东正教节日-对战争的看法

锐角三角函数
锐角三角函数
三角关系
倒数关系：tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1

cosα·secα=1
商的关系：

平方关系：
三角函数公式
2公式相关
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两角和公式
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ -cosαsinβ

tan（α+β）=(tanα+tanβ）（1-tanαtanβ）
tan（α-β）=(tanα-tanβ）（1+tanαtanβ）
cot(A+B) = (cotAcotB-1）(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1）(cotB-cotA)
三角和公式
sin（α+β+γ）=s inα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·
γ+cosα·cosβ·sinγ- sinα·sinβ·sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ- cosα·sinβ·
γ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

诱导公式
三角函数的诱导公式（六公式）
[1]

公式一：
sin(α+k*2π)=sinα
cos
sin

cos(α+k*2π)=cosα
tan(α+k*π)=tanα
公式二：
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
tan(π+α）=tanα
公式三：
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
公式四：
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
tan(π-α) =-tanα

公式五：
sin(π2-α) = cosα
cos(π2-α) =sinα
由于π2+α=π-（π2-α），由公式四和公式五可得
公式六：
sin(π2+α) = cosα
cos(π2+α) = -sinα
诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。
倍角公式
二倍角
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦

三倍角
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin（π3+α）sin（π3-α）
cos3α=4cosα·cos（π3+α）cos（π3-α）
tan3a = tan a · tan（π3+a）· tan（π3-a)
三倍角公式推导
sin（3a)
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a)+（1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a

cos3a
=cos（2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina（34-sin^2a)
=4sina[（√32）-sina][（√32）+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2s in[（60+a)2]cos[（60°-a)2]*2sin[（60°
-a)2]cos[（60 °+a)2]
=4sinasin（60°+a)sin（60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-34）
[2]

=4cosa[cos^2a-（√32）^2]
=4cosa(cosa-cos30°）(cosa+cos30°）
=4cosa*2c os[(a+30°）2]cos[(a-30°）
2]*{-2sin[(a+30°）2]sin[ (a-30°）2]}
=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a)]sin[-90°+（60°+a)]
=-4cosacos（60°-a)[-cos（60°+a)]
=4cosacos（60°-a)cos（60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a)tan（60°+a)
三倍角
sin3α=3sinα-4sin^3 α=4sinα·sin（π3+α）sin
（π3-α）
cos3α=4cos^3 α-3cosα=4cosα·cos（π3+α）cos
（π3-α）

ta n3α=tan（α）*(-3+tan（α）^2）(-1+3*tan（α）
^2）=tan a · tan（π3+a）· tan（π3-a)
其他多倍角
四倍角
sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）
tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）（1-6*tanA^2+tanA^4）
五倍角
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*（ 5-10*tanA^2+tanA^4）
（1-10*tanA^2+5*tanA^4）
六倍角
sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA- 1）
*(-3+4*sinA^2））

cos6A=((-1+2*cosA )*（16*cosA^4-16*cosA^2+1））
tan6A=(-6*tanA+20*t anA^3-6*tanA^5）
(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6）
七倍角
sin7A=-(sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+6 4*sinA^6））
cos7A=(cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+6 4*cosA^6-7））
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^ 4+tanA^6）
(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）
八倍角
sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）
*( -8*sinA^2+8*sinA^4+1））
cos8A=1+
（160*cosA^4 -256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）
tan8A=-8*tan A*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）
（1-28*tanA^2+70 *tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）
九倍角

sin9A =(sinA*(-3+4*sinA^2）*
（64*sinA^6-96*sinA^4+36*s inA^2-3））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2）*
（64*co sA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））
tan9A=tanA*
（9 -84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）
（1-36*t anA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）
十倍角
sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*
（4*sinA^2-2*sinA-1）*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4））
cos10A = ((-1+2*cosA^2）*
（256*cosA^8-512*co sA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））
tan10A = -2*tanA *
（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+ta nA
^10）
N倍角

根据棣莫弗定理，（cosθ+ i sinθ）^n = cos(nθ）+ i
sin(nθ）
为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c
考虑n为正整数的情形：
cos(nθ）+ i sin(nθ） = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n +
C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n- 4）*(i s)^4
+ ... …+C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）
*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …=>；比较
两边的实部与虚部
实部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2
+ C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + ... …i*
虚部：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）
*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …
对所有的自然数n：
⒈cos(nθ）：
公式中出现 的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），
因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表 示。

⒉sin(nθ）：
⑴当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而
c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也 就
是sinθ）表示。 < br>⑵当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而
c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再 怎么换成s，都至少会
剩c（也就是 cosθ）的一次方无法消掉。
例. c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）
^2）
特殊公式
（sina+sinθ）*（sina- sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-
θ）
证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[（θ+a)2]
cos[(a-θ)2] *2 cos[（θ+a)2] sin[(a-θ）2]
=sin（a+θ）*sin（a-θ）
坡度公式

我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度
（也叫坡比）， 用字母i表示，
即i=h l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.
如果把坡面与水平面的夹角记作
a（叫做坡角），那么
i=hl=tan a.

半角公式
tan^2（α2）=（1-cosα）（1+cosα）
sin^2(A2）=[1-cos(A)]2
cos^2(A2）=[1+cos(A)]2
半角公式
万能公式
万能公式
sinα=2tan（α2）[1+(tan（α2））^2]
cosα =[1-(tan（α2））^2][1+(tan（α2））
tanα=2tan（α2）[1-(t an（α2））^2]
^2]

辅助角公式
注:该公式又称收缩公式 强提公式 化一公式 等
asin α+bcos α=√(a^2+b^2)sin(α+φ)，其中
tan φ=ba
asinA+bcos B=根号下a方+b方×（根号下a方+b方分之
a×sinA+根号下a方+b方分之b×cosB) 令根号下a方+b方
分之a=cosC 则根号下a方+b方分之b=sinC asinA+bcos B=
根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根号下a方+b方×
sin (A+C)
3三角规律
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三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数 的本
质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联
系。而掌握三角函数的内部规律及 本质也是学好三角函数的
关键所在。
三角函数本质：
根据三角函数定义推导公式

根据右图，有
sinθ=y r; cosθ=xr; tanθ=yx; cotθ=xy
深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出
发推导出来，比如以推导
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：
推导：
首 先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。
角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使O B与OD重合，形成新
A'OD。
A(cosα，sinα），B(cosβ，sinβ）， A'(cos（α-β），
sin（α-β））
OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0)
∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=(cosα- cos
β）^2+(sinα-sinβ）^2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换
（a+b)2与（a-b)2）

单位圆定义
单位圆
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的 单位圆
来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对
多数角它都依赖于直角三角形 。但是单位圆定义的确允许三
角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0
和 π2弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要
的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等 式是：
图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的
度量是正角，而顺时针的度量 是负角。设一个过原点的线，
同
x
轴正半部分得到一个角
θ
，并与单 位圆相交。这个交点
的
x
和
y
坐标分别等于 cos
θ
和 sin
θ
。图象中的三角形确
保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin
θ
=
y
1
和 cos
θ
=
x1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的
长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。
4双曲函数
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sh a = [e^a-e^(-a)]2

ch a = [e^a+e^(-a)]2
th a = sin h(a)cos h(a)
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）= sinα
cos（2kπ+α）= cosα
tan（2kπ+α）= tanα
cot（2kπ+α）= cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之
间的关系：
sin（π+α）= -sinα
cos（π+α）= -cosα
tan（π+α）= tanα
[3]

cot（π+α）= cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之
间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα

公式五：
利用公式- 和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之
间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2+α）= cosα
cos（π2+α）= -sinα
tan（π2+α）= -cotα
cot（π2+α）= -tanα
sin（π2-α）= cosα

cos（π2-α）= sinα
tan（π2-α）= cotα
cot（π2-α）= tanα
sin（3π2+α）= -cosα
cos（3π2+α）= sinα
tan（3π2+α）= -cotα
cot（3π2+α）= -tanα
sin（3π2-α）= -cosα
cos（3π2-α）= -sinα
tan（3π2-α）= cotα
cot（3π2-α）= tanα
（以上k∈Z)
A·sin（ωt+θ）+ B·sin（ωt+φ） =

√{(A+2ABcos（θ-φ）} · sin{ωt + arcsin[ (A·sin
θ+B·sinφ） √{A^2 +B^2 +2ABcos（θ-φ）}}
√表示根号，包括{……}中的内容
5重要定理
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正弦定理
正弦定理：在△ABC中，a sin A = b sin B = c sin
C = 2R
其中，R为△ABC的外接圆的半径。
余弦定理
余弦定理：在△ABC中，b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cos θ。
其中，θ为边a与边c的夹角。
6特殊值
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sin30°=12

sin45°=√22
sin60°=√32
cos30°=√32
cos45°=√22
cos60°=12
tan30°=√33
tan45°=1
tan60°=√3[1]
cot30°=√3
cot45°=1
cot60°=√33
7和差化积
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sinθ+sinφ =2sin[+φ）2] cos[（θ-φ）2] （θ

和差化积公式
sinθ- sinφ=2cos[（θ+φ）2] sin[（θ-φ）2]
cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）2]cos[（θ-φ）2]
cosθ- cosφ= -2sin[（θ+φ）2]sin[（θ-φ）2]
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB=tanAtanB+1
tanA-tanB=sin(A-B)cosAcosB=tanAtanB-1
8积化和差
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sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）] 2
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]2
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]2
cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]2