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学而时习之，不亦说乎

《定论与证明》知识点汇总-解析
知识结构组织图
合情定论
定论
定
论
与
证
明
证明
间接证明
数学归纳法

归纳定论
类比定论
演绎定论

比较法
直接证明

综合法

分析法

反证法
一、定论
1.定论 ：前提、结论
2.合情定论分析:
合情定论可分为归纳定论和类比定论两类解析：
（1）归纳定论：由某类事物的部分对象具有 某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的定论，或
者由个别事实概括出一般结论的定论。简言 之，归纳定论是由部分到整体、由个别到一般的定论.
（2）类比定论：由两类对象具有某些类似特征 和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具
有这些特征的定论，简言之，类比定论是由特 殊到特殊的定论.
3.演绎定论:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的定论 叫演绎定论，简言之，演绎定论是由一般到特殊
的定论。

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重难点：利用合情定论的原理提出猜想，利用演绎定论的形式进行证明
题型1 用归纳定论发现规律
1、观察：
715211
；
5.516.5211
； 33193211
；….对于任意正实数
a,b
，
试写出使ab211
成立的一个条件可以是 ____.
点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故
ab22

2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，
单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
f (n)
表示第
n
幅图的蜂巢总数.则
f(4)
=_____;
f(n)
=___________.
【解题思路】找出
f(n)f(n1)
的关系式
[解析]
f( 1)1,f(2)16,f(3)1612,f(4)16121837

f(n)1612186(n1)3n
2
3n1

【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系
题型2 用类比定论猜想新的命题
[例]已知正三角形内切圆的半径是高的
【解题思路】从方法的类比入手
[解析]原 问题的解法为等面积法，即
S
1
，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_ _____.
3
111
ah3arrh
，类比问题的解法应为等体积法，
223
1
111
VSh4Srrh
即正四面体的内切球的半径是 高
334
4
【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比 （2）类比定论常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性< br>质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

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二、直接证明与间接证明-
三种证明方法技巧:
综合法、分析法、反证法
反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：
(1) 假设命题的结论不成立；
(2) 根据假设进行定论,直到定论中导出矛盾为止
(3) 断言假设不成立
(4) 肯定原命题的结论成立
重难点：在函数、三角变 换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用
三种证明方法分析问题或 证明数学命题
考点1 综合法
在锐角三角形
ABC
中,求证:
sinAsinBsinCcosAcosBcosC

[解析]
A BC
为锐角三角形，
AB

2
A

2< br>B
，
ysinx
在
(0,)
上是增函数，
 sinAsin(B)cosB

22
同理可得
sinBcosC
，
sinCcosA



sinAsinBsinCcosAcosBcosC

考点2 分析法
已知
ab0
,求证
ab
[解析]要证
ab
ab

ab
，只需证
(ab)
2
(ab)
2

ab
，即证
ba
即
ab2abab
，只需证
b
显然
ba
成立，因此
abab
成立
【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”

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考点3 反证法
已知
f(x)a
x
x2
(a1)
，证明方程
f(x)0没有负数根
x1
【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾
[解析]假设
x
0
是
f(x)0
的负数根，则
x
0
0
且
x
0
1
且
a
x< br>0

x
0
2

x
0
1
0a
x
0
10
x
0
2
1
1
，解得
x
0
2
，这与
x
0
0< br>矛盾，
x
0
1
2
故方程
f(x)0
没有负数根
【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多
三、数学归纳法
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当n=n
0
时命题成立;
(2)假设当n=k（）时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后 ,就可以断定命题对于不小于n
0
的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳
法 .
考点1 数学归纳法
题型：对数学归纳法的两个步骤的认识
[例1 ] 已 知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（
k2
且为偶数）时命题为真，，则还 需证
明（ ）
A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立
C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立
[解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B 【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两
项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式
f(k)
（3）从
f(k1 )
和
f(k)
的差异，寻找由k到k+1递推

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中，左边要加（乘）上的式子
考点2 数学归纳法的应用
题型1：用数学归纳法证明数学命题
用数学归纳法证明不等式
1223 n(n1)
1
(n1)
2

2
[解析]（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立
1
23k(k1)(k1)
2

2
1
2
则
1223k(k1)(k1)(k2)(k1)(k1) (k2)

2
（2）假设当n=k时等式成立，即
12
1(k 2)
2
(k1)(k2)
2
(k1)(k1)(k2) (k1)(k2)0

222
1
1223k(k 1)(k1)(k2)[(k1)1]
2

2

当n=k+1时， 不等式也成立
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；
（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；
（3）由k推导到k+1时，有时 可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵
活”的一面

学习就到这里了，最后祝大家学习愉快！！！

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