知了学飞-四川文理学院教务处

高考《解三角形》题型分析
陆丰市甲子中学数学教师——胡桢烁
考情分析
（一）目标：要求学生掌握正弦定理、余弦定理及其变形
(二) 难点：要求学生能够在掌 握正余
弦定理的基础上结合前面的三角函数知识进行
进一步的综合分析。
知识结构
（一） 特定情况下的解三角形
1、正弦定理的运用，以下两种情况一般用正弦定理
（1）已知两角一边，
（2）已知两边及一边对角
2、余弦定理的运用，以下两种情况一般用余弦定理
（1）已经三边，
（2）两边及这两条边的夹角
（二）、高考热点：边角关系的转化
（三）利用正弦、余弦定理的变形将边的关系转化成角的关系，将角的关系转化成边的关系。
（四）、利用正弦、余弦定理解决生活中的实际问题。
重点与难点
高考全国卷新课 标主要考察学生对正弦定理、余弦定理的熟练程度以及利用三角公式进行恒
等变形的能力．考题以化简、 求值或判断三角形的形状为主．与以往广东卷以三角函数作为
考查重点有所不同，但在考察中，诱导公式 ，辅助角公式这些重要的公式也是极为重要的，
也常常渗透在解三角形中，在高三的复习中也应该强化这 些知识。
典型例题：
注：以下题型一律默认
a,b,c为ABC的内角A,B，C所对的边

（1） 类型一：将角的关系转化成边的关系的题型：
例1、ABC中，8b5c,C2B,则cosC

解：因为C2B,所以 sinCsin2B
所以sinC2sinBcosB
cb

,sinB ,代入上式，可得
2R2R
c47
c2bcosB,所以cosB，所以c osC2cos
2
B1
2b525
将sinC

- 1 -

例2、ABC中，b3,c1,A2B,(1)求a的值
解： 因为A2B,所以sinAsin2B
所以sinA2sinBcosB
(2)求sin (A

4
)

aba
2
c
2
b
2
将sinA,sinB,cosB代入上式，可得

2R2R2 ac
a
2
c
2
b
2
a2b,因为c1, b3,代入解得a23
2ac
分析：这道题是一道较为基础的题目，而且已知边的关系较多 ，故我们思考的方向是引导学
生将角的关系转化成边的关系，这样题目就迎刃而解，注意用到的最关键的 知识是正余弦定
理的变形的替换，这是解决整道题的关键所在。
对比以上两道题：两道题都有 相似之处，用到了一个技巧，就是知道A=2B之后，两边取正弦
第一题只用正弦定理进行代换，第二道 又得用上余弦定理的推论。

（2） 类型二：将边的关系转化成角的关系的题型：
例3、若ccosAacosB,判断ABC的形状
解：将c2RsinC,a2RsinA 代入
sinCcosAsinAcosB
sinCcosAsinAcosBsin
CB

0
所以CB,所以ABC是等腰三角形
例4、 若已知abcosCcsinB,求B
解：将a2RsinA,b2RsinB,c2Rs inC,代入
sinAsinBcosCsinCsinB
sin(BC)sinBc osCsinCsinB
sinBcosCcosBsinCsinBcosCsinCsin B
即cosBsinB,
即tanB1，B



4
分析：不难发现例3和例4是将边的关系转化成角的关系，可以发现已知条件里面没有给出
边的 长度关系，所以我们处理的时候化成角的关系，当然还得运用到诱导公式，这是解决的
关键。
（3） 类型三：利用三角形的诱导公式，二倍角公式，辅助角公式及两角和差公式，三角形
面积公式解题 1、利用sinCsin(AB)这个重要关系
例题5：已知ABC是斜三角形，内角A,B ,C所对的边的长分别是a,b,c,若
csinA3acosC
(1)求角C
(2 )若c21,且sinCsin(BA)5sin2A，求ABC的面积


- 2 -

3
（2）因为sinCsin(BA) 5sin2A,
所以sin

BA

sin(BA)5si n2A
所以sinBcosAcosBsinAsinBcosAcosBsinA52si nAcosA
2sinBcosA52sinAcosA,即sinB5sinA即b5aa
2
b
2
c
2
a
2
25a2
211
由余弦定理：cosC,解得a1
2
2ab10a2
153
所以三角形的面积为absinC
24

解：(1)不难求 得C

例6、已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足
证明 ：(1)b2a
(2)若c7a,求角C的大小。
sin（2AB)
证明：2 2cos（AB）
sinA

AB)A

2sinA2 sinAcos（AB）所以sin（
sin（2AB)
22cos（AB）
sinA
所以sin（AB)cosAcos（AB）sinA2sinA2sinAco s（AB）

所以sin（AB)cosA2sinAsinAcos（AB）所以sin（AB)cosAcos（AB）sinA2sinA

AB)A

2sinA,所以sinB2sinA,即b2a即sin（
例7、在AB C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA

BC

求( 1)sin
2

cos2A的值

2

（2） 若a3,求bc的最大值
1
3

1cos(BC)

BC

解：sin
2

2cos
2
A1
cos2A
2

2


1cosA1
2cos
2
A1
29
例8、在ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a2,b2,sinBcosB2

则A


解：sinBcosB2sin

B

24



ab
B，B,根据正弦定理，,即可求 A
424sinAsinB

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分析：这四道题目 每道题目都各有侧重，例5用到了诱导公式，例6用到了两角和差的正弦
公式，这里实际上是用到了技巧 ，将2A+B看成是(A+B)+A,其实，直接展开也是可以做的，只
不过过程稍微复杂一点，例7用 到了二倍角公式，例8用到了辅助角公式等。从这四道题目
来看，我们发现前面三角函数学到知识在解三 角形中有着重要的应用，因此我在之前的复习
中特别注重三角函数的复习。

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