都哦哦哦来了看看
【答案】A
【解析】令
f
x



xlnx
，
f


x




可以得到
f

x

在

0,
111
，由于

0
，令
f


x



0
，得
x
，
xx



1

1

1

fx
单调递减，在单调递增，所以在时取得最小
x
,







值，所 以
f

1
1

1

，所以．故选A选项．

≥
1ln≥0

e




11．已知函数
f

x

x
2
ax
的图象在点
A0,f

0

处的切线
l
与 直线
2xy20
平行，



1


若数列

的前
n
项和为
S
n
，则< br>S
20
的值为（ ）
fn





A．
325

462
B．
19

20
C．
119

256
D．
2010

2011
【答案】A
【解 析】因为
f

x

xax
，所以
f


x

2xa
，又函数
f

x

xax
的图象在点
22
A

0,f
0


处的切线
l
与直线
2xy20
平 行，所以
f


0

a2
，所以
f< br>
x

x
2
2x
，所以
所
11 1

11


2




，
f

n

n2n2

nn2

以：
S
20

1


1
11

11

1


1

111

325

1
1L
，本
 



1


2

324352022
222122462


< br>

题选择A选项．
x
2
y
2
12．双曲 线
C:
2

2
1(a0,b0)
的左右焦点分别为< br>F
1
，
F
2
，焦距
2c
，以右顶点
A
为
ab
Q
，圆心的圆与直线
l:x3yc0
相切于 点
N
，设
l
与
C
交点为
P
，若点
N
恰为线段
PQ
的中点，则双曲线
C
的离心率为（ ）
A．
2

【答案】C
【解析】由直线方程可得直线
l:x 3yc0
过双曲线的左焦点，倾斜角为
30
，直线与
B．
3
C．
2
D．
22

都哦哦哦来了看看< br>圆相切，则：
ANl
，即
△ANF
1
是直角三角形，结合< br>AF
1
ac
，可得：
y
N

3


ac

，
4
x
2
y
2
联立直线
l:x3yc0
与双曲线
C:
2

21(a0,b0)
的方程可得：
ab

3b
2
 a
2

y
1
y
2
3b
2
c，

2
y23bcybcba0
，则：
y
N

2
23ba
222222
33b
2
c
据此有：

ac


22
，结合
b
2< br>c
2
a
2
，整理可得：
c
3
3ac< br>2
4a
3
0
，
43ba
据此可得关于离心率 的方程：
e3e40
，即

e1

e2

0
，∵双曲线中
e1
，
32
2
e2< br>．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知平面向量
a
，
b
的夹角为
【答案】2
【解析】
a2ba4ab4b4421


2
22
2
，
a2
，
b1
，则
a2b
____．
3

1


44
，故
a2b2
，填2．

2


xy1≥0,

14．已知
O
为坐标原点，若点
M

x,y

为平面区域

xy≤0,
上的动点，则
z2xy
的

y≥0

最大值是__________．
【答案】2
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的解析式，平移直线
y2x
，
由图可知，当直线经过点
B

1,0

时，直线的截距 最大，此时目标函数取得最大值
zy2x2
．

都哦 哦哦来了看看
15．以等腰直角三角形
ABC
的底边
BC
上的高AD
为折痕，把
△ABD
和
△ACD
折成互相
垂直的两 个平面，则下列四个命题：
①
ABCD
；②
△ABC
为等腰直角三角形；
③三棱锥
DABC
是正三棱锥；④平面
ABD
平面
BCD
；
其中正确的命题有__________．（把所有正确命题的序号填在答题卡上）
【答案】①③④
【解析】由题意得，如图所示，

因为
D
为
BC
的中点，所以
ADBC
，又平面
ABD
平面< br>ACD
，
根据面面垂直的性质定理，可得
CD
平面
ABD
，进而可得
ABCD
，所以①是正确的；
其中当
△ABC
为等腰直角三角形时，折叠后
△ABC
为等边三角形，所以②不正确；
因为
△ABC
为等腰直角三角形，所以
DADBDC
，所以
DABC为正三棱锥，所以③
正确；
由
ADBD
，
ADDC
，可得
AD
面
BCD
，又
AD
面
ABD，
则平面
ABD
平面
BCD
，所以④是正确的，故正确的命 题为①③④．
16．已知函数
f

x

4sin

2x




91

0≤x≤

，若函数
F

x

f

x

3
的所有零点依
6

6

次记为
x
1
,x
2
,x
3
,...x
n
,x
1
x
2
x
3
Lx
n
，则x
1
2x
2
2x
3
L2x
n1x
n


__________．
【答案】
445

【解析】
2x
k

91

k
，
kZ
，解得：
x
，
kZ
，函数在

0,

的对称轴
6262< br>
6

为

244
，，……．关于最大值 对称的对称轴间的距离为，所以
x
1
x
2
2
，2
63363
244488

，以此类推，
x
n1
x
n
2
，这
n1
项构成以首项为，33333
x
2
x
3
2

都哦哦哦 来了看看
88

88
33
n2
，解得
n 31
， ，所以

为公差的等差数列，第
n1
项为
3< br>

88

30



33

所以

x
1
x
2


x
2
x
3

......

x
n1
x
n

445
．
2

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每
个试题 考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分，每个试题12分．
17．在
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b，
c
，且满足
23asinCsinBasinAbsinBcsinC< br>．
（1）求角
C
的大小；
（2）若
acos
< br>


B

bcos

2kA
（
kZ
）且
a2
，求
△ABC
的面积．

2

【答案】（1）
C

31
；（ 2）
S
△ABC

．
6
2
222
【解析 】（1）由
23asinCsinBasinAbsinBcsinC
得：
23 absinCabc
，
a
2
b
2
c
2
∴
3sinC
，∴
3sinCcosC
，
2ab∴
tanC

3
，∴
C
．·······6分 < br>6
3



，得
asinBbcosA
，
B

bcos

2kA

（
k Z
）

2

（2）由
acos

由正弦定 理得
sinAcosA
，∴
A

．
4

都哦哦哦来了看看
根据正弦定理可得
2

sin
4

c

sin
6
，解得
c2
，
∴
S
△ABC

分
1131

< br>
acsinB22sin

AC

2sin




．····12
222

46< br>
18．韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民意调查结果显示，受“闺蜜 门”
事件影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，
30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均 为3%；
年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对 象中，除[20，
30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组 的频数
构成公差为100的等差数列．

（1）依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数
（2）请依上述支持率完成下表：
年龄分布是否支持
支持
不支持
合计
[30，40）和[40，50）



[50，60）和[60，70）



合计



根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关？
附表：
PK
2
≥k

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k

（参考公式：
K
2

2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
n

adbc
< br>2

ab

cd

ac
bd

，其中
nabcd
参考数据：

都哦哦哦来了看看
125×33=15×275，125×97=25×485）
【答案】（ 1）年龄在[30，40）的群体有200人，[40，50）的群体有300人，[50，60）的群
体有200人，[60，70）的群体有100人；
（2）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．
【解析】（1） 设年龄在[50，60）的人数为
x
，则最后三组人数之和为3
x
，
所以四组总人数为4
x
=800，得
x
=200， ·······2分
则频率分布直方图中，年龄在[30，40）的群体有200人，[40，50） 的群体有300人，[50，
60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人； ·······6分
（2）由题意年龄在[30，40）和[40，50）的支持人数为6+9=15 ，[50，60）和[60，70）的人
数为12+13=25．
填表如下
年龄分布是否支持
支持
不支持
合计
[30，40）和[40，50）
15
485
500
[50，60）和[60，70）
25
275
300
合计
40
760
800
······9分
所以
K2
800

1527525485

407603 00500
≈11.228＞10.828，
∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．·······12分
PC
底面
ABCD
，
AD∥BC
，
AD2BC2< br>，19．如图，在四棱锥
PABCD
中，
△ABC
是以
AC
为斜边的等腰直角三角形，
E
是
PD
上的点．
求证：（1）
AD∥
平面
PBC
；
（2）平面
EAC
平面
PCD
．

都哦哦哦来了看看
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】 （1）∵
AD∥BC
，
BC
平面
PBC
，
AD
平面
PBC
，
∴
AD∥
平面
PBC
．·······6分
（2）
QPC
底面
ABCD
，
AC
底面
ABCD
，
PCAC
·······7分
由题意可知，
AD∥BC
且AD2BC2
，
△ABC
是等腰直角三角形，
AC2BC2
，
CD2
，
CD
2
AC
2
AD< br>2
，即
ACCD
····9分
又
QPCICDC
，
AC
平面
PCD
·······10分
QAC
平面
EAC
，

平面
EAC

平面
PCD
·······12分
x
2
20．已知四边形
ABCD
的 四个顶点在椭圆
C
：
y
2
1
上，对角线
AC< br>所在直线的斜率为
3
1
，且
ABAD
，
CBC D
．
（1）当点
B
为椭圆
C
的上顶点时，求
AC
所在直线方程；
（2）求四边形
ABCD
面积的最大值．
【答案】（1）
yx
1
；（2）
3
．
2< br>【解析】（1）因为
ABAD
，
CBCD
，所以对角线
A C
垂直平分线段
BD
．
因为直线
AC
的斜率为
 1
，则直线
BD
所在直线的斜率为
1
．
1
，则直线
BD
所在直线方程为
yx1
．·······1分 又因为
B

0，

x
2
3y
2
3< br>1

3
由

，解得
D

，< br>
·······2分
2

2

yx1则
BD
中点
P
的坐标为

，

·· ·····3分
所以
AC
所在直线方程为
yx

3 1


44

1
；·······4分
2
（2）设
AC
，
BD
所在直线方程分别为
yxm
，
yxn
，
B

x
1
，y
1

，
D

x
2
，y
2

，
BD
中点
P

x
0
，y
0

．

x
2
3y
2
3
22
由
< br>，得
4x6nx3n30
，

yxn
2
令

4812n0
，得
n4
，
2

都哦哦哦来了看看
3n
3n
2
3
·······6分
x
1
x
2

，
x
1
x
2

2
4
则
BD

x
1
x
2



y
1
y
2

64m
2
2
22

64n
2
2
< br>，
同理
AC

，·······8分

4m

4n

·······9分
22
则
S
四边形ABCD
3
1
ACBD
24
又因为
x
0

x
1
x
2
3

31

n
，所以
BD
中点
P

n，n

．
24

44

由点
P< br>在直线
AC
上，得
n2m
，
所以
S
四 边形ABCD
3
1
ACBD
2

4m
< br>1m

·······11分
22
2
因为
n2
4
，所以
0≤m
2
1
，
所以当
m0
时，四边形
ABCD
的面积最大，最大面积为
3
．···· ···12分
21．已知函数
f

x

x2xal nx

a0

，
x
0
是函数
f

x

的极值点．
2
（1）若
a4
，求函数
f

x

的最小值；
（2）若
f
x

不是单调函数，且无最小值，证明：
f

x
0
0
．
【答案】（1）
f

x

的最小值为
f

2

4ln2
；（2）见解析． 【解析】（1）解：
f

x

x2x4lnx
， 其定义域是

x|x0

．
2
4
2x
2
2x4
2

x1

x2

．
f


x

2x2

x
xx
令
f


x

0
，得
x 2
，·······2分
2

单调递减，在

2，

上单调递增． 所 以，
f

x

在区间

0，
所以
f

x

的最小值为
f

2

 4ln2
．·······5分
（2）解：函数
f

x

的定义域是

x|x0

，

都哦哦哦 来了看看
a2x
2
2xa
对
f

x

求导数，得
f


x

2x2
，
xx
显然，方程
f


x

02x 2xa0
（
x0
），
2
因为
f

x

不是单调函数，且无最小值，则方程
2x
2
2xa0必有
2
个不相等的正根，所


48a0
1
以

，解得，·······7分
0a

a< br>2
0

2

设方程
2x
2
2x a0
的
2
个不相等的正根是
x
1
，
x
2
，其中
x
1
x
2
，
2x
2
2xa
2

xx
1

xx
2

所以
f


x


，

xx
列表分析如下：
x

x
1



0，


x
1

x
2



x
1
，
x
2





x
2
，


f


x


0



0

所以，
x
1
是极大值点，
x
2
是极小值点，
f

x
1

f

x2

，·······9分
故只需证明
f

x
1

0
，由
0x
1
x
2
，且x
1
x
2
1
，得
0x
1
因为
0a
1
，
2
11
，
0x
1

，所以
f

x
1

x
1< br>
x
1
2

alnx
1
0
，
22
从而
f

x
0

0
．·· ·····12分
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则 按所
做第一题计分）
22．选修4－4：坐标系与参数方程

x12 cos

在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为

，（

为参数），以坐标原点
O
y2sin


为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线
l
的 极坐标方程为


cos

sin


m(m0)
．
（1）求曲线
C
的极坐标方程；
（2）若直线





R

与直线
l交于点
A
，与曲线
C
交于
M
，
N
两点 ．且
4

都哦哦哦来了看看
OAOMON6
，求
m
．
【答案】（1）

2
2

cos

30
；（2）
m22
．
【解析】（1）∵
x1

y
2
4
，∴
x
2
y< br>2
2x30
，
故曲线
C
的极坐标方程为
< br>2
2

cos

30
．·······5分
（2）将


2

2
代入

c os



sin

m
，得


将


代入

2
2

cos

30
，
m
．
44
2
2
m 6
，∴
m22
．·······10分
2
ON3
， 则
3
得

1

2
3
，则
O M·
23．选修4－5：不等式选讲
已知函数
f

x

x2x1
．
（1）求函数
f

x

的最大值；
（2）若xR
，都有
4f

x

≤2m1m5
恒成立，求实数
m
的取值范围．
【答案】（1）3；（2）

 ,


16

8

U,
．

3

3

【解析】（1）
f

x

x2x1≤x2

x1

3
，所以
f

x

的最大值是3．····5
分
（2）
xR
，
4f

x

≤2m1 m5
恒成立，
等价于
4f

x

max≤2m1m5
，即
2m1m5≥12
．
当
m 5
时，等价于


2m1



m5

≥12
，解得
m≤
当
5≤m≤
16
；
3
1
时，等价于


2m1

< br>
m5

≥12
，化简得
m≤6
，无解； 2
8
1
当
m
时，等价于
2m1m5≥12，解得
m≥
．
3
2
综上，实数
m
的取值范围 为

,


16

8

U,

．·······10分



33
