南通农业技术学院-防化学院

2017年上海市奉贤区高考数学二模试卷

一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）
1．函数f（x）=cos（
2．若关于x，y的方程组
﹣x）的最小正周期是 ．
无解，则a= ．
3．已知{a
n
}为等差数列，若a
1
=6，a
3
+a
5
=0，则数列{a
n
}的通项公式为 ．
4．设集合A={x||x﹣2|≤3}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是 ．
5．设点（9，3）在函数f（x）=log
a
（x﹣1）（a＞0，a≠1）的 图象上，则f（x）的反函数f
﹣1
（x）= ．
6．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为 ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的方程为x+y﹣6=0，圆C的参数方程为
则圆心C到直线l的距离为 ．
8 ．双曲线
，
=1的左右两焦点分别是F
1
，F
2
，若点P在 双曲线上，且∠F
1
PF
2
为锐角，则点P的横坐标的
取值范围是 ．
9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ．
< br>10．已知数列{a
n
}是无穷等比数列，它的前n项的和为S
n
，该 数列的首项是二项式
系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则= ．
展开式中的x的
11．已知实数x、y满足方程（x﹣a+1）
2
+（y﹣1）
2
= 1，当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函
数y=f（x），则抛物线的焦点F到点（ a，b）的轨迹上点的距离最大值为 ．
12．设x
1
、x
2
、 x
3
、x
4
为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x
1< br>﹣1|+|x
2
﹣2|+|x
3
﹣3|+|x
4
﹣4 |=6，则这
样的排列有 个．
1

二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）
13．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）
x
﹣（）
y
＜0 D．lnx+lny＞0
x
14．若f（x）为奇函数，且x
0
是y=f（ x）﹣e的一个零点，则﹣x
0
一定是下列哪个函数的零点（ ）
A．y=f（x）e
x
+1 B．y=f（﹣x）e
﹣x
﹣1 C．y=f（x）e
x
﹣1 D．y=f（﹣x）e
x
+1
15． 矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成 扇形；按
图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇 形焊接成一个大扇形；
按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分 割并把6个小扇形焊接成一个大扇
形；…；依次将宽BC n等分，每个小矩形按图（1）分割并把2n 个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，
最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（ ）

A．小于 B．等于 C．大于 D．大于1.6
16．如图，在△ABC中，BC=a，A C=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则
OD ：OE：OF等于（ ）

A．a：b：c B．
C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC

三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）
17．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO =2
（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；
（2）求二面角P﹣AC﹣E的大小．
．
2

18．已知美国苹果公司生 产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设
苹果公司一年 内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）
=
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． < br>19．如图，半径为1的半圆O上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2， ∠AOB的角
平分线交半圆于点C．
（1）若，求cos∠AOC的值；
（2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长．

20．已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
n
=2a
n
﹣2（n∈ N）．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）设
立；
（3）设
最小值．
21．已知椭圆E：，左焦点是F
1
．
，R
n
是数列{c
n
}的前n项和，若对任意n∈N均有R
n＜λ恒成立，求λ的
*
*
，b
1
=8，T
n
是 数列{b
n
}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N均有T
k
≥Tn
恒成
*
（1）若左焦点F
1
与椭圆E的短轴的两个端点是正三 角形的三个顶点，点
的方程；
在椭圆E上．求椭圆E
（2）过原点且斜率为t（t＞ 0）的直线l
1
与（1）中的椭圆E交于不同的两点G，H，设B
1
（0，1 ），A
1
（2，0），
求四边形A
1
GB
1
H的面 积取得最大值时直线l
1
的方程；
（3）过左焦点F
1
的直线l< br>2
交椭圆E于M，N两点，直线l
2
交直线x=﹣p（p＞0）于点P，其中p 是常数，设
3

，

，计算λ+μ的值（用p，a，b的代数式表示）．
4

2017年上海市奉贤区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）
1．函数f（x）=cos（﹣x）的最小正周期是 2π ．
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】化函数f（x）=cos（
【 解答】解：函数f（x）=cos（
∴f（x）的最小正周期是2π．
故答案为：2π．

2．若关于x，y的方程组无解，则a= 1 ．
﹣x）=sinx，写出它的最小正周期．
﹣x）=sinx
【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】根据题意，分析可得：若方程 组无解，则直线ax+y=1与直线x+y=2平行，由直线平行的判定方法分
析可得=≠，解可得a的 值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，关于x，y的方程组
则直线ax+y=1与直线x+y=2平行，
则有=≠，
解可得a=1，
故答案为：1．

3．已知{a
n
}为等差数列，若a
1
=6，a
3
+a
5
=0，则数列{a
n
}的通项公式为 a
n
=8﹣2n ．
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a
n
}的公差为d，∵a
1
=6，a
3
+a
5
=0，
∴2×6+6d=0，解得d=﹣2．
∴a
n
=6﹣2（n﹣1）=8﹣2n．
故答案为：a
n
=8﹣2n．

4．设集合A={x||x﹣2|≤3}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．
【考点】1E：交集及其运算．
5

无解，

【分析】求出关于A的不等式，根据集合的关系求出t的范围即可．
【解答】解：A={x||x﹣2|≤3}={x|﹣1≤x≤5}，
B={x|x＜t}，
若A∩B=∅，
则实数t的取值范是：t≤﹣1；
故答案为：（﹣∞，﹣1]．

5．设点（9，3）在函数f（x）=log
a
（x﹣1）（a＞0，a ≠1）的图象上，则f（x）的反函数f（x）= 2+1 ．
【考点】4R：反函数．
【 分析】根据点（9，3）在函数f（x）=log
a
（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上， 求解出a，把x用y表示出
来，把x与y互换可得f（x）的反函数f（x）．
【解答】解： 点（9，3）在函数f（x）=log
a
（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，
∴log
a
（9﹣1）=3，
可得：a=2，
则函数f（x）=y=log
2
（x﹣1）
那么：x=2
y
+1．
把x与y互换可得：y=2
x
+1
∴f（x）的反函数f
﹣1
（x）=2
x
+1．
故答案为：2
x
+1．

﹣1
﹣1x
6．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为 3 ．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+2y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即B（1，1），
代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3
故答案为：3．
6

7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣6=0，圆C的参数方程为
则圆心C到直线l 的距离为
【考点】QK：圆的参数方程．
【分析】求出圆的普通方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．
【解答】解：圆C的参数方程为
2），半径为2，
∴圆心C到直线l的距离为
故答案为

8．双曲线
取值范围是 （
=1的左右两焦点分别是F
1
，F
2
，若点P在双曲线上，且∠F< br>1
PF
2
为锐角，则点P的横坐标的
，+∞）∪（﹣∞，﹣） ．
．
=，
，普通方程为x
2
+（y﹣2）
2
=4，圆心为（0，
．
，
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支 为例，求出∠F
1
PF
2
为直角时P的坐标，可得∠F
1
P F
2
为锐角时点
P的横坐标的取值范围
【解答】解：不妨以P在双曲线右支为例
由PF
1
⊥PF
2
，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，
又|PF
1
|﹣|PF
2
|=2，①
两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4，
∴|PF
1
||PF
2
|=6，②
联立①②解得：|PF
2
|=
由焦半径公式得|PF
2
|=
，
=ex﹣a，即可得点P的横坐标为
）
，
）． 根据对称性，则点P的横坐标的取值范围是（
故答案为：是（
7
））

9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 28π ．

【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合 而成，其表面积等于圆柱+圆锥在减去重叠或者多余的部
分．
【解答】解：由题意可知，该几 何体是由圆柱与圆锥组合而成：其表面积等于圆锥侧面积+圆柱侧面+圆柱底
面积．
圆锥S< br>侧
=πrl=8π，圆柱侧面+圆柱底面积=4×2πr+πr
2
=16π+4 π=20π，
∴该几何体的表面积为28π．
故答案为28π．

1 0．已知数列{a
n
}是无穷等比数列，它的前n项的和为S
n
，该数列的首 项是二项式
系数，公比是复数
【考点】8J：数列的极限．
【分析】由题意，该数列的首项是二项式
即可求出极限．
【解答】解：由题意，该数列的首项是二项式
公比是复数的模，
展开式中的x的系数=35，
展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，
的模，其中i是虚数单位，则= 70 ．
展开式中的x的
∴==70，
故答案为70．

11．已知实 数x、y满足方程（x﹣a+1）
2
+（y﹣1）
2
=1，当0≤y≤b（b ∈R）时，由此方程可以确定一个偶函
数y=f（x），则抛物线的焦点F到点（a，b）的轨迹上点的 距离最大值为 ．
【考点】K8：抛物线的简单性质；3J：偶函数；IR：两点间的距离公式．
8

2
【分析】由题设条件当0≤y≤b（b∈ R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），可知方程（x﹣a+1）+
（y﹣1）=1，关于 y轴成轴对称，故有﹣a+1=0，又由圆的几何特征及确定一个偶函数y=f（x）知，y的取
值范围 是，由此可以求出b的取值范围，由此点（a，b）的轨迹求知，再由抛物线的性质求得其焦点坐标为
（ 0，﹣），最大距离可求
【解答】解：由题意可得圆的方程一定关于y轴对称，故由﹣a+1=0，求得a=1
由圆的几何性质知，只有当y≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0＜b≤1
由此知点（a，b）的轨迹是一个线段，其横坐标是1，纵坐标属于（0，1]
又抛物线故其焦点坐标为（0，﹣）
=
2
由此可以判断出焦点F到点（a ，b）的轨迹上点的距离最大距离是
故答案为


12．设x
1< br>、x
2
、x
3
、x
4
为自然数1、2、3、4的一个 全排列，且满足|x
1
﹣1|+|x
2
﹣2|+|x
3
﹣3 |+|x
4
﹣4|=6，则这
样的排列有 9 个．
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】利用和值为6，分解为4个非负数的和，最大值为3，最小值为0，列出所有情况即可． 【解答】解：x
1
、x
2
、x
3
、x
4
为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x
1
﹣1|+|x
2
﹣2 |+|x
3
﹣3|+|x
4
﹣4|=6，
可得4个数的和为6，共 有，0+0+3+3=6；1+1+1+3=6；0+1+2+3=6；1+1+2+2=6；
所有x
1
、x
2
、x
3
、x
4
分别为：
0+0+3+3=6；类型有：
4，2，3，1；
1+1+1+3=6；类型有：
2，3，4，1；
4，1，2，3；
0+1+2+3=6；类型有：
4，1，3，2；
4，2，1，3；
3，2，4，1；
2，4，3，1；
1+1+2+2=6；类型有：
2，4，1，3；
3，1，4，2；
共9种．
故答案为：9．

9

二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）
13．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0
【考点】71：不等关系与不等式．
【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得： ，sinx与siny的大小关系不确定，＜，lnx+lny
C．（）﹣（）＜0 D．lnx+lny＞0
xy
与0的大小关系不确定，即可判断出结论．
【解答】 解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则
﹣
，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．
故选：C．

14．若f（ x）为奇函数，且x
0
是y=f（x）﹣e
x
的一个零点，则﹣x
0
一定是下列哪个函数的零点（ ）
A．y=f（x）e+1 B．y=f（﹣x）e﹣1 C．y=f（x）e﹣1 D．y=f（﹣x）e+1
【考点】52：函数零点的判定定理；3L：函数奇偶性的性质．
【分析】由x
0< br>是y=f（x）﹣e
x
的一个零点知f（x
0
）﹣=0，再结合f（x ）为奇函数知f（﹣x
0
）+=0，
x﹣xxx
从而可得f（﹣x
0
）+1=
x
=0．
【解答】解：∵x
0
是y=f（x）﹣e的一个零点，
∴f（x
0
）﹣=0，
又∵f（x）为奇函数，
∴f（﹣x
0
）=﹣f（x
0
），
∴﹣f（﹣x
0
）﹣
即f（﹣x
0
）+
=0，
=0，
故f（﹣x
0
）+1==0；
故﹣x
0
一定是y=f（x）e
x
+1的零点，
故选：A．

15．矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm．将其 按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按
图（3）的方法将宽BC 2等分，把图 （3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；
按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇
形；…；依次将宽B C n等分，每个小矩形按图（1）分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，
最后拼成的 大扇形的圆心角的大小为（ ）
10

A．小于 B．等于 C．大于 D．大于1.6
【考点】F4：进行简单的合情推理． < br>【分析】当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆 心角=16
×180÷π÷10≈92°，即可得出结论．
【解答】解：将宽BC n等分， 当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，
那么圆心角= 16×180÷π÷10≈92°，因此n无限大时，大扇形的圆心角应该大于90°．
故选C．

16．如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD ⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则
OD：OE：OF等于（ ）

A．a：b：c B．
C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】作出△ ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，由垂径定理和圆周角定理可得∠B=∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若设⊙O的半径为R，可用R分别表示出OD、OE、OF，进而可得 到它们的比例关
系．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC；
∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，
∴∠BAC=∠BOD；
同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；
设⊙O的半径为R，则：
OD=R•cos∠BOD=R•cos∠A，
OE=R•cos∠AOE=R•cos∠B，
11

OF=R•cos∠BOF=R•cos∠C，
故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C，
故选D．


三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）
17．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO =2
（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；
（2）求二面角P﹣AC﹣E的大小．
．

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角． 【分析】（1）方法（1）根据中点条件可以证明OE∥AC，∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成 的角；
解△PCA可得异面直线PC与OE所成的角
方法（2）如图，建立空间直角坐标系，
E（1，1，0）
利用向量的夹角公式可得异面直线PC与OE所成的角
（2）、方法（1）、求出平面APC的法向量，平面ACE的法向量，利用向量法求解．
方法（2）、取AC中点为D，连接PD，OD，可得二面角P﹣AC﹣E的平面角即为∠PDO
解Rt△PDO，可得二面角P﹣AC﹣E的大小
【解答】解：（1）证明：方法（1）∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O，
根据中点条件可以证明OE∥AC，得∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角；

所以

2）如图，建立空间直角

，
异面直线PC与OE所成的角是
（
12
1）方法（坐标系，

，E（1，1，0）
∴，，，
设与夹角θ，

异面直线PC与OE所成的角．
（2）、方法（1）、设平面APC的法向量，
，
平面ACE的法向量，
设两平面的夹角α，则，
所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．
方法（2）、取AC中点为D，连接PD，OD，又圆锥母线PA=AC，∴PD⊥AC，
∵底面圆O上OA=OC∴OD⊥AC，
又E为劣弧CB的中点，即有E∈底面圆O，
∴二面角P﹣AC﹣E的平面角即为∠PDO，
∵C为半圆弧AB的中点，∴∠AOC=90°又直径，
∴，
∵PO⊥底面圆O且OD⊂底面圆O，∴PO⊥OD，
又∴△Rt△PDO中，，
∴所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．

13

∴

18．已知美国苹果公司生产某款iph one手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设
苹果公司一年内共生产该款 iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）
=
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【考点】57：函数与方程的综合运用．
【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；
（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．
【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得
当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣ （16x+40）=﹣6x
2
+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+ 40）=
∴W=；
（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x
2
+384x﹣ 40=﹣6（x﹣32）
2
+6104，∴x=32时，W
max
=W（32 ）=6104；
当x＞40时，W=
当且仅当
∵6104＞5760
∴x=32时，W的最大值为6104万美元．

19．如图，半径为1的半圆O 上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角
平分线交半圆于 点C．
（1）若，求cos∠AOC的值；
≤﹣2
，即x=50时，W
max
=W（50）=5760
+7360，
（2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长．

14

【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）若，利用向量的数量积公式，即可求cos∠AOC的值；
，利用余弦定理，即可求线段AC的长．
1）设∠AOC=θ，

=4+1×2×cos（π﹣2θ）+1×2×cos（π﹣θ）+cosθ
=﹣4cos
2
θ﹣cosθ+6
∴﹣4cosθ﹣cosθ+6=3，∴
（2）A，B，C三点共线，
所以
2
2
（2）若A，B，C三点共线，可得
【解答】解：（，∴
（舍去）
∴
． ∴AC=1+4﹣2×1×2×cosθ=2，∴

20．已知数 列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
n
=2a
n< br>﹣2（n∈N
*
）．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）设
立；
（3）设
最小值．
【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．
【分析】（1）利用已知条件推出a
n+1
=2a
n
，数列{a
n
}为等比数列，公比q=2，求出通 项公式．
（2）推出，方法一：通过T
1
＜T
2
＜T
3< br>＜T
4
=T
5
＞T
6
＞推出结果．方法二利用错位相 减法求和，当
，R
n
是数列{c
n
}的前n项和，若对任意n∈N均 有R
n
＜λ恒成立，求λ的
*
，b
1
=8，T
n< br>是数列{b
n
}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N
*
均有T
k
≥T
n
恒成
1≤n＜4，T
n+1
＞T
n
，当n=4，T
4
=T
5
，当n＞4时，T
n+1
＜T
n
，
综上，当且仅当k=4或5时，均有T
k
≥T
n
．
（3） 利用裂项求和，通过对任意n∈N
*
均有
【解答】（本小题满分13分）
解 ：（1）由S
n
=2a
n
﹣2，得S
n+1
=2a
n+1
﹣2两式相减，得a
n+1
=2a
n+1
﹣2a
n< br>
∴a
n+1
=2a
n

数列{a
n
}为等比数列，公比q=2
又S
1
=2a1
﹣2，得a
1
=2a
1
﹣2，a
1
=2∴< br>（2）


成立，求解即可．
15

，
方法一当 n≤5时，
因此，T
1
＜T
2
＜T
3
＜T
4
=T
5
＞T
6
＞…
≥0

∴对任意 n∈N均有T
4
=T
5
≥T
n
，故k=4或5．
方
（

两式相减，得
=（6
，
当1≤n＜4，T
n+1
＞T
n
，当n=4，T
4
=T
5
， 当n＞4时，T
n+1
＜T
n
，
综上，当且仅当k=4或5时，均有T
k
≥T
n

（3）∵
，
﹣n）•2
n+1
*
法二
﹣12，
∴
∵对任意n∈N
*
均有
∴，
成立，
=
所以λ的最小值为．

21．已知椭圆E：，左焦点是F
1
．
（1）若左焦点F
1
与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点
的 方程；
在椭圆E上．求椭圆E
（2）过原点且斜率为t（t＞0）的直线l
1
与（1）中的椭圆E交于不同的两点G，H，设B
1
（0，1），A
1
（2 ，0），
求四边形A
1
GB
1
H的面积取得最大值时直线l
1
的方程；
（3）过左焦点F
1
的直线l
2
交椭圆E于M ，N两点，直线l
2
交直线x=﹣p（p＞0）于点P，其中p是常数，设
，，计算λ +μ的值（用p，a，b的代数式表示）．
【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）利用左焦点F
1
与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点
16

在椭圆E上．列

出方程组求解a，b可得椭圆方程．
（2）设直线l
1
的方程y=tx，联立，求解，
，
方程．
，推出四边形A
1
GB
1
H的面积，求出最大值，然后求解直线（3）设直线l
2
的方程y=k（x+c）交椭圆bx+ay﹣ab=0于M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），利用韦达定理， 结合
题设，，求解λ+μ即可．
222222
【解答】（本小题满分13分） < br>解：（1）左焦点F
1
与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上 ．

∴，所以椭圆方程
（2）设直线l
1
的方程y=tx
联立，可以计算
，
，
∴
，
∴
所以直线l
1
的方程是
，

（3）设直线l
2
的方程y=k（x+c）交椭圆b
2
x
2
+a
2
y
2
﹣a
2
b
2
=0于M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），
（b
2
+ a
2
k
2
）x
2
+2a
2
k
2< br>cx+a
2
k
2
c
2
﹣a
2
b2
=0，

17

直线l
2
交直线x=﹣p（p＞0）于点P，根据题设，，
得到（x
1
+p，y
p
）=λ（﹣c﹣x
1
，0﹣y
1
） ，（x
1
+p，y
p
）=λ（﹣c﹣x
2
，0﹣y
2
），
得，

=
=﹣
=﹣
=
=
λ+μ的值为：

结论
18

19