大连事业单位招聘-林黛玉人物形象分析

2017
年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）


< br>一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．在每小题给出的四个
选项中，只有一个是符合题目要求的．

1
．已知 集合
A=
{
x
∈
N
|
1
＜
x＜
lnk
}，集合
A
中至少有
3
个元素，则（ ）

A
．
k
＞
e
3
B
．
k
≥
e
3
C
．
k
＞
e
4
D
．
k
≥
e
4

2
．
i
为虚数单位，若
A
．
1 B
．﹣
1 C
．
7
2

b
∈
R
）（
a
，与（
2
﹣
i
）互为共轭复数，则
a
﹣
b=
（ ）
D
．﹣
7

），
f
（
x
）＜
0
，则（ ）

3
．已知
f
（
x
）
=sinx
﹣
x，命题
p
：∃
x
∈（
0
，
A
．
p
是假命题，￢
p
：：∀
x
∈（
0
，
B
．
p
是假命题，￢
p
：：∃
x
∈（
0，
C
．
P
是真命题，￢
p
：：∀
x
∈ （
0
，
D
．
p
是真命题，￢
p
：：∃x
∈（
0
，
），
f
（
x
）≥
0

），
f
（
x
）≥
0

），
f
（
x
）≥
0

），
f
（
x
）≥
0

﹣
a
10
的值为（ ）

4
．在等差数列{a
n
}中，
a
1
+
3a
8
+
a
15
=60
，则
2a
A
．
6 B
．
8 C
．
12 D
．
13

5
．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶
算法来计算多项式的值， 在执行如图算法的程序框图时，若输入的
n=5
，
x=2
，
则输出< br>V
的值为（ ）


A
．
15 B
．
31 C
．
63 D
．
127

6
．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为
10cm
的正方

形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）

A
．
3cm B
．
4cm C
．
5cm D
．
6cm

7
．若不等式组表示的 区域
Ω
，不等式（
x
﹣）
2
+
y
2
表示的区域为
Γ
，向
Ω
区域均匀随机撒
360
颗芝麻，则 落在区域
Γ
中芝麻数约为（ ）

A
．
114 B
．
10 C
．
150 D
．
50

8< br>．若等边△
ABC
的边长为
3
，平面内一点
M
满足< br>为（ ）

A
．﹣
B
．﹣
2 C
．
D
．
2

=
+，则
•
的值
9
．高考结束后高三的
8
名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四 班
每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐
4
名同学（乘同一辆车的
4< br>名同学
不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的
4< br>名同学中恰有
2
名同学是来自同一班的乘坐方式共有（ ）

A
．
18
种
B
．
24
种

﹣
C
．
48
种
D
．
36
种

10
．已知双曲线
=1
（< br>a
＞
0
，
b
＞
0
），过其左焦点
F
作
x
轴的垂线，交双
曲线于
A
，
B
两点， 若双曲线的右顶点在以
AB
为直径的圆外，则双曲线离心率
的取值范围是（ ）

A
．（
1
，）
B
．（
1
，
2
）
C
．（，+∞）
D
．（
2
，+∞）

＜
φ
＜
π
） 的部分图象的
11
．如图，将绘有函数
f
（
x
）
= 2sin
（
ωx
+
φ
）（
ω
＞
0
，

纸片沿
x
轴折成直二面角，若
AB
之间的空间距离 为
2

，则
f
（﹣
1
）
=
（ ）

A
．﹣
2 B
．
2 C
．﹣
D
．

12
．已知函数
f
（
x
）
=
，若
F
（
x
）
=f
[
f
（x
）+
1
]+
m
有两个零点
x
1
，< br>x
2
，则
x
1
•x
2
的取值范围是（ ）

A
．[
4
﹣
2ln2
，+∞）



二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分， 共
20
分）
.

13
．设
a=
系数为 ．

14
．已知抛物线
C
：
y
2
=4x< br>与点
M
（
0
，
2
），过
C
的焦点， 且斜率为
k
的直线与
C
交于
A
，
B
两点， 若
•=0
，则
k=
．

（
cosx
﹣
sinx
）
dx
，则二项式（
a
﹣）
6
的 展开式中含
x
2
项的
B
．（，+∞）
C
．（﹣∞，
4
﹣
2ln2
]
D
．（﹣∞，

）
15
．已知函数
f
（
x
）
=ax
2
+
bx
+
c
（
a＞
0
）有两个零点
1
，
2
，数列{
x
n
}满足
x
n
+
1
=x
n
﹣，设
a
n
=ln

，若
a
1
=
，
x< br>n
＞
2
，则数列{
a
n
}的通项公式
an
=
．
16
．已知
f
（
x
）=x
3
﹣
3x
+
2
+
m
（
m
＞
0
），在区间[
0
，
2
]上存在三个不同的实数
a
，
b
，
c
，使得以
f
（
a），
f
（
b
），
f
（
c
）为边长的三 角形是直角三角形，则
m
的取值
范围是 ．



三、解答题：本大题共
5
小题，共
70
分．解答写出文字说明、证明过程或 演算
过程．

17
．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
b
（
1
+
cosC
）
=c
（
2
﹣
cosB
）．

（
Ⅰ
）求证：< br>a
，
c
，
b
成等差数列；

（
Ⅱ< br>）若
C=
，△
ABC
的面积为
4
，求
c．

18
．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲 公司的底薪
70
元，
每单抽成
4
元；乙公司无底薪，
40< br>单以内（含
40
单）的部分每单抽成
5
元，超
出
40
单的部分每单抽成
7
元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从
两家 公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其
100
天的送餐单数，得到如表频
数表：< br>
甲公司送餐员送餐单数频数表


送餐单数


天数

38

20

39

40

40

20

41

10

42

10

乙公司送餐员送餐单数频数表


送餐单数


天数

38

10

39

20

40

20

41

40

42

10

（
Ⅰ
）现从甲公司记录的
100
天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于
40
的概率；

（
Ⅱ
）若将频率视为概率，回答下列问题：

（
i
）记乙公司送餐员日工资为
X
（单位：元），求
X
的分布 列和数学期望；

（
ii
）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如 果仅从日工资的角度考
虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．

1 9
．
D
，
E
分别是
B
1
C
1、
BC
的中点，如图，在三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，∠
BAC=90°
，
AB=AC=2
，
A
1
A=4
，
A
1
E=
．
（
Ⅰ
）证明：
A
1
D
⊥平面
A1
BC
；

（
Ⅱ
）求二面角
A
﹣BD
﹣
B
1
的平面角的正弦值．


20
．已知椭圆
E
： +
=1
（
a
＞b
＞
0
）的左焦点
F
1
与抛物线
y
2
=
﹣
4x
的焦点
，过点
M
（
m
，
0
）（
m
＞）作斜率不为
0
的直线重合，椭圆
E
的离心率为

l
，交椭圆
E
于
A
，< br>B
两点，点
P
（，
0
），且
（
Ⅰ
） 求椭圆
E
的方程；

（
Ⅱ
）求△
OAB
面积的最大值．

21
．已知函数
f
（
x
）
=lnx
﹣
2ax
，
a
∈
R
．

•
为定值．

（
Ⅰ
）若函数
y=f
（
x
）存在与直线
2x< br>﹣
y=0
垂直的切线，求实数
a
的取值范围；
（
Ⅱ< br>）设
g
（
x
）
=f
（
x
）+


，若
g
（
x
）有极大值点
x
1，求证：

＞
a
．
[选修
4-4
：坐标系与参数方程选讲]

22
．在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为（t
为参数），在以原
点
O
为极点，
x
轴正半轴为极轴的 极坐标系中，圆
C
的方程为
ρ=6sinθ
．

（
Ⅰ
）写出直线
l
的普通方程和圆
C
的直角坐标方程；
（
Ⅱ
）设点
P
（
4
，
3
），直线l
与圆
C
相交于
A
，
B
两点，求


[选修
4-5
：不等式选讲]

23
．已知函数
f
（
x
）
=
|
x
﹣
2
| +|
2x
+
1
|．

（
Ⅰ
）解不等式f
（
x
）＞
5
；

（
Ⅱ
）若关于
x
的方程


=a
的解集为空集，求实数
a
的取值范围．

+的值．

2017
年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共
12小题，每小题
5
分，共
60
分．在每小题给出的四个
选项中，只 有一个是符合题目要求的．

1
．已知集合
A=
{
x
∈
N
|
1
＜
x
＜
lnk
}，集合
A
中至少有
3
个元素，则（ ）

A
．
k
＞
e
3
B
．
k
≥
e
3
C
．
k
＞
e
4
D
．
k
≥
e
4

【考点】元素与集合关系的判断．

【分析】首先确定集合
A
，由此 得到
lnk
＞
4
，由此求得
k
的取值范围．
【解答】解：∵集合
A=
{
x
∈
N
|
1
＜
x
＜
lnk
}，集合
A
中至少有
3
个 元素，

∴
A=
{
2
，
3
，
4< br>，
…
}，

∴
lnk
＞
4
，

∴
k
＞
e
4
．

故选：
C
．



2
．
i
为虚数单位，若
A
．
1 B
．﹣
1 C
．
7
2

b
∈
R
）（
a
，与（
2
﹣
i
）互为共轭复数，则
a
﹣
b=
（ ）
D
．﹣
7

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再 由复数相等的条件求得
a
，
b
的
值，则答案可求．

【解答】解：∵
又
=
，（
2
﹣
i
）
2< br>=4
﹣
4i
﹣
1=3
﹣
4i
，
< br>（
a
，
b
∈
R
）与（
2
﹣
i
）
2
互为共轭复数，

∴
b=3
，
a=
﹣
4
，

则
a
﹣
b=
﹣
7
．

故选：
D
．



3
．已知
f< br>（
x
）
=sinx
﹣
x
，命题
p
： ∃
x
∈（
0
，），
f
（
x
）＜
0
，则（ ）

A
．
p
是假命题，￢
p
：：∀
x
∈（
0
，
B
．
p
是 假命题，￢
p
：：∃
x
∈（
0
，
C
．P
是真命题，￢
p
：：∀
x
∈（
0
，
D
．
p
是真命题，￢
p
：：∃
x
∈（
0< br>，
【考点】命题的否定．

），
f
（
x
）≥
0

），
f
（
x
）≥
0

），
f
（
x
）≥
0

），
f
（
x
）≥
0

【分析】直接利用特称命题

否定是全称命题写出结果．

【解答】 解：
f
（
x
）
=sinx
﹣
x
，
x
∈（
0
，
（
0
，）上是减函数，

），
f′
（
x
）
=cosx
﹣
1
＜
0
，∴
f
（
x
）是
∵
f
（
0
）
=0
，

∴
f
（
x
）＜
0
，

∴命题p
：∃
x
∈（
0
，
￢
p
：∀
x
∈（
0
，
故选：
C
．


< br>4
．在等差数列{
a
n
}中，
a
1
+
3a
8
+
a
15
=60
，则
2a
A．
6 B
．
8 C
．
12 D
．
13

﹣
a
10
的值为（ ）

），
f
（
x
）＜
0
是真命题，

），
f
（
x
）≥
0
，

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．

【解答】解：在等差数列{
a
n
}中，

∵
a1
+
3a
8
+
a
15
=60
，

∴
a
1
+
3
（
a
1
+
7d
）+
a
1
+
14d=5
（
a
1+
7d
）
=60
，

∴
a
1
+
7d=12
，

2a
﹣
a
10
=2
（
a
1
+
8d
）﹣（
a
1
+
9d
）
=a
1
+
7d=1 2
．

故选：
C
．



5．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶

算法来 计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的
n=5
，
x=2
，
则输出
V
的值为（ ）


A
．
15 B
．
31 C
．
63 D
．
127

【考点】程序框图．

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结 构计算并输出变
量
v
的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：∵输入的
x=2
，
n=5
，

故
v=1
，

i=4
，
v=1
×
2
+
1=3

i=3
，
v=3
×
2
+
1=7

i=2
，
v=7
×
2
+
1=15

i=1
，
v=15
×
2
+
1=31

i=0
，
v=31
×
2
+
1=63
i=
﹣
1
，跳出循环，输出
v
的值为
63
，< br>
故选：
C



6
．一块硬质材料的三视 图如图所示，正视图和俯视图都是边长为
10cm
的正方

形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）

A
．
3cm B
．
4cm C
．
5cm D
．
6cm

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】 由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内
切圆的半径
r
．

【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角
形内 切圆的半径
r
，

则
10
﹣
r
+
10
﹣
r=10
∴
r=10
﹣
5
故选：
A
．



表示的区域
Ω
，不等式（
x﹣）
2
+
y
2
cm
，

≈
3cm
．

7
．若不等式组表示的区域为
Γ，向
Ω
区域均匀随机撒
360
颗芝麻，则落在区域
Γ
中 芝麻数约为（ ）

A
．
114 B
．
10 C
．
150 D
．
50

【考点】几何概型；简单线性规划．

【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面 积，得出芝麻落在区域
Γ
内的概
率．

【解答】解：作出平面区域< br>Ω
如图：则区域
Ω
的面积为
S
△
ABC
=< br>区域
Γ
表示以
D
（）为圆心，以为半径的圆，

+
=
．

=
．

=

则 区域
Ω
和
Γ
的公共面积为
S′=
∴芝麻落入区域
Γ
的概率为

∴落在区域
Γ
中芝麻数约为
360
×
故选
A
．

=30π
+
20
≈
114
．




8
．若等边△
ABC
的边长为
3
，平面内一点< br>M
满足
为（ ）

A
．﹣
B
．﹣
2 C
．
D
．
2

=
+，则
•
的值
【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质
即可得出．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系：

B
（
0
，），
A
（，
0
），
C
（﹣，
0
）．
=
（，），

=
（
3
，
0
）

=

+
=
（
2
，）．
=
（，），

∴
则
=
（﹣
1
，
•=
﹣
），
=（，﹣）

=
﹣
2
．

故选：
B
．

9< br>．高考结束后高三的
8
名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班
每 班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐
4
名同学（乘同一辆车的
4
名同学
不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的
4
名同学 中恰有
2
名同学是来自同一班的乘坐方式共有（ ）

A
．
18
种
B
．
24
种
C
．
48
种
D
．
36
种

【考点】排列、组合的实际应用．

【分析】分类讨论，第一类，同一班的
2
名同学在甲车上；第二类，同一班的
2
名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以 解决．

【解答】解：由题意，第一类，同一班的
2
名同学在甲车上，甲车上 剩下两个要
来自不同的班级，从三个班级中选两个为
C
3
2
=3，然后分别从选择的班级中再选
择一个学生为
C
2
1
C
2
1
=4
，故有
3
×
4=12
种．
第二类，同一班的
2
名同学不在甲车上，则从剩下的
3
个班级中选择一个 班级的
两名同学在甲车上，为
C
3
1
=3
，然后再从剩下的 两个班级中分别选择一人为
C
2
1
C
2
1
=4，这时共有
3
×
4=12
种，

根据分类计数原理得， 共有
12
+
12=24
种不同的乘车方式，

故选：
B
．



10
．已知双曲线﹣< br>=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
） ，过其左焦点
F
作
x
轴的垂线，交双
曲线于
A
，< br>B
两点，若双曲线的右顶点在以
AB
为直径的圆外，则双曲线离心率
的 取值范围是（ ）

A
．（
1
，）
B
．（
1
，
2
）
C
．（，+∞）
D
．（
2
，+∞）

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由右顶点
M
在以
AB
为直径的圆的外，得|
MF
|＞|
AF
|，将其转 化为关
于
a
、
b
、
c
的式子，再结合平方关系和离 心率的公式，化简整理得
e
2
﹣
e
﹣
2
＜
0
，
解之即可得到此双曲线的离心率
e
的取值范围．

【解答】解：由于双曲线﹣

=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
），则直线
AB
方程为：
x=
﹣
c
，
因此，设
A
（﹣
c
，
y
0
），
B
（﹣
c
，﹣
y
0
），
< br>∴
=1
，解之得
y
0
=
，得|
AF
|
=
，

∵双曲线的右顶点
M
（
a
，0
）在以
AB
为直径的圆外，

∴|
MF
|＞ |
AF
|，即
a
+
c
＞，

将
b
2
=c
2
﹣
a
2
，并化简整理，得
2a< br>2
+
ac
﹣
c
2
＞
0

两 边都除以
a
2
，整理得
e
2
﹣
e
﹣
2
＜
0
，

∵
e
＞
1
，∴解之 得
1
＜
e
＜
2
．

故选：
B
．



11
．如图，将绘有函 数
f
（
x
）
=2sin
（
ωx
+
φ
）（
ω
＞
0
，
纸片沿
x
轴折成直二面角 ，若
AB
之间的空间距离为
2
＜
φ
＜
π
） 的部分图象的

，则
f
（﹣
1
）
=
（ ）

A
．﹣
2 B
．
2 C
．﹣
D
．

【考点】点、线、面间的距离计算；由
y=Asin
（
ωx
+
φ
）的部分图象确定其解析
式．

【分析】根据图 象过点（
0
，
1
），结合
φ
的范围求得
φ
的值，再根据
A
、
B
两点
之间的距离，求得
T
的值 ，可得
ω
的值，从而求得函数的解析式，从而求得
f
（﹣
1
）的值．

【解答】解：由函数的图象可得
2sinφ=1
，可得
s inφ=
，再根据＜
φ
＜
π
，可

得
φ=
．

=2
，求得
T=4
，

再根据< br>A
、
B
两点之间的距离为
再根据
T==4
，求得ω=
x
+
．

∴
f
（
x
）< br>=2sin
（
故选：
D
．



） ，
f
（﹣
1
）
=2sin
（﹣+）
=
，< br>
12
．已知函数
f
（
x
）
=
，若
F
（
x
）
=f
[
f
（
x
）+
1
]+
m
有两个零点
x
1
，
x
2
，则
x
1
•x
2
的取值范围是（ ）

A
．[
4
﹣
2ln2
，+∞）
B
．（，+∞）
C
．（﹣∞，
4
﹣
2ln2
]
D
．（﹣∞，

）
【考点】分段函数的应用．

【分析】由 题意可知：当
x
≥
1
时，
f
（
x
）+1
≥
1
，
f
[
f
（
x
）+< br>1
]
=ln
（
f
（
x
）+
1
），
当
x
＜
1
，
f
（
x
）=1
﹣＞，
f
[
f
（
x
）+
1
]
=ln
（
f
（
x
）+
1
），
f
[
f
（
x
）+
1
]
=ln
（< br>f
（
x
）
+
1
）+
m=0
，则x
1
x
2
=e
t
（
2
﹣
2t
），
t
＞，设
g
（
t
）
=e
t< br>（
2
﹣
2t
），
t
＞，求导，利
用导数求得 函数的单调性区间，即可求得
x
1
x
2
的取值范围．
【解答】解：当
x
≥
1
时，
f
（
x
）
=lnx
≥
0
，

∴
f
（
x
）+
1
≥
1
，

∴
f
[
f
（
x
）+
1
]
=ln
（
f
（
x
）+
1
），

当
x
＜
1
，
f
（
x
）
=1
﹣＞，
f
（
x
）+
1
＞，

f
[
f
（
x
）+
1
]
=ln
（
f（
x
）+
1
），

综上可知：
F
[< br>f
（
x
）+
1
]
=ln
（
f
（
x
）+
1
）+
m=0
，

则
f
（
x
）+
1=e
﹣
m
，
f
（< br>x
）
=e
﹣
m
﹣
1
，有两个根
x< br>1
，
x
2
，（不妨设
x
1
＜
x2
），

当
x
≥
1
是，
lnx
2
=e
﹣
m
﹣
1
，当
x
＜
1< br>时，
1
﹣
令
t=e
﹣
m
﹣
1
＞，则
lnx
2
=t
，
x
2
=e
t，
1
﹣
∴
x
1
x
2
=e
t< br>（
2
﹣
2t
），
t
＞，

=e
﹣
m
﹣
1
，

=t
，
x
1
=2
﹣
2t
，

设
g
（
t
）
=e
t
（
2
﹣
2t
），
t
＞，

求导
g′
（
t
）
=
﹣
2te
t
，

t∈（，+∞），
g′
（
t
）＜
0
，函数
g（
t
）单调递减，

∴
g
（
t
）＜< br>g
（）
=
，

），

），

∴
g
（
x
）的值域为（﹣∞，
∴
x
1
x
2
取值范围为（﹣∞，
故选：
D
．



二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分）
.

13
．设
a=
（
cosx
﹣< br>sinx
）
dx
，则二项式（
a
﹣）
6
的展 开式中含
x
2
项的
系数为
12
．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】根据微积分基本定理首先求出
a的值，然后再根据二项式的通项公式求
出
r
的值，问题得以解决．
【解答】解：由于
a=
∴（﹣
2
﹣）
6
=
（< br>2
（
cosx
﹣
sinx
）
dx=
（
sinx
+
cosx
）|
+
=
﹣
1
﹣< br>1=
﹣
2
，

）
6

的通项公式为
T
r
+
1
=2
r
C
6
r
•x
3
﹣
r
，

令
3﹣
r=2
，求得
r=1
，故含
x
2
项的系数为
2C
6
1
=12
．

故答案为：
12



14
．已知抛物线
C
：
y
2
=4x
与点
M
（
0
，< br>2
），过
C
的焦点，且斜率为
k
的直线与
C
交于
A
，
B
两点，若
•=0
，则
k=

8
．

【考点】直线与抛物线的位置关系．

【分析】设 直线
AB
的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐
标运算（
x
1
，
y
1
﹣
2
）（
x
2
，
y
2
﹣
2
）
=0
，即可求得
k
的值．

【解答】解：抛物线
C
：
y
2
=4x< br>的焦点为
F
（
1
，
0
），∴直线
AB
的方程为
y=k
（
x
﹣
1
），设
A
（< br>x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），

联立方程组，整理得：
k
2
x
2
﹣（
2k
2
+
4
）
x
+
k
2
=0
，

则
x
1
+
x
2
==2
+．
x
1
x
2=1
．

∴
y
1
+
y
2
=k
（
x
1
+
x
2
）﹣
2k=
，y
1
y
2
=k
2
（
x
1
﹣< br>1
）（
x
2
﹣
1
）
=k
2
[
x
1
x
2
﹣（
x
1
+
x
2
）+
1
]
=
﹣
4
，

∵•=0
，（
x
1
，
y
1
﹣
2
）（
x
2
，
y
2
﹣
2
）
=0，即
x
1
x
2
+
y
1
y
2< br>﹣
2
（
y
1
+
y
2
）+
4 =0
，解得：
k=8
．

故答案为：
1
．



15
．已知函数
f
（
x
）
= ax
2
+
bx
+
c
（
a
＞
0）有两个零点
1
，
2
，数列{
x
n
}满足x
n
+
1
=x
n
﹣，设
a
n
=ln
，若
a
1
=
，
x
n
＞
2< br>，则数列{
a
n
}的通项公式
a
n
=

2
n
﹣
2
（
n
∈
N*
） ．

【考点】数列与函数的综合．

【分析】由题意可得
f
（
x
）
=a
（
x
﹣
1
）（
x﹣
2
），求出导数，可得
x
n
+
1
=
，
求得
a
n
+
1
=ln=2ln=2a
n
，运用等比数列的通项公式即可得到所求．

【解答】解：函数
f
（
x
）
=ax
2
+
bx
+
c
（
a< br>＞
0
）有两个零点
1
，
2
，

可得
f
（
x
）
=a
（
x
﹣
1
）（
x
﹣
2
），

f′
（
x
）< br>=a
（
2x
﹣
3
），

则
x
n
+
1
=x
n
﹣
由
a
1
=，
x
n
＞
2
，

则
a
n+
1
=ln=ln=2ln=2a
n
，

=x
n
﹣
=
，

即有
a
n
=a
1
q
n
﹣
1
=•2
n
﹣
1
=2
n
﹣
2
．

故答案为：
2
n
﹣
2
（
n
∈
N*
）．

16
．已知
f
（
x
）
= x
3
﹣
3x
+
2
+
m
（
m
＞
0
），在区间[
0
，
2
]上存在三个不同的实数
a
，
b
，
c
，使得以
f
（
a
） ，
f
（
b
），
f
（
c
）为边长的三角形是 直角三角形，则
m
的取值
范围是
0
＜
m
＜
3
+
4
．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】利用导数 求得
f
（
x
）
=x
3
﹣
3x
+< br>3
+
m
（
m
＞
0
），在区间[
0< br>，
2
]上的最小值、
最大值，由题意构造不等式解得范围．

【解答】解：
f
（
x
）
=x
3
﹣
3x+
3
+
m
，求导
f′
（
x
）
=3x
2
﹣
3
由
f′
（
x
）
=0
得到
x=1
或者
x=
﹣
1
，

又
x
在[
0
，
2
]内，∴函数
f
（
x
）在区间（
0
，
1
）单调递减，在区间（
1
，< br>2
）单调
递增，

则
f
（
x
）min
=f
（
1
）
=m
+
1
，
f
（
x
）
max
=f
（
2
）
= m
+
5
，
f
（
0
）
=m
+
3
．

∵在区间[
0
，
2
]上存在三个不同的实 数
a
，
b
，
c
，使得以
f
（
a< br>），
f
（
b
），
f
（
c
）
为边长的三角形是构成直角三角形，

∴（
m
+
1
）
2
+（
m
+
1
）
2
＜（
m
+< br>5
）
2
，即
m
2
﹣
6m
﹣
23
＜
0
，解得
3
﹣
4
又已知
m
＞
0
，∴
0
＜
m
＜
3
+
4
故答案为：
0
＜
m
＜
3
+
4


三、解答题：本大题共
5
小题，共
70
分．解答写出文字说明、证明 过程或演算
过程．

17
．在△
ABC
中，角
A< br>，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，< br>c
，已知
b
（
1
+
cosC
）
=c
（
2
﹣
cosB
）．

（
Ⅰ
）求 证：
a
，
c
，
b
成等差数列；

（
Ⅱ
）若
C=
，△
ABC
的面积为
4
，求
c
．

．

．

＜
m
＜
3
+
4

【考点】正弦定理．

【分析】（
Ⅰ
）由正弦定理，三角形内角和定 理，两角和的正弦函数公式化简已
知可得
sinA
+
sinB=2sinC< br>，从而可求
a
+
b=2c
，即
a
，
c
，
b
成等差数列；

c
2
=
（
Ⅱ
）由已知利用三角形面积公式可求
ab=16
，进而利用余弦定理可得：（
a
+
b
）
2
﹣
3ab
，结合
a
+
b=2c
，即可解得
c
的值．

【解答】（本题满分为
12
分）

解：（
Ⅰ
）∵
b
（
1
+
cosC
）
=c
（
2
﹣
cosB
），

∴由正弦定理可得：
sinB
+
sinBcosC=2sinC
﹣
sinCcosB
，可得：sinBcosC
+
sinCcosB
+
sinB=2sinC
，

∴
sinA
+
sinB=2sinC
，
∴
a
+
b=2c
，即
a
，
c
，
b
成等差数列；

（
Ⅱ
）∵
C=
∴
ab=16
，

∵由余弦定理可得：
c
2
=a
2
+
b
2
﹣
2abcosC=a
2
+
b
2
﹣
ab=
（
a
+
b
）
2
﹣
3ab
，

∵
a
+
b=2c
，

∴可得：
c
2
=4c
2
﹣
3
×
16
，解得：
c=4< br>．



18
．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案 如下：甲公司的底薪
70
元，
每单抽成
4
元；乙公司无底薪，
40
单以内（含
40
单）的部分每单抽成
5
元，超
出40
单的部分每单抽成
7
元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其
100
天的送餐单数，得到如表频
数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表


送餐单数


天数

38

20

39

40

40

20

41

10

42

10

，△
ABC
的面积为
4=absinC=ab
，

乙公司送餐员送餐单数频数表


送餐单数


天数

38

10

39

20

40

20

41

40

42

10

（
Ⅰ
）现从甲公司记录的
100
天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于
40
的概率；

（
Ⅱ
）若将频率视为概率，回答下列问题：

（
i
）记乙公司送餐员日工资为
X
（单位：元），求
X
的分布 列和数学期望；

（
ii
）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如 果仅从日工资的角度考
虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

记
“
抽取的两天送餐单数都大于
40”
为 事件
M
，
=
【分析】（
Ⅰ
）可得
P
（M
）

．
（
Ⅱ
）（
ⅰ
）设乙公司送餐 员送餐单数为
a
，可得当
a=38
时，
X=38
×
5=190
，以
此类推可得：当
a=39
时，当
a=40
时 ，
X
的值．当
a=41
时，
X=40
×
5
+
1
×
7
，同
理可得：当
a=42
时，
X =214
．所以
X
的所有可能取值为
190
，
1195，
200
，
207
，
214
．可得
X
的分布列及其数学期望．

（
ⅱ
）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为< br>38
×
0.2
+
39
×
0.4
+
4 0
×
0.2
+
41
×

0.1
+
42
×
0.1=39.5
．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出 ．
【解答】解：（
Ⅰ
）

记
“
抽取的两天送餐单数 都大于
40”
为事件
M
，

则
P
（
M
）
==
．

（
Ⅱ
）（
ⅰ
）设乙公司送餐员送餐单数为
a
，

则当
a=38
时，
X=38
×
5=190
，

当
a=39
时，
X=39
×
5=195
，

当
a=40
时，
X=40
×
5=200
，

当
a=41
时，
X=40
×
5
+
1
×
7=207
，

当
a=42
时，
X=40×
5
+
2
×
7=214
．

所以X
的所有可能取值为
190
，
195
，
200
，
207
，
214
．故
X
的分布列为：

X

P

190


195


200


207


214


∴
E
（
X
）
=190
×+
19 5
×+
200
×+
207
×+
214
×
=
．

（
ⅱ
）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为
38
×
0.2
+
39
×
0.4
+
40
×
0.2
+
41
×
0.1
+
42
×
0.1=39.5
．

所以甲公司送餐员日平均工资为
70
+
4
×
39.5=228
元．

由（
ⅰ
）得乙公司送餐员日平均工资为
192.2
元．

因为
192.2
＜
228
，故推荐小明去甲公司应聘．



19
．
D
，
E
分别是
B1
C
1
、
BC
的中点，如图，在三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，∠
BAC=90°< br>，
AB=AC=2
，
A
1
A=4
，
A
1
E=
．

（
Ⅰ
）证明：
A1
D
⊥平面
A
1
BC
；

（
Ⅱ
）求二面角
A
﹣
BD
﹣
B
1
的平面角的 正弦值．


【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
< br>【分析】（
1
）先证
AE
⊥平面
A
1
BC< br>，再证
A
1
D
∥
AE
即可
‘’
< br>（
2
）所求值即为平面
A
1
BD
的法向量与平面B
1
BD
的法向量的夹角的余弦值的
绝对值的相反数，计算即可．

【解答】证明：（
Ⅰ
）∵在三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
D
，
E
分别是< br>B
1
C
1
、
BC
的
中点，∠
BAC =90°
，
AB=AC=2
，

∴
A
1
D
∥
AE
，
AE
⊥
BC
，
AE=BE=∵
A
1
A=4
，
A
1
E=
∴
A
1
E
2
+
AE
2
=
．

，∴
AE
⊥
A
1
E
，

，

∵
A
1
E
∩
BC=E
，∴< br>AE
⊥平面
A
1
BC
，

∵
A1
D
∥
AE
，∴
A
1
D
⊥平面
A
1
BC
．

解：（
Ⅱ
）如图，以
BC
中点
O
为坐标原点，以
OB
、
OA
、
OA
1
所在直线分别为
x
、
y
、
z
轴建系．< br>
易知
A
1
（
0
，
0
，
A
（
0
，
），
B
（，
0
，
0
），
C
（﹣
，），
B
1
（
，
0
，
0
），

，），

，
0
），
D
（
0
，﹣，﹣
设平面
A
1
BD
的法向量为
=
（
x
，
y
，
z
），

由，可取．

设平面
B
1
BD
的法向量为
=
（
x
，
y
，
z
），

由
cos
＜＞
=

，可取．

又∵该二面角为钝角，

∴二面角
A
1
﹣< br>BD
﹣
B
1
的平面角的余弦值为﹣．




20
．已知椭圆
E
： +
=1
（
a＞
b
＞
0
）的左焦点
F
1
与抛物线
y
2
=
﹣
4x
的焦点
，过点
M
（
m
，
0
）（
m
＞）作斜率不为
0
的直线
•
为定值．

重合，椭圆
E
的离心率为
l
，交椭圆< br>E
于
A
，
B
两点，点
P
（，
0），且
（
Ⅰ
）求椭圆
E
的方程；

（
Ⅱ
）求△
OAB
面积的最大值．

【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

【分析】（
Ⅰ
）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合
椭圆离心率可得长半轴长，再由
b
2
=a
2
﹣
c
2
求出短半轴，则椭圆
E
的标准方程可
求；

（
Ⅱ
）设
A
（x
1
，
y
1
），
B
（
x
2< br>，
y
2
），直线
l
的方程为：
x=ty
+< br>m
，由
理得（
t
2
+
2
）
y
2
+
2tmy
+
m
2
﹣
2=0
由
y
2
|
=
即可求得最值

【解答】解：（
Ⅰ）设
F
1
（﹣
c
，
0
），

∵抛物线
y
2
=
﹣
4x
的焦点坐标为（﹣
1
，
0
），且椭圆
E
的左焦点
F
与抛物线
y
2
=
﹣
4x
的焦点重合，∴
c=1
，

•
为定值，解得
m
，|
AB
|
=
，△
OA B
面积
s=
整
|
y
1
﹣
，点
O< br>到直线
AB
的距离
d=

又椭圆
E
的离 心率为，得
a=
，于是有
b
2
=a
2
﹣
c
2
=1
．

．

故椭圆
Γ
的标准 方程为：
（
Ⅱ
）设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），直线
l
的方程为：
x=ty
+
m
，

由整理得（
t
2
+
2
）
y
2
+
2 tmy
+
m
2
﹣
2=0

，

，
=
=
（
=
t
2
+
1
）
y
1
y
2
+（


tm
﹣
t
．

）（
y
1
+
y
2
）+
m
2
﹣
要使
•
为定值，则，解 得
m=1
或
m=
（舍）

当
m=1
时，|
AB
|
=
|
y
1
﹣
y
2
|
=
，

点
O
到直线
AB
的距离
d=
，

△
OAB
面积
s==
．

∴当
t=0
，△
OAB
面积的最大值为


，

21
．已知函数
f
（
x
）
= lnx
﹣
2ax
，
a
∈
R
．


（
Ⅰ
）若函数
y=f
（
x
）存在与直线
2 x
﹣
y=0
垂直的切线，求实数
a
的取值范围；
（
Ⅱ
）设
g
（
x
）
=f
（
x
）+， 若
g
（
x
）有极大值点
x
1
，求证：
< br>＞
a
．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（
Ⅰ
）求出函数的导数，问题转化为
x=
a
的范围即可；

在（
0
，+∞）上有解，求出
（
Ⅱ
）求出
g
（
x
）的解析式，通过讨论
a
的范围，问题转化为证明
x
1
lnx
1
+
1
＞ax12
，
令
h
（
x
）
=
﹣﹣
x
+
xlnx
+
1
，
x
∈（
0
，
1
），根据函数的单调性证明即可．

【解答】（
Ⅰ
）解 ：因为
f′
（
x
）
=
﹣
2a
，
x
＞
0
，

因为函数
y=f
（
x
） 存在与直线
2x
﹣
y=0
垂直的切线，

所以
f′
（
x
）
=
﹣在（
0
，+∞）上有解，

即﹣
2a=
﹣在（
0
，+∞）上有解，

也即
x=
所以
在（
0
，+∞）上有解，

＞
0
，得
a
＞，

故所求实数
a
的取值范围是（，+∞）；

（
Ⅱ
） 证明：因为
g
（
x
）
=f
（
x
）+
x
2
=x
2
+
lnx
﹣
2ax
，

因为
g′
（
x
）
=
，

①当 ﹣
1
≤
a
≤
1
时，
g
（
x
）单调递增无极值点，不符合题意，

②当
a
＞
1
或a
＜﹣
1
时，令
g′
（
x
）
=0，设
x
2
﹣
2ax
+
1=0
的两根为
x
1
和
x
2
，

因为
x
1
为函数
g
（
x
）的极大值点，所以
0
＜
x
1
＜
x
2
，

又
x
1
x
2
=1
，
x
1
+
x
2
=2a
＞
0
，所以
a
＞
1
，
0
＜
x
1
＜
1
，

所以
g′
（
x
1< br>）
=x
1
2
﹣
2ax
1
+
=0，则
a=
，

要证明

+＞
a
，只需 要证明
x
1
lnx
1
+
1
＞
ax
1
2
，

因为
x
1
lnx
1
+< br>1
﹣
ax
1
2
=x
1
lnx
1﹣+
1=
﹣﹣
x
1
+
x
1
lnx1
+
1
，
0
＜
x
1
＜
1，

令
h
（
x
）
=
﹣
x3
﹣
x
+
xlnx
+
1
，
x
∈（
0
，
1
），

所以
h′
（
x
）
=
﹣
x
2
﹣+
lnx
，记
P< br>（
x
）
=
﹣
x
2
﹣+
lnx
，
x
∈（
0
，
1
），

则
P′
（
x
）
=
﹣
3x
+
=当
0
＜
x
＜
，

＜
x
＜1
时，
p′
（
x
）＜
0
，

＜
0
，所以
h′
（
x
）＜
0
，

时，
p′
（
x
）＞
0
，当
）
=< br>﹣
1
+
ln
所以
p
（
x
）
max
=p
（
所以
h
（
x
）在（
0
，
1
）上单调递减，

所以
h
（
x
）＞
h
（
1
）
=0
，原题得证．



[选修
4-4
：坐标系与参数方程选讲]

22
．在直角坐 标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为（
t
为参数），在以原
点
O
为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆
C
的方程为
ρ=6sinθ
．

（
Ⅰ
）写出直线
l
的普通方程和圆
C
的直角坐标方程；

（
Ⅱ
）设点
P
（
4
，
3
），直线
l
与圆
C< br>相交于
A
，
B
两点，求
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数 方程化成普通方程．

【分析】（
Ⅰ
）把直线
l
的参数方程 消去参数
t
可得，它的直角坐标方程；把圆
C
的极坐标方程依据互化公式转化 为直角坐标方程．

+的值．

（
Ⅱ
）把直线
l< br>的参数方程（
t
为参数），代入圆
C
的直角坐标方程，
得，结 合根与系数的关系进行解答．

【解答】解：（
Ⅰ
）由直线
l
的参数方程为（
t
为参数），得直线
l
的普
通方程为
x< br>+
y
﹣
7=0
．

又由
ρ=6sinθ得圆
C
的直角坐标方程为
x
2
+（
y
﹣
3
）
2
=9
；

（
Ⅱ
）把直线
l
的参数方程（
t
为参数），代入圆
C
的直角坐标方程，

得，

设
t
1
，
t
2是上述方程的两实数根，

所以
t
1
+
t
2< br>=4
，
t
1
t
2
=7
，

∴
t
1
＞
0
，
t
2
＞
0
，

所以


[选修
4-5
：不等式选讲]

23
．已知函数
f
（
x
）
=
|
x
﹣
2
|+|
2x
+
1
|．

（
Ⅰ
）解不等式
f（
x
）＞
5
；

（
Ⅱ
）若关于
x
的方程
=a
的解集为空集，求实数
a
的取值范围．

+
=
．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】（
Ⅰ
）分类讨论求得原不等式解集．

（
Ⅱ
）由分段函数
f
（
x
）的解析式可得
f
（
x）的单调性，由此求得函数
f
（
x
）
的值域，求出的取值范围． 再根据关于
x
的方程
=a
的解集为空集，
求得实数
a
的取值范围．

【解答】解：（
Ⅰ
）解不等式|
x
﹣2
|+|
2x
+
1
|＞
5
，

x
≥
2
时，
x
﹣
2
+
2x
+< br>1
＞
5
，解得：
x
＞
2
；

﹣＜
x
＜
2
时，
2
﹣
x
+
2x
+
1
＞
5
，无解，

x
≤﹣时，
2
﹣
x
﹣
2x
﹣
1
＞
5
，解得：
x
＜﹣，

故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（
2
，+∞）；

（
Ⅱ< br>）
f
（
x
）
=
|
x
﹣
2< br>|+|
2x
+
1
|
=
，

故
f
（
x
）的最小值是，所以函数
f
（
x
）的值域 为[，+∞），

从而
f
（
x
）﹣
4
的取 值范围是[﹣，+∞），

进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（
0
，+∞）．

=a
的 解集为空集，所以实数
a
的取值范围是（﹣，根据已知关于
x
的方程