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2018
年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）

一、 选择题：本大题共
12
个小题，每小题
5
分，共
60
分.
在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
.

1
．若集合
A=
{
2
，
4
，
6
，
8
}，
B=
{
x
|
x
2
﹣
9x
+
18
≤
0
}，则
A
∩
B=
（ ）

A
．{
2
，
4
}
B
．{
4
，
6
}
C
．{
6
，
8
}
D
．{
2
，
8
}

2
．若复数（
a
∈
R
）为纯虚数，其中
i
为虚数单位，则
a=
（ ）

D
．
3

A
．﹣
3 B
．﹣
2 C
．
2
3
．袋中装有大小相同的四个球，四个 球上分别标有数字
“2”
，
“3”
，
“4”
，
“6 ”
．现

从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
< br>4
．设
a=0.2
3
，
b=log
0.3
0 .2
，
c=log
3
0.2
，则
a
，
b< br>，
c
大小关系正确的是（ ）

A
．
a
＞
b
＞
c B
．
b
＞
a
＞
c C
．
b
＞
c
＞
a D
．
c
＞
b
＞
a

5
．△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
cosC=
，
a=1< br>，
c=2
，
则△
ABC
的面积为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．


，则该双曲线的离心率为（ ）
6
．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的
A
．
B
．
C
．
2 D
．

7
．将函数
y=sin
（
6x
+
移
A
．
）的图象上各点的横 坐标伸长到原来的
3
倍，再向右平
个单位，得到的函数的一个对称中心（ ）

B
．
C
．（）
D
．（）
8
．函数
f
（
x
）
=•cosx
的图象大致是 （ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

9
．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的 科学家，他在实践的基础上提出了
体积计算的原理：
“
幂势既同，则积不容异
”
．意思是，如果两个等高的几何体在
同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相 等．此即祖暅原理．利
用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视< br>图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为
h
（
0
＜
h
＜
2
）的平面截该
几何体，则截面面积为（ ）


A
．
4π B
．
πh
2
C
．
π
（
2
﹣
h
）
2
D
．
π
（
4
﹣
h
）
2

10
．执行如图所示的程序框图，若输入
p=2018
，则输出
i
的 值为（ ）

A
．
335 B
．
336 C
．
337 D
．
338

11
．已知棱长为
2
的正方体
ABCD
﹣
A
1B
1
C
1
D
1
，球
O
与该正方体的各 个面相切，
则平面
ACB
1
截此球所得的截面的面积为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．


12
．
fx
）
=sin
3
x
+
acos
2
x
在
π
）若（（
0
，上存在最 小值，则实数
a
的取值范围是（ ）
A
．（
0
，）
B
．（
0
，]



C
．[，+∞）
D
．（
0
，+∞）

二、填空题：本大题共
4
小题 ，每小题
5
分，满分
20
分，将答案填在答题纸上

13< br>．已知向量
=
（
1
，
2
），
=
（< br>x
，
3
），若⊥，则|+|
=
．

14
．已知
α
是锐角，且
cos
（
α
+）
=< br>，则
cos
（
α
﹣）
=
．

1 5
．直线
ax
﹣
y
+
3=0
与圆（
x﹣
2
）
2
+（
y
﹣
a
）
2< br>=4
相交于
M
，
N
两点，若|
MN
|
≥
2
，则实数
a
的取值范围是 ．

16
．若实数
x
，
y
满足不等式组
最小值为
0
，则实数
k=
．



，目标函数
z=kx
﹣
y
的最大值为
12
，
三、解答题：解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤
.


17
．（
12
分）设
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和 ，且
S
n
=2a
n
﹣
n
+
1
（< br>n
∈
N
*
），
b
n
=a
n
+
1
．
（
1
）求数列{
b
n
}的通项公式 ；

（
2
）求数列{
nb
n
}的前
n项和
T
n
．

18
．（
12
分）如图 ，四边形
ABCD
为菱形，四边形
ACEF
为平行四边形，设
BD< br>与
AC
相交于点
G
，
AB=BD=2
，
AE =
，∠
EAD=
∠
EAB
．

（
1
）证明：平面
ACEF
⊥平面
ABCD
；

（
2
）若∠
EAG=60°
，求三棱锥
F
﹣
BDE
的体 积．


19
．（
12
分）某市为了鼓励市民节约用电，实 行
“
阶梯式
”
电价，将该市每户居
民的月用电量划分为三档，月用电 量不超过
200
度的部分按
0.5
元

度收费，超过
200
度但不超过
400
度的部分按
0.8
元

度收 费，超过
400
度的部分按
1.0
元

度收
费．
（
1
）求某户居民用电费用
y
（单位：元）关于月用电量x
（单位：度）的函数解
析式；

（
2
）为了了解居民 的用电情况，通过抽样，获得了今年
1
月份
100
户居民每户
的用电 量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这
100
户居民中，今
年
1
月份用电费用不超过
260
元的点
80%
，求
a
，
b
的值；

（
3
）在满足（
2
）的条件 下，若以这
100
户居民用电量的频率代替该月全市居民
用户用电量的概率，且同组中 的数据用该组区间的中点值代替，记
Y
为该居民

用户
1
月份的用电费用，求
Y
的分布列和数学期望．


20
．（
12
分）已成椭圆
C
：
上顶点 的距离为
+
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的离心率为．其右顶点与
，过点
P
（
0
，
2
）的 直线
l
与椭圆
C
相交于
A
、
B
两点．
（
1
）求椭圆
C
的方程；

（
2< br>）设
M
是
AB
中点，且
Q
点的坐标为（，
0
），当
QM
⊥
AB
时，求直线
l
的方程．

21
．（
12
分）已知函数
f
（
x
）=
（
ax
+
1
）
lnx
﹣
ax
+
3
，
a
∈
R
，
g
（
x
）是
f
（
x
）的
导函数，
e
为自然对数的底数．

（
1
）讨论
g
（
x
）的单调性；

（
2
）当
a
＞
e
时，证明：
g
（
e
﹣
a
）＞
0
；

（
3
）当< br>a
＞
e
时，判断函数
f
（
x
）零点的个数， 并说明理由．



[选修
4-4
：坐标系与参数方程]

22
．（
1 0
分）在直角坐标系中
xOy
中，曲线
E
的参数方程为
参数 ），以原点
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（
1
）写出曲线
E
的普通方程和极坐标方程；

B
两点，（
2
）若直线
l
与曲线
E
相交于点
A
、且
OA
⊥
OB
，求证：
为定值，并求出这个定值．


[选修
4-5
：不等式选讲]

23< br>．已知
f
（
x
）
=
|
x
+
a
|，
g
（
x
）
=
|
x
+
3
|﹣
x
．

（
1
）当
a=1
，解不等式
f
（
x
）＜
g
（
x
）；

+
（
α
为

（
2
） 对任意
x
∈[﹣
1
，
1
]，
f
（
x
）＜
g
（
x
）恒成立，求
a
的取值范围．

2018
年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共
12个小题，每小题
5
分，共
60
分
.
在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
.

1
．若集合
A=< br>{
2
，
4
，
6
，
8
}，
B =
{
x
|
x
2
﹣
9x
+
18≤
0
}，则
A
∩
B=
（ ）

A
．{
2
，
4
}
B
．{
4
，
6
}
C
．{
6
，
8
}
D
．{
2
，
8
}

【考点】交集及其运算．

【分析】求出
B
中不等式的解集确定出< br>B
，找出
A
与
B
的交集即可．

【解答】解 ：∵
A=
{
2
，
4
，
6
，
8}，
B=
{
x
|
x
2
﹣
9x
+
18
≤
0
}
=
{
x
|（
x﹣
3
）（
x
﹣
6
）
≤
0
}< br>=
{
x
|
3
≤
x
≤
6
}，

∴
A
∩
B=
{
4
，
6
}，

故选：
B
．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．



2
．若复数（
a
∈
R
）为纯虚数，其中
i
为虚数单位，则
a=
（ ）

D
．
3

A
．﹣
3 B
．﹣
2 C
．
2
【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数< br>为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．

【解答】解：
∵复数
==
，

，又根据复数（
a
∈
R
）
（a
∈
R
）为纯虚数，

∴，

解得：
a=
﹣
2
．

故选：
B
．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础
题．



3
．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字
“2”
，
“3”
，
“4”
，
“6”
．现

从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总 数
n==4
，所选的三个球上的数
字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求 出所选的三个球上的数字能
构成等差数列的概率．

“3”
，
“4”
，【解答】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字
“2”
，
“6”
，

现从中随机选取三个球，

基本事件总数
n==4
，

所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：

（
2
，
3
，
4
），（
2
，
4
，
6
），共有
2
个，

∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是
p==
．

故选：
C
．

【点评】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题 时要认真审题，注意等可
能事件概率计算公式的合理运用．



4
．设
a=0.2
3
，
b=log
0.3
0.2，
c=log
3
0.2
，则
a
，
b
，
c
大小关系正确的是（ ）

A
．
a
＞
b
＞
c B
．
b
＞
a
＞
c C
．
b
＞
c
＞
a D
．
c
＞
b
＞
a

【考点】对数值大小的比较．

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：
a=0 .2
3
=0.008
，
b=log
0.3
0.2
＞
log
0.3
0.3=1
，
c=log
3
0.2< br>＜
1
，

∴
b
＞
a
＞
c
，

故选：
B
．

【点评】本题考查了指数函 数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，
属于基础题．


< br>5
．△
ABC
的内角
A
，
B
，
C< br>的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
cosC=
，
a=1
，
c=2
，
则△
ABC
的面积为 （ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】正弦定理．

【分析】由题意
cosC=< br>，
a=1
，
c=2
，余弦定理求解
b
，正弦定理在求 解
sinB
，
那么△
ABC
的面积即可．

【解答 】解：由题意
cosC=
，
a=1
，
c=2
，

那么：
sinC=
cosC==
由
，

，解得
b=2
．

，可得
sinB=
，

=

那么△
ABC
的面积
故选
A

【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理的运用，属于基础题．



6
．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的
A
．
B
．
C
．
2 D
．


，则该双曲线的离心率为（ ）
【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的
率即可．

【解答】解：设双曲线方程：
坐标（
c
，
0
），

，可得渐近线方程为：
bx
﹣
ay=0
，焦点
，列出关系式 求解离心

双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的
可得：，

，

整理得：
5b
2
=4c
2
，即
c
2
=5a
2
，解得
e=
故选：
D
．< br>
．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．



7
．将函数
y=sin
（
6x
+移
A
．
）的图象上各点的横坐标伸长到原来的
3
倍，再向右平< br>个单位，得到的函数的一个对称中心（ ）

B
．
C
．（）
D
．（）

【考点】函数
y=Asin
（
ωx
+
φ
）的图象变换；正弦函数的对称性．

【分析】 先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数
的性质进行验证：若
f< br>（
a
）
=0
，则（
a
，
0
）为一个 对称中心，确定选项．

【解答】解：函数
图象的解析式为
再向右平移
当
x=
的图象上各点的横坐标伸长到原来的
3
倍得到
个单位得到图象的解析式为
=sin2x

时，
y=sinπ=0
，所以是函数
y=sin2x
的一个对称中心．

故选
A
．

【点评】本题考查 了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数
中的重点知识，在试题中出现的频率相当高 ．



8
．函数
f
（
x
）=•cosx
的图象大致是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】函数的图象．

【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．

【解答】解：
f
（﹣
x
）
=
∴
f
（
x
）为奇 函数，

∴函数
f
（
x
）的图象关于原点对称，

当
x
∈（
0
，）时，
cosx
＞
0
，＞
0
，

•cos
（﹣
x
）
=•co sx=
﹣
f
（
x
），

∴
f
（< br>x
）＞
0
在（
0
，
故选：
C

）上恒成立，

【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值，属于
基础题



9
．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上 提出了
体积计算的原理：
“
幂势既同，则积不容异
”
．意思是，如果 两个等高的几何体在
同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视
图如图所示，用一个 与该几何体的下底面平行相距为
h
（
0
＜
h
＜
2< br>）的平面截该

几何体，则截面面积为（ ）


A
．
4π B
．
πh
2
C
．
π
（
2
﹣
h
）
2
D
．
π
（
4
﹣
h
）
2

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去 一个圆锥，得到截面为圆环，
明确其半径求面积．

【解答】解：由已知得到几何体为 一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为
2
高为
2
，
设截面的圆环，小圆 半径为
r
，则为
frac
{
h
}{
2
}< br>=frac
{
r
}{
2
}
$$
，得到
r=h
，所以截
面圆的面积为
πh
2
；

故选
B
．

【点评】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求 法；关键是明确几何体
形状，然后得到截面的性质以及相关的数据求面积．



10
．执行如图所示的程序框图，若输入
p=2018
，则输出< br>i
的值为（ ）

A
．
335 B
．
336 C
．
337 D
．
338

【考点】程序框图．

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出
i
的值．
【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计
1
到
2018
这些数中
能同时被
2
和
3
整除的数的个数
i
，
由于：
2018=336
×
6
+
1
，

故程序框图输出的
i
的值为
337
．

故选：
C
．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟 程序框图的运行过程，正
确得出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．



11
．已知棱长为
2
的正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
，球
O与该正方体的各个面相切，
则平面
ACB
1
截此球所得的截面的面积为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】球的体积和表面积．

【 分析】求出平面
ACB
1
截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面
ACB
1
截
此球所得的截面的面积．

【解答】解：由题意，球心与
B
的距离为
为
=
=
，
B
到平面
ACB< br>1
的距离
﹣
=
，，球的半径为
1
，球心到平面
ACB
1
的距离为
=
=
，

，

∴平面
ACB
1
截此球所得的截面的圆的半径为
∴平面
ACB1
截此球所得的截面的面积为
故选
D
．

【点评】本题 考查平面
ACB
1
截此球所得的截面的面积，考查学生的计算能力，
属于中档 题．




12
．
fx
）
=s in
3
x
+
acos
2
x
在
π
） 若（（
0
，上存在最小值，则实数
a
的取值范围是（ ）
A
．（
0
，）
B
．（
0
，]

【考点】三角函数的最值．

C
．[，+∞）
D
．（
0
，+∞）

【分析】设
t=sinx
，由
x
∈（
0
，
π
）和正弦函数的性质求出
t
的范围，将
t
代入
f
（
x
）后求出函数的导数，求出临界点 ，根据条件判断出函数的单调性，由导数
与函数单调性的关系列出不等式，求出实数
a
的取值范围．

【解答】解：设
t=sinx
，由
x
∈（< br>0
，
π
）得
t
∈（
0
，
1
]，

∵
f
（
x
）
=sin
3
x
+
acos
2
x=sin
3
x
+
a
（
1
﹣
sin
2
x
），

∴
f
（
x
）变为：
y=t
3
﹣
at
2
+
a
，

则
y′=3t
2
﹣
2at=t< br>（
3t
﹣
2a
），

由
y′=0
得，
t=0
或
t=
，

∵
f
（
x
）
=sin
3
x
+
a cos
2
x
在（
0
，
π
）上存在最小值，

∴函数
y=t
3
﹣
at
2
+
a
在 （
0
，
1
]上递减或先减后增，

即＞
0
，得
a
＞
0
，

∴实数
a
的取值范围是（
0
，+∞），

故选：
D
．

【点评】本题考查正弦函数 的性质，导数与函数单调性的关系，以及构造法、换
元法的应用，考查化简、变形能力．



二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分， 满分
20
分，将答案填在答题纸上

13
．已知向量
=（
1
，
2
），
=
（
x
，
3< br>），若⊥，则|+|
=

5
【考点】平面向量的坐标运算．

【分析】⊥，可得
=0
，解得
x
．再利用向量模的计算公式即可得出 ．

=x
+
6=0
，解得
x=
﹣
6
．

．

【解答】解：∵⊥，∴
∴
=
（﹣
5
，
5
）．

=5
．

．

∴|+ |
=
故答案为：
5
【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计 算公式，考查了推理
能力与计算能力，属于基础题．



14．已知
α
是锐角，且
cos
（
α
+）
=
，则
cos
（
α
﹣）
=
．

【考点】两角和与差的余弦函数．

【分析】由已知利用诱导公式可求
sin
（
α
﹣
三角函数基本关系式计算可解．

【解答】解：∵< br>cos
（
α
+
∵
α
是锐角，
α
﹣< br>∴
cos
（
α
﹣
故答案为：
）
=
．

∈（﹣
）
=sin
[
，
﹣（
α
+
），

==
．

）]
=sin
（
α
﹣）
=
，

）
=
，结合角的范围，利用同角
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关 系式在三角函数化简求
值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．


< br>15
．直线
ax
﹣
y
+
3=0
与圆（
x
﹣
2
）
2
+（
y
﹣
a
）2
=4
相交于
M
，
N
两点，若|
MN
|

≥
2
，则实数
a
的取值范围是
a
≤﹣ ．

【考点】直线与圆相交的性质．

【分析】由 圆的方程找出圆心坐标与半径
r
，利用点到直线的距离公式表示出圆
心到直线的距离< br>d
，利用|
MN
|≥
2
，建立不等式，即可得到
a< br>的范围．

【解答】解：由圆的方程得：圆心（
2
，
a
），半径
r=2
，

∵圆心到直线
ax
﹣
y+
3=0
的距离
d=
，|
MN
|≥
2
，

∴
解得：
a
≤﹣，

，

故答案为：
a
≤﹣．

【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到

直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

< br>16
．若实数
x
，
y
满足不等式组
最小值为
0
，则实数
k=

3
．

【考点】简单线性规划．

【分析】先画出可行域，得到角点坐标．利用
k< br>与
0
的大小，分类讨论，结合目
标函数的最值求解即可．

y
满足不等式组【解答】解：实数
x
，
B
（
1
，﹣< br>2
），
C
（
4
，
0
）．

①当
k=0
时，目标函数
z=kx
﹣
y
的最大值为
12
，最小值为
0
，不满足题意．

②当
k
＞0
时，目标函数
z=kx
﹣
y
的最大值为
12
，最小值为
0
，当直线
z=kx
﹣
y
过
C
（
4
，
0
）时，
Z
取得最大值
12
．
当直线
z=kx
﹣
y
过
A
（
3，
1
）时，
Z
取得最小值
0
．

可得
k=3
，满足题意．

A3
）的可行域如图：得：（< br>1
，，
，目标函数
z=kx
﹣
y
的最大值为
12
，

③当
k
＜
0
时，目标函数
z=kx
﹣
y
的最大值为
12
，最小值为
0
，当直线
z=kx
﹣
y
过
C
（
4
，0
）时，
Z
取得最大值
12
．可得
k=
﹣3
，

当直线
z=kx
﹣
y
过，
B< br>（
1
，﹣
2
）时，
Z
取得最小值
0
．可得
k=
﹣
2
，

无解．

综上
k=3

故答案为：
3
．


【点评】本题主要考查简单线性规划以及分类讨论思想．解决本题计算量较大．属
于中档题．



三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
< br>17
．（
12
分）（
2018•
深圳一模）设
Sn
为数列{
a
n
}的前
n
项和，且
S
n
=2a
n
﹣
n
+
1
（
n
∈N
*
），
b
n
=a
n
+
1
．

（
1
）求数列{
b
n
}的通项公式；

（
2
）求数列{
nb
n
}的前
n
项和T
n
．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析 】（
1
）求出数列的首项，利用通项与和的关系，推出数列
b
n
的等 比数列，
求解通项公式．

（
2
）利用错位相减法求解数列的和即可．

【解答】解：（
1
）当
n=1
时，
a
1
=S
1
=2a< br>1
﹣
1
+
1
，易得
a
1
=0
，
b
1
=1
；

当
n
≥
2时，
a
n
=S
n
﹣
S
n
﹣
1
=2a
n
﹣
n
+
1
﹣[
2a
n< br>﹣
1
﹣
n
+
1
+
1
]，

整理得
a
n
=2a
n
﹣
1
+
1< br>，

∴
b
n
=a
n
+
1=2
（
a
n
﹣
1
+
1
）< br>=2b
n
﹣
1
，

∴数列{
b
n< br>}构成以首项为
b
1
=1
，公比为
2
等比数列，
∴数列{
b
n
}的通项公式
b
n
=2
n
﹣
1
，
n
∈
N
•
；

（
2
）由（
1
）知
b
n
=2
n
﹣
1
，则
nb
n
=n•2
n
﹣
1
，

则
T
n
=1
×
2
0
+
2
×
2
1
+
3
×
2
2
+
…
+
n•2
n
﹣
1
，①

∴
2 T
n
=1
×
2
+
2
×
2
2
+
3
×
2
3
+
…
+
n
×
2
n
，②

由①﹣②得：﹣
T
n
=2
0
+
2
1
+
2
2
+
2
3
+
…
+
2
n
﹣
1
﹣
n•2
n
=
∴
T
n
=
（
n
﹣
1
）
2
n
+
1
．

【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．



18
．（
12
分）（
2018•
深圳一模）如图，四边形< br>ABCD
为菱形，四边形
ACEF
为
平行四边形，设
BD与
AC
相交于点
G
，
AB=BD=2
，
AE=
（
1
）证明：平面
ACEF
⊥平面
ABCD
；
（
2
）若∠
EAG=60°
，求三棱锥
F
﹣
BDE
的体积．


，∠
EAD=
∠
EA B
．
=2
n
﹣
1
﹣
n•2
n
，< br>

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

【 分析】（
1
）连接
EG
，说明
BD
⊥
AC
，证明
BD
⊥
ED
，推出
BD
⊥平面
ACFE，
然后证明平面
ACEF
⊥平面
ABCD
；

（
2
）说明点
F
到平面
BDE
的距离为点
C
到平面
BDE
的距离的两倍，利用
V
F
﹣
BDE
=2V
C
﹣
BDE
，转化求解三棱锥
F
﹣
BDE< br>的体积即可．

【解答】解：（
1
）证明：

连接
EG
，

∵四边形
ABCD
为菱形，

∵
AD=AB
，BD
⊥
AC
，
DG=GB
，

在△
EAD
和△
EAB
中，

AD=AB
，
AE=AE
，∠
EAD=
∠
EAB
，

∴△
EAD
≌△
EAB
，

∴
ED=EB
，

∴
BD
⊥
ED
，

∵
AC
∩
EG=G
，

∴
BD
⊥平面
ACFE
，

∵
BD
⊂平面
ABCD
，

∴平面
ACEF
⊥平面
ABCD
；

（
2
）∵
EF
∥
GC
，
EF=2GC
，∴点
F
到平面
BDE
的距离为点
C
到平面
BDE
的距离的两倍，

所以
V
F
﹣
BDE
=2V
C
﹣
BDE
，

作
EH
⊥
AC
，∵平面
ACEF
⊥平面
ABCD
，
EH
⊥平面
A BCD
，

∴
V
C
﹣
BDE
=V
E
﹣
BCD
=
∴三棱锥
F
﹣
BDE
的体积 为．

=
，

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质 定理的应用，几何体的体
积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．



19
．（
12
分）（
2018•
深圳一模）某市为了鼓励市 民节约用电，实行
“
阶梯式
”
电
价，将该市每户居民的月用电量划分 为三档，月用电量不超过
200
度的部分按
0.5
元

度收费 ，超过
200
度但不超过
400
度的部分按
0.8
元

度收费，超过
400
度

的部分按
1.0
元

度收费．

（
1
）求某户居民用电费用
y
（单位：元）关于月用电量
x
（单位：度）的函数 解
析式；

（
2
）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年
1
月份
100
户居民每户
的用电量，统计分析后得到如图所示的频率 分布直方图，若这
100
户居民中，今
年
1
月份用电费用不超过260
元的点
80%
，求
a
，
b
的值；

（
3
）在满足（
2
）的条件下，若以这
100
户居民用电量的频率代替该月全市居民
用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记
Y
为该居民
用户
1
月份的用电费用，求
Y
的分布列 和数学期望．


【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随 机变量及其
分布列．

【分析】（
1
）利用分段函数的性质即可得出．

（
2
）利用（
1
），结合频率分布直方图的性质即可得出．

（
3
）由题意可知
X
可取
50
，
150< br>，
250
，
350
，
450
，
550
．结合频率分布直方图
的性质即可得出．

【解答】解：（
1
）当
0
≤
x
≤
200
时，
y=0.5x
；
当
200
＜
x
≤
400
时，
y=0 .5
×
200
+
0.8
×（
x
﹣
200< br>）
=0.8x
﹣
60
，

当
x
＞< br>400
时，
y=0.5
×
200
+
0.8
×
200
+
1.0
×（
x
﹣
400
）
=x
﹣
140
，

所以
y
与
x
之间的函数解析式为：
y=
．

（
2
）由（
1
）可知：当
y=260
时，
x=400
，则
P
（
x
≤
400
）
=0. 80
，

结合频率分布直方图可知：
0.1
+
2
×
100b
+
0.3=0.8
，
100a
+
0.05 =0.2
，

∴
a=0.0015
，
b=0.0020
．

（
3
）由题意可知
X
可取
50< br>，
150
，
250
，
350
，
450
，
550
．

当
x=50
时，
y=0.5
×
50=25
，∴
P
（
y=25
）
=0.1，

当
x=150
时，
y=0.5
×
150= 75
，∴
P
（
y=75
）
=0.2
，
< br>当
x=250
时，
y=0.5
×
200
+
0 .8
×
50=140
，∴
P
（
y=140
）
=0.3
，

当
x=350
时，
y=0.5
×< br>200
+
0.8
×
150=220
，∴
P
（
y=220
）
=0.2
，

当
x=450
时，
y=0.5
×
200
+
0.8
×
200
+
1.0
×
50=310
，∴
P
（
y=310< br>）
=0.15
，

当
x=550
时，
y=0 .5
×
200
×
0.8
×
200
+
1.0
×
150=410
，∴
P
（
y=410
）
=0.05
．

故
Y
的概率分布列为：

Y

25

75

140

220

310

410

P

0.1

0.2

0.3

0.2

0.15

0.05

所以随机变量
Y
的数学期望

EY=25
×
0.1
+
75
×
0.2
+
140
×
0.3
+
220
×
0.2
+
310
×
0.15
+
410
×
0.05=170.5
．

【点评】本题考查了 分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布
列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力 ，属于中档题．



20
．（
12
分）（
2018•
深圳一模）已成椭圆
C
：
为．其右顶点与上顶点的距离为
+
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的离心率，过点
P
（
0
，
2
）的直线
l
与椭圆
C
相交
于
A
、
B
两点．

（
1
）求椭圆
C
的方程；

（
2
）设
M
是
AB
中点，且
Q
点的坐标为（，
0
），当
QM
⊥
AB
时，求直线
l
的方程．

【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

【分析】（
1
）椭圆的离心率为
组，求出
a=
，
b=
．其右顶点与上顶点的距离为 ，列出方程
，由此能求出椭圆
C
的方程．

（
2
） 若直线
l
的斜率不存在，直线方程为
x=0
；若直线
l
的斜 率存在，设其方程
，得（
2
+
3k
2
）
x
2
+
12kx
+
6=0
，由此利用根为
y=kx
+
2
，与椭圆方程联立

的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件能求出直线
l
的方程．
【解答】解：（
1
）∵椭圆
C
：
其右顶点与上顶点的距离为，< br>
+
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的离心率为．

∴由题意知：，解得
a=
，
b=
，

∴椭圆
C
的方程为：．


（
2
）①若直 线
l
的斜率不存在，此时
M
为原点，满足
QM
⊥
A B
，∴方程为
x=0
；
②若直线
l
的斜率存在，设其方程为
y=kx
+
2
，
A
（
x
1
，y
1
），
B
（
x
2
，
y
2< br>），

将直线方程与椭圆方程联立，得（
2
+
3k
2
）
x
2
+
12kx
+
6=0
，

△
=72k
2
﹣
48
＞
0
，
设< br>M
（
x
0
，
y
0
），则
由
QM
⊥
AB
，知
，

，
，化简得
3k2
+
5k
+
2=0
，

，

解得
k=
﹣
1
或
k=
﹣，将结果代入△
=72k< br>2
﹣
48
＞
0
验证，舍掉
k=
﹣，

此时，直线
l
的方程为
x
+
y
﹣
2=0< br>，

综上所述，直线
l
的方程为
x=0
或
x
+
y
﹣
2=0
．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要

认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭圆等知识点的合理运用．

< br>21
．（
12
分）（
2018•
深圳一模）已知函数
f
（
x
）
=
（
ax
+
1
）
lnx
﹣
ax
+
3
，
a
∈
R
，
g
（
x
）是
f
（
x
）的导函数，
e
为自然对数的底数．

（
1
）讨论
g
（
x
）的单调性；

（
2
）当
a
＞
e
时，证明：
g
（
e
﹣
a
）＞
0
；

（
3
）当
a
＞
e
时，判断函数
f
（
x
）零点的个数，并说明理由．

【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．


【分 析】（
1
）求导，由导数与函数单调性的关系，即可求得
g
（
x）的单调区间；
（
2
）由
g
（
e
﹣
a
）
=
﹣
a
2
+
e
a
，构造函数< br>h
（
x
）
=
﹣
x
2
+
e< br>x
，求导，当
x
＞
e
时，
h′
（
x
）
＞
0
，函数单调递增，即可求得
h
（
x
）
=
﹣
x
2
+
e
x
＞﹣
e
2
+
e
e
＞
0
，

（
3
）由（
1
）可知，函数最小值为
g
（）
=0
，故
g
（
x
）恰有两个零点
x
1
，
x
2
，
则可判断
x
1
，
x
2
是函数的极大值和极小值 ，由函数零点的存在定理，求得函数
f
（
x
）只有一个零点．
【解答】解：（
1
）对函数
f
（
x
），求导得
g
（
x
）
=f′
（
x
）
=alnx
+，

g′
（
x
）
=
﹣
=
，

①当
a
≤
0
时，
g′
（
x
）＜
0
，故
g
（
x
）在（
0
，+∞）上为减函数；

②当
a
＞
0
时，
′
（
x
）＞
0
，可得
x
＞，故
g
（
x
）的减区间为（
0
，），增区间
为（，+∞）；

（
2
）证明：< br>g
（
e
﹣
a
）
=
﹣
a
2< br>+
e
a
，设
h
（
x
）
=
﹣
x
2
+
e
x
，则
h′
（
x
）
=e
x
﹣
2x
，

易知当
x
＞
e
时，
h′
（
x
）＞
0
，函数
h
（
x
）单调递增，

h
（
x
）
=
﹣
x
2
+
e
x
＞﹣
e
2
+
e
e
＞
0
，

∴
g
（
e
﹣
a
）＞
0
；

（
3
）由（
1
）可知，当
a
＞
e
时，
g
（
x
）是先减再增的函数，

其最小值为
g
（）
=aln
+
a=a
（
ln
+
1
）＜
0
，

而此时
g
（
点
x
1
，
x
2
，

∵当
x
∈（
0
，
x
1
）时，
f′
（
x
）
=g
（
x
）＞
0
；

当
x
∈（
x1
，
x
2
）时，
f′
（
x
）
=g
（
x
）＜
0
；

当
x
∈（
x
2
，+∞）时，

f′
（
x
）
=g
（
x
）＞
0
，
< br>∴
f
（
x
）在
x
1
，
x
2
两点分别取到极大值和极小值，且
x
1
∈（
0
，），

）
=1
+，
g
（
e
﹣
a
）＞
0
，且
e
﹣
a
＜＜，故
g
（
x< br>）恰有两个零

由
g
（
x
1
）
=alnx
1
+
=0
，知
a=
﹣，

+
2
，

=
﹣
2
时，
lnx1
=
，则
a=e
，不合
∴
f
（
x1
）
=
（
ax
1
+
1
）
ln x
1
﹣
ax
1
+
3=lnx
1
+
∵
lnx
1
＜
0
，∴
lnx
1
+
题意，

≤﹣
2
，但当
lnx
1
+
所以< br>f
（
x
1
）＜
0
，故函数
f
（x
）的图象与
x
轴不可能有两个交点．

∴函数
f
（
x
）只有一个零点．

【点评】本题考 查导数的综合应用，考查导数与函数的单调性及及的关系，考查
函数零点的判断，考查计算能力，属于中 档题．



[选修
4-4
：坐标系与参数方程]

22
．（
10
分）（
2018•
深圳一模）在直角坐标系中
xOy
中，曲线
E
的参数方程为
（
α
为参数），以 原点
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标
系．

（
1
）写出曲线
E
的普通方程和极坐标方程；

B
两点，（
2
）若直线
l
与曲线
E
相交于点
A
、且
OA
⊥
OB
，求证：
为定值，并求出这个定值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（
1
）曲线
E
的参数方程消去参数，能求出曲线
E
的普通方程，进而 能
求出曲线
E
的极坐标方程．

（
2
）不妨设设点
A
，
B
的极坐标分别为
A
（
ρ
1
，
θ
），
B
（），从而
+
得到，由此能证明（定值）．

【解答】解：（
1
）∵曲线
E
的参数方程为
∴消去参数得曲线
E
的普通方程为，

（
α
为参数），

∴曲线
E的极坐标方程为
∴所求的极坐标方程为
3ρ
2
cos
2
θ
+
4ρ
2
sin
2
θ=12
．

，

（
2
）证明：不妨设设点
A
，
B的极坐标分别为
A
（
ρ
1
，
θ
），
B
（

），
则，

即，

∴
=
，即（定值）．

【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐 标方程的互化，考查代数式和为定
值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意普通方程、极坐标方程 的互化公
式的合理运用．



[选修
4-5
：不等式选讲]

23
．（
2018 •
深圳一模）已知
f
（
x
）
=
|
x
+
a
|，
g
（
x
）
=
|
x+
3
|﹣
x
．

（
1
）当
a =1
，解不等式
f
（
x
）＜
g
（
x
）；

（
2
）对任意
x
∈[﹣
1
，1
]，
f
（
x
）＜
g
（
x
） 恒成立，求
a
的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．

【分析】（
1
） 把
a=1
代入
f
（
x
）后化简
f
（
x
）＜
g
（
x
），对
x
分类讨论，分别
去掉绝对值求出
x
的范围，最后再求并集可得答案；

（
2
）由条件求出
g
（
x
），由绝对值不等式的解法化简|
x
+
a
|＜
3
，求出
a
的表达
式，由
x
的范围和恒成立求出
a
的取值范围．

【解答】解：（
1
）当
a=1
，
f
（
x
）
=
|
x< br>+
1
|，

由
f
（
x
）＜
g
（
x
）可得|
x
+
1
|＜|
x
+
3
|﹣
x
，即|
x
+
3
|﹣|
x
+
1
|﹣
x
＞
0
，

当
x
≤﹣
3
时，原不等式等价于﹣
x
﹣
2
＞
0
，即
x
＜﹣
2
，∴
x
≤﹣
3
，

当﹣
3
＜
x
＜﹣
1
时，原不等式等价 于
x
+
4
＞
0
，即
x
＞﹣
4，∴﹣
3
＜
x
＜﹣
1
，

当
x
≥﹣
1
时，原不等式等价于﹣
x
+
2
＞
0
，即
x
＜
2
，∴﹣
1
≤
x
＜< br>2
，

综上所述，不等式的解集为（﹣∞，
2
）；

（
2
）当
x
∈[﹣
1
，
1
]时，
g
（
x
）
=
|
x
+
3
|﹣
x=3
，< br>
∵对任意
x
∈[﹣
1
，
1
]，
f
（
x
）＜
g
（
x
）恒成立，

∴ 对任意
x
∈[﹣
1
，
1
]，|
x
+
a
|＜
3
恒成立，

∴﹣
3
＜
x
+
a
＜
3
，即﹣
3
﹣
x
＜
a< br>＜
3
﹣
x
，当
x
∈[﹣
1
，
1
]时恒成立，

∴
a
的取值范围﹣
2
＜
a
＜
2
．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题转 化为求最值问题，以及分
类讨论思想，考查化简、变形能力．