河南医科大学分数线-换届选举主持词

考点15 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1.(2016·全国卷Ⅰ高考 文科·T4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
2
a=
5,c=2,cosA=,则b= ( )
3
A.
2
B.
3
C.2 D.3
【解析】选D.由余弦定理a=b+c-2bccosA,
222
得
5
=b+2-2b×2×cosA,即3b-8b-3=0,
222
2
1
解得b=- (舍)或b=3.
3
π1
2.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=
43
( )
A.
3101010310
B. C.- D.-
10101010
【解题指南】根据正弦定理求解.
【解析】选C.设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
2
111
则由题意得S
△ABC
=a·a=acsin B.∴c=a.
3
232
22
5
2
5
2
22222
由余弦定理得b=a+c-2accos B=a+a-2×a×a×=a.∴b=a. < br>32
9
3
9
∴cosA=
bca
2bc
222
5
2
2
aa
2
a
2
10
9
.

9

10
52
2aa
3 3
π1
3.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T9)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC ,则sinA=
43
( )
105310
3
B. C. D.
10510
10
【解题指南】根据正弦定理求解.
A.
π1
【解析】选D.设BC边上的高为AD,且AD=m,因为B=,则BD=m,AB=
2
m,又因为AD=BC,
43
BCsinB310
ACBC
=
得s in∠BAC=.
=
AC10
sinBsin∠BAC
4.(2016·山 东高考文科·T8)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知
所以DC=2m,AC=
5
m,由正弦定理
22
b=c,a=2b(1-sinA),则A= ( )
πππ
B. C. D.
346
【解题指南】变形后,利用余弦定理巧妙求解.
A.
3π

4
1

a
2
【解析】选C.由题意1-sinA=
2
, < br>2b
a
2
b
2
c
2
a
2
所以sinA=1-
2
==cosA,
2bc
2b
π
所以A=.
4
5.(2016·天津高考理 科·T3)在△ABC中,若AB=
13
,BC=3,∠C=120°,则AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解题指南】利用余弦定理得出∠C与三边的关系,然后求解.
【解析】选A.设AC=x,
x
2
9131
2
由余弦定理得:cosC=

,得x+3x-4=0.
2x32
解得x=1或-4(舍),所以AC=1.
二、填空题
6.(2016·全国卷Ⅱ文科·T15)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T13 )△ABC的内角A,B,C的对边
45
分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a= 1,则b= .
513
【解题指南】已知cosA,cosC,可求sinB,又a= 1,可利用正弦定理求解.
45
【解析】因为cosA=,cosC=,
513
312
所以sinA=,sinC=,
513
sinB=s in(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=
由正弦定理得
答案:
21< br>
13
63
,
65
baasinB63521
,解得b=
===
.
s inBsinAsinA65313
7.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T17)△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知
2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求C.
33
π
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
2
3
【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,
由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,
2cosC·sin(A+B)=sinC.
因为A+B+C=π,A,B,C∈(0,π),
所以sin(A+B)=sinC>0,
1
所以2cosC=1,cosC=.
2
因为C∈(0,π),
π
所以C=.
3
2

(2)由余弦定理得:c=a+b-2ab·cosC,
1
22
7=a+b-2ab·,
2
2
(a+b)-3ab=7,
333
1
S=ab·sinC=ab=,
42
2
所以ab=6,
2
所以(a+b)-18=7,
a+b=5,
222
所以△ABC的周长为a+b+c=5+
7
.
8.(2016·浙江高考文科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知
b+c=2acosB.
(1)证明:A=2B.
2
(2)若cosB=,求cosC的值.
3
【解题指南】(1)由正弦定 理及两角和的正弦公式可得sinΒ=sin(Α-Β),再判断Α-
Β的取值范围,进而可证Α=2Β ;(2)由cosB的值可以求出A的三角函数值,又由C=π
-(A+B)的关系求cosC的值.
【解析】(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,
故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)
=sinB+sinAcosB+cosAsinB,
于是,sinB=sin(A-B),
又A,B∈(0,π),故0所以B=π-(A-B)或B=A-B,
因此,A=π(舍去)或A=2B,
所以,A=2B.
5
21
2
(2)由cosB=,得sinB=,cos2B=2cosB-1=-,
3
39
45
1
故cosA=-,sinA=,
9
9
cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=
22
.
27
9.(2016·山东高考理科·T16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a, b,c,已知
2(tanA+tanB)=
tanAtanB
.

cosBcosA
(1)证明:a+b=2c.
(2)求cosC的最小值.
【解题指南】利用三角恒等变换与正、余弦定理求解.
【解析】(1)由题意得,2(sinAcosB+sinBcosA)
=sinA+sinB,
即2sin(A+B)=sinA+sinB,又A+B+C=π,
所以,sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c.
3

(2)由(1)知,c=
ab
,由余弦定理得,
2
2
22

ab

ab

2
< br>a
2
b
2
c
2


cosC=
2ab2ab

3
8

ab

11

.




2

ba
< br>4
所以cosC的最小值为
1
.
2
cosAcosBcosC

.
a
bc
10 .(2016·四川高考文科·T18)同(2016·四川高考理科·T17)在△ABC中,角A,B,C所 对
的边分别是a,b,c,且
(1)证明:sinAsinB=sinC.
6
222
(2)若b+c-a=bc,求tanB.
5
【解题指南 】(1)利用正弦定理,将边角进行转化,结合诱导公式进行证明.(2)利用余
3
弦定理解出 cosA=,再根据平方关系解出sinA,代入已知中,解出tanB的值.
5
【解析】( 1)由正弦定理
cosAcosBcosC

,可知原式可以化解为
abc
cosAcosBcosC

=1,因为A和B为三角形内角,所以sin AsinB≠0,
a
bc
则两边同时乘以sinAsinB,可得sinBcosA +sinAcosB=sinAsinB,
由和角公式可知,sinBcosA+sinAcosB= sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,原式得证.
6
b
2
c
2
a
2
3
(2)由题b+c-a=bc,根据余弦定理可知,co sA=

.
5
2bc5
222

3
< br>cosA
3
4
因为A为三角形内角,A∈(0,π),sinA>0,则sin A=
1


,即=,由(1)可
55
4
sin A

2
知
cosAcosBcosCcosB11

,所以tanB=4. =1,所以
a
bc
sinBtanB4
11.(2 016·天津高考文科·T15)(本小题满分13分)
在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分 别为a,b,c,已知asin2B=
3
bsinA.
(1)求B.
1
(2)若cosA=,求sinC的值.
3
【解题指南】(1)利用正弦定理实现边化角,化简得到cosB,结合B的范围得出B.
(2)利用三角形内角和为π,将所求角化为两已知角的和,再根据两角和的正弦公式求
解.
【解析】(1)在△ABC中,由
ab

可得asinB=bsinA,又由 asin2B=
3
bsinA得
sinAsinB
2asinB·cosB=
3
bsinA,整理得cosB=
3
π
,因为B为△ABC的内角, 所以B=.
2
6
4

22
1
(2)在△ ABC中,sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),由cosA=得sinA=,所以
3
3
sinC=sin

A


3261< br>1
π

sinA+cosA=.

=
6

26
2
5