2017年高考理科数学新课标全国3卷逐题解析
国际爱眼日-二本大学热门专业
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
理科数学
（试题及答案解析）
一、选择题：（本题共 12小题，每小题 5分，共 60分）
1．已知集合
2 2
A (x, y) x y 1 ， B (x,
y) y x ，则 A B 中元素的个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】 B
【解析】
A
表示圆
2 2
x y 1上所有点的集合，
B
表示直线
y x
上所有点的集
合，
故
A B
表示两直线与圆的交点，
由图可知交点的个数为 2，即
A B
元素的个数为 2，
故选 B.
2．设复数 z满足 (1 i) z 2i ，则 z （）
A．
1
2
B．
2
2
C． 2
D．2
【答案】 C
【解析】由题，
2i 2i 1 i 2i 2
z i 1，则
z 1
2
1
2
2
，故选
C.
1 i 1 i 1 i 2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014年1月至2016
年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
- 1
-
2014年
根据该折线图，下列结论错误的是（）
2015年
2016年
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8月
D．各年
1月至6月的月接待游客量相对于 7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】 A
【解析】由题图可知， 2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则 A选项错误，故选 A.
5 3 3
4．
(x y)(2 x y) 的展开式中 x y
的系数为（）
A． B． C．40
3 3
x y 的项为
2
3 3
D．80
【答案】 C
【解析】由二项式定理可得，原式展开中含
2
2
3
3
3
3 3
x C 2x
5
y
2 2
y C 2x
5
y 40x y ，则
x y
的系数为 40，故选 C.
y
5
x ，且与椭圆
2
x
5．已知双曲线 C：
2
a
2 2
y
2
1 （ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为
b
x
12
y
1 有公共焦点．则 C 的方程为（）
3
2 2 2 2 2 2
2
2
D．
x
4
y
3
1
x
A．
8
【答案】 B
y
10
1
x
B．
4
y
5
1
x
C．
5
5
y
4
1
【解析】 ∵ 双曲线的一条渐近线方程为
2 2
y
b 5
x ，则
① 2 a 2
x
2 2 2
y
9 又∵ 椭圆
1 与双曲线有公共焦点，易知
3
c 3 ，则
a
2 2
b c ②
12
由①② 解得 a 2,b
x
5 ，则双曲线 C 的方程为
4
y
1
，故选 B.
5
- 2
-
π
6．设函数
f (x) cos(x )
，则下列结论错误的是（）
3
A． f (x) 的一个周期为 2π B．
y
C． f (x
π
) 的一个零点为
x
6
8π
f (x) 的图像关于直线
x 对称
3
π
D． f (x) 在 ( , π)
单调递减
2
【答案】 D
【解析】函数
f x
π π
cos x 的图象可由
y cos x
向左平移
个单位得到，
3
3
π
上先递减后递增，
D选项错误，故选
如图可知， f x 在
,π
D.
2
y
O
x
-
7．执行右图的程序框图，为使输出
A．5
B．4
C．3
D．2 【答
案】 D
6
S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为（）
【解析】程序运行过程如下表所示：
S
M
初始状态 0
100 1 第1次循环结束 100
10 2
第2次循环结束 90 1 3
此时 S 90 91首次满足条件， 程序需在 t 3时跳出循环， 即
N
2为满足条件的最小值，故选 D.
8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为
为（）
3π
A．
π
B．
4
【答案】 B
2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积
π
C．
２
r
2
π
D．
4
1
2
3
2
【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径
则圆柱体体积
V
3π
r h ，故选 B.
π
4
2
1
2
，
- 3
-
9．等差数列
（）
A．
24
a
n
的首项为 1，公差不为 0．若
a ，a
3
， a
6
成等比数列，则
为
2
a
n
前6项的和
D．8 B． 3 C．3
【答案】 A
【解析】 ∵
a
n
为等差数列，且 a
2
, a
3
,a
6
成等比数列，设公差为 .
2
2
则
a a a ，即
a
1
2d a
1
d a
1
5d
3 2 6
又∵ a
1
1 ，代入上式可得
2
d
又∵ d 0 ，则 d 2
S
6
1
2 0
d
，故选 A. a
6 5
d
1 6
2
6 5
2
2
24 ∴
6
x
10．已知椭圆 C
:
2 2
y
1
（a b 0 ）的左、右顶点分别为
2
AA
2
，且以线段
A
1
A
2
为直径
1
，
2
a
b
的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）
6
A．
3
【答案】 A
3
B．
3
2
C．
３
1
D．
3
【解析】 ∵以 Aay 2ab 0
相切，∴圆心到直线距离等于半径，
1
A
2
为直径为圆与直线 bx
∴
2ab
d a
2 2
a
b
3b
2
2
2
又∵
a
0,b 0
，则上式可化简为 a
2
2
3
c
2 2 2
2
3
2 2
∵ b
b
a
a
c ，可得
c ，可得
a
c
∴
e
a
6
，故选 A
3
a c
，即
a
2 x 1 x 1
11．已知函数
f x x x a 有唯一零点，则
a
（）
( ) 2 (e e )
1
1
1
A． B． C．
2
２
3
【答案】 C
2 x 1 x 1
【解析】由条件，
f (x) x 2x a(e
e ) ，得：
2 2 x 1 (2 x) 1
D．1
f (2
x) (2 x)
2
2(2 x) a(e
1 x
e
x
1
)
x 4x 4 4 2x a(e e )
2 x 1 x
1
x
∴ f (2 x)
2x a(e e )
f (x) ，即
x 1 为 f (x) 的对称轴，
由题意， f (x) 有唯一零点，
∴ f
(x) 的零点只能为 x 1，
- 4 -
2 1
1 1 1
即
f (1) 1 2 1 a(e e ) 0 ，
1
解得
a ．
2
12．在矩形 ABCD 中，
AB 1
，
AD 2
，动点
P
在以点 C
为圆心且与
BD
相切的圆上．若
AP AB AD ，则的最大值为（）
B． 2 2 C． 5 D．2 A．3
【答案】 A
【解析】由题意，画出右图 ．
设
BD
与 C 切于点
E
，连接CE ．
以
A
为原点，
AD
为轴正半轴，
AB
为轴正半轴建立直角坐标系，
C 点坐标为 (2,1) ． 则
∵
|CD | 1 ， |BC | 2 ．
∴ BD 1
2
2
2
5 ．
∵
BD
切 C 于点
E
． ∴
CE ⊥
BD
．
∴ CE 是 Rt△BCD 中斜边
BD
上的高 ．
1
2 | BC | | CD |
2S 2 2
△BCD
2
5
5
| EC |
| BD | | BD | 5
2
即 C
的半径为 5
．
5
∵
P
在 C 上．
2 2
4
(y 1)
5
y
(x 2)
∴
P
点的轨迹方程为
B
．
C
设
P
点坐标 (x
0
, y
0
) ，可以设出
P
点坐标满足
的参数方程如下：
P
g
x
0
2
2 5 cos
5
A O
( )
E
D
x
y
0
2
1 5 sin
5
而 AP
(x
0
, y
0
) ， AB (0,1) ， AD (2,0) ．
∵ AP
∴
1
x
0
AB
AD
5
(0,1) (2,0) (2 , )
2
y
1
5
5
5 sin
5
1
5
cos
cos ，
0
1
5
5 sin ．
2
两式相加得：
1
2
2 5
2
5
2
2 ( ) ( ) sin(
5 5
2 sin( )≤ 3
当且仅当
(其中 sin
π
2kπ
2
5
，
cos
5
)
2 5
)
5
取得最大值 3． ， k Z 时，
- 5
-
二、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
x y≥
0,
13．若 x，y满足约束条件
x y 2≤ 0, 则 z 3x 4y
的最小值为 ________．
y 0,
≥
【答案】
1
【解析】由题，画出可行域如图：
目标函数为 z 3x 4y ，则直线y
由图可知：在A 1,1 处取最小值，故
x y
2 0
3
x
4
z
min
z
纵截距越大，值越小．
4
3 1 4 1 1 ．
y
A
(1,1)
x
B
(2,0)
x y 0
14．设等比数列
【答案】
【解析】
a
1
a
n
满足
a
1
a
2
1， a
1
a
3
3 ，则
a ________．
8
a
n
为等比数列，设公比为．
a
2
4
a
1
a
3
a a q
1
，即
1 1
2
3
a a q
1 1
①
1
3
②
，
显然q 1，
a
1
②
得
1
q
3
q
2
a
1
，
即
，
代
入
①
式
可
0 ，
得
，
1
①
a
a
q
1
2
8
．
4
1
．设函数
f (x)
x x≤
1, 0,
则满足
f (x) f (x
x
2 , x
0,
1
4
,
f x
x x≤
1, 0
，
1
f x f
x
x
2 , x 0
2
由图象变换可画出
1
y f x 与 y 1
2
y
1 1
( , )
4 4
1 1
2 2
- 6 -
1
)
1 的x的取值范围是________．
2
1
1 ，即
f
x 1 f x
2
f x 的图象如下：
1
y f (x )
2
x
y 1 f (x)
15
【答案】
【解析】
1
由图可知，满足
f x
2
1 f x 的解为
1
,
4
.
16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与
，都垂直，斜边
AB
以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线
AB
与成
60
角时，
AB
与成
30
角； ②当直线
AB
与成
60
角时，
AB
与成
60
角；
③直线
AB
与所成角的最小值为
45
； ④直线
AB
与所成角
的最大值为
60
． 其中正确的是
________（填写所有正确
结论的编号）
【答案】 ②③
【解析】由题意知，
a、b、AC
三条直线两两相互垂直，画出图形如图
不妨设图中所示正方体边长为 1，
故 | AC | 1， AB 2 ，
斜边
AB
以直线 AC 为旋转轴旋转，则
A
点保持不变，
．
B
点的运动轨迹是以 C 为圆心， 1为半径的圆 ．
以 C 为坐标原点，以
CD 为轴正方向， CB 为轴正方向，
CA 为轴正方向建立空间直角坐标系
则 D
(1,0,0) ， A(0,0,1) ，
．
直线的方向单位向量 a (0,1,0)
，| a | 1．
B
点起始坐标为 (0,1,0) ，
直线的方向单位向量
b (1,0,0) ，|b | 1．
设
B
点在运动过程中的坐标 B
(cos ,sin ,0) ，
其中为 B C 与CD 的夹角， [0,2 π) ．
那么
AB '
在运动过程中的向量 AB
设 AB
与所成夹角为
则
cos
π
[0, ]
2
2
( cos , sin ,1)， | AB |
，
2 ．
( cos , sin ,1) (0,1,0) 2
|
sin | [0, ]
．
2 2
a AB
ππ
故
，所以 ③ 正确， ④错误 ．
[ , ]
4 2
π
设 AB 与所成夹角为
[0, ]
，
2
cos
AB b
b AB
(
cos ,sin ,1) (1,0,0)
b AB
2
| cos |
2
当 AB 与夹角为 60 时，即
π
，
3
．
1 2
2
2 2
.
sin
∵
2
cos
2 cos
2
2 cos
3
1， sin
- 7 -
∴ | cos |
∴
cos
2
．
2
2
1
| cos |
．
2 2
．
π
∵
[0, ]
2
π
∴
，此时 AB 与夹角为 60 ．
=
3
∴② 正确，
①错误 ．
三、解答题：（共 70分．第 17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第
题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共 60分．
17．（12分）
ABC
的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin A
（1）求c；
（2）设
D
为 BC 边上一点，且
AD
【解析】 （1）由 sin A
22，23题为选考
3 cos A 0 ，a
2 7 ，
b 2
．
AC
，求
△ABD
的面积．
π
3 cos A 0 得
2sin A 0
，
3
0,π，
π
即
A k k Z
，又 A
π
∴
A
3
π
3
2π
.
π
，得
A
3
2 2
2
由余弦定理
a
2
b c bc A .又∵
a 2 7,b 2, cosA
2 cos
1
代入并整理得
2
c 1 25，故
c
4
.
2 7, AB 4 ，
2 2 2
（2）∵ AC 2, BC
2 7
.
a
由余弦定理 cos C
∵
AC
b c
2ab 7
AD
，即
△ACD
为直角三角形，
7 .
2 2
则
AC CD cosC
，得 CD
由勾股定理
AD CD
2π
又
A
，则
DAB
AC 3
.
2π π π
，
3
1
S
△
ABD
3 2 6
π
AD AB sin 3
.
6 2
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶
6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，
每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；
如果最高气温位于区间 20，25 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为
200瓶，
为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数
分布表：
最高气温 10，15 15，20 20 ，25 25，30 30 ，35
7
35，40
4 天数 2 16 36 25
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
- 8
-
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量
X
（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利 为润
Y
（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进
货量（单位：瓶）为多少时，
Y
的数学期望达到最大值？
【解析】 ⑴ 易知需求量可取
200,300,500
P X 200
2 16 1
30 3 5
P X 300
36 2
30 3 5
25 7 4 2
P X 500 .
30 3 5
则分布列为：
X
200
300 500
P
2
2
5 5
⑵① 当 n ≤ 200 时： Y n 6 4 2n ，此时
Y
max
400 ，当 n 200 时取到 .
②当
200 n ≤ 300 时：
4 1
Y
5
2n
5
200 2 n 200 2
8 800 2n 6n 800
n
5 5 5
此时 Y
max
520 ，当 n 300 时取到 .
③当 300 n≤ 500 时，
1 2 2
Y 200 2 n 200 2
300 2 n 300 2 n 2
5 5 5
3200 2n
5
此时 Y 520 .
④当 n≥ 500 时，易知一定小于 ③ 的情况 .
综上所述：当 n 300 时，取到最大值为 520 .
19（．12分）如图，四面体
ABCD 中，△ ABC 是正三角形， △ ACD 是直角三角形． ? ABD ? CBD ，
AB= BD
．
（1）证明：平面 ACD ^ 平面
ABC ；
D
（2）过AC 的平面交
BD
于点
E
，若平面 AEC
把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分．求二
面角 D - AE - C 的余弦值．
C
E
B
D
【解析】 ⑴取 AC 中点为 O ，连接BO ， DO ；
A
ABC 为等边三角形
∴ BO AC
∴ AB BC
C
E
AB BC
O
BD BD
ABD CBD
.
ABD DBC
∴ AD CD ,即 ACD 为等腰直角三角形， ADC
A
为直角又O 为底边 AC 中点
B
- 9
-
∴ DO
令 AB
AC
a ，则 AB
2
AC BC
3
a ， OB
2
2
BD
a
2
BD a
易得： OD
2
2
∴
OD OB
由勾股定理的逆定理可得
DOB
2
即 OD
OD
OD
AC
AC
OB
OB
AC
OB
OB O
ABC
平面
ABC
平面
z
OD 平面ABC
D
又∵
OD 平面ADC
平面ADC 平面ABC
C
O
E
由面面垂直的判定定理可得
⑵ 由题意可知
V
D ACE
V
B ACE
即
B
,
D
到平面 ACE 的距离相等
B y
即
E
为
BD
中点
以 O 为原点， OA 为轴正方向， OB 为轴正方向，
OD 为轴正方向，设
系，
AC a ，建立空间直角坐标
A
x
a a 3 3 a
则 O 0,0,0 ， A ,0,0 ， D 0,0, ，
B 0,
a,0 ， E 0, a,
2 2
2 4 4
a 3 a a a a
易得：
AE , a, ， AD ,0, ，OA ,0,0
2
4 4 2 2 2
设平面
AED
的法向量为
n
，平面
AEC 的法向量为
n
，
1 2
则
AE n
1
AD n
AE n
2
1
0
，解得 n
1
0
3,1, 3
OA n
2
0
，解得 n
2
0
0,1, 3
若二面角 D AE C 为，易知为锐角，
则
cos
n
n
1 2
n
1
7
n
2
7
2
20．（12分）已知抛物线
C : y = 2x，过点（ 2，0）的直线交 C 于
A
，
B
两点，圆
M
是以线
段
AB
为直径的圆．
（1）证明：坐标原点 O 在圆
M
上；
（2）设圆
M
过点
P
（4，
- 2
），求直线与圆
M
的方程．
【解析】
⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设 l : x my
2 ， A( x
1
, y
1
) ， B( x
2
,
y
2
) ，
2
2
4 0
联立：
y x
得
2
2
2
y my ，
x my
- 10 -
2
4m
16 恒大于， y
1
uur u uur
OA OB x x y y
1 2 1 2
y
2
2m ，
y
1
y
2
4 ．
(my
1
2)( my
2
2)
2m( y
1
2
(m 1)y y
1 2
2
y ) 4
2
4(m 1) 2m(2m) 4
uur
u uur
∴ OA OB ，即 O 在圆
M
上．
u uur
uur
⑵若圆
M
过点
P
，则 AP BP 0
(x 4)( x 4) ( y 2)( y 2) 0
1 2 1 2
0
(my
1
2)( my
2
2) ( y
1
2)( y
2
2) 0
2
(m
1)y
y
1 2
(2m 2)( y
1
y ) 8 0
2
2
化简得
2m m 1 0 解得
m
①当
m
y
1
1
或
2
Q( x , y ) ，
0 0
1
时， l : 2x y 4 0 圆心为
2
y
2
1
， x
0
1
y
0
2
2
2 2
9
，
4
y
0
2
半径
r | OQ |
则圆
9
2
9
4
1
2 2
1
2
85
M
: (x ) ( y )
4 2 16
②当 m 1时， l : x y 2 0
圆心为 Q( x
0
, y
0
) ，
y
1
y
2
y
0
1 ， x
0
y
0
2 3 ，
2
半径 r | OQ | 3
2
1
2
2 2
则圆
M : (x 3) (
y 1) 10
x 1 a ln x ．
(1
+
2
1
)(1
+
2
21．（ 12分）已知函数 f ( x)
（1）若 f ( x) ≥ 0 ，求的值；
（2）设
m
为整数， 且对于任意正整数，
1
) (1
鬃?
2
1
n
) m
< ，求
m
的最小值．
2
【解析】 ⑴ f (x) x 1 aln x ，
x 0
a x a
则 f (x) 1
，且 f (1) 0
x x
当
a≤ 0
时， f x 0 ， f x 在 0 ，
不满足题意；
上单调增，所以
0 x 1
时， f x 0 ，
当
a 0
时，
当
0 x a
时， f (x) 0 ，则 f (x) 在
(0, a) 上单调递 ；减
当 x a 时， f (x) 0 ，则 f ( x) 在 (a,
) 上单调递增．
f (1) 0 矛盾
①若 a 1 ， f (x) 在
(a,1)上单调递增 ∴当 x ( a,1) 时 f (x) f (1) 0 矛盾
②若 a
1 ， f (x) 在 (1,a ) 上单调递减∴当 x (1,a ) 时 f (x)
③若
a 1 ， f (x) 在 (0,1) 上单调递 ，减在 (1,
题意
)上单调递增
∴ f (x) ≥ f (1) 0 满足
综上所述a 1．
⑵ 当 a
1时 f (x) x 1 ln x≥ 0 即 ln x≤ x 1
则有ln( x 1)≤ x
当且仅当 x 0 时等号成立
- 11 -
∴ ln(1 1
)
k
1
k
，
k N
*
2 2
1
一方面：
ln(1 ) ln(1
2
1
即
(1 )(1
2
1
)...(1
2
1
) ... ln(1
2
1
n
1
)
1
...
2
1
n
1
1
n
1 ，
2
1
) e
n
．
2
1
)...(1
2 n
2 2 2 2 2
2
1
(1 )(1
另一方面：
1 1
1 1 135
) (1 )(1 )(1 ) 2
2 3
2 2
2 2
1 1 1
当 n≥ 3 时，
(1 )(1 )...(1
) (2,e)
2 n
2 2 64
2
∵
*
2
1
2
2
1
n
1
(1
m N ， m ，
)(1 )...(1 )
2 2 2
∴
m
的最小值为．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
]（10分）
在直角坐标系 xOy中，直线的参数方程为
x
m,
x t
,
（ t为参数），直线
y kt,
为
l 的参数方程
（m为参数），设与 l 的交点为
P，当 k变化时， P的轨迹为曲线 C．
m
y ,
k
（1）写出 C的普通方程：
（2）以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
l : (cos sin )
，
M为与
C的交点，求 M的极径．
【解析】 ⑴ 将参数方程转化为一般方程
l
1
: y k x 2
1
l : y
2
x 2
⋯ ⋯ ①
⋯ ⋯
②
k
2
4
①② 消可得：
2
x y
2
即
P
的轨迹方程为
2
x y
⑵
将参数方程转化为一般方程
4
；
⋯ ⋯ ③
l
3
: x y
2 0
x y
2 2
联立曲线 C 和
3 2
x
2
x
解得
y
2 0
4
2
y
2
cos
x
由
解得
y sin
即
M
的极半径是
5 ．
5
23．选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 f (x)
| x | | x
（1）求不等式 f (x)
| ．
的解集；
（2）若不等式 f (x) x x m 的解集非空，求 m的取值范围．
- 12 -
3,x≤
【解析】 ⑴ f x
3, 2
x≥
①当
x≤ 1
时显然不满足题意；
②当
1 x 2
时，
2x 1≥ 1
，解得
x≥
1
；
③当
x≥ 2
时， f x
⑵
不等式
令
2
1
.由 f x ≥ 1 可得：
| x 1| | x 2 |可等价为f x 2x 1, 1 x 2
3≥ 1 恒成立
.综上， f x
2
1的解集为x| x≥ 1 .
f x ≥ x
2
x m
等价为
f x x x≥ m
，
g x
≥ m .
g x f x x x
，则g x ≥ m
解集非空只需要
max
2
x x 3,x ≤ 1
而
2
g x x 3x 1, 1 x 2
.
2
x x 3,x≥ 2
①当
x≤ 1
时，
g x
max
g 1 3 1 1 5 ；
2
②当
1 x 2
时，
3 3 3 5
g x g 3 1 ；
max
2 2 2 4
③当
x≥ 2
时，
2
g x
max
g 2 2 2 3 1 .
综上，
5 5
g x
，故
m
.
max
4
4
- 13 -