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2019年
【2019最新】精选高考数学一轮复习第四章三角函数4



时间：60分钟

基础组

1.[2016·武邑中学月考]在△ABC中，若a＝2b，面积记作S，则下列结论中一定
成立的是( )
B．A＝2B
D．S≤b2
A．B>30°
C．c 答案 D
解析 由三角形的面积公式知S＝absinC＝2b·bsinC＝b2sinC，因为
02．[2016·冀州中学期末]△ABC的内角A 、B、C的对边分别为a、b、c，若a、
b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝( )
B.
3

D.
4

1
2
A.
C.
答案 A
解析 ∵a，b，c成等比数列且c＝2a，
∴b2＝ac＝2a2，
∴b＝a.由余弦定理的推 论可得cosB＝＝.故选A.
3．[2016·枣强中学热身]在△ABC中，角A，B，C所对的边 分别为a，b，c，若
a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为( )
B．30°
D．45°
A．60°
C．150°
答案 B
解析 由sinB＋cosB＝得1＋2sinBcosB＝2，则sin2B＝1，因为0°所以B＝45°，又因为a＝，b＝2，所以在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sinA ＝，
又a4．[2016·衡水中学一轮检测 ]在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，

2019年
若a＝2bcosC，则此三角形一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案 C
解析 解法一：因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得，a＝2b·，整理得b2＝c2，
则此三角形一 定是等腰三角形．
解法二：因为a＝2bcosC，由正弦定理得sinA＝2sinBcosC，又A ＋B＋C＝π，故
sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBc osC得sin(B－C)＝0，又B、C∈(0，
π)，所以B＝C.
5．[2016·衡 水二中周测]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，
B，C成等差数列，2a,2b,2c成等比数列，则cosAcosB＝( )
B.
6

D.
3

2
1
A.
C.
答案 A
解析 由已知得2B＝A＋C，又A＋C＋B＝π，故B＝，又4 b2＝4ac，则b2＝ac，
所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos＝ac，即(a－c )2＝0，故a＝c，所以△ABC是
等边三角形，则cosAcosB＝cos60°×cos60 °＝.
6．[2016·枣强中学仿真]某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新
方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为( )
B．2
3

D．3
A.
C.或2
答案 C
解析 如图所示，设此人从A出发，则AB＝x km，BC＝3 km，AC＝ km，∠ABC＝
30°，
由余弦定理，得()2＝x2＋32－2x·3·cos30°，
整理得x2－3x＋6＝0，解得x ＝或2.
7．[2016·衡水二中月考]在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，且有＝，则角C的大小为________．

2019年
答案
π
2
解析 依题意得acos A＝bcosB，从而sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，则
2A＝2B 或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，又△ABC三边均不相等，因此A＋B＝，C
＝.
8.[2016·武邑中学热身]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，
a＝， 若给定一个b的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b的取值范围为
________．
答案 (0， ]∪{2}
解析 如图1所示，当a＝bsinA，即＝bsin，b＝2时，△ABC 为直角三角形，只
有一个解；如图2所示，当a≥b时，即0 值范围为(0， ]∪{2}．
9．[2016·衡水二中期中]已知a，b，c分别是△ ABC中角A，B，C的对边，a＝
4，b＝6，cosA＝－.
(1)求c；
(2)求cos的值．
解 (1)在△ABC中，由余弦定理得，
a2＝b2＋c2－2bc cosA，代入数据得48＝36＋c2－2×c×6×，即c2＋4c－12＝0，

(c＋6)(c－2)＝0，解得c＝2或c＝－6(舍)，∴c＝2.
(2)由cosA＝－<0，得A为钝角，且sinA＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，则sinB＝＝＝，由于B为锐角，则cosB＝，
cos2B＝1－2sin2B＝1－2×＝－，
sin2B＝2sinBcosB＝2××＝，
所以cos＝(cos2B＋sin2B)
＝＝.
10.
[2016·枣强中学模拟]如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3 ，且cosB＝，

2019年
cos∠ADC＝－.
(1)求sin∠BAD的值；
(2)求AC边的长．
解 (1)因为cosB＝，所以sinB＝.
又cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝，
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－× ＝.
(2)在△ABD中，由＝得＝，
解得BD＝2.
故DC＝2，从而在△AD C中，由AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝32＋22－
2×3×2×＝16，得AC＝4.
11.[2016·衡水二中期末]在△ABC中，2sin2C ·cosC－sin3C＝(1－cosC)．
(1)求角C的大小；
(2)若AB＝2，且sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．
解 (1)由2sin2C·cosC－sin(2C＋C)＝(1－cosC)，
得sin2CcosC－cos2CsinC＝－cosC，
化简得sinC＝－cosC，
即sinC＋cosC＝，
2sin＝，
所以sin＝，
从而C＋＝，故C＝.
(2)由sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A，
可得sinBcosA＝2sinAcosA.
所以cosA＝0或sinB＝2sinA.
当cosA＝0时，A＝90°，则b＝，

S△ABC＝·b·c·sinA＝××2×1＝；
当sinB＝2sinA时，由正弦定理得b＝2a.
由cosC＝＝＝，
可知a2＝.
所以S△ABC＝·b·a·sinC＝·2a·a·＝a2＝.
综上可知S△ABC＝.

2019年
12．[2016·冀州中 学仿真]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边
长，且C＝，a＋b＝λc(其中λ>1)．
(1)若λ＝时，证明△ABC为直角三角形；
(2)若·＝λ2，且c＝3，求λ的值．
解 (1)∵λ＝，∴a＋b＝c，
由正弦定理得sinA＋sinB＝sinC，
∵C＝，∴sinB＋sin＝，
sinB＋cosB＋sinB＝，
∴sinB＋cosB＝，
则sin＝，从而B＋＝或B＋＝，B＝或B＝.
若B＝，则A＝，△ABC为直角三角形；
若B＝，△ABC亦为直角三角形．
(2)若·＝λ2，则a·b＝λ2，∴ab＝λ2.
又a＋b＝3λ，由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcosC，
即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9，
故9λ2－λ2＝9，得λ2＝4，又∵λ>1，即λ＝2.
能力组

13.[201 6·衡水二中模拟]已知△ABC的三边长为a，b，c，且面积S△ABC＝(b2
＋c2－a2)，则A＝(
B.
π
6
A.
D.
π
12
C.
答案 A
解析 因为S△ABC＝bcs inA＝(b2＋c2－a2)，所以sinA＝＝cosA，故A＝.
14.[2016·枣强中学期 末]若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝
5∶11∶13，则△ABC(
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
答案 C

)
)

2019年
解析 在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，
∴a∶b∶c＝5∶11∶13，
故令a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得
cosC＝＝＝－<0，
又∵C∈(0，π)，∴C∈，
∴△ABC为钝角三角形，故选C .
15．[2016·衡水二中仿真]在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且 2cos(B－C)＝4sinBsinC－1.
(1)求A；
(2)若a＝3，sin＝，求b.
解 (1)由2cos(B－C)＝4sinBsinC－1，得2 (cosBcosC＋sinBsinC)－4sinBsinC
＝－1，即2(cosBcosC－sinBsinC)＝－1.
从而2cos(B＋C)＝－1得cos(B＋C)＝－.
又A，B，C为△ABC的内角，
∴B＋C＝π，故A＝.
(2)由(1)知0 由正弦定理＝得＝，解得b＝.
16．[2016·衡水二中热 身]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，
B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近 ．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间
的距离，现可测得A，B两点间的距离为100 m，∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA
＝60°，∠QBA＝90°，如图所示．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？
解 △PAB中，∠APB＝180°－(75°＋60°)＝45°，
由正弦定理得＝⇒AP＝50.
△QAB中，∠ABQ＝90°，
∴AQ＝100，∠PAQ＝75°－45°＝30°，
由余弦定理得PQ2＝(50)2＋(100)2－2×50×100cos30°＝5000，
∴PQ＝＝50.

因此，P，Q两棵树之间的距离为50 m，A，P两棵树之间的距离为50 m.