1． 如果△ABC内接于半径为
R
的圆，且
2R(sin
2
Asin
2
C)(2ab)sinB,

求△ABC的面积的最大值。





3.已知△ABC的三边
abc
且
ac2b,AC

2
，求
a:b:c









4．在△ABC中，若
(abc)(abc)3a c
，且
tanAtanC33
，
AB
边上的高为
43
，求角
A,B,C
的
大小与边
a,b,c
的长





[基础训练A组]
一、选择题

b
a
tan30
0
,batan30
0
23 ,c2b44,cb23


0A

,sinA0


cosAsin(
2
A)sinB,

2
A,B
都是锐角，则< br>
2
AB,AB

2
,C

2< br>
作出图形

b2asinB,sinB2sinAsinB,s inA
1
0
0
2
,A30
或
150

设中间角为

，则
cos


5
2< br>8
2
7
2
8

1
2
,

60
0
,180
0
60
0
120
0
25
为所求
二、填空题
1.
111
2

sinAsinBsinAcosA
2
sin2A
2

2.
120
0

cosA
b
2
c
2
a
2
2bc

1
2
,A120< br>0

3.
62

A15
0
,
a
sinA

b
sinB
,a
bsinA
sinB
4sinA4sin15
0
4
62
4

4.
120
0

a
∶
b
∶
c
sinA
∶
sinB
∶
sinC7
∶
8∶
13
，
令
a7k,b8k,c13k

co sC
a
2
b
2
c
2
2ab
1
2
,C120
0

5.
4
ACBCABACBCAB
sinB

sinA

sinC< br>,
sinBsinA

sinC
,
ACBC
< br>2(62)(sinAsinB)4(62)sin
ABAB
2
cos
2

4cos
AB
2
4,(ACBC)max
4

三、解答题
1. 解：
acosAbco sBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2A sin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC

cos(AB)cos(AB),2cosAcosB0

cosA0< br>或
cosB0
，得
A

2
或
B

2

所以△ABC是直角三角形。
证明：将
cosBa
2
c
2
b
2
b
2
c
2
a
2
2.
2ac
，
cosA
2bc
代入右边
a
2c
2
b
2
b
2
c
2
a
2
2a
2
2b
2
得右边
c(
2abc

2abc
)
2ab
< br>
a
2
b
2
ab

a
b

b
a

左边，
∴
abcosB< br>b

a
c(
b

cosA
a
)< br>
3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴
AB

2
,< br>即

2
A

2
B0

∴
sinAsin(

2
B)
，即
sinAcosB
；同理
sinBcosC
；
sinCcosA

∴
sinAsinBsinCcosAcosBcosC

4.解 ：∵
ac2b,
∴
sinAsinC2sinB
，即
2si n
ACACB
2
cos
2
4sin
2
cos
B
2
，
∴
sin
B1AC
2

2
cos
2

3
4
，而
0
B

2

2
,
∴

sin(B)
< br>2

tanAtan(B)

2
cos(B)
2
BB31339
cosB11

∴
sinB2sincos 2

，
tanA,tanAtanB1

22448
sinBtanBtanB
sinBsinC
3.
2

tanBtanC


[综合训练B组] < br>cosBcosC
sinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinA
一、选择题





1cosBcosCsinA
sinA
2

132
A,B ,C,a:b:csinA:sinB:sinC::1:3:
4.
2
锐角三角形 为最大角，
cosC0,C
为锐角
C
B13
cos
，
24

632222


AB

, A

B
，且
A,

B
都是锐角，
s inAsin(

B)sinB


sinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB


l g
sinA
cosBsinC
lg2,
sinA
cosBsinC
2,sinA2cosBsinC

sin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,

sin(BC)0,BC
，等腰三角形

(abc)(bc a)3bc,(bc)
2
a
2
3bc,


b
2
c
2
a
2
3bc,cosA
b
2
c
2
a
2
2bc

1
2
,A60
0


c
2
a
2
b
2
2abcosC9,c3
，
B
为最大角，
co sB
1
7

2cos
ABAB

tan
ABabsinAsinB
2
sin
2
2

ab

sinAsinB

，
2sin
AB2
cos
AB
2
tan
AB
tan
AB
2
,tan
AB
2
0
，或
tan
A B
1

tan
AB
2
2
2
所以AB
或
AB

2

二、填空题
1.
239
3

S
ABC

1
2
bcsinA
13
2
c
2
3,c4,a
2
13,a13


abca13
sinAsinBsinC

sinA

3

239< br>3

2
2.


AB

2
,A

2
B
，即
5.
60
0222
2
843
cosA
bca
4
3311
2bc

22
62

22(31)

2

2
6．
(5,13)

a
2
b
2
c
2

13c
2


a
2
c
2
b
2
,

4c
2
9,5c
2
13,5c13

< br>
c
2
b
2
a
2


c
2
94
三、解答题
1.解：
S
ABC

1
2
bcsinA3,bc4,


a2
b
2
c
2
2bccosA,bc5
，而< br>cb

所以
b1,c4

2. 证明：∵△ABC是 锐角三角形，∴
AB

2
,
即

2
 A

2
B0

∴
sinAsin (

2
B)
，即
sinAcosB
；同理
si nBcosC
；
sinCcosA

∴
sinAsinBsin CcosAcosBcosC,
sinAsinBsinC
cosAcosBcosC
1

∴
tanAtanBtanC1

3. 证明：∵< br>sinAsinBsinC2sin
AB
2
cos
AB2
sin(AB)


2sin
A B
2
cos
ABABAB
2
2sin
2
cos
2


2sin
ABABA
2
(cos
2
cos
B
2
)


2cos
CAB
2
2cos
2
cos
2


4cos
A
2
cos
BC
2
cos
2

∴
sinAsinBsinC4cos
ABC
2
cos
2
cos
2

4．证明：要证< br>a
a
2
ac
bc

b
ac
 1
，只要证
b
2
bc
abbcacc
2
1
，

即
a
2
b
2
c
2
ab

而∵
AB120
0
,
∴
C60
0

cosC
a
2
b
2
c
2
2ab,a
2
b
2
c
2
2abcos60
0< br>ab

∴原式成立。

5．证明：∵
acos
2
C
ccos
2
A3b
22

2

∴
sinA
1cosC1cosA3sin
2
sinC
B
2

2


即
sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB


∴
sinAsinCsin(AC)3sinB

即
sinAsinC2sinB
，∴
ac2b

[提高训练C组]
一、选择题

sinAcosA2sin(A

4
),

而
0A

,

4
A

4
5
4

2
2
sin(A

4
) 1


absinA
c

sinB
sinC
sinAsinB


2sin
AB ABAB
2
cos
2
2cos
2

< br>cosA
1
2
,A60
0
,S
1
VABC

2
bcsinA63


AB90
0
则
sinAcosB,sinBcosA
，
0
0A45
0
,


sinAcosA
，
45
0
B90
0
,sinBcosB


a
2
c
2
b
2
bc,b
2
c
2
a
2
bc,cosA
1
,A1200
2

sinAcosBsin
2

cosA
sinB

A
sin
2
B
,
cos B
cosA

sinA
sinB
,sinAcosAsinBco sB


sin2Asin2B,2A2B或2A2B


二、填空题
1. 对
sinAsinB,
则
a
2R

b
2R
abAB

2. 直角三角形
1
(1 cos2A1cos2B)cos
2
2
(AB)1,

1
(cos2Acos2B)cos
2
2
(AB)0,

cos(AB)cos(AB)cos
2
(AB)0

cosAcosBcosC0

3.
xyz
AB

2
,A

2
B,sinAcosB,sinBcosA ,yz


cab,sinCsinAsinB,xy,xyz

4．
1
sinAsinC2sinB,2sin
ACACACA
2
co s
2
4sin
2
cos
C
2

cos< br>AC
2
2cos
ACACAC
2
,cos
2< br>cos
2
3sin
2
sin
2

则
1
3
sinAsinC4sin
2
AC
2
sin
2
2

cosAcosCcosAcosC
1
3
sinAsinC

(1cosA)(1cosC)14sin
2
AC
2
s in
2
2

2sin
2
A
2
2si n
2
C
2
4sin
2
AC
2
sin2
2
11

5.
[

,

32
)

tan
2BtanAtanC,tanBtan(AC)
tanAtanC
tanAt anC1


tanBtan(AC)
ta nAtanC
tan
2
B1

tan
3
Bt anBtanAtanC2tanAtanC2tanB

tan
3
B3tanB,tanB0tanB3B

3

6．
1

b
2
ac,sin
2
Bs inAsinC,
cos(AC)cosBcos2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sin
2
B

cosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinC

cosAcosCsinAsinCcosB1

cos(AC)cosB11

三、解答题
1. 解：
a
2
b
2
sin(AB)a
2
sinAcosBsin
2
a
2
b
2

A
sin(AB),
b
2

cosAsinB

sin
2
B


cosB
cosA

sinA
sinB
,sin2Asin2B,2A2B或2A2B


∴等腰或直角三角形
2. 解：
2RsinAsinA2RsinCsinC(2ab)sinB,

asinAcsinC(2ab)sinB,a
2
c
2
2abb
2
,

22
c
2
2ab,cosC
a
2
b
2
c
2
ab
2
2
,C45
0
2ab

c
sinC
2R,c2Rsin C2R,a
2
b
2
2R
2
2ab,
2R
2
2aba
2
b
2
2ab,ab
2R
2
22


1
absinC
2
ab
2

2R
2
S,
S
21
244< br>22
max

2
R
2

另法：
S
12
2
absinC
4
ab
2
4
2RsinA2RsinB


2
4
2RsinA2Rs inB2R
2
sinAsinB

1
2R
2
[cos(AB)cos(AB)]

2
12
2R
2
[cos(AB)]
22

2R
2
2
(1)
22
S
max

3. 解
21
2
R
此时
AB
取得等号
2
：
sinAsinC2sinB,2sin

ACACACAC
cos4sincos
2222
sin

B1AC2B14BB7
cos,cos,sinB2sincos
22 2424224
AC

2
,AC

B,A3

B

B
,C

4242
s inAsin(
3

3

3

71
 B)sincosBcossinB

4444
sinCsin(B)s incosBcossinB
444

71

4
a:b:csinA:sinB:sinC
(77):7:(77)

4. 解：
1
(abc)(abc)3ac,a
2
c
2
b
2
ac,cosB,B60
0
2


tan(AC)
tanAtanC33
,3,

1tanAtanC1tanAtanC

tanAtanC23
，联合
tanAtanC33

0 0



tanA23


tanA1< br>
A75

A45
或

或

得

，即


00

tanC1

C45

C75

tanC23
 当
A75
0
,C45
0
时，
b
43
4(326),c8(31),a8

sinA
00
当< br>A45,C75
时，
b
43
46,c4(31),a8

sinA
时，∴当
A75
0
,B60
0,C45
0
a8,b4(326),c8(31),

00 0
当
A45,B60,C75
时，
a8,b46,c4(31 )
。