锥
M-ABCD
的体积;
（2）求直线
BM
与平面
BCC
1
B
1
所成角的正切值.

2

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18. （本题满分14分）本题共有2个小题, 第1题满分6分, 第2题满分8分
已知函数
f(x)=1-2sin
2
x
.
2
轾< br>p3p
（1）求
f(x)
在
犏
，
上的单调递减区间;
犏
22
臌
2-1-1
1
B，C
所对应的边依次为< br>a，b，c
, 若
c
（2）设
DABC
的内角
A，< br>a-b
且
f(C)=
,
2
-111
求
DABC
面积的最大值, 并指出此时
DABC
为何种类型的三角形.

19. （本题满分14分）本题共有2个小题, 第1题满分6分, 第2题满分8分.
设数列
{< br>a
n
}
，
{
b
n
}
及函数
f(x)
（
xÎR
）,
b
n
=f(a
n
)
（
n
Î
N
*
）.
（1）若等比数列
{
a
n
}
满足
a
1
=1，a
2
=3
,
f(x)=2x
, 求数列
{
b
n
b
n+1
}
的前
n
（
n
Î
N
*
）< br>项和;
q
均为常数,
q>0
, 且（2）已知等差数列
{
a
n
}
满足
a
1
=2，a
2
= 4，f(x)=l(q
x
+1)
（
l、
q)
, 使得
{
c
n
}
成等
q¹1
）,
c
n
=3+n+(b
1
+b
2
+L+b
n
)
（
n
Î
N
*
）. 试求实数对
(l，
比数列.

20. （本题满分16分）本题共有3个小题, 第1题满分4分, 第2题满分6分, 第3题满

3

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分6分.
设椭圆
C
:
x
2
a
2
+
y2
b
2
0)
, 且直线
x-5y+1=0
过
C
的左焦点.
=1
（
a>b>0
）过点
(-2，
（1）求
C
的方程;
y)
的轨迹为
G
,
G
与
x
轴的负半轴,
y
轴的正（2）设
(x，3y)
为
C
上的任一点, 记动点
(x，
H
,
C
的短轴端点关于直线
y=x
的对称点分别为
F
1
，
半轴分别交于点
G，
F
2< br>. 当点
P
在直
uuuruuur
线
GH
上运动时, 求
PF
1
×PF
2
的最小值;
B
两点, 且
A
,
B
在直线
x=4
上的射（3）如图, 直线
l
经过
C
的右焦点
F
, 并交
C
于
A，
影依次为
D
,
E
. 当
l
绕
F
转动时, 直线
AE
与
BD
是否相交于定点?若是, 求出定点的坐标;
否则, 请说明理由.

21. （本题满分18分）本题共有3个小题, 第1题满分4分, 第2题满分6分, 第3题满
分8分.
ì
锍z,Rez0
ï
设
zÎC
, 且
f(z)=
í
.
ï
-
z,Rez
<
0
ï
î
（1）已知
2f(z)+f(z)-4z=-2+9i
（
zÎC
）, 求
z
的值;
（2）设
z
（
zÎC
）与
Rez
均不为零, 且
z
2n
?1
（
n
Î
N
*
）. 若存在
k
0
Î
N
*
, 使得
(
f(z)< br>)
k
0
+
1
(
f(z)
)
k
0
?2
, 求证:
f(z)+
1
?2
;
f (z)
2
+z
n
+1)
（
n
Î
N
*
）. 是否存在
u
, 使得数列
（3）若
z
1
=u
（
uÎC
）,
z
n+1
=f
(z
n
z
1
，z
2
，L
满足
z
n+m
=z
n
（
m
为常数, 且
m
Î
N
*
）对一切正整数
n
均成立?若存在, 试求
出所有的
u
; 若不存在, 请说明理由.


4

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2018年宝山区高三一模数学参考答案

1





2





3
1

3






4 5
2


6
2

5






3
}{
2，

7
405
13
C
-1

8
1
14
A
(-1，+?


9
104
15
C
10



4p

16
D
11
[-2，0)U




12
，+?
1


第一部分、填选
第二部分、简答题
17. 解: （1）因为长方体
ABCD-A
1
B
1
C< br>1
D
1
, 所以点
M
到平面
ABCD
的距离 就是
DD
1
=8
,
故四棱锥
M-ABCD
的体 积为
V
M-ABCD
=
1128
.
鬃S
ABCD
DD
1
=
33
（2）（如图）联结
BC
1
,
BM
, 因为长方体
ABCD-A
1
B
1
C< br>1
D
1
, 且
MÎC
1
D
1
,
所以
MC
1
^
平面
BCC
1
B
1
, 故直线
BM
与平面
BCC
1
B
1
所成 角就是
ÐMBC
1
,
在
RtDMBC
1
中, 由已知可得
MC
1
=
因此,
tan?MBC
1
5
.
10
MC
1
BC
1
=
2
45
=
1
CD=2
,
B C
1
=
2
11
BB
1
2
+B
1< br>C
1
2
=45
,
5
, 即直线
BM与平面
BCC
1
B
1
所成角的正切值为
10


轾
轾
p
p3p
p
. 18. 解: （1）由题意可得
f(x)=cosx
, 故
f(x)
在
犏
，
上的单调递减区间为
犏
，
犏
犏
2
22
臌
臌

5

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（2）由已知可得
a+b=4
,
Q
f(C)=
S
DABC
=
11p
p)
,

C=
,

cosC=
, 又
CÎ(0，
. 故
2
23
1
33a+b
2
absinC
=abＷ( )
=
442
2
3
, 当
a=b=2
时取等号, 即
DABC
面积
的最大值为
3
, 此时
DABC
是边长为2的正三角形.


19. 解: （1） 由已知可得
a
n
=3
n-1
（
n
Î
N*
）, 故
b
n
=2?3
n-1
（
n
Î
N
*
）, 所以
b
n
b
n+1
=4?3
2n-1
（
n
Î
N
*
）, 从而
{
b
n
b
n+1
}
是以
12
为首项,
9
为公比的等比数列, 故数列
{
b
n
b
n+1< br>}
的前
n
项和为
3
n
(9-1)
（
n
Î
N
*
）.
2
（2）依题意得
a
n< br>=2n
（
nÎN
*
）, 所以
b
n
=l(q
2n
+1)
（
nÎN
*
）, 故
c
n=3+
lq
2
1-q
2
+(l+1)n-
lq
2
1-q
2
q
2n

ì
ì
ï
lq
2
?l-1
ï
ï
3+=0
ï
3
ï
2
（
n
Î
N
*
）, 令
ï
, 解得
í
（
q=-<0
舍去）, 因此, 存在
í
1
-
q
3
ï
ï
2
q=
ï
ï
l+1= 0
ï
ï
ï
î
2
ï
î
(l，q)=(-1，
3
3
, 使得数列
{
c
n
}
成等比数列, 且
c
n
=3?()
n
（
nÎN
*
）.
)
2
4


20. 解: （1）依题意可得
a=2
, 半焦距
c=1
, 从而
b
2
=a
2
-c
2
=3
, 因此, 椭圆
C
的方
x
2
y
2
程为
+=1
.
43
x
2
(3y)
2
x
2
（2）因为 点
(x，3y)
在
C
上, 所以
+=1
, 故轨迹
G
:
+y
2
=1
. 不妨设
434
uuuruuur
y)
, 则
PF
1
=(-3-x，-y)
,
PF
2
=(3-x，-y)
. 易
F
1
(-3，0)
,
F
2
(3，0)
,
P(x，
得直线
GH
:
x-2y+2=0
, 故
uuuruuur
411424
, 所以当
y=
, 即点
P
的坐标为
(-，)
时,
PF
1
?PF2
x
2
+y
2
-3
=5(y-)
2
-
5555
5
uuuruuur
11
. （或这样: 因为点
P
在直线
GH
上运动, 所以当
OP^GH
时, < br>PF
1
×PF
2
取得最小值
-
5
x
2
+y
2
取得最小值, 故
x
2
+y
2
也取得

6

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最小值, 此时
(
x
2< br>+y
2
)
min
轾
0-2?0
=
犏
犏
5
犏
臌
2
2
=
4
24
, 易得对应点为垂足
P(-，)
, 从而,
5
55
uuuruuur
PF
1
×PF
2
的最小值为
(
uuuruuur
PF
1
?PF
2
)
min
411
. ）
-3=-
55
0)
, 设
l
:
x=my+1
（
mÎR
）,
A
(x
1
，
（3）易得
F(1，
y
1
)
,
B
(x
2
，y
2
)
, 则
D(4，y
1
)
,
E(4，y
2
)
,
ì
ï
x
2
y
2
ï
+=1
由
ï
得
(3m
2
+4)y
2
+6my-9=0
, 显然
D=144(m
2
+1)>0
, 且
í
43
ï
ï
x=my+1
ï
ï
î
y
1
+y
2
=-
6m
3m+4
2
,
y
1
y
2
=-
9
3m+4
2
. 将
x
1
=my
1
+1
代入直线
AE
的方程 :
(x
1
-4)(y-y
2
)=(y
1
-y2
)(x-4)
, 并化简可得
my
1
y
2
+(y
1
+y
2
)+
轾
2y
1
-(y1
+y
2
)x-5y
1
+(3-my
1
)y= 0
, 将
y
1
+y
2
=-
臌
6m
3m+4
2
,
y
1
y
2
=-
9
3m+4
2
< br>代入可得
m?(
9
3m+4
2
)-
6m
3m +4
2
+(2y
1
+
6m
3m+4
2
)x -5y
1
+(3-my
1
)y=0
, 即直线
5
2
(3m+4)y+3m(x-)+(3m
2
+4)(3-my
1
)y =0
, 因为
m，y
1
任意, 所
AE
的方程为
2
轾
1
犏
臌
2
55
以直线
AE
过定 点
(，0)
. 同理可得直线
BD
也过定点
(，0)
.
22
5
综上, 当
l
绕
F
转动时, 直线
AE
与
BD
相交于定点
(，0)
.
2


bÎR
）, 则
Rez=a
. 21. 解: （1）设
z=a+bi
（
a，
bÎR
, 若
a³0
, 则
f(z)
=z
, 由已知条件可得
-a-3bi=-2+9i
,
Qa，
ìì
?a=-2?a2
ïï
, 解得
í
,
z=2-3i
.

í
ïï
-
3b
=
9b
=-
3
ïï
îî

7

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bÎR
, 若
a<0
, 则
f(z)=
-z
, 由已知条件可得
-7a-5bi=-2+9i
,
Qa，
ìì
22< br>ïï
ïï
a=a=
ì
ïï
?7a=-2
7
, 但
a<0
, 故
ï
7
舍去.

ï
, 解得
ï
íí
í
ïï
ï
99
-
5b
=< br>9
ïï
ï
î
b=-b=-
ïï
ïï
ïïî
5
î
5
综上, 得
z=2-3i
.
（2）证明如下: 令
t
n
=
(
f(z)
)
n
+
1
(
f(z)
)
n
, 则
t
n
=z
n
+
1
z
n
（
n
ÎN
*
）.
假设
f(z)+
于
2t
n+1
1
>2
, 即
t
1
>2
, 因
z
2n
?
f(z)1
（
n
Î
N
*
）, 故
t
n
>0
（
n
Î
N
*
）, < br>是
1
?t
n+1
=z+
1
?z
n+1
z
1
z
n+1
骣
n
1
鼢
骣
n+2
1
=
珑
z++z+
鼢
珑
鼢
珑
桫
z
n
鼢
桫
z
n+2
?z
n< br>1
z
n
+z
n+2
+
1
z
n+2< br>=t
n
+t
n+2
, 即
2t
n+1
n
+t
n+2

（
n
Î
N
*
）, 亦即
t
n+1
-t
n
n+2
-t
n+1
, 故数列
{
t
n+1
-t
n
}
单调递增. 又
t
1
>2
, 故
t
2
=z+
2
1
z
2
2
骣
1
÷
=
ç
z+
÷
-2
ç
ç
÷
桫
z
÷
?z
1< br>z
2
2
-2>t
1
, 即
t
2
>t
1
, 于是,
-2
=t
1< br>t
n+1
-t
n
>t
n
-t
n-1
>L>t
2
-t
1
>0
. 所以, 对任意的
n
Î
N
*
, 均有
t
n
?t
1
2
, 与题
设条件矛盾. 因此, 假设不成立, 即
f(z)+
1
?2
成立.
f(z)
（3）设存在
uÎC
满足题设要求, 令
a
n=Rez
n
，
（
n
Î
N
*
）. 易得对一切
nÎN
*
,
b
n
=Imz
n
22
ì
ï
a
n+1
=a
n
+a
n
+1-b
n
ï
均有
a
n
³0
, 且
í
（※）.
ï
b=(2a
n
+1)b
n
ï
î
n+1
（ｉ）若
u?
（ⅱ）若
u?
{
{
i，i
}
, 则
{
z
n
}
显然为常数数列, 故
u=?i
满足题设要求.
b
n
)
Ï
i，i
}
, 则用数学归纳法可证: 对任意
n
Î
N
*
,
(
a
n
，
-1)，(0，1)
}
.
{
(0，
证明: 当
n=1
时, 由
u?
{
i，i
}
, 可知
(a
1
，b
1
)?
(0，1)
}
.
{
(0，1)，
(0，1)
}
.
{
(0，1)，
假设当
n=k
时,
(a
k
，b
k
)?
那么, 当
n=k+1
时,

8

公众号：安逸数学工作室
若
(a
k+1
，
b
k+1
)
Î
-1)，(0，1)
}
, 则
a
k+1
=
{
(0，
22
0
,
b
k+1
=1
. 故
a
k
+a
k
+1-b
k
=0
,
(2a
k
+1)b
k
=1
. （※※）
如果
a
k
=0
, 那么由
(a
k
，bk
)Ï
-1)，(0，1)
}
可知
b
k
{(0，
¹1
, 这与（※※）矛盾.
22
=a
k
+a
k
+1>1
, 即
b
k
>1
, 故
2a
k
+1?b
k如果
a
k
>0
, 那么由（※※）得
b
k
1
,
与（※※）矛盾.
因此,
(a
k+1
，
b
k+1
)
Ï
-1)，(0 ，1)
}
.
{
(0，
-1)，(0，1)
}
.
{
(0，
综上可得, 对任意
n
Î
N
*
,
(
a
n
，b
n
)
Ï
22
+bn
记
x
n
=2a
n
（
n
Î
N
*
）, 注意到
2222
2222
轾
x
n+1< br>-x
n
=(2a
n
(a
n
+a
n
)
2
+a
n
+2a
n
+(1-b
n
)?0< br>, 即
+1
+b
n+1
)-(2a
n
+b
n
)
=2
臌
犏
x
n+1
ì
a
n=0
ï
-x
n
?0
, 当且仅当
ï
, 亦即< br>(a
n
，b
n
)?
{
(0，1)，(0，1)
}
时等号成立. 于是,
í
2
ï
b
=
1
ï
î
n
有
x
n
n+1
（
n
Î
N
*
）, 进而对任意
m
,
nÎN
*
, 均有
x
n+m
>x
n
, 所以
z
n+m
¹
z
n
. 从
而, 此时的
u
?
{
i，i
}
不满足要求.
综上, 存在
u=?i
, 使得数列
z
1
，z
2
，L
满足
z
n+m
=z
n
（
m
为常数, 且
m
Î
N
*
）对一切
n
Î
N
*
成立 .


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