无锡考试网-晚安祝福短信

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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项 ：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将
试卷类 型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题 时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需要改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按
以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1．已知集合
A
={
x
|
x
<1}，
B
={
x
|
3
x

1
}，则
A．
A
C．
A
B{x|x0}

B{x|x1}





B．
A
D．
A
BR

B

2．如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分关于正方形
的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．
1

4
B．
π

8
C．
1

2
D．
π

4
3．设有下面四个命题
1
p
1
：若复数
z满足
R
，则
zR
；
z
p
2
：若 复数
z
满足
z
2
R
，则
zR
； p
3
：若复数
z
1
,z
2
满足
z1
z
2
R
，则
z
1
z
2
；
专业技术参考资料

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p
4
：若复数
zR
，则
zR
.
其中的真命题为
A．
p
1
,p
3
B．
p
1
,p
4
C．
p
2
,p
3
D．
p
2
,p
4

4．记
S
n
为 等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a
4< br>a
5
24
，
S
6
48
，则
{ a
n
}
的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8 < br>5．函数
f(x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)1
，则满足
1f(x2)1
的
x
的取值范围
是
A．
[2,2]

6．
(1
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

1
2
6
展开式中的系数为
x
)(1x)
2
x
B．20 C．30 D．35 A．15
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，正方形的边长为
2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯 形的面积之和为

A．10 B．12
n

n
C．14 D．16
和两个空白框中，可以分别填入 8．右面程序框图是为 了求出满足3
−2
>1000的最小偶数
n
，那么在

A．
A
>1 000和
n
=
n
+1
B．
A
>1 000和
n
=
n
+2
C．
A

1 000和
n
=
n
+1
D．
A

1 000和
n
=
n
+2
9．已知曲线
C
1
：
y
=cos
x
，
C
2
：
y
=sin (2
x
+
2π
)，则下面结论正确的是
3
专业技术参考资料

WORD格式整理 A．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右 平移
到曲线
C
2
B．把
C
1
上各点的横坐标伸长 到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
到曲线
C
2
C．把< br>C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
到曲线
C
2
D． 把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
到曲线
C
2

π
个单位长度，得
6
π
个单位长度，得
12
1π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得
26
1
π< br>倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得
212
10．已知
F
为抛物线
C
：
y
=4
x
的焦点，过
F作两条互相垂直的直线
l
1
，
l
2
，直线
l< br>1
与
C
交于
A
、
B
两点，直
线l
2
与
C
交于
D
、
E
两点，则|AB
|+|
DE
|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
2
11．设
xyz
为正数，且
2
x

3
y

5
z
，则
A．2
x
<3
y
<5
z
B．5
z
<2
x
<3
y
C．3
y
<5
z
<2
x
D．3
y
<2
x
<5
z

12．几位大学生响应国 家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解
数学题获取软件激活 码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，
4，1，2，4 ，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2，接下来的两项是2，2，再接下来的三项是
2，2 ，2，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数
N
：
N
>100且该数 列的前
N
项和为2的整数幂.
那么该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
012
001
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 已知向量
a
，
b
的夹角为60°，|
a
|=2，|
b
|=1，则|
a
+2
b
|= .

x2y1

14．设
x
，
y
满足约束条件

2xy1
，则
z3x2y
的最小值为 .

xy0

x
2
y
2
15．已知 双曲线
C
：
2

2
1
（
a
>0 ，
b
>0）的右顶点为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做圆
A
，圆
A
与双曲线
C
ab
的一条渐近 线交于
M
、
N
两点。若∠
MAN
=60°，则
C< br>的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形
ABC
的中心为
O
。
D
、E
、
F
为圆
O
上
的点，△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
分别是以
BC
，
CA
，
AB
为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以
BC
，
CA
，
AB
为折痕折起△
DBC
，△
ECA
，△
FA B
，使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。当△ABC
的边长变化时，
所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为_______。
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3

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三、解答题：共70分。解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题 为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
a
2
△
ABC
的内角
A
，
B
，
C< br>的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知△
ABC< br>的面积为
3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;
（2） 若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，< br>ABCD
，且
BAPCDP90
.

（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
APD 90
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机 抽取16个零件，并测量其
尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生 产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

2
)
．
（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
(< br>
3

,

3

)
之外的零件 数，
求
P(X1)
及
X
的数学期望；
（2）一天内抽检 零件中，如果出现了尺寸在
(

3

,

3< br>
)
之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况， 需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
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16
1
16
1
16
22
x
i
9.97
，
s
经计算得
x
(x
i
x) (

x
i
16x
2
)
2
0.212< br>，其中
x
i
为抽取


16
i1
16
i1
16
i1
的第
i
个零件的尺寸，
i 1,2,,16
．
ˆ
，用样本标准差
s
作为
的估计值

用样本平均数
x
作为

的估计值

ˆ
，利用估计值判断是否需对当
ˆ
3

ˆ
,
ˆ
3

ˆ
)
之外的学科网数据，用剩下的数据估计

和

（精确到天的生产过程进行检查？剔除
(

0.01）．
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,< br>
2
)
，则
P(

3

Z< br>
3

)0.997 4
，
0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．
20.（12分）
33
x
2
y
2
已知椭圆
C
：
2

2
=1
（
a
>
b>0），四点
P
1
（1,1），
P
2
（0,1），P
3
（–1，
），
P
4
（1，）中恰有
22< br>ab
三点在椭圆
C
上.
（1）求
C
的方程； （2）设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于< br>A
，
B
两点.若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为–1，证明：
l
过
定点.
21.（12分）
已知函数
（fx)
a
e+(
a
﹣2) e﹣
x
.
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围.
（二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
< br>,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
< br>（
θ
为参数），直线
l
的参数方程为
ysin

,


xa4t,
（t为参数）
.

y1t,

2
xx
（1）若
a
=−1，求
C
与
l
的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
17
，求a.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x
）=–
x
+
ax
+4，
g
(
x
)=│
x
+1│+│
x
–1 │.
（1）当
a
=1时，求不等式
f
（
x
）≥< br>g
（
x
）的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取 值范围.

2
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2017高考全国Ⅰ卷数学答案及解析
1 正确答案及相关解析

正确答案
A
解析
，所以< br>A

B

x
|
x
1



x
|
x
0



x
|
x
0

，
由
由3
x

1可 得3
x

3
0
，则
x
0，即
B

x
|
x
0


AB

x|x1



x|x0



x| x1


故选A.

考查方向
（1）集合的运算（2）指数运算性质.
解题思路
应先把集合化简再计算，再直接进行交、并集的定义运算.

易错点
集合的交、并集运算灵活运用

2 正确答案及相关解析

正确答案
B
解析
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
a
2
a
2
设 正方形边长为a，则圆的半径为，正方形的面积为
a
，圆的面积为
.由图形的对称性可 知，太极图
4
2
中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公 式得，此点取自黑色部分的概率是
1

a
2

24


，选B.

a
2
8
考查方向
几何概型
解题思路

a
2
a
2
正方形 边长为a，则圆的半径为，正方形的面积为
a
，圆的面积为
.由图形的对称性可知，太 极图中
4
2
黑白部分面积相等，再由几何概型概率的计算公式得出结果

易错点
几何概型中事件A区域的几何度量
3 正确答案及相关解析

正确答案
B
解析
11abi

2
R得 b
0
，所以
zR
，
P
1
正确；
2
zabiab
令
zabi(a,bR)
，则由
2< br>由
i1R,iR
知，
P
2
不正确；

由
z
1
z
2
i,z
1
z
2
1R
知
P
3
不正确；

P
4
显然正确，故选B.

考查方向
（1）命题及其关系；（2）复数的概念及几何意义.
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解题思路
根据复数的分类，复数运算性质依次对每一个进行验证命题的真假，可得答案

易错点
真假命题的判断

4 正确答案及相关解析

正确答案
C
解析
设公差为
d
,
a
4
a
5
a
1

3
da
1

4
d
2
a
1

7
d
24,

S
66a
1

65
d6a
1
15d48
2a
1
7d24
2
，联立
{
,
解得
d
=4，故选C.

6a
1
15d48
考查方向
等差数列的基本量求解
解题思路
设公差为
d
，由题意列出两个方 程，联立
{
2a
1
7d24
6a
1
15d 48
,
求解得出答案

易错点
数列的基本量方程组的求解
5 正确答案及相关解析

正确答案
D
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解析
因为f(x)为奇函数且在(,)单调递减，要使1f(x)1成立，< br>则x满足1x1，从而由1x21
得1x3，即满足1f(x2)1 成立的x取值范围为

1，3

，
选D.

考查方向
（1）函数的奇偶性；（2）函数的单调性
解题思路
由函数为 奇函数且在
(，)
单调递减，单调递减．若
1f(x)1
，满 足
1x1
，从而由
1x21
得出结果

易错点
函数的奇偶性与单调性的综合应用

6 正确答案及相关解析

正确答案
C

解析
1

1
6
666
222
2

1Cx15x1x

1x11x1x
x
，则展开式中含的 项为，

6
x
2

x
2
因为
< br>1


11
6
2
44

x1xC
6
x15x
2
，故
x
2
的系数 为15+15=30，选C.

展开式中含的项为
22
xx
考查方向
二项式定理
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解题思路
2
将第一个二项式中的每项乘 以第二个二项式的每项，再分析好
x
的项的系数，两项进行加和即可求出答案

易错点
2
准确分析清楚构成
x
这一项的不同情况

7 正确答案及相关解析

正确答案
B
解析
由题意该 几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，
则这些 梯形的面积之和为
2

24

2
1
12
，故选B.

2

考查方向
简单几何体的三视图
解题思路
由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，则该几何体各面内只有两个 相同的梯形，由边的
关系计算出梯形的面积之和

易错点
根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量

8 正确答案及相关解析

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正确答案
D
解析
nn由题意，因为
321000
，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入
A1000
，故填
A1000
，
又要求
n
为偶数且初 始值为0，所以矩形框内填
nn2
，故选D.

考查方向
程序框图的应用。
解题思路
通过程序框图的要求，写出每次循环的结果得到输出的值．

易错点
循环结构的条件判断

9 正确答案及相关解析

正确答案
D
解析
因为
C
1,
C
2
函数名不同， 所以先将
C
2
利用诱导公式转化成与
C
1
相同的函数名，则
2


2




C< br>2:
:ysin

2x

cos

2x

，

cos

2x
3
< br>32

6

则由
C
1
上各点的横坐标 缩短到原来的
选D.

1

倍变为
ycos2x
，再将曲线向左平移个单位长度得到
C
2
，故
212
考查方向
（1）诱导公式；（2）三角函数图像变换.
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解题思路
首先利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数，
2


2




C
2:
:ysin

2x

cos

2x

；再进 行图象的变换


cos

2x
3

32

6

易错点
对变量
x
而言进行三角函数图像变换

10 正确答案及相关解析

正确答案
A
解析
设直线
l1
方程为
yk
1

x1

，

2

y4x

取方程




yk
1

x1

2k
1
2
42k
1
2
4
得
kx2kx4xk0,x
1< br>x
2



22
k
1
k
1
2
1
22
1
2
1
∴

22k
2
4
同理直线
l
2
与抛物线的交点满足
x
3
x
4


2
k
2
由抛物线 定义可知
2
2k
1
42k
2
44416
AB DEx
1
x
2
x
3
x
4
2p 482816

222222
k
1
k
2< br>k
1
k
2
k
1
k
2

当且 仅当
k
1
k
2

1
（或
1
）时，取得等号.

考查方向
专业技术参考资料

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（1）抛物线的简单性质；（2）均值不等式
解题思路
2

y 4x

设直线
l
方程为
yk

x1

，联立

，则
xx


yk
1

x1

11
12
2k
1
2
42 k
1
2
4
，同理算出

22
k
1< br>k
1
2
2k
2
4
，再由得
ABDEx
1
x
2
x
3
x
4
2p
， 利用均值不等式求出最小值

x
3
x
4

2
k
2
易错点
抛物线焦点弦公式

11 正确答案及相关解析

正确答案
D
解析
令
235k(k1)
，则
x
 log
2
k
,
y
log
3
k
,
z
log
5
k
，

∴
xyz
2x2lg klg3lg9

1
，则
2x3y
，

3 ylg23lgklg8
2x2lgklg5lg25
1
，则
2x 5z
，故选D.

5zlg25lgklg32
考查方向
指、对数运算性质
解题思路
2x
2x
，得出结果
3y
5z
令
235k(k1)
，则
x
log
2
k
,
y
log
3
k
,
zlog
5
k
，分别比较
xyz
易错点
专业技术参考资料

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比较数的大小

12 正确答案及相关解析

正确答案
A
解析
由题意得，数列如下：
1，
1，2
1，2，4
…
1，2，4，…，
2
…
k1


则该数列的前
12k
k(k1)
项和为

2< br>
k(k1)

k1k1
S

1(1 2)(122)2k2
，


2

要 使
k(k1)

100
，有
k14
，此时
k 22
k1
，所以
k2
是第
k1
组等比数列
1,2,,2
k
的部分和，
2
t1
设
k
2< br>
1

2

2
t

2
t

1
，

5
所以
k
2314，则
t5
，此时
k2329
，

所以对应满足 条件的最小整数
N
2930

5

440
，故 选A.

2
考查方向
等差数列、等比数列的求和.

解题思路
由题意列出数列，即为
1，
1，2
1，2，4
专业技术参考资料

WORD格式整理
…
1，2，4，…，
2
k1
，

得出一个新的数列，其< br>S


k(k1)

k1k1

< br>1

(1

2)

(1

2< br>
2)

2
k
2


2< br>
，再由题
k(k1)

100
，有
k14，再设
k
2

1

2

2t1

2
t

1
，所以
k2
t< br>314
，则
t5
，
2
5
此时
k2

3

29
，进而求出最小的整数N

易错点
观察所给定数列的特征，进而求数列的通项和求和

13 正确答案及相关解析

正确答案
23

解析
a2b a4ab4b4421cos60

412
，所以
a 2b1223
.

考查方向
平面向量的运算.
222
解题思路
222

将
a2b
平方得a
2
ba
4
ab
4
b
4

4

2

1

cos60

4

12
，很容易得出结果

易错点
平面向量中求模长的通常是见模平方

14 正确答案及相关解析

专业技术参考资料

WORD格式整理
正确答案
-5
解析
不等式组表示的可行域如图所示，


易求得
A

1,1

,B(,),C(,
)
，

由
z3x2y
得
y
1
3
1
3
11
33
3z
x
在
y
轴上的截距越大，
z
就越小，

22
所以，当直线
z3x 2y
过点
A
时，
Z
取得最小值，

所以
Z
的最小值为
3(1)215
.


考查方向
线性规划的应用
解题思路
作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

易错点
z的几何意义

专业技术参考资料

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15 正确答案及相关解析

正确答案
23

3
解析
如图所示，作
APMN
，因为圆
A
与双 曲线
C
的一条渐近线交于
M
、
N
两点，则
MN为双曲线的渐近线
y
b
x
上的点，且
A(a,0)
，
AMANb
，

a

而
APMN
， 所以
PAN30
，

点
A(a,0)
到直线
y 
b
x
的距离
AP
a
b
1
b
a
2
2
，

在
RtPAN
中，
cos PAN
PA
NA
22
，代入计算得
a3b
，即
a3b
，

由
cab
得
c2b
，

所以
e

222
c2b23
.


a3
3b

考查方向
双曲线的简单性质.
专业技术参考资料

WORD格式整理
解题思路
b
MN
为双曲线的渐近线
yx
上的点，且A(a,0)
，
AMANb
，又由题知
AP
a
b
b
2
1
2
a
＝
ab
，
c
在在
RtPAN
中由边的关系，由边角关系求出
a3b
，进而求出离心 率

易错点
双曲线渐近线性质的灵活应用

16 正确答案及相关解析

正确答案
415

解析
如下图， 设正三角形的边长为x，则
OG

133

x

x
.

326
22

3
3

3

3




FGSG5x，
SOhSG
2
GO
2


5x


x

5

5

6
6

6

3



113 3

153
54


三棱锥的体积
VS
ABC
h5

5x

5xx
.


1233433

令
n(x)5x
4
3< br>5
53
4
x
，则
n

(x)20x
3
x
，

33
x
4

0,
x
43
，
< br>令
n

(x)0,4x
3
3
V
max< br>
75
4854415
.

12
专业技术参考资料

WORD格式整理

考查方向
简单几何体的体积
解题思路
设正三角形的边长为x ，则
OG

133

x

x
.

326
FGSG5
3
x
，SO量代入三棱锥的体积
6

3
5
1133

153
5
4
4

x
，求导求出体积
，令
n(x)5x
VSABC
h5

5x

5xx

12
3
33433

的最大值

易错点
利用导函数求体积的最大值

17 正确答案及相关解析

正确答案
（1）
2
；（2）
333

3
解析
专业技术参考资料

WORD格式整理 1a
2
1a
（1）由题设得
acsinB
，即
csi nB
.

23sinA
23sinA
1sinA
.

sinCsin B
23sinA
2
故
sinBsinC
.

3
由正弦定理得
（2）由题设及（1）得
cosBcosCsinBsinC所以
BC
11
，即
cos(BC)
.

22
2


，故
A
.

33< br>1a
2
由题设得
bcsinA
，即
bc8
.
23sinA
22
由余弦定理得
bcbc
9
， 即

bc

3bc9
，得
bc33
.< br>
2
故
ABC
的周长为
333
.

考查方向
（1）正弦定理；（2）余弦定理；（3）三角函数及其变换.
解题思路
1a
2
（1）由三角形面积公式建立等式
acsinB
，再利用正 弦定理将边化成角，从而得出
sinBsinC
23sinA
的值；（2）由
cosBcosC
121
和
sinBsinC
计算出
cos(B C)
，从而求出角
A
，根据题设和余
632
弦定理可以求出< br>bc
和
bc
的值，从而求出
ABC
的周长为
3 33
.

易错点
解三角形
18 正确答案及相关解析

正确答案
（1）见解析；（2）

3

3
专业技术参考资料

WORD格式整理
解析

（1）由已知
BAPCDP90
，得
AB
⊥
AP
，
CD
⊥
PD
.

由于
ABCD
，故
AB
⊥
PD
，从而
AB
⊥平面
PAD
.

又
AB

平面
PAB
，所以平面
PAB
⊥平面
PAD
.
< br>（2）在平面
PAD
内作
PFAD
，垂足为
F
，< br>
由（1）可知，
AB平面PAD
，故
ABPF
，可得< br>PF平面ABCD
平面.

以
F
为坐标原点，
FA
的方向为
x
轴正方向，
AB
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标 系
Fxyz
.


由（1）及已知可得
A(
22 22
,0,0),P(0,0,),B(,1,0),C(
,1,0)
.

2222
所以
PC(
2222
,1,),CB(2,0,0 ),PA(,0,
),
AB
(0,1,0)
.

22 22
设
n(x,y,z)
是平面
PCB
的法向量，则
< br>
22


nPC0

-xyz0,即

2


2


nCB0
2x0

可取
n(0,1,2)
.

设
m(x,y,z)
是平面
PAB
的法向量，则




mPA0

2
x
2
z0 ,
即

2


2


mAB 0

y0.

专业技术参考资料

WORD格式整理
可取
m(1,0,1)
.

则
cosn,m
nm3
，


nm3
3
.

3
所以二面角
APBC
的余弦值为

考查方向
（1）面面垂直的证明；（2）二面角平面角的求解
解题思路
根据题设可以得出A B⊥AP，CD⊥PD，而ABCD，就可证明出AB⊥平面PAD，进而证明平面PAB⊥平面PAD；
（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立空间直角坐标系，列出所需要的点坐标，求出平面PCB，平
面PAB的法向量，利用数量积求出二面角的平面角的余弦值

易错点
坐标法求两个半平面的法向量

19 正确答案及相关解析

正确答案

解析
专业技术参考资料

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考查方向
（1）正态分布；（2）随机变量的期望和方差.

解题思路

易错点
随机变量的期望和方差的求解

20 正确答案及相关解析

专业技术参考资料

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正确答案
x
2
y
2

1
；（2）见解析

（1）C的方程为
4
解析
（1）由于
P
3
,P< br>4
，两点关于
y
轴对称，故由题设知
C
经过
P
3
,P
4
，两点.

1113
知，
C
不 经过点
P
，所以点
P
在
C
上.

< br>a
2
b
2
a
2
4b
2

1

a
2
4

b
2
1,
因此< br>
解得

2

13

b1
2

2
1,
4b

a
又由
12x
2
y
2

1
.

故
C< br>的方程为
4
（2）设直线
PA
与直线
PB
的斜率分别 为
k
，
k
，

2212
4-t
2
如果
l
与
x
轴垂直，设
l
：
x
=
t
，由题设知
t0
，且
t2
，可得
A
，
B
的坐标分别为（
t
，），（
t
，
2
4t2

）.

2
则
k
1
k
2

4t
2
24t
2
2

1< br>，得
t2
，不符合题设.

2t2t
x
2
y
2

1
得
< br>从而可设
l
：
ykxm(m1)
.将
ykxm代入
4
(4k
2
1)x
2
8kmx4m
2
40
.

由题设可知

16(4
km
1)

0

.
22
4m
2
4< br>8km
设
A
（
x
，
y
），
B
（
x
，
y
），则
x
+
x
=
< br>，
xx
=.

2
2
4k1
4k1
11221212
而
k
1
k
2

y
1
1y
2
1kx
1
m1kx
2
m12k x
1
x
2
(m1)(x
1
x
2
)< br>
.

x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
专业技术参考资料

WORD格式整理 由题设
k
1
k
2

1
，故
(2k 1)x
1
x
2
(m1)(x
1
x
2
)0
.

4m
2
48km
(m1)
0
.
即
(2k1)
22
4k14k1
解得
k
m 1
.

2
m1m1
x

m
，即y1
(
x
2)
，

22
当且仅当m1
时，
0
，于是
l
：
y
所以< br>l
过定点（2，-1）.

考查方向
（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的位置关系.
解题思路
（1）由于
P
3
,P
4
，两点关于y轴对称，故由题设知C经过
P3
,P
4
，两点，又由
1113
知，C

a
2
b
2
a
2
4b
2
22
不经过 点P1，所以点P2在C上.直接代入方程，进而求出椭圆的方程；（2）先设直线
PA
与直线
PB
的斜
率分别为
k
，
k
，
l
与
x
轴垂直，通过计算不符合题设；再设
l
：
ykxm(m1)
.将
ykxm
代入
12
x
2
y
2< br>1
，写出判别式，韦达定理，表示出，由
k
1
k
2

1
列等式表示出k和m的关系，判断出直线恒
4
过定点

易错点
用根与系数的关系研究直线与圆锥曲线和关系

21 正确答案及相关解析

正确答案
（1）见解析；（2）
(0,1)

解析
（1）
f(x)
的定义域为
(,)
，
f

(
x
)

2
ae
2x
< br>(
a
2)
e
x

1

(
ae
x

1)(2
e
x

1)
，

专业技术参考资料

WORD格式整理
（ⅰ）若
a0
，则
f

(x)0
，所以
f(x)
在
(,)
单调递减.

（ⅱ）若
a0
，则由
f

(x)0
得
xlna
.

当
x(,lna)
时，
f

(x)0
；当
x(lna,)
时，
f
(x)0
，所以
f(x)
在
(,lna)
单 调递减，
在
(lna,)
单调递增.

（2）（ⅰ）若
a0
，由（1）知，
f(x)
至多有一个零点.

（ⅱ）若a0
，由（1）知，当
xlna
时，
f(x)
取得最小值 ，最小值为
f(lna)1
①当
a1
时，由于
f(lna )0
，故
f(x)
只有一个零点；

②当
a(1, )
时，由于
1
③当
a(0,1)
时，
1
又< br>f
(

2)
ae
4
1
ln
a
.

a
1
lna0
，即
f(lna)0< br>，故
f(x)
没有零点；

a
1
lna0
，即
f(lna)0
.
< br>a

(
a
2)
e
2

2

2
e
2

2

0
，故
f (x)
在
(,lna)
有一个零点.

设正整数
n< br>0
满足
n
0
ln(
由于
lna(
3
1)
，则
f(n
0
)e
n
0
(ae
n
0
a2)n
0
e
n
0
n
0< br>2
n
0
n
0
0
.

a
3
1)ln
a
，因此
f(x)
在
(lna, )
有一个零点.

a
综上，
a
的取值范围为
(0,1)
.

考查方向
（1）含参函数的单调性；（2）利用函数零点求参数取值范围.
解题思路
（1）讨论
f(x)
单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及 时进行因式分解，在对
a
按
a0,a0
，进
行讨论，写出单调区 间；（2）根据第（1）题，若
a0,f(x)
，至多有一个零点.若
a0
，当
xlna
时，
1
lna
，根据
a1
，
a(1,),a(0,1)
，进行讨论，可
a
3
知当a(0,1)
有2个零点，设正整数
n
0
满足
n
0< br>ln(1)
，则

a
3
f(n
0
)e
n
0
(ae
n
0
a2)n
0
e< br>n
0
n
0
2
n
0
n
0
0
.由
lna(1)ln
a
于，因此
f(x)
在
a
f(x)
取得最小值，求出最小值
f(lna)1
(ln a,)
有一个零点.所以
a
的取值范围为
(0,1)
.

专业技术参考资料

WORD格式整理
易错点
含参函数进行分类讨论其单调性

22 正确答案及相关解析

正确答案
（1）或
(
（3 ,0）
2124
,
)
.（2）
a8
或
a16
.

2525
解析
x
2
y
2

1
.

（1）曲线
C
的普通方程为
9
当
a1
时，直线
l
的普通方程为
x4y30
.

21


x 4y30
x

x3


25
.

由

x
2
解得或


2
y1
y0

y
24



9
25

2124
从而
C
与
l
的交点坐标为
(3 ,0),(,
)
.

2525
（2）直线
l
的普 通方程为
x4ya40
，故
C
上的点
(3cos

,sin

)
到
l
的距离为

d
3cos

4sin

a4
17
.
当
a4
时，
d
的最大值为
a9a9

17
，所以
a8
；

.由题设得
1717
a 1a1

17
，所以
a16
.

.由题设 得
1717
当
a4
时，
d
的最大值为
综上，< br>a8
或
a16
.

考查方向
（1）参数方程；（2）点到直线距离
解题思路
专业技术参考资料

WORD格式整理 x
2
y
2

1
，当
a1
时，直 线
l
的普通方程为
x4y30
，联立求解即可（1）曲线
C< br>的普通方程为
9
得到交点坐标；（2）利用曲线C的求得曲线上点到直线的最大距离，根 据条件求出
a
的值

易错点
用参数方程求曲线上点到直线最大距离

23 正确答案及相关解析

正确答案
（1）

x|1x


11 7


；（2）

1,1


2

解析
（1）当
a1
时，不等式
f(x) g(x)
等价于
xxx
1
x
1

4
0
.①

当
x1
时，①式化为
x3
x
4

0
，无解；

当
1x 1
时，①式化为
xx
2

0
，从而
1x 1
；

2
当
x1
时，①式化为
xx
4

0
，从而
1x
2
2
2
11 7
.

2
所以
f(x)g(x)
的解集为
x|1x


117


.
2

（2）当
x

1,1

时，
g(x)2
.

所以
f(x)g(x)
的解集包含
< br>1,1

，等价于当
x

1,1

时
f(x)2
.

又
f(x)
在

-1, 1

的最小值必为
f(1)
与
f(1)
之一，所以
f(1)2
且
f(1)2
，得
1a1
.

所以
a
的取值范围为

1,1

.

考查方向
求解绝对值不等式
专业技术参考资料

WORD格式整理
解题思路
（1）分区间去绝对值，然后分别解不等式，最后取并集即为原不等式的解集；（2 ）当
x

1,1

时，
g(x)2
.
转化为
f(x)2
在

-1,1

恒成立的问题

易错点
绝对值不等式的分段讨论



专业技术参考资料