广州大学专业-孔孟名言

2016普通高等学校招生全国统一考试(全国卷
Ⅱ)·理科数学
总分数 170分 时长:不限
题型
题量
总分
单选题
12
60
填空题
4
20

1(5分)已 知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围
是（ ）
A. （﹣3，1）
B. （﹣1，3）
C. （1，+
D. （-
）
，﹣3）
简答题
1
12
综合题
7
78
2(5分)已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2 ）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（ ）
A. {1}
B. {1，2}
C. {0，1，2，3}
D. {﹣1，0，1，2，3}
3(5分)已知向量
A. ﹣8
B. ﹣6
C. 6
D. 8
4(5分)圆x
2
+y
2
﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A.
=（1，m），=（3，﹣2），且⊥，则m=（ ）
B.
C.
D. 2

5(5分)如图，小明从街道的E处出发 ，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公
寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最 短路径条数为（ ）


A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
6(5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）


A. 20π
B. 24π
C. 28π
D. 32π
7(5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移
（ ）
A. x=
B. x=
C. x=
D. x=
-
+
-
+
（k∈Z）
（k∈Z）
（k∈Z）
（k∈Z）
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为
8(5分 )中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程

序框 图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）


A. 7
B. 12
C. 17
D. 34
9(5分)若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）
A.
B.
C.
D.
10(5分)从区间[0，1]随机抽取2n个数x
1，x
2
，…，x
n
，y
1
，y
2
，… ，y
n
构成n个数对（x
1
，
y
1
），（x
2
，y
2
）…（x
n
，y
n
），其中两数的平方 和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方
法得到的圆周率π的近似值为（ ）

A.
B.
C.
D.
11(5分)已 知F
1
，F
2
是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，MF
1与x轴
垂直，sin∠MF
2
F
1
=，则E的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D. 2

12(5分)已知函 数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）
图象的交点为（x< br>1
，y
1
），（x
2
，y
2
），…，（x< br>m
，y
m
），则
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
（x
i
+y
i
）=（ ）
13( 5分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=
b=____1____．
14(5分)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
，cosC=，a=1，则

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是____1____（填序号）
15(5分)有三张卡片，分别写有1和2 ，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，
甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数 字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我
与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字 之和不是5”，则甲的卡片
上的数字是____1____．
16(5分)若直线y=kx+ b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=____1____．
17(12分)S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，且a
1
=1，S
7
=28，记b
n
=[lga
n
]，其中[x] 表示不超过
x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
(1)(6分)求b
1
，b
11
，b
101
；
(2)(6分)求数列{b
n
}的前1000项和．
18(12分)某保险 的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保
人本年度的保费与其上年度出 险次数的关联如下：
上年度出
险次数
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
0 1 2 3 4 ≥5
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出
险次数
概率

(1)(3分)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)(4分)若 一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概
率；
(3)(5分)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19(12分)如图，菱形A BCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，
CD上，AE=CF =

，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．
0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
0 1 2 3 4 ≥5

(1)(5分)证明：D′H⊥平面ABCD；
(2)(7分)求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．
20(12分)已知椭圆E：的焦点在x 轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）
的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)(5分)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
(2)(7分)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
21(12分)（Ⅰ）讨论函 数f（x）=e的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e+x+2＞0；
xx
（Ⅱ）证明 ：当a∈[0，1）时，函数g（x）=
小值为h（a），求函数h（a）的值域．
（x＞0 ）有最小值．设g（x）的最
22(10分)如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上 （不与端点重合），且DE=DG，
过D点作DF⊥CE，垂足为F．


(1)(5分)证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)(5分)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
23(10分)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）+y=25．
(1)(5分)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)(5分)直线l的参数方程是
|AB|=，求l的斜率．
|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（t为参数），l与C交与A，B两点，< br>22
24(10分)已知函数f（x）=|x﹣

(1)(5分)求M；
(2)(5分)证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．





















2016普通高等学校招生全国统一考试(全国卷
Ⅱ)·理科数学
参考答案与试题解析
1(5分)已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第 四象限，则实数m的取值范围
是（ ）
A. （﹣3，1）
B. （﹣1，3）
C. （1，+
D. （-
）
，﹣3）
【解析】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，

可得：

故选：A．
【答案】A

，解得﹣3＜m＜1．
2(5分)已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x ﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（ ）
A. {1}
B. {1，2}
C. {0，1，2，3}
D. {﹣1，0，1，2，3}
【解析】解：∵集合A={1，2，3}，
B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
故选：C．
【答案】C

3(5分)已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且⊥，则m=（ ）
A. ﹣8
B. ﹣6
C. 6
D. 8
【解析】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），
∴=（4，m﹣2），
又∵⊥，
∴12﹣2（m﹣2）=0，
解得：m=8，
故选：D．
【答案】D

4(5分)圆x
2
+y
2
﹣2x﹣ 8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）

A.
B.
C.
D. 2

【解 析】解：圆x
2
+y
2
﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，
解得：a=
故选：A．
【答案】A


5(5分)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公
寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）


A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
【解析】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每 种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C
4
2
C< br>2
2
=6种走
法．
同理从F到G，最短的走法，有C
31
C
2
2
=3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．
故选：B．

【答案】B

6(5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）


A. 20π
B. 24π
C. 28π
D. 32π
【解析】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4 ，圆锥的高是2
∴在轴截面中圆锥的母线长是
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×2
2
+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
【答案】C

7(5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移
（ ）
A. x=
B. x=
C. x=
-
+
-
（k∈Z）
（k∈Z）
（k∈Z）
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为
=4，
，

D. x=+（k∈Z）
个单位长度，得到y=2sin2（x +）=2sin【解析】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移
（2x+
由2x+
），
=kπ+（k∈Z）得：x=+
+
（k∈Z），
（k∈Z）， 即平移后的图象的对称轴方程为x=
故选：B．
【答案】B

8(5分) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程
序框图，若输入的x= 2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）


A. 7
B. 12
C. 17
D. 34
【解析】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；

故输出的S值为17，
故选：C．
【答案】C

9(5分)若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】解：法1°：∵cos（
∴sin2α=cos（
法2°：∵cos（
∴（1+sin2α）=
∴sin2α=2×
故选：D．
【答案】D

﹣α）=，
﹣α）=2cos（
2
﹣2α）=cos2（
﹣α）=
，
，
﹣α）-1=2×﹣1=-，
（sinα+cosα）=，
﹣1=-
10(5分)从区间[0，1]随机抽取2n个数x
1
，x
2
，…， x
n
，y
1
，y
2
，…，y
n
构成n个数 对（x
1
，
y
1
），（x
2
，y
2
）…（x
n
，y
n
），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机 模拟的方
法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A.
B.

C.
D.
【解析】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的 区域的面积为π1，从区间[0，1]
2
随机抽取2n个数x
1
，x
2
，…，x
n
，y
1
，y
2
，…，y
n< br>，构成n个数对（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），…，
（x
n
，y
n
），对应的区域的面积为12
．
，
∴π=

．故选：C．

【答案】C

11(5分)已知F
1
，F
2
是双 曲线E：的左，右焦点，点M在E上，MF
1
与x轴
垂直，sin∠MF
2< br>F
1
=，则E的离心率为（ ）
A.

B.
C.
D. 2

【解析】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF
1
丨=，
丨MF
2
丨=，
∴sin∠MF
2
F
1
=，∴=，


可得：2b
4
=a
2
c
2
，即
可得e
2< br>﹣e﹣
b
2
=ac，又c
2
=a
2
+b2
，
=0，
． e＞1，解得e=
故选：A．


【答案】A

12(5分)已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（ x），若函数y=与y=f（x）

图象的交点为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），…，（x
m
，y
m
），则
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
（x
i
+y
i
）=（ ）
【解析】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），
即为f（x）+f（﹣x）=2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，
即有（x
1
，y1
）为交点，即有（﹣x
1
，2﹣y
1
）也为交点，
（x
2
，y
2
）为交点，即有（﹣x
2
，2﹣y
2
）也为交点，…
则有（x
i
+y
i
）=（x
1< br>+y
1
）+（x
2
+y
2
）+…+（x
m< br>+y
m
）=[（x
1
+y
1
）+（﹣x
1< br>+2﹣y
1
）+（x
2
+y
2
）
+（﹣x< br>2
+2﹣y
2
）+…+（x
m
+y
m
）+（ ﹣x
m
+2﹣y
m
）]
=m．
故选：B．
【答案】B

13(5分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cosA=
b=____1____．
【解析】解：由cosA=，cosC=，可得
，cosC=，a=1，则
sinA==
sinC==
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×
由正弦定理可得b=
+×=，

=
故答案为：．
【答案】


14(5分)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是____1____（填序号）
【解析】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；
③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确
④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；
故答案为：②③④
【答案】②③④

15(5分)有三张卡片，分别写有 1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，
甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相 同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我
与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上 的数字之和不是5”，则甲的卡片
上的数字是____1____．
【解析】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3．
故答案为：1和3．
【答案】1和3

16(5分)若直 线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=____1____ ．
【解析】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x
1
，kx
1
+b）、（x
2
，kx
2
+b）；
由导数的几何意义可得k==，得x
1
=x
2
+1
再由切点也在各自的曲线上，可得
联立上述式子解得；
从而kx
1
+b=lnx
1
+2得出b=1﹣ln2．
【答案】1﹣ln2

17(12分)S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，且a
1
=1，S
7
=28，记b
n=[lga
n
]，其中[x]表示不超过
x的最大整数，如[0.9]=0，[l g99]=1．
(1)(6分)求b
1
，b
11
，b
101
；
(2)(6分)求数列{b
n
}的前1000项和．
【解析】
(1)利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b
1
，b
11
，b
101
；
(2)找出数列的规律，然后求数列{b
n
}的前1000项和．
【答案】
(1)解：S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，且 a
1
=1，S
7
=28，7a
4
=28．可得a
4
=4，则公差
d=1．
a
n
=n，
b
n
=[lgn]，则b
1
=[lg1]=0，
b
11
=[lg11]=1，
b
101
=[lg101]=2．
(2)由（1）可知：b
1
=b
2
=b
3
=…=b
9
=0，b10
=b
11
=b
12
=…=b
99
=1．b
100
=b
101
=b
102
=b
103
=…=b
999
=2，
b
10，00
=3．
数列{b
n
}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．

18(12分)某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人， 续保
人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出
险次数
保费
0 1 2 3 4 ≥5
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出
险次数
概率

(1)(3分)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)(4分)若 一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概
率；
(3)(5分)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】
(1)上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该
险种一续保人一年 内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保
人本年度的保费高于基本保费的概 率．
(2)设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续 保人
本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求
出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率．
(3)由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【答案】
(1)解：∵某保险的基本保费为a（单位：元），
上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，
∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：
一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：
p
1
=1-0.30-0.15=0.55．
(2)设事件 A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人
本年度的保费比基本保费高出6 0%”，
由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，
由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，
则其保费比基本保费高出60%的概率：
p
2
=P（B|A）=．
0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
0 1 2 3 4 ≥5
(3)由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：

，
∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．

19(12分)如图， 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，
CD上，AE =CF=

，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．

(1)(5分)证明：D′H⊥平面ABCD；
(2)(7分)求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．
【解析】
(1)由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EFAC，再由ABCD是菱形，
得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH ，
再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；
(2)以H为坐标原点，建 立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得
到、的坐标，分别求出平面ABD′与平面A D′C的一个法向量，
设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B﹣ D′A﹣C的正弦值
可求．
【答案】
(1)证明：∵ABCD是菱形，
∴AD=DC，又AE=CF=，
∴

又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，
∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，
∵AC=6，
∴AO=3，
，则EFAC，

又AB=5，AO⊥OB，
∴OB=4，
∴OH==1，则DH=D′H=3，
∴|OD′|
2
=|OH|
2
+|D′H|
2
，则D′H⊥OH，
又OH∩EF=H，
∴D′H⊥平面ABCD；
(2)解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵AB=5，AC=6，
∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），
，
设平面ABD′的一个法向量为
，
，
，
由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．
∴．
， 同理可求得平面AD′C的一个法向量
设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，
则|cosθ|=．
∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=

．

20(12分)已知椭圆E：的焦点在x轴上，A是E的左顶点， 斜率为k（k＞0）
的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)(5分)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
(2)(7分)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
【解析】
(1)运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM的方程代入椭圆方程，解
方程可得M，N 的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；
(2)直线AM的方程为y=k（x+ ），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，
再由2|AM|=|AN|，求得t，再由 椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．
【答案】
(1)解：由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，
由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，
代入椭圆方程，可得7x
2
+16x+4=0，
解得x=﹣2或-，M（-，），N（-，-），
则△AMN的面积为 ××（-+2）=；
(2)直线AM的方程为y=k（x+
可得（3+tk
2
）x
2
+2t
解得x=﹣或x=﹣
），代入椭圆方程，
k
2
x+t
2
k
2
﹣3t=0，
，
即有|AM|=|﹣|=，
|AN|═=，
由2|AM|=|AN|，可得2=，
整理得t=，

由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有

可得

21(12分)（Ⅰ）讨论函数f（x）=
＜k＜2，即k的取值范围 是（
＞3，即有＜0，
，2）．
e的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e+x+2＞0；
xx
（Ⅱ）证明：当 a∈[0，1）时，函数g（x）=
小值为h（a），求函数h（a）的值域．
（x＞0）有 最小值．设g（x）的最
【解析】从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值 域，利用复
合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可．
【答案】解：（1）证明：f（x）=，
f'（x）=e（

∵当x∈（﹣
∴f（x）在（﹣
∴x＞0时，
x
）=，
，﹣2）∪（﹣2，+
，﹣2）和（﹣2，+
）时，f'（x）≥0，
）上单调递增，
＞f（0）=﹣1，即（x﹣2）e
x
+x+2＞0
（2）g'（x）=
=
a∈[0，1），
由（1）知，当x＞0时，f（x）=的值域为（﹣1，+），
只有一解使得
由x＞0，可得t∈（0，2]
只需e
t
≤0恒成立，可得﹣2＜t≤2，

当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；
当x∈（t，+），g'（x）＞0，g（x）单调增；
h（a）===
记k（t）=，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，故k（t）单调递增，
所以h（a）=k（t）∈（，

]．
22(10分)如图，在正方形AB CD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，
过D点作DF⊥CE，垂足为 F．


(1)(5分)证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)(5分)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
【解析】
(1)证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知< br>∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；
(2)在Rt△DFC中，GF=CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S
此解答．
【答案】
(1)证明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，∴，
四边形BCGF
=2S
△BCG，据
∵DE=DG，CD=BC，∴
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
，

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F四点共圆．
(2)∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，
∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S
四边形BCGF
=2S
△BCG
=2××1×=．



23(10分)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）
2+y
2
=25．
(1)(5分)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)(5分)直线l的参数方程是
|AB|=
【解析】
(1)把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ
2
=x
2
+y
2
，x=ρcosα，y=ρsinα，
能求出圆C的极坐标方程．
(2)由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求
出直线l的斜率．
【答案】
(1)解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）+y=25，
∴x
2
+y
2
+12x+11=0，
∵ρ
2=x
2
+y
2
，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的极坐标方程为ρ
2
+12ρcosα+11=0．
(2)∵直线l的参数方程是（t为参数），
22
（t为参数），l与C交与A，B两点，
，求l的斜率．
∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanαx，
∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，

圆心到直线的距离d=．
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，
解得tanα=，∴tanα=±
∴l的斜率k=±

24(10分)已知函数f（x）=|x﹣
(1)(5分)求M；
．
2
=±．
|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．
(2)(5分)证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
【解析】
(1)分当x＜
式，综合可得答案；
(2)当a，b ∈M时，（a
2
﹣1）（b
2
﹣1）＞0，即a
2
b
2
+1＞a
2
+b
2
，配方后，可证得结论．
【答案】
(1)解：当x＜
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜，
时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x-＜2，
时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分 别求解不等
当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，
此时不等式恒成立，∴≤x≤，
当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2，解得：x＜1，
∴＜x＜1，
综上可得：M=（﹣1，1）
(2)证明：当a，b∈M时，

（a﹣1）（b﹣1）＞0，
即ab+1＞a+b，
即ab+1+2ab＞a+b+2ab，
即（ab+1）＞（a+b），
即|a+b|＜|1+ab|．


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