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高理科数学公式大
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高中数学公式大全（最新整理版）

§01. 集合与简易逻辑
1. 元素与集合的关系
xAxC
U
A
,
xC
U
AxA
.
2.德摩根公式
C
U
(AIB)C
U
AUC
U
B;C
U
(AUB) C
U
AIC
U
B
(1)在给定区间
(,)
的子区间
L
（形如


,


，

,


，


,

不 同）上含参数的二次
不等式
f(x,t)0
(
t
为参数)恒成立的 充要条件
是
f(x,t)
min
0(xL)
.
(2) 在给定区间
(,)
的子区间上含参数
的二次不等式
f(x,t)0
(
t
为参数)恒成立的充
要条件是
f
(
x
,
t
)
man

0(
xL
)
.
42
.
3.包含关系
AIBAAUBB
ABCU
BC
U
A

AIC
U
B
C
U
AUBR

4.容斥原理
card(AUB)cardAcardBcard(AIB)
.
5 ．集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集 个数共有
2
n

个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1
个；非空的真子集有
2
n
–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)ax
2
bxc(a0)
;
(2)顶点式
f(x)a(xh)
2
k(a0)
;
(3)零点式
f(x)a(xx
1
)(xx
2
)(a0)
.
7.一元二次方程的实根分布
依据：若
f(m)f(n)0
，则方程
f(x)0
在区间
(m,n)
内至少有一个实根 .
设
f(x)x
2
pxq
，则
（1）方程
f(x) 0
在区间
(m,)
内有根的充要

p
2
4q 0
条件为
f(m)0
或


p
；



2
m
（2）方程
f(x)0
在区间
(m,n)
内有根的充要条


f(m)0
f(n)0
件为
f(m)f(n)0
或



2

f(m)0

p4q0
或

f(n)0
或



m
p

2
n


f(n)0

f(m)0
；
（3）方程
f(x)0
在区间
(,n)
内有根的充要

p
2
4q 0
条件为
f(m)0
或




p
2
m
.
8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的
条件依据
(3)
f(x)ax bxc0
恒成立的充要条

件是

a0

b0
或


a0
2
.


c0

b4ac0
9.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假

10.四种命题的相互关系
原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，
与逆否命题互为逆否；
逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互
否，与否命题互为逆否；
否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆
否，与逆否命题互逆；
逆否命题：与逆命题互否，与否命题互
逆，与原命题互为逆否；
15.充要条件
（1）充分条件：若
pq
，则
p
是
q
充分条
件.
（2）必要条件：若
qp
，则
p
是
q
必要
条件.
（3）充要条件：若
pq
，且
qp
，则
p< br>是
q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的
必要条件；反之亦然.
§02. 函数
11.函数的单调性
(1)设
x
1
x
2

a,b

,x
1
x
2
那么
(x
1
x
2
)

f(x
1
)f(x
2
)

0

f(x
1
)f(x
2< br>)
x
0f(x)在

a,b

上是增函数； < br>1
x
2

(x
1
x
2
)< br>
f(x
1
)f(x
2
)

0
f(x
1
)f(x
2
)
0f(x)在

a ,b

上是减函数.
x
1
x
2
(2)设函数< br>yf(x)
在某个区间内可导，如
果
f

(x)0
，则
f(x)
为增函数；如果
f

(x)0
，则
f(x)
为减函数.
12.如果函数
f(x)
和
g(x)
都是减函数,则在
公共定义域内,和函数
f(x)g(x)
也是减函数;
如果函数
yf(u)
和
ug(x)
在其对应的定义域
上都是减 函数,则复合函数
yf[g(x)]
是增函数.
(3)函数
yf(x)
和
yf
1
(x)
的图象关于
直线y=x对称.
19.若将函数
yf(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单 位，得到函数
yf(xa)b
的图象；若
将曲线
f(x,y)0的图象右移
a
、上移
b
个单
位，得到曲线
f(xa, yb)0
的图象.
20．互为反函数的两个函数的关系
f(a)bf
1
(b)a
.
21.若函数
yf (kxb)
存在反函数,则其反
1
函数为
y
[
f
1
(
x
)
b
]
,并不是
y[f
 1
(kxb)
,
13．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称， 偶函数的图
象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象
关于原点对称，那么这个函数是奇函 数；如果
一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数
是偶函数．
14.若函数yf(x)
是偶函数，则
f(xa)f(xa)
；若函数
y f(xa)
是偶
函数，则
f(xa)f(xa)
.
15 .对于函数
yf(x)
(
xR
),
f(xa)f(bx)
恒成立,则
函数
f(x)
的对称轴是函数
x
ab
2
;
两个函数
yf(xa)
与
yf(bx)
的
图象关于直线
x
ab
2
对称.
16若
f( x)f(xa)
,则函数
yf(x)
的图象
关于点
(a
2
,0)
对称;
若
f(x)f(x a)
,则函数
yf(x)
为
周期为
2a
的周期函数.

17.函数
yf(x)
的图象的对称性
(1)函数
yf(x)
的图象关于直线
xa
对称
f(ax)f(ax)
f(2ax)f(x)
.
(2)函数
yf(x)
的 图象关于直线
x
ab
2
对称
f(amx)f(bmx)

f(abmx)f(mx)
.
18.两个函数图象的对称性 < br>(1)函数
yf(x)
与函数
yf(x)
的图象关
于直 线
x0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
yf(mxa )
与函数
yf(bmx)
的图象关于直线
x
ab
2 m
对称.
k
而函数
y
[
f
1
(kxb
)
是
y
1
k
[
f
(
x
)
b
]
的反函
数.
22.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)cx
,
f(xy)f(x)f( y),f(1)c
.
(2)指数函数
f(x)a
x
,
f(xy)f(x)f(y),f(1)a0
.
(3)对数函数
f(x) log
a
x
,
f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a 1)
.
(4)幂函数
f(x)x

,
f(xy)f (x)f(y),f
'
(1)

.
(5)余弦函数
f( x)cosx
,正弦函数
g(x)sinx
，
f(xy)f(x)f (y)g(x)g(y)
，
f(0)1,lim
g(x)
x0
x
1
.
23.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)f(xa)
，则
f(x)
的周期
T=a；
（2）
f(x)f(xa)0
，
或
f(xa)
1
f(x)
(
f
(
x
)

0)
，
或
f(xa)
1
f(x)
(f(x)0)
, 或
1
2
f(x)f
2
(x)f(xa),(f(x)

0,1

)
,
则
f(x)
的周期T=2 a；
(3)
f(x)1
1
f(xa)
(f(x)0)，则
f(x)
的周期T=3a；

(4)
f(x
f(x
2
)
1
x
2
)
f(x
1
)
1f(x)
且
1
)f(x
2
f(a)1(f(x
1
)f(x
2
)1,0|x
1
x
2
|2a)
，则
f(x)
的周期T=4a；
(5)
f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)
,则
f(x)
的周期T=5a；
(6)
f(xa)f(x)f(xa)
，则f(x)
的周
期T=6a.
24.分数指数幂
m
(1)< br>a
n

1
n
a
m
（
a0,m,n N

，且
n1
）.
m
(2)
a
< br>n

1
m
（
a0,m,nN

，且n1
）.
a
n
25．根式的性质
（1）
(
n
a
)
n
a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
a
； < br>当
n
为偶数时，
n
a
n
|a|


a,a0
a,a0
.

26．有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
a
s
a
rs
(a 0,r,sQ)
.
(2)
(a
r
)
s
a< br>rs
(a0,r,sQ)
.
(3)
(ab)
r
a
r
b
r
(a0,b0,rQ)
.
注： 若a＞ 0，p是一个无理数，则a
p
表
示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都适用.
27.指数式与对数式的互化式

log
a
Nba
b
N
(a0,a1,N0)
.

28.对数的换底公式
log
log
m
N
a
N
log
(a0
,且
a1
,
m0
,且
m
a
m1
,

N0
).
推论
log
n
a
m
b
n

m
log
a
b
(a0
,且
a1
,
m,n0
,且
m1
,
n1
,

N0
).
29．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) log
a
Mlog
a
N
;
(2)
log< br>M
a
N
log
a
Mlog
a
N
;
(3)
log
a
M
n
nlog
a
M (nR)
.


§03. 数 列
30. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
yN(1p)
x
.
31.数列的同项公式与前n项的和的关系
a

s
1
,n1
n


( 数 列
{

s
a
n
}
的前n项的
n
 s
n1
,n2
和为
s
n
a
1
a< br>2
La
n
).
32.等差数列的通项公式
a
*
n
a
1
(n1)ddna
1
d(nN)< br>；
其前n项和公式为
s
n(a
1
a
n
)
n(n1)
n

2
na
1

2d


d
2
n
2
(a
1
1

2
d)n
.
33.等比数列的通项公式
a
n 1
a
n
n
a
1
q
1
q
q (nN
*
)
；
其前n项的和公式为

a
1< br>(1q
n
)
s

,q1
n


1q



na
1
,q1

a
1
a
n
q
或
s


1q< br>,q1
n

.


na
1
,q 1
34.等比差数列

a
n

:
a
n 1
qa
n
d,a
1
b(q0)
的通项公式为 
b(n1)d,q1
a

n


b q
n
(db)q
n1
d
；

q1
,q1

其前n项和公式为

nbn(n1)d,(q1)s

n



d1q
n
d
.

(b
1q
)
q1

1q
n ,(q1)

§04. 三角函数
35．常见三角不等式
（1）若< br>x
(0,

2
)
，则
sinxxtanx.
(2) 若
x(0,

2
)
，则
1s inxcosx2
.
(3)
|sinx||cosx|1
. < /p>

c
2
a
2
b
2
2abcosC
.
43.面积定理
111
（1）
Sah
a
 bh
b
ch
c
（
h
a
、h
b
、 h
c
222
分别表示a、b、c边上的高）.
111
（2）
SabsinCbcsinAcasinB
.
222
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
(3)< br>S
OAB
(|OA||OB|)(OAOB)
.
2
44.三角形内角和定理
在△ABC中，有
ABC

C

(AB)

C

AB
 
2C2

2(AB)
.
222
45.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
46.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（

a
）·b=

（
a
·b）=

a
·b=
a
·（

b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
asin

bcos

=
a
2
b
2
sin(



)
(辅助角
47.平面向量基本定理
b

所在象限由点
(a,b )
的象限决定,
tan


).
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向
a
量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只
39.二倍角公式
有一对实数λ
1
、λ
2
，使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．
sin2

sin

cos

.
不共 线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有
cos2
< br>cos
2

sin
2

2cos
2< br>
112sin
2

向量的一组基底．
.
48．向量平行的坐标表示
2tan

tan2


.
设a=(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y< br>2
)
，且b

0，则
1tan
2


a
P
b(b

0)
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
40.三角函数的周期公式
49.
a
与b的数量积(或内积)
函数
ysin(

x

)
，x∈R及函数
a
·b=|
a
||b|cosθ．
ycos(

x
)
，x∈R(A,ω,

为常数，且A≠
50. a·b的几何意义
2

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向
0 ，ω＞0)的周期
T
；

上的投影|b|cosθ的乘积．

51.平面向量的坐标运算
函数
ytan(

x< br>
)
，
xk


,
kZ
(A,
2
(1)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=< br>(x
2
,y
2
)
，则

ω,
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T

.
a+b=
(x1
x
2
,y
1
y
2
)
.

(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-
41.正弦定理
b=
(x
1
x
2
,y
1
y
2
)< br>.
abc
2R
.
sinAsinBsinC
(3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2< br>,y
2
)
,则
uuuruuuruuur
42.余弦定理 < br>ABOBOA(x
2
x
1
,y
2
y
1
)
.
222
abc2bccosA
;
(4) 设a=
(x,y),

R
，则

a=
(

x,

y)
.
b
2
c
2
a
2
2cacosB
;
36.同角三角函数的基本关系式
sin

sin
2

cos
2

1
，
tan

=
，
cos

tan

cot

1
.
37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，
符号看象限）

n

n


(1)
2
sin

,
s in(

)


(n为偶数)
n1
2
(1)
2
cos

,


n
n


(1)
2
cos

,(n为偶

cos(

)


n 1
2

(1)
2
sin

,

数)
38.和角与差角公式

sin(


< br>)sin

cos

cos

sin

;
cos(



)cos

cos

msin

sin

;
tan
tan

tan(



)
.
1
m
tan

tan

sin(


)sin(



)sin
2

sin
2

(平方正
弦公式);
cos(



)cos(



)cos
2
sin
2

.

(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则
a·b=
(x
1
x
2
y
1
y
2
)
.
52.两向量的夹角公式
cos


x
1
x
2
y
1
y
2
x
2
y
222
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
11
x
2
y
2
(x
2
,y
2
)).
53.平面两点间的距离公式

d|
u
AB
uur
|
u
AB
uur

u

AB
uur
A,B
=
(x
22
x
1
)(y
2
y
1
)
2(A
(x
1
,y
1
)
，
B
(x
2
,y
2
)
).
54.向量的平行与垂直
设a=< br>(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b

0，则
A||b

b=λa
x
1
y
2
x< br>2
y
1
0
.
a

b(a
0)

a
·b=0
x
1
x
2
y< br>1
y
2
0
.
55.线段的定比分公式
设< br>P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
PP
的分点,

是实数，且
u
PP
uur
1


u
PP
uur
12
2
，则



x
x
1


x
2
1

uuuruuur

u
OP
uur< br>OP
1


OP
2


y

y

1



y
12
1 


u
OP
uur
tOP
uuuruuur< br>1
(1t)OP
2
（
t
1
1
）.
56.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x< br>1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的 坐标是
G(
x
1
x
2
x
3
yyy
3
3
,
12
3
)
.
57.点的平移公式


''
uuur

xxh

xxh
uuur
uuur


y
'
y k




yy
'
k
OP
'
OPPP
'
.
注:图形F上的任意一点P(x，
图形F
'
上的对应点为
P
'
(x
'
,y
'
)
，且
u
y)在平移后
PP
uur
'
的坐 标为
(h,k)
.
58.“按向量平移”的几个结论
（1）点
P (x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P
'
(x h,yk)
.
(2) 函数
yf(x)
的图象
C
按向 量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
'
,则
C
'< br>的函数解析式为
yf(xh)k
.
(3) 图象
C
'
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,若
C
的 解析式
yf(x)
,则
C
'
的函数解析式
为
y f(xh)k
.
(4)曲线
C
:
f(x,y)0
按 向量a=
(h,k)
平移
后得到图象
C
'
,则
C< br>'
的方程为
f(xh,yk)0
.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得
到的向量仍然为m=
(x ,y)
.
59. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为< br>ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所
对边长分别为
a, b,c
，则

u
OA
u
（
ur
1）O
为
ABC
的外心
2

u
OB
uu r
2

u
OC
uur
2
.

u
OA
u
（
ur
2）

u
OB
uu r
O
为

u
OC
uu

r
ABC
的重心

r
0
.

u
OA
u< br>（
ur
3

u
）
OB
uur
O为

u
OB
uur
ABC

u
OC
uur
的垂心

u
OC
uur

u
OA
uur
.
（
aOA
uuur
4）
O为
ABC
的内心
bOB
uuur
cOC
uuur

r
0
.
（
aOA
uuur
5）O
为
ABC
的
A
的旁心
bOB
uuur
cOC
uuur
.

§06. 不 等 式
60.常用不等式：
（1）
a,bR

a
2
 b
2
2ab
(当且仅当a
＝b时取“=”号)．
（2）
a,b

R


ab
2
ab
(当且仅 当a＝
b时取“=”号)．
（3）
a
3
b
3
 c
3
3abc(a0,b0,c0).

（4）柯西不等式
(a
2
b
2
)(c
2
d
2
)(a cbd)
2
,a,b,c,dR.

（5）
ababab
.
61.极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
xy
时和
xy
有最小值
2p
； < br>（2）若和
xy
是定值
s
，则当
xy
时积
xy
有最大值
1
s
2
4
.
推广 已知
x,yR
，则有
(xy)
2
(xy)
2
2xy< br>
（1）若积
xy
是定值,则当
|xy|
最大
时,
|xy|
最大；
当
|xy|
最小时,
|xy|
最小.
（2）若和
|xy|
是定值,则当
|xy|
最大
时,
|xy|
最小；
当
|xy|
最小时,
|xy|
最大.

62.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
xax
2
a
2
axa
.
xax
2
a
2
xa
或
xa
.
63.无理不等式

f(x)0
（1）
f(x)g(x)< br>

g(x)0
.


f(x)g(x)< br>（2）

f(x)0
f(x)g(x)


g (x)0
或

f(x)0
.



f(x)[g(x)]
2

g(x)0

f(x)
（ 3）
f(x)g(x)

0

g(x)0
.


f(x)[g(x)]
2
64.指数不等式与对数不等式
(1)当
a1
时,
a
f(x)
a
g(x)
f(x)g(x)
; 
f(x
logx)log)

)0
a
f(a
g(x

g(x)0
.


f(x)g(x)
(2)当
0a1
时,
a
f(x)
a
g(x)
f(x)g(x)
;

f(x)0
log(x)log

a
f
a
g(x)

g(x)0



f(x)g(x)

§07. 直线和圆的方程
65.斜率公式
k
y
2
y
1
x
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
2
x
1

66.直线的五种方程
（1）点斜式
yy
1
k(xx
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
ykxb
(b为直线
l
在y轴
上的截距).
（3）两点式
yy
1
xx
1
yy

x
(
y
1
y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)

2

1
x
21
(< br>x
1
x
2
)).
(4)截距式
x
a

y
b
1
(
a、b
分别为直线的
横、纵 截距，
a、b0
)
（5）一般式
AxByC0
(其中A、B不
同时为0).
67.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:yk
1
xb
1
，
l
2
:yk
2
xb
2

①
l
1
||l
2
k
1
 k
2
,b
1
b
2
;
②
l
1< br>l
2
k
1
k
2
1
.
(2 )若
l
1
:A
1
xB
1
yC
1
0
,
l
2
:A
2
xB
2
yC2
0
,且
A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零,
①
l
A
1
BC
1< br>||l
2

A

1

1
；
2
B
2
C
2
②
l
1
l
2A
1
A
2
B
1
B
2
0
；
68.夹角公式
(1)
tan

|
k
2
k
1
1k
|
.
2
k
1
(< br>l
1
:yk
1
xb
1
，
l
2< br>:yk
2
xb
2
,
k
1
k
2< br>1
)
(2)
tan

|
A
1
B
2
A
2
B
1
A
|
.
1< br>A
2
B
1
B
2
(
l
1
: A
1
xB
1
yC
1
0
,
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
0
).
直线
ll

12
时，直线l
1
与l
2< br>的夹角是
2
.
69.
l
1
到
l
2
的角公式
(1)
tan< br>

k
2
k
1
1kk
.
21
(
l
1
:yk
1
xb
1
，
l
2
:yk
2
xb
2
,
k
1
k
2
1
)
(2)
tan


A
1
B
2
A
2
B
1
AB
.
1
A
21
B
2
(
l
1
:A
1xB
1
yC
1
0
,
l
2
:A< br>2
xB
2
yC
2
0
,
A
1< br>A
2
B
1
B
2
0
).
直线< br>l
l
1
到l
2
的角是

1
l2
时，直线
2
.
70．四种常用直线系方程

(1 )定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线
系方程为
yy
0
k(xx
0
)
(除直线
xx
0
),其中
k
是
待定的系数; 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为A(xx
0
)B(yy
0
)0
,其中
A,B< br>是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
xB
1
yC
1
0
,
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0
的交点
的 直线系方程为
(A
1
xB
1
yC
1
)

(A
2
xB
2
yC
2
)0
(除
l
2
)，其
中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线ykxb
中
当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系
方程．与直线
AxByC0
平行的直线系

方程是
AxBy
0
(

0
)，λ是参变
量．
(4)垂直直线系方程：与直线
AxByC0
(A≠0，B≠0)垂直的直线 系
方程是
BxAy

0
,λ是参变量．
71.点到直线的距离
|Ax
0
By
0
C|
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：d
22
AB
AxByC0
).

72. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(xa)
2
(yb)
2
r
2
.
（2）圆的一般方程
x
2
y
2
DxEyF0< br>(
D
2
E
2
4F
＞0).

xarcos

（3）圆的参数方程

.

ybrsin

（4）圆的直径式方程
(xx
1
)(xx
2
)(yy
1
)(yy
2
)0
(圆的直径的
端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
dr相切0
;
dr相交0
.
其中
d
AaBbC
22
AB
76.两圆位置关系的判定方法
设 两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，
r
2
，
O
1
O
2
d

dr
1
r
2
外离4条公切线
;
dr
1
r
2
外切3条公切线
;
. r
1
r
2
dr
1
r
2
相交 2条公切线
;
dr
1
r
2
内切1条公切线
;
0dr
1
r
2
内含无公切线
.
77.圆的切线方程
(1)已知圆
x
2
y
2
DxEyF0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只< br>有一条，其方程是
D(x
0
x)E(y
0
y)

x
0
xy
0
yF0
.
22
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
73. 圆系方程
D(x
0
x)E(y
0
y)
(1)过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
的圆系方程
x
0
xy
0yF0
表示
22
是
过两个切点的切点弦方程．
(x x
1
)(xx
2
)(yy
1
)(yy
2
)

[(xx
1
)(y
1
y
2)(yy
1
)(x
1
x
2
)]0
②过 圆外一点的切线方程可设为

(xx
1
)(xx
2
) (yy
1
)(yy
2
)

(axbyc)0
yy
0
k(xx
0
)
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴
,其中
axbyc0
是直线AB
的方程,λ是待定的系
的切线．
数．
③斜率为k的切线方程可设 为
(2)过直线
l
:
AxByC0
与圆
ykxb
，再利用相切条件求b，必有两条
C
:
x
2
y
2
DxEyF0
的交点的圆系方程是
切线．
x
2
 y
2
DxEyF

(AxByC)0
,λ是待
(2)已知圆
x
2
y
2
r
2
．
定的系数．
22
①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
(3) 过圆
C
1
:xyD
1
xE
1
yF
1
0
与圆C
2
:
x
2
y
2
D
2
x E
2
yF
2
0
的交点的圆系方程是
,λ是待定的系数 ．
x
0
xy
0
yr
2
;
②斜率为
k
的圆的切线方程为
x
2
y
2
D
1< br>xE
1
yF
1


(x
2
y
2
D
2
xE
2
yF
2
)0
ykxr1k
2
.

§08. 圆锥曲线方程
x
2
y
2
78.椭圆
2

2
1(ab0)< br>的参数方程是
ab

xacos

.


ybsin

x
2
y
2
79.椭圆
2

2
1(ab0)
焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
e(x)
，
PF
2e(x)
.
cc
74.点与圆的位置关系
点
P(x0
,y
0
)
与圆
(xa)
2
(yb)< br>2
r
2
的位
置关系有三种
若
d(ax
0
)
2
(by
0
)
2
，则
dr 
点
P
在圆外;
dr
点
P
在圆
上;< br>dr
点
P
在圆内.
75.直线与圆的位置关系
直线< br>AxByC0
与圆
(xa)
2
(yb)
2
r
2
的位置关系有三种:
dr相离0
;

80．椭圆的的内外部
（1）点
P(x
0
,y0
)
在椭圆
x
2
a
2

y
2
b
2
1(ab0)
的内部

x
22
0
y
0
a
2

b
2
1
. （2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
x
2
y
2
a
2

b
2
1(ab0)< br>的外部

x
2
y
2
00
a
2

b
2
1
.
81. 椭圆的切线方程
x
2
a

y
2
(1)椭圆
2
b
2
 1(ab0)
上一点
P(x,y
xxyy
00
)
处的切 线方程是
0
a
2

0
b
2
1
.
（2）过椭圆
x
2
y
2

a
2

b
2
1(ab0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
x
0
x
a2

y
0
y
b
2
1
.
x
2
（3）椭圆
y
2
a
2

b
2
1(ab0)
与直线
AxByC0
相切的条件是< br>A
2
a
2
B
2
b
2
c
2
.
96.双曲线
x
2
y
2
a
2

b
2
1(a0,b0)
的焦半径
公式
PF< br>a
2
c
)|
，
PF
a
2
1
|e(x
2
|e(
c
x)|
.
82.双曲线的内外部
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
x
2
y
2
x
22
0
y
0
a
2

b
2
1(a0,b0)
的 内部

a
2

b
2
1
.
(2 )点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
x
2y
2
a
2

b
2
1(a0,b0)的外部

x
22
0
y
0
a
2

b
2
1
.
83.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为
x
2
y
2
a
2

b
2
1

渐近线
方程：
x
2
y
2
b
a
2

b
2
0
y
a< br>x
.
(2)若渐近线方程为
y
b
x
a
x

y
a

b
0

双曲线可设 为
x
2
y
2
a
2

b
2

.
x
2
y
2
(3)若双曲线与
a< br>2

b
2
1
有公共渐近线，
x
2
y
2
可设为
a
2

b
2

（< br>0
，焦点在x轴上，
0
，焦点在y轴上）.
84. 双曲线的切线方程
x
2
y
2
(1)双曲线
a
2

b
2
1(a0,b0)
上一点
P(xy
x xy
0
y
0
,
0
)
处的切线方程是
0a
2

b
2
1
.
（2）过双曲线
x
2
y
2
a
2

b
2
 1(a0,b0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所 引两条切线的切点弦方程是
x
0
x
a
2

y0
y
b
2
1
.
3）双曲线
x
2
y
2
（
a
2

b
2
1(a0,b0)
与直线
AxByC0
相切的条件是
A
2
a
2
B
2
b
2c
2
.
100. 抛物线
y
2
2px
的焦半径公式
抛物线
y
2< br>2px(p0)
焦半径
CFx
p
0

2
.
过焦点弦长
CDx
1

pp
2
x
2

2
x
1
x
2
p
.
85.抛物线
y
2
2px
上的动点可设为
2
P
(
y

2p
,y

)
或
P
(2pt
2
,2
pt
)或
P
(x
o
,y
o
)
，其中
y
2
o
2px
o
.
86.二次函数
y axbxca(x
b
2
4acb
2
2
2a)
4a
(a0)
的图
象是抛物线：（1）顶点坐标为
(< br>b4acb
2
2a
,
4a
)
；（2）焦点的坐标为
(
b4acb
2
1
2a
,
4a
)< br>；（3）准线方程是
4acb
2
y
1
4a
.
87.抛物线的内外部
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
2px(p0)
的
内部
y< br>2
2px(p0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
2px(p0)
的外部
y
2
2px(p0)
.

(2)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
2px(p0)< br>的
内部
y
2
2px(p0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
2p x(p0)
的外
部
y
2
2px(p0)
. (3)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
2py(p0)
的
内部
x
2
2py(p0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
2py(p0)
的外部
x
2
2py(p0 )
.
.
92.“四线”一方程
对于一般的二次曲线
(4) 点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
2py(p0)
的
内部
x2
2py(p0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
2py(p0)
的外
Ax< br>2
BxyCy
2
DxEyF0
，用
x
0
x
代
x
2
，
xx
xyxy
0
用
y
0
y
代
y
2
，用
0
代
xy
，用
0
代
x
，用
2
2
y
0
y
代
y
即得方程
2
xyxy
0
x xyy
Ax
0
xB
0
Cy
0
yD0
E
0
F0
222
，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦 中点方程均是此
方程得到.

§09. 立体几何
部
x
2
2py(p0)
.
93．证明直线与直线的平行的思考途径
88. 抛物线的切线方程
（1）转化为判定共面二直线无交点；
2
(1)抛物线
y2px
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切
（2）转化为二直 线同与第三条直线平行；
线方程是
y
0
yp(xx
0
)
.
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（2）过抛物线
y
2
2px
外一点
P(x
0
,y
0
)< br>所
（5）转化为面面平行.
引两条切线的切点弦方程是
y
0
yp(xx
0
)
.
94．证明直线与平面的平行的思考途径
（3）抛物线
y
2
2px(p0)
与直线
（1）转化为直线与平 面无公共点；
AxByC0
相切的条件是
pB
2
2AC
.
（2）转化为线线平行；
89.两个常见的曲线系方程
（3）转化为面面平行.
(1)过曲线
f
1
(x,y)0
,
f
2
(x,y)0
的交点的
95．证明平面与平面平行的思考途径
曲线系方程是
（1）转化为判定二平面无公共点；
f
1
(x,y)

f
2
(x,y)0
(

为参数).
（2）转化为线面平行；
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
（3）转化为线面垂直.
22
xy
96．证明直线与直线的垂直的思考途径
1
,其中< br>kmax{a
2
,b
2
}
.当
22
ak bk
（1）转化为相交垂直；
22
kmin{a,b}
时,表示椭圆; 当
（2）转化为线面垂直；
min{a
2
,b
2
}k max{a
2
,b
2
}
时,表示双曲线.
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
90.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
97．证明直线与平面垂直的思考途径
A B(x
1
x
2
)
2
(y
1
y2
)
2
或
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂
222AB(1k)(x
2
x
1
)|x
1
x
2
|1tan

|y
1
直；
y
2
|

1cot
2

（弦端点A
(
x
1< br>,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)
，由方程
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂

ykxb
直；
2
axbxc0
消去y得到，

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平

F(x,y)0
行；
0
,

为直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平
率）.
面；
91.圆锥曲线的两类对称问题
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线
（1）曲 线
F(x,y)0
关于点
P(x
0
,y
0
)成中心对
垂直.
称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
y)0
.
98．证明平面与平面的垂直的思考途径
（2）曲线
F(x,y)0
关于 直线
AxByC0
（1）转化为判断二面角是直二面角；
成轴对称的曲线是
（2）转化为线面垂直.
2A(AxByC)2B(AxByC)
F(x ,y)0
A
2
B
2
A
2
B
2

99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算
律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
100.平面向量加法的平行四边形法则向空
间的推广
始点相同且不在同一个平面内 的三个向量
之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的
以公共始点为始点的对角线所表示的向 量.
101.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b

存在实数λ使a=λb．
P、A、B
三点共线
uuur
u
AP||AB

APt
u
AB
u ur

OP
uur
(1t)
u
OA
uurtOB
uuur
.
AB||
uuur
uuur
线< br>
u
AB
uur
CD
tCD
uu

ur
AB
、
CD
共线且
AB、CD
不共
且
AB、CD
不共线.
102.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b 共面的

存在实数对
x,y
,使
paxby
．
推论 空间一点P位于平面MAB内的

在有序实数对
x,y
,使
u
MP
uur
xMA
uuur
yMB
uuur
存
，
或对空间任一定点
u
O，有序实数对
x,
O P
uur

u
OM
uuur
xMA
uuury
，使
yMB
uuur
.
103.对空间任一点
O
和不共线的三点
B、C，满足
u
OP
uur
xOA
uuur
yOB
uuur
zOC
uuur
A、
（xyzk
），则当
k1
时，对于空间任一
点
O
，总有P、A、B、C四点共面；当
k1
时，
若
O
平面ABC， 则P、A、B、C四点共面；若
O
平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
A、
uu

uuur
共面
uu
B
ur
、 C、
uu
D
ur

四点共面
uruuur
uu
AD
与
AB
、
AC
u
OD
uur< br>
ADxAByAC
ur


(1xy)
u
OA
uur
xOB
uuur
yOC
uuur
（
O
平面
ABC）.
104.空间向量基本定理
如果三个 向量a、b、c不共面，那么对空
间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，
y，z，使p ＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则
对空间任一点
x，y，z，使
u
OP
u
P
ur
，都存在唯一的三个有序实 数
xOA
uuur
yOB
uuur
zOC
uuur< br>.

105.向量的直角坐标运算
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则
(1)
a
＋ b＝
(a
1
b
1
,a
2
b
2
,a
3
b
3
)
；
(2)
a
－b＝(a
1
b
1
,a
2
b
2
,a3
b
3
)
；
(3)λ
a
＝
(
a
1
,

a
2
,

a3
)
(λ∈R)；
(4)
a
·b＝
a
1< br>b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
；
106.
u
AB
uur
设

uOB
u
A
ur
(x
1
,y
1
,z1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，则

u
OA
uur
=
(x
2< br>x
1
,y
2
y
1
,z
2
z< br>1
)
.
107．空间的线线平行或垂直
设
r
a (x
r
1
,y
1
,z
1
)
，
b (x
2
,y
2
,z
2
)
，则
r
a
P
r
b

r
a

r
b(r
b
r

0)


x
1


x
2

y
1


y
2
；

r

z

z
2
ab< br>r

r
a
r
1
b0

x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z< br>2
0
.

109.空间两点间的距离公式
若A< br>(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x< br>2
,y
2
,z
2
)
，则

duuuruuuruuur
A,B
=
|AB|ABAB
(x
2
x
1
)
2
(y
2
y
1
)
2
(z
2
2
z
1
)
.
110.点
Q
到直线
l
距离
h
1
|a |
(|a||b|)
2
(ab)
2
(点
P
在直 线
l
上，直线
l
的方向向量a=
uu
PA
ur，向量b=
u
PQ
uur
).
111.异面直线间的距离
d
|
u
CD
uur
|
r

u< br>n
ur
|
n|
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向
量为
r
n
，
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点，
d
为
l
1
,l
2
间
的距离).
112.点
uu
B
u
到平面

的距离
d
|AB
r
|
r

u
n
ur
|
n|
（
r
n
为平面

的法向量，
AB是
经过面

的一条斜线，
A

）.
113.异面直线上两点距离公式
dh
2
m
2
n
2
m2mncos

dh
2
uu
.
u r
m
2
n
2
2mncosEA
'
,
u
AF
uur
.
dh
2
m
2
n< br>2
2mncos

（

EAA
'
F
）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线
段
AA
'< br>的长度为h.在直线a、b上分别取两点
E、F，
A
'
Em
,
AFn
,
EFd
).

< br>已知斜棱柱的侧棱长是
l
,侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧
和
V
斜棱柱
,它的直截面的周长和面积分别
是
c
1
和
S
1
,则
①
S
斜棱柱侧
c
1
l
.
②
V
斜棱柱
S
1
l
.

114.球的半径是R，则
其体积
V
4
3

R
3
,
其表面积
S4

R
2
．
115.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角
线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长,
正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,
正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
6
12
a
, 外接球的半径为
6
4
a
.
116．柱体、锥体的体积
V
1
柱体

3
Sh
（
S
是柱体的底面积、< br>h
是柱体
的高）.
V
1
锥体

3
Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体
的高）.

§10. 排列组合二项定理
117.分类计数原理（加法原理）
Nm
1
m
2
Lm
n
.
118.分步计数原理（乘法原理）
Nm
1
m
2
Lm
n
.
119.排列数公式
A
m
n！
n
=
n(n1 )(nm1)
=
(nm)！
.(
n
，
m
∈ N
*
，且
mn
)．
注:规定
0!1
.
120.排列恒等式
(1）
A
m
nm1)A
m1
n
(
n
;
（2）
A
m
n
n< br>
nm
A
m
n1
;
（3）
A
mm1
n
nA
n1
;
（4）
nA
nn1n
n
A
n1
A
n
;
（5）
A
mmm1
n1
A
n
mA< br>n
.
(6)
1!22!33!Lnn!(n1)!1
.
121.组合数公式
C
m
=
A
m
n
n (n1)(nm1)
n！
n
A
m
=
m
1 2m
=
m！(nm)！
(
n
∈N
*
，< br>mN
，且
mn
).
122.组合数的两个性质
(1)
C
m
=
C
nm
n
n

(2)
C
m
m1
=
C
m
n
+
C
nn1
.
注:规定
C
0
n

1
.
123.组合恒等式
（1）
C
m
n

nm1
m
C
m1
n
;
（2）
C
m
n

n
nm
C
m
n1
;
（3）
Cm
n

n
m1
m
C
n1
;
n
（4）

C
r
n
=
2
n
;
r 0
（5）
C
r
r
C
rr
r1
Cr
r2
C
n
C
r1
n1
. < br>(6)
C
012
C
rn
n
C
n
C
n

n
C
n
n
2

负整数解有
C
n1
nm1
个.
124.二项式定理
(ab)
n
C
0n1n12n22rnrr
n
aC
n
abC
n
abC
n
a b

二项展开式的通项公式
T
rnrr
r1
C
n
ab
(r0，1，2，n)
.

§11、12. 概率与统计
125.等可能性事件的概率
P(A)
m
n
.
126.互斥事件A，B分别发生的概率的
和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
127.
n
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…
＋P(A
n
)．
128.独立事件A，B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).

129.n个独立事件同时发生的概率

P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
130.n次独立重复试验中某事件恰好发生k
次的概率
kknk
P(k)CP(1P).

nn
131.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）
P
i
0(i1,2,L)
;
（2）
P
1
P
2
L1
.
132.数学期望
141.相关系数

r

xx

yy

ii
i1
n

(xx)

(yy)
2
ii
i1i1
nn

2



xx

yy

i i
i1
n
(

x
i
2
nx
2
)(

y
i
2
ny
2
)
i1 i1
nn
.
E

x
1
P
1
x
2
P
2
Lx
n
P
n
L

133.数学期望的性质
（1）
E(a

b)aE(

)b
. （2）若

～
B(n,p)
,则
E

np< br>.
(3)

若

服从几何分布,且
|r|≤1， 且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|
越接近于0，相关程度越小.

§13. 极 限
142.特殊数列的极限
P(

k)g (k,p)q
k1
p
，则
E


1
.

p
2
134.方差
D



x
1
E


p
1


x2
E


p
2
L

x
n
E


p
n
L
22

0

n
（1）
limq

1
n
< br>不存在

（2）
|q|1
q1
|q|1或q1.

135.标准差

=
D

.
136.方差的性质
(1)
D

a

b

aD

；
2

0(kt)

a
k
n
k
a
k1
n
k1

L
a
0

a
t
lim

(kt).
n
bn
t
bn
t1

L
bb
tt10

k

不存在 (kt)

（ 3）
Slim
n
a
1
1q
n
1q


(2）若

～
B(n,p)
，则
D

np(1p)
.
(3)
若

服从几何分布,且
a
1
（
S
无穷等比数
1q
列
a
1
q

n1

(
|q|1
)的和）
.
xx
0
xx
0P(

k)g(k,p)q
k1
p
，则
D

137.方差与期望的关系
q
.

p
2
143. 函数的极限定理
xx
0
limf(x) a

lim

f(x)lim

f(x)a
.
144.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x
0
的附近满足：
（1）
g(x)f(x)h(x)
;
D

E



E


.
2
2
138.正态分布密度函数
1
f

x

e
2

6


x

< br>2
26
2
,x

,

，式中的< br>（2）
limg(x)a,limh(x)a
（常数）,则
xx
0
xx
0
xx
0
limf(x)a
.
本定理对于单侧极限和
x
的情况仍然成立.
145.几个常用极限 < br>实数μ，

（

>0）是参数，分别表示个体的平均数
与标准 差.
139.标准正态分布密度函数
f

x


1
e
2

6
x
2

2
,x< br>
,

.
.

140.回归直线方程
1
0
，
lima
n
0
（
|a|1< br>）；
n
n
n
11
（2）
limxx0
，
lim
.
xx
0
xx
0
xx
0
（1）
lim
146.两个重要的极限
（1）
l im
$$
yabx
，其中


x
i
x

y
i
y


x
i
y
i
nxy



b
i1
n
i1
n
2
22
.

xxxnx
< br>
ii

i1i1


aybx
nn
sinx
1
；
x0
x
x

1< br>
（2）
lim

1

e
(e=2.7 18281845…).
x

x

147.函数极限的四则运算法则

若
limf(x)a
，
limg(x)b
，则
xx
0
xx
0
(1)
lim

f

x

g

x


< br>ab
；
xx
0
(2)
lim

< br>f

x

g

x



ab
;
xx
0
155.导数的运算法则
（1）
(uv)
'
u
'
v
'
.
（2）
(uv)
'
u
'
vuv
'
.
u
'
u
'
vuv
'
(v0)
.
（3）
()
vv
2
156.复合函数的求导法则
设 函数
u

(x)
在点
x
处有导数
u
x< br>'


'
(x)
，
(3)
lim
x x
0
f

x

a


b0< br>
.
g

x

b
n
148. 数列极限的四则运算法则
若
lima
n
a,limb
n
b
，则
n
(1)
lim

a
n
b
n
< br>ab
；
n
函数
yf(u)
在点
x
处的对应点U处有导数
y
u
'
f
'
(u)
，则 复合函数
yf(

(x))
在点
x
处有
'''< br>导数，且
y
x
，或写作
y
u
u
x
(2)
lim

a
n
b
n

ab
；
n
(3)
lim
a
n
a


b0


n
bb
n
nnn
(4)
lim

ca
n

limclima
n
ca
( c是常数).

§14. 导 数
14 9.
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率或微
商）
|z|
=
|abi|
=
a
2
b
2
.
f(x
0
x)f(x
0
)
y
f

(x
0
)y

xx
0
limlim
x0
x
x0
x
159.复数的四则运算法则
.
(1)
(abi)(cdi)(ac)(bd)i
;
150.瞬时速度
(2)
(abi)(cdi)(ac)(bd)i
;
ss (tt)s(t)
(3)
(abi)(cdi)(acbd)(bcad) i
;
.

s

(t)limlim
t 0
t
t0
t
(4)
151.瞬时加速度
ac bdbcad
(abi)(cdi)
2
i(cdi0)
.
vv(tt)v(t)
222
cdcd
.
av
(t)limlim
t0
t
t0
t
160.复数的乘法的运算律
152.
f(x)
在
(a,b)
的导数
对于任何
z
1
,z
2
,z
3
C
，有
dydf< br>交换律:
z
1
z
2
z
2
z
1
.
f

(x)y


dxdx
结合 律:
(z
1
z
2
)z
3
z
1
(z
2
z
3
)
.
yf(xx)f(x)
.
limlim
分配律:
z< br>1
(z
2
z
3
)z
1
z
2
z
1
z
3
.
x0
x
x0
x
161.复平面上的两点间的距离公式
153. 函数
yf(x)
在点
x
0
处的导数的几何
意义
d|z
1
z
2
|(x
2
x
1
)< br>2
(y
2
y
1
)
2
函数
yf (x)
在点
x
0
处的导数是曲线
（
z
1
 x
1
y
1
i
，
z
2
x
2y
2
i
）.
yf(x)
在
P(x
0,f(x
0
))
处的切线的斜率
f

(x
0< br>)
，
162.向量的垂直
相应的切线方程是
yy
0
f

(
x
0
)(
xx
0
)< br>.
非零复数
z
1
abi
，
z
2
cdi
对应的向量
uuuur
uuuur
154.几种常见函数的导数
分别是
OZ
1
，
OZ
2
，则
(1)
C

0
（C为常数）.
uuuuruuuur
z
2
'n1
的实部为零
为纯 虚
zz

OZOZ
12
12
(2)
(x
n
)nx(nQ)
.
z
1
(3)
(sinx)

cosx
.
数

|z
1
z
2
|
2
|z
1
|
2
| z
2
|
2

(4)
(cosx)

sinx
.

|z
1
z
2
|
2
|z
1
|
2
|z
2
|
2

|z
1
z
2
||z
1
z
2
|
11
e
(5)
(lnx )


；
(loga
x
)

loga
.

acbd0

z
1


iz
2

(λ为非零实数).
xx
163.实系数一元二次方程的解
(6)
(e
x
)

e
x
;
(a
x
)

a
x
lna
.
f
x
'
(

(x))f
'
(u)

'
(x)
.


§15. 复 数
157.复数的相等
abicdiac,bd
.
（
a,b,c,dR
）
158.复数
zabi
的模（或绝对值）

实系数一元二次方程
ax
2
bxc0
， bb
2
4ac
①若
b4ac0
,则
x< br>1,2

;
2a
b
②若
b
2
4ac0
,则
x
1
x
2

;
2 a
③若
b
2
4ac0
，它在实数集
R
内没 有
实数根；在复数集
C
内有且仅有两个共轭复数
2
b(b2
4ac)i
2
根
x(b4ac0)
.
2a