英文qq签名-高考准考证号

高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练
班级 姓名 座号
1．正弦定理:
abc
2R
或变形：
a:b:csi nA:sinB:sinC
.
sinAsinBsinC

b
2< br>c
2
a
2

cosA
222
2bc< br>
abc2bccosA


2
a
2
c
2
b
2

22
2．余弦定理：

bac2accosB
或

cosB
. < br>2ac

c
2
b
2
a
2
2b acosC



b
2
a
2
c
2

cosC
2ab

3．（1）两类正弦定理解三角形的问题 ：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5． 解题中利用
ABC
中
ABC

，以及由此推得的一些基本关 系式进行三角变换的
运算，如：
sin(AB)sinC,cos(AB)cosC ,tan(AB)tanC,


sin
表一：
已知条件 定理
应用
正弦
定理
正弦
定理
余弦
定理
由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的
角，再
由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
1

ABCABC
cos,cossin
.
2222
一般解法
一边和两角
（如a、B、C）
两边和一边的对角(如
a、b、A)
由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在
有解时有一解。
具体情况见表二
两边和夹角
(如a、b、C)

三边
(如a、b、c)
余弦
定理
由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出
角C在有解时只有一解。

表二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：

a>b
a=b
aA为钝角
一解
无解
无解
A为直角
一解
无解
无解
A为锐角
一解
一解
a>bsinA 两解

a=bsinA 一解

a
基础达标：
1. 在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为
A. 一个解 B. 二个解 C. 无解 D. 无法确定
2．在△ABC中，若
a2,b22,c62
，则∠A的度数是
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
3．ΔABC中，若a=b+c+bc，则∠A=
A. 60 B. 45 C. 120 D. 30
4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为
A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
5.在△ABC中，已知
a



2

222
3
，
b2
，B=45.求A、C及c.

4
6．在
ABC
中，若
B45
0
，
c 22
，
b
3
3
，求
A
.





7．在
ABC
中，若
a
2
b
2
c
2
bc
，求
A
.





能力提升：
8．锐角ΔABC中，若C=2B，则
AB
AC
的取值范围是
A.(0，2) B.
(2,2)
C.
(2,3)
D.
(3,2)

9. 已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值为
A.

1
4
B.
1
C. 
2
43
D.
2
3

10. 等腰三角形底边长为6，一条腰长12，则它的外接圆半径为
A.
16
5
15
B.
43
C.
8
5
15
D.
63

11． 在
ABC
中，已知三边
a
、
b
、
c
满足

abc

abc

3ab
，则C
＝
A．
15

B．
30

C．
45

D．
60


12．钝角
ABC
的三边长为连续自然数，则这三边长为（ ）。
A、1、2、3 B、2、3、4 C、3、4、5 D、4、5、6

3

sinC2
13．在ΔABC中，B C=3，AB=2，
sinB

5
(61)
，则∠A=_____ __.
14. 在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，则
abc
si nAsinBsinC
_____.

15. 在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，则a，c长为_____.

综合探究：
16．已知钝角
ABC
的三边为：
ak
,
bk2
,
ck4
,求实数
k
的取值范围 .








17.在
ABC
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，证明:
a
2
 b
2
sin(AB)
c
2

sinC
.







、



4

13周周练参考答案：
基础达标：
1.B 2.A 3.C 4.B
解析：解法1：由正弦定理得：
sinA
a sinB3sin45

5.
3
b

2

2

∴∠A=60或120
当∠A=60时，∠C=75 ，
c
bsinC2sin75

62
sinB

sin45< br>

2
；
当∠A=120时，∠C=15，
c
bsinC2sin15

62
sinB

sin45


2
.
6.∵
b
sinB

c
sinC
，
∴
sinC
csinB22
b

sin45

4

3
，
3
3
2
∵
0C180
，∴
C60

或
C120


∴当
C60

时，
A75

；当
C120< br>
时，
A15

，；
所以
A75

或
A15

．
7.∵
bcb
2
c
2
a
2
，
cosA
b
2
c
2
a
2
∴由余弦定 理的推论得：
1
2bc

2

∵
0A180

，∴
A60

.
能力提升：
8.C 9.A 10.C
11.D．由

abc

abc

3ab
，得
a< br>2
b
2
2abc
2
3ab

C< br>a
2
b
2
∴由余弦定理的推论得：
cos
c2
2ab

1
2
，
∵
0C180

，∴
C60

.

5

12.B；只需要判定最大角的余弦值的符号即可。
选项A不能构成三角形；
选项B中最大角的余弦值为
2
2
32
4
2
223

1
4
0
， 故该三角形为钝角三角形；
选项C中最大角的余弦值为：
3
2
4
2
5
2
243
0
，故该三角形为直角三角形；
选 项D中最大角的余弦值为
4
2
5
2
6
2
24 5

1
8
0
，故该三角形为锐角三角形.
13.120 14.
2
3
39
15.6,10

综合探究：
16.∵
ABC
中边
ak
,< br>bk2
,
ck4
，
∴
ak0
，且边
c
最长，
∵
ABC
为钝角三角形
∴当C为钝角时
∴
cosC
a
2
b
2
c
2
2ab
 0
，
∴
a
2
b
2
c
2
0
, 即
a
2
b
2
c
2

∴
k
2
(k2)
2
(k4)
2
, 解得
2k6
,
又由三角形两边之和大于第三边：
k(k2)k4
,得到
k2
，
故实数
k
的取值范围：
2k6
.
17.证法一:由正弦定理得：
a
2
b
2
sin
2
Asin
2
Bcos2
c
2

Bcos2 A
sin
2
C

2sin
2
C

=
2sin(BA)sin(BA)sinCsin(AB)sin(AB
2sin
2
C
=
sin
2
C
=
)
sinC
.
证法二:由余弦定理得a
2
=b
2
+c
2-2bccosA，
则
a
2
b
2
c
2
c
2

2bccosA
c
2
1
2b
c
cosA
，

6

又由正弦定理得
bsinB

，
csinC
a
2
b
2
2sinBsinC2sinBcosA
1c osA
∴
c
2
sinCsinC
sin(AB)2sinBcosA

sinC
sinAcosBsinBcosAsin(AB)



sinC

证法三：也可以从右边证到左边，过程略.
sinC
.
7