文明从我做起-中美文化差异

2016年浙江省高考数学试卷（文科）



一、选择题

1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1 ，3，5}，Q={1，2，4}，
则（∁
U
P）∪Q=（ ）

A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}

2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥
β，则（ ）

A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n

3．（5分）函数y=sinx
2
的图象是（ ）

A． B． C．
D．

4．（5分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两< br>条平行直线间的距离的最小值是（ ）

A． B． C． D．

5．（5分）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log
a
b＞1，则（ ）

A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b
﹣1）（b﹣a）＞0

6．（5分）已知 函数f（x）=x
2
+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的
最小值相等”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

第1页（共21页）

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x ）≥2
x
，x∈R．（ ）

A．若f（a）≤|b|，则a≤b
C．若f（a）≥|b|，则a≥b
B．若f（a）≤2
b
，则a≤b

D．若f（a）≥2
b
，则a≥b

8．（5分）如图，点列{A< br>n
}、{B
n
}分别在某锐角的两边上，且|A
n
A
n
+
1
|=|A
n
+
1
A
n
+< br>2
|，
A
n
≠A
n
+
1
，n∈N< br>*
，|B
n
B
n
+
1
|=|B
n< br>+
1
B
n
+
2
|，B
n
≠B
n
+
1
，n∈N
*
，（P≠Q表示点P与Q不
重合）若d
n
=|A
n
B
n
|，S
n
为△A
n
B
n
B
n
+
1
的面积，则（ ）

A．{S
n
}是等差数列 B．{S
n
2
}是等差数列

C．{d
n
}是等差数列 D．{d
n
2
}是等差数列



二、填空题

9．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是
cm
2
，体积是 cm
3
．


10．（6分）已知a∈R，方程a
2
x
2
+（a+2）y
2
+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标
是 ，半径是 ．

11．（6分）已知2cos
2
x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A = ，b= ．

12．（6分）设函数f（x）=x
3
+ 3x
2
+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x
﹣a）
2
，x∈R，则实数a= ，b= ．

13．（4分）设双曲线x
2
﹣

=1的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，若点P在双曲线上，
第2页（共21页）

且△F
1
PF
2
为锐角三角形，则|PF
1
|+|PF
2
|的取值范围是 ．

14．（4 分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，
沿直线 AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值
是 ．


15．（4分）已知平面向量，，||=1，||=2，
则|


三、解答题

|+||的最大值是 ．

=1，若为平面单 位向量，
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2 acosB．

（1）证明：A=2B；

（2）若cosB=，求cosC的值．

17．（15分）设数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
，已知S
2
=4，a
n
+
1
=2S
n
+1，n∈N
*
．

（Ⅰ）求通项公式a
n
；

（Ⅱ）求数列{|a
n
﹣n﹣2|}的前n项和．

18．（15分 ）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，
BE=EF=F C=1，BC=2，AC=3．

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．


19．（15分）如 图，设抛物线y
2
=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y
轴的距离等于 |AF|﹣1，

第3页（共21页）

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和 过F与AB垂直
的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．


20．（15分）设函数f（x）=x
3
+
（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2

（Ⅱ）＜f（x）≤．



，x∈[0，1]，证明：

第4页（共21页）

2016年浙江省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析



一、选择题

1．（5 分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，
则（ ∁
U
P）∪Q=（ ）

A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}

【分析】先求出∁
U
P，再得出（∁
U
P）∪Q．

【解答】解：∁
U
P={2，4，6}，

（∁
U
P）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}．

故选：C．

【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．



2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥
β，则（ ）

A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n

【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．

【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，

∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，

∵n⊥β，

∴n⊥l．

故选：C．

【点评】本题考查两直线关系的判断，是 基础题，解题时要认真审题，注意空间
思维能力的培养．



3．（5分）函数y=sinx
2
的图象是（ ）

第5页（共21页）

A． B． C．
D．

【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．

【解答】解：∵sin（﹣x）
2
=sinx
2
，

∴函数y=sinx
2
是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；

由y=sinx
2
=0，

则x
2
=kπ，k≥0，

则x=±，k≥0，

故函数有无穷多个零点，排除B，

故选：D．

【点评】本题主要 考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性
质是解决本题的关键．比较基础．



4．（5分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两
条 平行直线间的距离的最小值是（ ）

A． B． C． D．

【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算
距离．

【解答】解：作出平面区域如图所示：

第6页（共21页）

∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．

联立方程组
联立方程组
，解得A（2，1），

，解得B（1，2）．

两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．

∴平行线间的距离为d=
故选：B．

【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．



5．（5分）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log
a
b＞1，则（ ）

A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b
﹣1）（b﹣a）＞0

【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可．

【解答】解 ：若a＞1，则由log
a
b＞1得log
a
b＞log
a
a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞
0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，

若0 ＜a＜1，则由log
a
b＞1得log
a
b＞log
a
a ，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，
即（b﹣1）（b﹣a）＞0，

综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，

故选：D．

【点评】本题主要 考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数
学思想是解决本题的关键．比较基础．
第7页（共21页）

=，

6．（5分）已知函数f（x）=x
2
+bx，则“b＜0”是“f（f（ x））的最小值与f（x）的
最小值相等”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分 析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值
与f（x）的最 小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．

【解答】解：f（x）的对称轴为x= ﹣，f
min
（x）=﹣
（1）若b＜0，则﹣＞﹣
）=﹣，

．

，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣
即f（f（x ））的最小值与f（x）的最小值相等．

∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．

（2）设f（x）=t，则f（f（x））=f（t），

∴f（t）在（﹣，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，

若f（f（x））=f（t）的最小值与f（x）的最小值相等，

则﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．

∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．



7．（5分）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2
x
，x∈R．（ ）

A．若f（a）≤|b|，则a≤b
C．若f（a）≥|b|，则a≥b
B．若f（a）≤2
b
，则a≤b

D．若f（a）≥2
b
，则a≥b

【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．

【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，

即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误，

B．若f（a）≤2
b
，

则由条件知f（x）≥2
x
，

第8页（共21页）

即f（a）≥2
a
，则2
a
≤f（a）≤ 2
b
，

则a≤b，故B正确，

C．若f（a）≥|b| ，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成
立，故C错误，

D．若f（a）≥2
b
，则由条件f（x）≥2
x
，得f（a）≥2
a
，则2
a
≥2
b
，不一定成立，
即a≥b不一定 成立，故D错误，

故选：B．

【点评】本题主要考查不等式的判断和证明 ，根据条件，结合不等式的性质是解
决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．



8．（5分）如图，点列{A
n
}、{B
n
}分别在某锐 角的两边上，且|A
n
A
n
+
1
|=|A
n
+
1
A
n
+
2
|，
A
n
≠A< br>n
+
1
，n∈N
*
，|B
n
B
n< br>+
1
|=|B
n
+
1
B
n
+
2
|，B
n
≠B
n
+
1
，n∈N
*，（P≠Q表示点P与Q不
重合）若d
n
=|A
n
B
n
|，S
n
为△A
n
B
n
B
n
+< br>1
的面积，则（ ）

A．{S
n
}是等差数列 B．{S
n
2
}是等差数列

C．{d
n
}是等差数列 D．{d
n
2
}是等差数列

【分析】设锐角的顶点为O，再设|O A
1
|=a，|OB
1
|=c，|A
n
A
n
+
1
|=|A
n
+
1
A
n
+
2
|=b，
|B
n
B
n
+
1
|=|B
n
+
1
B
n
+
2
|=d，由于a，c不确定，判 断C，D不正确，设△A
n
B
n
B
n
+
1
的底
边B
n
B
n
+
1
上的高为h
n
，运用三角形相似知识，h
n
+h
n
+
2
=2h
n
+
1
，由S
n
=d•h
n
，可得
Sn
+S
n
+
2
=2S
n
+
1
，进而得到数列{S
n
}为等差数列．

【解答】解：设锐角的顶点为O，| OA
1
|=a，|OB
1
|=c，

|A
n
A
n
+
1
|=|A
n
+
1
A
n
+
2
|=b，|B
n
B
n
+
1
| =|B
n
+
1
B
n
+
2
|=d，

由于a，c不确定，则{d
n
}不一定是等差数列，

{d
n
2
}不一定是等差数列，

设△A
n
B
n
B
n
+
1
的底边B
n
B
n
+
1
上的高为h
n
，

第9页（共21页）

由三角形的相似可得==，

==，

两式相加可得，
即有h
n
+h
n
+
2
=2 h
n
+
1
，

==2，

由S
n
=d•h
n
，可得S
n
+S
n
+
2
=2S
n
+
1
，

即为S
n
+
2
﹣S
n
+
1
=S
n
+
1
﹣S< br>n
，

则数列{S
n
}为等差数列．

另解 ：可设△A
1
B
1
B
2
，△A
2
B
2
B
3
，…，A
n
B
n
B
n
+
1
为直角三角形，

且A
1
B
1
，A2
B
2
，…，A
n
B
n
为直角边，

即有h
n
+h
n
+
2
=2h
n
+
1
，

由S
n
=d•h
n
，可得S
n
+S
n
+
2
=2S
n
+
1
，

即为S
n
+
2
﹣S
n
+
1=S
n
+
1
﹣S
n
，

则数列{S
n
}为等差数列．

故选：A．

< br>【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，
考查化简整理的推 理能力，属于中档题．



二、填空题

9．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 80
cm
2
，体积是 40 cm
3
．

第10页（共21页）

【分析】根据几何体 的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组
合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即 可．

【解答】解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，

表面积为2×4×4+2×4
2
=64cm
2
，体积为2×4
2
=32cm
3< br>；

上部为正方体，其棱长为2，

表面积是6×2
2
=24 cm
2
，体积为2
3
=8cm
3
；

所以 几何体的表面积为64+24﹣2×2
2
=80cm
2
，

体积为32+8=40cm
3
．

故答案为：80；40．

【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空
间想象和计算能 力，是基础题．



10．（6分）已知a∈R，方程a
2
x
2
+（a+2）y
2
+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是
（﹣2，﹣4） ，半径是 5 ．

【分析】由已知可得a
2
=a +2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配
方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原 方程，由D
2
+E
2
﹣4F＜0说明方程不表示
圆，则答案可求．< br>
【解答】解：∵方程a
2
x
2
+（a+2）y
2< br>+4x+8y+5a=0表示圆，

∴a
2
=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．

当a=﹣1时，方 程化为x
2
+y
2
+4x+8y﹣5=0，

配方得（x+ 2）
2
+（y+4）
2
=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为 5；

当a=2时，方程化为，

第11页（共21页）

此时
故答案为：（﹣2，﹣4），5．

，方程不表示圆，

【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．



11．（6分）已知2cos
2
x+sin2x=Asin（ωx+φ）+ b（A＞0），则A= ，b= 1 ．

【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．

【解答】解：∵2cos
2
x+sin2x=1+cos2x+sin2x

=1+
=
（cos2x+sin2x）

sin（2x+）+1，

∴A=，b=1，

；1．
< br>故答案为：
【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公
式是解题的关键．



12．（6分）设函数f（x）=x
3< br>+3x
2
+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x
﹣a）< br>2
，x∈R，则实数a= ﹣2 ，b= 1 ．

【分析】根据函数解析式化 简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）
2
，根据等
式两边对应项的系数 相等列出方程组，求出a、b的值．

【解答】解：∵f（x）=x
3
+3x
2
+1，

∴f（x）﹣f（a）=x
3
+3x
2
+1﹣（a
3
+3a
2
+1）

=x
3
+3x
2
﹣（a
3
+3a
2
）

∵（x﹣b）（x﹣a）
2
=（ x﹣b）（x
2
﹣2ax+a
2
）=x
3
﹣（2a+b）x
2
+（a
2
+2ab）x﹣a
2
b，

且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）
2
，

∴，解得或（舍去），

故答案为：﹣2；1．

【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．



第12页（共21页）

13．（4分）设双 曲线x
2
﹣=1的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，若点P在 双曲线上，
．

且△F
1
PF
2
为锐角三角形， 则|PF
1
|+|PF
2
|的取值范围是
【分析】由题意画出图形 ，以P在双曲线右支为例，求出∠PF
2
F
1
和∠F
1
PF
2
为直
角时|PF
1
|+|PF
2
|的值，可得△ F
1
PF
2
为锐角三角形时|PF
1
|+|PF
2
|的取值范围．

【解答】解：如图，

由双曲线x
2﹣
∴
=1，得a
2
=1，b
2
=3，

．

不妨以P在双曲线右支为例，当PF
2
⊥x轴时，
< br>把x=2代入x
2
﹣=1，得y=±3，即|PF
2
|=3，

此时|PF
1
|=|PF
2
|+2=5，则|PF
1
|+|PF
2
|=8；

由PF
1
⊥PF
2，得
又|PF
1
|﹣|PF
2
|=2，①

两边平方得：
∴|PF
1
||PF
2
|=6，②

联立①②解得：
此时|PF
1
|+|PF
2
|=．

）．

，

，

，

∴使△F< br>1
PF
2
为锐角三角形的|PF
1
|+|PF
2|的取值范围是（
故答案为：（）．


【点评】本题考查双曲线的简单 性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思
第13页（共21页）

想方法，是中档题．



14．（4分 ）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，
沿直线A C将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是
．


【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，
AC=
CE=
．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=．CO=，CE==，EO=CO﹣< br>．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′
． EF=BO=．则为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO=
∠FED′为 二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F
2
的最小值
即可得 出．

【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，

在Rt△ACD′中，
作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=
CO=，CE==
．

=，

=．

=．

∴EO=CO ﹣CE=
过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为 直线
AC与BD′所成的角．

则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=
EF=BO==．

．

则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．

第14页（共21页）

则D′F
2
=
等号．

∴D′B的最小值=
+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取
=2．

∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值=
也可以考虑利用向量法求解．

故答案为：．

==．


【点评】本题考查了空间位置关 系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与
计算能力，属于难题．



15．（4分）已知平面向量，，||=1，||=2，
则||+||的最大值是
|+|
．

|为在上的投影的绝对值与在上投影的
共线时，||+|
，

|取得最大值，即．

=1，若为平面单位向量，
【分析】由题意可知，|< br>绝对值的和，由此可知，当与
【解答】解：||+||=
其几何意义为在上的投影的绝对 值与在上投影的绝对值的和，

当与
∴
故答案为：．

共线时，取得最大值．

=．

【点评】本题考查平面向量的数量积 运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，
第15页（共21页）

考查学生正确理解问题的能力，是中档题．



三、解答题

16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b ，c，已知b+c=2acosB．

（1）证明：A=2B；

（2）若cosB=，求cosC的值．

【分析】（1）由b+c=2acosB， 利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin
（A+B）=si nAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，
π ），可得0＜A﹣B＜π，即可证明．

（II）cosB=，可得sinB=．cosA=c os2B=2cos
2
B﹣1，sinA=．利
用cosC=﹣cos（A+B）=﹣ cosAcosB+sinAsinB即可得出．

【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，

∴sinB+sinC=2sinAcosB，

∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴sin B=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），

∴ 0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．

∴A=2B．

（II）解：cosB=，∴sinB=
cosA=cos2 B=2cos
2
B﹣1=，sinA=
=．

=．

+×=．

∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsin B=
【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、
诱导公式 ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．



17．（15分）设数列 {a
n
}的前n项和为S
n
，已知S
2
=4，a
n
+
1
=2S
n
+1，n∈N
*
．

（Ⅰ）求通项公式a
n
；

（Ⅱ）求数列{|a
n
﹣n﹣2|}的前n项和．

【分析】（Ⅰ） 根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明
数列{a
n
}是公比q =3的等比数列，即可求通项公式a
n
；

第16页（共21页）

（Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数 列
{|a
n
﹣n﹣2|}的前n项和．

【解答】解：（Ⅰ）∵S< br>2
=4，a
n
+
1
=2S
n
+1，n∈N< br>*
．

∴a
1
+a
2
=4，a
2< br>=2S
1
+1=2a
1
+1，

解得a
1
=1，a
2
=3，

当n≥2时，an
+
1
=2S
n
+1，a
n
=2S
n
﹣
1
+1，

两式相减得a
n
+
1
﹣a
n
=2（S
n
﹣S
n
﹣
1
）=2a
n
，

即a
n
+
1
=3a
n，当n=1时，a
1
=1，a
2
=3，

满足a
n
+
1
=3a
n
，

∴=3，则数列{a
n
}是公比q=3的等比数列，

则通项公式a
n
=3
n
﹣
1
．

（Ⅱ）a
n
﹣n﹣2=3
n
﹣
1
﹣n﹣2，
设b
n
=|a
n
﹣n﹣2|=|3
n
﹣
1﹣n﹣2|，

则b
1
=|3
0
﹣1﹣2|=2，b< br>2
=|3﹣2﹣2|=1，

当n≥3时，3
n
﹣
1
﹣n﹣2＞0，

则bn
=|a
n
﹣n﹣2|=3
n
﹣
1
﹣n﹣2，

此时数列{|a
n
﹣n﹣2|}的前
=


n项和T
n
=3+﹣
则T
n
==．

【点 评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程
组以及利用方程组法证明列{ a
n
}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用
了转化法和分组法进行数列求和 ．



18．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE ⊥平面ABC，∠ACB=90°，
第17页（共21页）

BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．


【分析】（Ⅰ）根据 三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并
设该点为K，并且可以由平面BCFE ⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面
BCK，进而得出BF⊥AC．而根据条件可以判 断出点E，F分别为边BK，CK的中点，
从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而 根据线面垂直的判定定
理即可得出BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）由BF⊥平面ACF D便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根
据条件可以求出BF=，DF=，从而在R t△BDF中可以求出BD的值，从而得出
cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角 的余弦值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：∵平 面
BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；

∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；

∴BF⊥AC；

又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；

∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；

∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；

∴BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；

∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；

∵F为CK中点，且DF∥AC；

∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；

∴
又

；

；

第18页（共21页）

∴在Rt△BFD中，，cos；

即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为


【点评】考查三角形中位线 的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性
质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及 求法，直角三角形边的关系，
三角函数的定义．



19．（15 分）如图，设抛物线y
2
=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y
轴的距 离等于|AF|﹣1，

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另 一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直
的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标 的取值范围．


【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；

（ Ⅱ）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN
的斜率，从而求出直线B N的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐
标的表达式，从而求出m的取值范围．

第19页（共21页）

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 ，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=
﹣1的距离，

由抛物线定义得，，即p=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y
2=4x，F（1，0），可设（t
2
，2t），t≠0，t≠
±1，

∵AF不垂直y轴，

∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），

联立
y
1
y
2
=﹣4，

∴B（），

，故直线FN的斜率为
，直线BN：y=﹣，

），

，

，得y
2
﹣4sy﹣4=0．

又直线AB的斜率为
从而得FN：
则N（
设M（m，0），由A、M、N三点 共线，得，

于是m==，得m＜0或m＞2．

经检验，m＜0或m＞2满足题意．

∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．

【点评】本题考查抛物 线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考
查数学转化思想方法，属中档题．



20．（15分）设函数f（x）=x
3
+
（Ⅰ）f（ x）≥1﹣x+x
2

第20页（共21页）

，x∈[0，1]，证明：

（Ⅱ）＜f（x）≤．

【分析】（Ⅰ）根据题意，1﹣x+x
2
﹣ x
3
=
即可证明结论成立；

（Ⅱ）利用0≤x≤1时x
3
≤x，证明f（x）≤，再利用配方法证明f（x）≥，
结合函数的最小值得出f（x）＞，即 证结论成立．

【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x
3
+
且 1﹣x+x
2
﹣x
3
=
所以≤，

，

=，

，x∈[0，1]，

，利用放缩法得≤，
所以1﹣ x+x
2
﹣x
3
≤
即f（x）≥1﹣x+x
2
；< br>
（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x
3
≤x，

所以f（x）=x
3
+≤x+=x+﹣+=
+≥，

+≤；

由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x
2
=
且f（）=+=＞，

所以f（x）＞；

综上，＜f（x）≤．

【点评】本题主要考查 了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了
推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综 合性题目．



第21页（共21页）