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2019-2020
学年高三第二学期一调数学试卷（理科）

一、选择题

1
．已知全集
U
＝
R
，集合
A
＝
{
y
|
y
＝
x
2
+ 2
，
x
∈
R}
，集合
B
＝
{
x< br>|
y
＝
lg
（
x
﹣
1
）
}
，则阴影部分
所示集合为（ ）


A
．
[1
，
2]

2
．已知复数
B
．（
1
，
2
）

C
．（
1
，
2]

D
．
[1
，
2
）

，则复数（
a
∈
R
，
i
为虚数单位），若复数
z
的共轭复数的虚 部为
z
在复平面内对应的点位于（ ）

A
．第一象限

3
．若
a
＝π
﹣
2
，
b
＝
a
a
，
A
．
c
＞
b
＞
a
4
．函数
B
．第二象限

C
．第三象限

D
．第四象限

，则
a
，
b
，
c
的大小关系为（ ）

B
．
b
＞
c
＞
a
C
．
b
＞
a
＞
c
D
．
a
＞
b
＞
c
（其中
e
为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

5
．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一 个小盒子，里面随机摆放三支
香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次 想吸烟时，
从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩
2
支香烟”的概率为（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

6
．已知△
ABC
外接圆的圆心为
O
，若
AB
＝
3
，
AC< br>＝
5
，则的值是（ ）

A
．
2

7
．给出下列五个命题：

B
．
4

C
．
8

D
．
16

①若
p
∨
q
为真命题 ，则
p
∧
q
为真命题；

②命题“∀
x
＞
0
，有
e
x
≥
1
”的否定为“∃
x
0
≤
0
，有＜
1
”；

”；

③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“
④在锐角△
ABC
中，必有sin
A
+sin
B
＞
cos
A
+cosB
；

⑤
{
a
n
}
为等差数列，若< br>a
m
+
a
n
＝
a
p
+
a< br>q
（
m
，
n
，
p
，
q
∈< br>N
*
），则
m
+
n
＝
p
+
q
其中正确命题的个数为（ ）

A
．
1

B
．
2

C
．
3

D
．
4

8
．已知定义在（
0
，
+
∞）上的函数
f
（
x
），恒为正数的
f
（
x
）符合
f
（
x
）＜
f
′（
x
）＜
2
f
（
x
），则
A
．（
e
，
2
e
）

的取值范围为（ ）

B
．

C
．（
e
，
e
3
）

D
．

9
．已知点
A
（
0
，2
），抛物线
C
：
y
2
＝
4
x
的焦点为
F
，射线
FA
与抛物线
C
相交于点
M< br>，
与其准线相交于点
N
，则
|
FM
|
：|
MN
|
＝（ ）

A
．
2
：10
．定义
项的“均倒数”为
A
．


B
．
1
：
2

C
．
1
：

D
．
1
：
3

为
n
个正数
p
1
，
p
2
，…
p
n
的“均倒数”．若 已知数列
{
a
n
}
的前
n
，又
B
．

，则
C
．

D
．
＝（ ）


11
．对于任意的实数
x
∈
[1
，
e< br>]
，总存在三个不同的实数
y
∈
[
﹣
1
，< br>5]
，使得
y
2
xe
1
﹣
y
﹣ax
﹣
lnx
＝
0
成立，则实数
a
的取值范围 是（ ）

A
．（
C
．（
0
，
]

]

B
．
[
D
．
[
）

）


12
．如图，在正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
H
⊥平面
AB
1
D
1
，垂足为
H，给出下面结论：
①直线
A
1
H
与该正方体各棱所成角相等；< br>
②直线
A
1
H
与该正方体各面所成角相等；

③过直线
A
1
H
的平面截该正方体所得截面为平行四边形；

④垂直于直线
A
1
H
的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，< br>

其中正确结论的序号为（ ）


A
．①③

B
．②④

C
．①②④

D
．①②③

二、填空题（共
4
小题，每小题
5
分，满分
20
分）

13．有一个底面圆的半径为
1
，高为
2
的圆柱，点
O
1< br>，
O
2
分别为这个圆柱上底面和下底面
的圆心，在这个圆柱内随机取一 点
P
，则点
P
到点
O
1
，
O
2< br>的距离都大于
1
的概率
为

．

1 4
．在数列
{
a
n
}
中，若函数
f
（x
）＝
sin2
x
+2
n
﹣
2
n2
，则
a
n
＝

．

15< br>．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的
方法：“以 小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约
之为实一为从隅，开平方得积 ”如果把以上这段文字写成公式就是
，共中
a
、
b
、
c是△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边 ．若
sin
C
＝
2sin
A
cos
B
，且
b
2
，
2
，
c
2
成等差数列，则△
ABC
面积
S
的最大值为



16．过曲线的左焦点
F
1
作曲线的切线，
cos2
x
的最 大值是
a
1
，且
a
n
＝（
a
n
+ 1
﹣
a
n
﹣
2
）
设切点为
M
，延 长
F
1
M
交曲线
的焦点，若
于点
N
，其中
C
1
，
C
3
有一个共同
，则曲线
C
1
的离心率为

．

三、解答题：（共
5
小题，共
70
分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17< br>．如图，在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C< br>的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
c
＝
4
，
b
＝
2
，
2
c
cosC
＝
b
，
D
，
E
分别为线段
BC上的点，且
BD
＝
CD
，∠
BAE
＝∠
CAE
．

（
1
）求线段
AD
的长；

（
2
）求△
ADE
的面积．

< br>18
．如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，底面
ABC D
是边长为
2
的菱形，∠
DAB
＝
60
°，∠ADP
＝
90
°，平面
ADP
⊥平面
ABCD
，点
F
为棱
PD
的中点．

（Ⅰ）在棱
AB
上是否存在一点
E
，使得
AF
∥平面
PCE
，并说明理由 ；

（Ⅱ）当二面角
D
﹣
FC
﹣
B
的余弦 值为时，求直线
PB
与平面
ABCD
所成的角．


19
．如图，
A
为椭圆
两点，
C
是
AB
的中点．

的左顶点，过
A
的直线交抛物线
y
2
＝
2
px
（
p
＞
0
）于
B
、
C
（
1
）求证：点
C
的横坐标是定值，并求出该定值；

（
2
）若直线
m
过
C
点，且倾斜角和直线的倾斜角 互补，交椭圆于
M
、
N
两点，求
p
的
值，使得△< br>BMN
的面积最大．


20
．某共享单车经营企业欲向甲市 投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投
放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分 随机问卷、整理分析及开座谈会三个
阶段．在随机问卷阶段，
A
，
B
两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在
整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问 卷中，针对
15
至
45
岁的人群，按比例
随机抽取了
300
份，进行了数据统计，具体情况如表：

组别

年龄

[15
，
25
）

[25
，
35
）

[35
，
45
）

A
组统计结果

经常使用单车

27
人

23
人

20
人

偶尔使用单车

13
人

17
人

20
人

B
组统计结果

经常使用单车

偶尔使用单车

40
人

35
人

35
人

20
人

25
人

25
人

（
1
）先用分 层抽样的方法从上述
300
人中按“年龄是否达到
35
岁”抽出一个容量为< br>60
人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到
35
岁”的被抽个体数分配到 “经常使用单
车”和“偶尔使用单车”中去．

①求这
60
人中“年 龄达到
35
岁且偶尔使用单车”的人数；

②为听取对发展共享单车的建议， 调查组专门组织所抽取的“年龄达到
35
岁且偶尔使
用单车”的人员召开座谈会，会后 共有
3
份礼品赠送给其中
3
人，每人
1
份（其余人员
仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有
4
人来自
A
组，求
A
组这
4
人
中得到礼品的人数
X
的分布列和数学期 望；

（
2
）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作< br>m
岁）有关”的结
论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可 能小，年龄
m
应
取
25
还是
35
？请通过比较K
2
的观测值的大小加以说明．

参考公式：
K
2＝，其中
n
＝
a
+
b
+
c
+
d
．

21
．已知函数
f
（
x
）＝
e
x
﹣
ax
2
﹣
bx
﹣
1
，其 中
a
，
b
∈
R
，
e
＝
2.718 28
…为自然对数的底数．

（
1
）设
g
（
x
）是函数
f
（
x
）的导函数，求函数
g
（x
）在区间
[0
，
1]
上的最小值；

（2
）若
f
（
1
）＝
0
，函数
f
（
x
）在区间（
0
，
1
）内有零点，求
a
的取值范围．

（二）选考题，满分共
10
分，请考生在
22.2 3
题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．答时用
2B
铅笔在 答题卡上把所选题目的题号涂黑
[
选修
4-4
：坐标系与参数方
程< br>]

22
．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l1
过原点且倾斜角为α（
0
）．以坐标原点
O
为极点，
x
轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线
C
1
的极坐标方程为ρ＝
2co s
θ．在平面直
角坐标系
xOy
中，曲线
C
2
与曲 线
C
1
关于直线
y
＝
x
对称．

（Ⅰ）求曲线
C
2
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线
l
2
过原点且倾斜角为，设直线
l
1
与曲线
C
1< br>相交于
O
，
A
两点，直

线
l
2
与曲线
C
2
相交于
O
，
B
两点，当α变 化时，求△
AOB
面积的最大值．

[
选修
4-- 5
：不等式选讲
]

23
．已知函数
f
（
x
）＝
|
ax
+1|+|2
x
﹣
1|
．< br>
（
1
）当
a
＝
1
时，求不等式
f
（
x
）＞
3
的解集；

（
2
）若
0
＜
a
＜
2
，且对任意
x
∈
R< br>，恒成立，求
a
的最小值．

参考答案

一、选择题（共
12
小题，每题
5
分， 共
60
分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，
请将正确答案的序号填涂在答题卡 上）

1
．已知全集
U
＝
R
，集合
A＝
{
y
|
y
＝
x
2
+2
，< br>x
∈
R}
，集合
B
＝
{
x
|
y
＝
lg
（
x
﹣
1
）
}
，则阴 影部分
所示集合为（ ）


A
．
[1
，
2]

B
．（
1
，
2
）

C
．（
1
，
2]

D
．
[1
，
2
）


解：集合< br>A
＝
{
y
|
y
＝
x
2
+2
，
x
∈
R}
＝
[2
，
+
∞），集 合
B
＝
{
x
|
y
＝
lg
（
x
﹣
1
）
}
＝（
1
，
+
∞），
图形阴影部分为∁
U
A
∩
B
＝（
1
，2
），

故选：
B
．

2
．已知复数 （
a
∈
R
，
i
为虚数单位），若复数
z
的 共轭复数的虚部为，则复数
z
在复平面内对应的点位于（ ）

A
．第一象限

解：∵
∴的虚部为﹣
由﹣
＝
，

B
．第二象限

C
．第三象限

，

D
．第四象限

＝﹣，得
a
＝
2
．

∴复数
z
在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第一象限．

故选：
A
．

3
．若
a
＝π
﹣< br>2
，
b
＝
a
a
，
A
．
c< br>＞
b
＞
a
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为（ ）

B
．
b
＞
c
＞
a
C
．
b
＞
a
＞
c
D
．
a
＞
b
＞
c
解：由题意
0
＜
a
＜
1
，

故
a
＜
a
a
，

故
a
a
＞，即
b
＞
c
，

而
c
＝
故选：
B
．

4
．函数
＞
a
＝π
2
，

﹣
（其中
e
为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

解：
f
（
x
）＝（﹣
1< br>）
cos
x
＝
cos
x
，

f（﹣
x
）＝
cos
（﹣
x
）＝
cos
x
＝﹣
f
（
x
）．

∴
f
（x
）为奇函数，图象关于原点对称，排除
A
，
C
；
< br>当
0
＜
x
＜时，
e
x
＞
1
，
cos
x
＞
0
，

∴
f
（
x
）＝
故选：
B
．

cos
x
＜
0
，

5
．吸烟有害健康，小 明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支
香烟和三支跟香烟外形完全一样的“ 戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，
从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不 吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，
不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖 吃完时还剩
2
支
香烟”的概率为（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

解 ：在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒
烟口香糖”，
每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；

若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，

则“口香糖吃完时还剩
2
支香烟”的概率为：

P
＝
故选：
D
．

6
．已知△
A BC
外接圆的圆心为
O
，若
AB
＝
3
，
A C
＝
5
，则
A
．
2

B
．
4

C
．
8

的值是（ ）

D
．
16

＝．

解：如图，取AC
中点
D
，
AB
中点
E
，并连接
O D
，
OE
，则：


OD
⊥
AC
，
OE
⊥
AB
；

∴
∴
＝
＝
＝
8
．

故选：
C
．

7
．给出下列五个命题：

①若
p
∨
q
为真命题，则
p
∧
q
为真命题 ；

②命题“∀
x
＞
0
，有
e
x
≥
1
”的否定为“∃
x
0
≤
0
，有＜
1< br>”；

”；



，

；

③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“
④在锐角△
ABC
中， 必有
sin
A
+sin
B
＞
cos
A
+c os
B
；

⑤
{
a
n
}
为等差数 列，若
a
m
+
a
n
＝
a
p
+a
q
（
m
，
n
，
p
，
q∈
N
*
），则
m
+
n
＝
p
+
q
其中正确命题的个数为（ ）

A
．
1

B
．
2

C
．
3

D
．
4

解：①若
p
∨
q
为真命 题的条件是
p
、
q
至少有一个是真命题，而
p
∧
q
为真命题的条件

为
p
、
q
两个都是真命题，所以 当
p
、
q
一个真一个假时，
p
∧
q
为假命 题，所以①不正确；

②命题“∀
x
＞
0
，有
e
x
≥
1
”的否定为“∃
x
0
＞
0
，有
③“平面向量与的夹角为钝角”⇒“
角可能为平角．

＜
1
”；因此

②不正确；

”；反之不成立，平 面向量与的夹
∴“平面向量与的夹角为钝角”的必要不充分条件是“
④因为在锐角三角形中，∴ π＞
A
+
B
＞
所以有
sin
A
＞
sin
（
，有＞
A
＞
”；因此不正确．

﹣
B
＞
0
，

﹣
B
）＝
cos
B
，即
sin
A
＞
cos
B
，同理
sin
B
＞
cos
A
，

故
si n
A
+sin
B
＞
cos
A
+cos
B< br>，所以

④正确；

⑤若等差数列
{
a
n< br>}
为常数列，则
m
+
n
＝
p
+
q< br>不一定成立，∴命题不正确．

综上可得：只有④正确．

故选：
A
．

8
．已知定义在（
0
，+
∞）上的函数
f
（
x
），恒为正数的
f
（< br>x
）符合
f
（
x
）＜
f
′（
x）＜
2
f
（
x
），则
A
．（
e
，
2
e
）

解：令
g
（
x
）＝
的取值范围为（ ）

B
．

C
．（
e
，
e
3
）

D
．

，
x
∈（
0
，
+
∞），

∵∀< br>x
∈（
0
，
+
∞），
f
（
x
）＜
f
′（
x
），

∴
g
′（
x
）＝＝＞
0
，

∴< br>g
（
x
）＝
∴
g
（
1
）＝
∴

在区间（
0
，
+
∞）上单调递增，

＜＝
g
（
2
），

＜①；

，
x
∈（
0
，
+
∞），

再令< br>h
（
x
）＝
∵∀
x
∈（
0
，
+
∞），
f
′（
x
）＜
2
f
（
x
）恒成立，

∴
h
′（
x
）＝＝＜
0
，

∴函 数
h
（
x
）在
x
∈（
0
，
+∞）上单调递减，

∴
h
（
1
）＝∴＞
＞
②，

＜
＝
h
（
2
），

综上①②可得：
故选：
D
．

＜．

9< br>．已知点
A
（
0
，
2
），抛物线
C
：
y
2
＝
4
x
的焦点为
F
，射线
FA
与抛物线
C
相交于点
M
，
与其准线相交于点
N
，则
|
FM
|
：
|
MN
|
＝（ ）

A
．
2
：

B
．
1
：
2

C
．
1
：

D
．
1
：
3

解：∵抛物线
C
：
y
2
＝
4
x
的焦点为
F
（
1，
0
），点
A
坐标为（
0
，
2
），< br>
∴抛物线的准线方程为
l
：
x
＝﹣
1
，直 线
AF
的斜率为
k
＝﹣
2
，

过
M
作
MP
⊥
l
于
P
，根据抛物线物定义得
|
FM
|
＝
|
PM
|
，

∵Rt
△
MPN
中，
tan
∠
NMP
＝﹣
k
＝
2
，

∴＝
2
，可得
|
P N
|
＝
2|
PM
|
，

＝
|
PM
|
，

．

得
|
MN
|
＝
因此可得
|
FM
|
：
|
MN
|
＝
|
PM
|
：
|
MN< br>|
＝
1
：
故选：
C
．


10
．定义
项的“均倒数”为
A
．

为
n
个正数
p
1
，
p
2
，…
p
n的“均倒数”．若已知数列
{
a
n
}
的前
n
， 又
B
．

，则
C
．

D
．
＝（ ）

解：由已知得
∴
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
＝
n
（
2
n
+1
）＝
S
n
，

当
n
≥
2
时，
a
n< br>＝
S
n
﹣
S
n
﹣
1
＝
4< br>n
﹣
1
，验证知当
n
＝
1
时也成立，

∴
a
n
＝
4
n
﹣
1
，

∴
∴
∴
＝．

，


＝
+
（
+
…
+
）（）＝
1
﹣
故选：
C
．

11
．对于任意的实数
x
∈
[1
，
e
]
，总存在三个不同的实数
y
∈
[
﹣
1
，
5]
，使得
y
2
xe
1
﹣
y< br>﹣
ax
﹣
lnx
＝
0
成立，则实数
a
的取值范围是（ ）

A
．（
C
．（
0
，
]

]

B
．
[
D
．
[
）

）

解：
y
2
xe
1
﹣
y
﹣
ax
﹣
lnx
＝
0
可化为：，

设< br>g
（
y
）＝（﹣
1
≤
y
≤
5
），

则
g
′（
y
）＝，

即函数g
（
y
）在（﹣
1
，
0
），（
2，
5
）为减函数，在（
0
，
2
）为增函数，

又
g
（﹣
1
）＝
e
2
，
g
（
2
）＝，
g
（
5
）＝
设
f
（
x
）＝
a
+
f
′（
x
）＝
（x
∈
[1
，
e
]
），

，

，

即函数
f
（
x
）在
[1
，< br>e
]
为增函数，

所以
a
≤
f
（< br>x
）≤
a
，

对于任意的实数
x
∈
[1
，
e
]
，总存在三个不同的实数
y
∈
[
﹣
1
，
5]
，使得
y
2
xe
1
﹣
y
﹣
ax
﹣
lnx

＝
0
成立，

即对于任意的实数
x
∈
[1
，
e
]
，总存在三个不同的实数
y
∈
[
﹣
1
，
5]
，使得
立，

即
a
+
∈
[
， ）对于任意的实数
x
∈
[1
，
e
]
恒成立，

成
即，

即
故选：
B
．

，


12
．如图，在正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
H
⊥平面
AB
1
D
1
，垂足为
H，给出下面结论：
①直线
A
1
H
与该正方体各棱所成角相等；< br>
②直线
A
1
H
与该正方体各面所成角相等；

③过直线
A
1
H
的平面截该正方体所得截面为平行四边形；

④垂直于直线
A
1
H
的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，< br>
其中正确结论的序号为（ ）


A
．①③

B
．②④

C
．①②④

D
．①②③

解：如图，在正方体
ABCD
﹣
A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
H
⊥平面
AB
1
D
1
，垂足为
H
，

连接
A
1
C
，可得
A
1
C< br>⊥
AB
1
，
A
1
C
⊥
AD
1
，即有
A
1
C
⊥平面
AB
1
D
1
，

直线
A
1
H
与直线
A
1< br>C
重合，

直线
A
1
H
与该正方体各棱所成 角相等，均为
arctan
直线
A
1
H
与该正方体各面所成 角相等，均为
arctan
，故①正确；

，故②正确；

过直线
A
1
H
的平面截该正方体所得截面为
A
1
A CC
1
为平行四边形，故③正确；

垂直于直线
A
1
H
的平面与平面
AB
1
D
1
平行，截该正方体，

所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．

故选：
D
．


二、填空题（共
4
小题， 每小题
5
分，满分
20
分）

13
．有一个底面圆 的半径为
1
，高为
2
的圆柱，点
O
1
，
O
2
分别为这个圆柱上底面和下底面
O
2
的距离都大于
1的概率为 的圆心，在这个圆柱内随机取一点
P
，则点
P
到点
O
1
，

．
解：∵到点
O
1
的距离等于< br>1
的点构成一个半个球面，到点
O
2
的距离等于
1
的 点构成一
个半个球面，两个半球构成一个整球，如图，

点
P
到点< br>O
1
，
O
2
的距离都大于
1
的概率为：
P
＝＝＝
1
﹣＝；

故答案为：


14
．在数列
{
a
n
}
中，若函数
f（
x
）＝
sin2
x
+2
n
﹣
2n
2
，则
a
n
＝
2
n
2
+
n
．

解：
f
（
x
）＝
sin2
x
+2
当
2
x
+
φ＝
2
k
π
+
cos2
x
的最大值是
a
1
，且
a
n
＝（
a
n
+1﹣
a
n
﹣
2
）
cos2
x
＝
3sin
（
2
x
+
φ），

，
k
∈
Z
，
f
（
x
）取得最大值
3
，

∴
a
1
＝
3
．
a
n
＝（
a
n
+1
﹣
a
n
﹣
2
）
n
﹣
2
n
2
，

∴
na
n
+1< br>＝（
n
+1
）
a
n
+2
n
2
+2
n
，
∴
a
n
＝
n
[3+2
（
n
﹣
1
）
]
＝
2
n
2
+
n
，

﹣＝
2
，

故答案为：
2
n
2
+
n
．

15
．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约
之为实一为从 隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是
，共中
a
、
b
、
c
是△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边．若
sin
C
＝
2sin
A
cos
B
，且
b
2
，
2
，
c
2
成等差数 列，则△
ABC
面积
S
的最大值为
解：
sin
C
＝
2sin
A
cos
B
，∴
c
＝
2
a
cos
B
．

因此
c
＝
2
a
•，



∵
b
2
，
2
，
c
2
成等差数列∴
b
2
+
c
2
＝
4
，

即有a
2
＝
b
2
＝
4
﹣
c
2，

因此
S
＝＝＝
，

当
c
2
＝即
c
＝时，
S
取得最大值×
，

＝，

即△
ABC
面积
S
的最大值为
故答案为：．
16
．过曲线的左焦点
F
1
作曲线的切线，
设切点为
M
，延长
F
1
M
交曲线
的焦点，若，则曲线
C
1
的离心率为
于点
N
，其中
C
1
，
C
3
有一个共同
．

解：设双曲线的右焦点为
F
， 则
F
的坐标为（
c
，
0
），

∵曲线C
1
与
C
3
有一个共同的焦点，∴
y
2
＝
4
cx
，

∵，∴＝，

则
M
为
F
1
N
的中点，

∵O
为
F
1
F
的中点，
M
为
F
1
N
的中点，∴
OM
为△
NF
1
F
的中位 线，

∴
OM
∥
PF
，

∵
|
OM
|
＝
a
，∴
|
NF
|< br>＝
2
a
又
NF
⊥
NF
1
，
|
F
1
F
|
＝
2
c
，∴
|NF
1
|
＝
2
b
，

设
N< br>（
x
，
y
），则由抛物线的定义可得
x
+
c
＝
2
a
，

∴
x
＝
2
a
﹣
c
过点
F
1
作
x
轴的垂线，点
N
到该垂线的距离为
2
a< br>．

由勾股定理

y
2
+4
a
2< br>＝
4
b
2
，即
4
c
（
2
a
﹣
c
）
+4
a
2
＝
4
（
c
2
﹣
a
2
），

得
e
2
﹣
e
﹣
1
＝
0
，

∴
e
＝
故答案为：
．

．

< br>三、解答题：（共
5
小题，共
70
分，解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤．）

17
．如图，在△
ABC
中，内角
A，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，c
，已知
c
＝
4
，
b
＝
2
，
2
c
cos
C
＝
b
，
D
，
E
分别为线段
BC
上的点，且
BD
＝
CD
，∠< br>BAE
＝∠
CAE
．

（
1
）求线段
AD
的长；

（
2
）求△
ADE
的面积．


解：（< br>1
）根据题意，
b
＝
2
，
c
＝
4< br>，
2
c
cos
C
＝
b
，则
cos< br>C
＝
又由
cos
C
＝＝＝，

＝；

解可得
a
＝
4
，

即
BC
＝
4
，则
CD
＝
2
，

在△
ACD
中，

由余弦定理得：
AD
2
＝
AC
2
+
CD
2
﹣
2
AC
•< br>CD
cos
C
＝
6
，

则
AD
＝；

（
2
）根据题意，
AE
平分∠
BAC
，

则＝＝，

变形可得：
CE
＝
BC
＝，

cos
C
＝，则
sin
C
＝＝，

﹣×
2
××＝．
S
△
ADE
＝
S
△
ACD
﹣
S
△
ACE
＝×
2
×
2
×
18
．如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，底 面
ABCD
是边长为
2
的菱形，∠
DAB
＝
60< br>°，∠
ADP
＝
90
°，平面
ADP
⊥平面
ABCD
，点
F
为棱
PD
的中点．

（Ⅰ）在棱< br>AB
上是否存在一点
E
，使得
AF
∥平面
PCE，并说明理由；

（Ⅱ）当二面角
D
﹣
FC
﹣
B
的余弦值为时，求直线
PB
与平面
ABCD
所成的角．


解：（Ⅰ）在棱
AB
上存在点
E
，使得
AF∥平面
PCE
，点
E
为棱
AB
的中点．
理由如下：取
PC
的中点
Q
，连结
EQ
、
FQ
，

由题意，
FQ
∥
DC
且
FQ
＝
CD
，

AE
∥
CD
且
AE
＝
CD
，
< br>故
AE
∥
FQ
且
AE
＝
FQ
．
所以，四边形
AEQF
为平行四边形
.3
分

所以，
AF
∥
EQ
，又
EQ
⊂平面
PEC
，
AF
α平面
PEC
，

所以，
AF
∥平面
PEC
.5
分

（Ⅱ） 由题意知△
ABD
为正三角形，所以
ED
⊥
AB
，亦即ED
⊥
CD
，

又∠
ADP
＝
90
°，所以
PD
⊥
AD
，且平面
ADP
⊥平面
ABCD
，

平面
ADP
∩平面
ABCD
＝
AD
，
< br>所以
PD
⊥平面
ABCD
，故以
D
为坐标原点建立如 图空间直角坐标系，
7
分

设
FD
＝
a
， 则由题意知
D
（
0
，
0
，
0
），
F
（
0
，
0
，
a
），
C
（
0
，
2
，
0
），
B
（
＝（
0< br>，
2
，﹣
a
），＝（），


，
1
，
0
），
设平面
FBC
的法向量为＝（
x
，
y
，
z
），

则由，令
x
＝
1
，则
y
＝，
z
＝，

所以取＝（
1
，，），平面
DFC
的法向量＝（
1
，
0
，
0< br>），

，
l
因为二面角
D
﹣
FC
﹣
B
的余弦值为
所以由题意：
|cos
＜＞
|
＝＝ ＝，解得
a
＝
.10
分

由于
PD
⊥平面
ABCD
，所以
PB
在平面
ABCD
内的射影为
B D
，

所以∠
PBD
为直线
PB
与平面
A BCD
所成的角，

由题意知在
Rt
△
PBD
中，
tan
∠
PBD
＝＝
a
＝，从而∠
PBD
＝
60
°，

所以直线
PB
与平面
ABCD
所成的角为
60
°
.12
分


19
． 如图，
A
为椭圆
两点，
C
是
AB
的中点．

的左顶点，过
A
的直线交抛物线
y
2
＝
2
px
（
p
＞
0
）于
B
、
C
（1
）求证：点
C
的横坐标是定值，并求出该定值；

（
2
）若直线
m
过
C
点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于M
、
N
两点，求
p
的
值，使得△
BMN
的面积最大．

解：（
1
）由题意可知
A
（﹣
2
，
0
），设
B
（
x
1< br>，
y
1
），
C
（
x
2
，
y
2
），

∵过
A
的直线
l
交抛物线于两点 ，∴直线
l
的斜率存在且不为
0
，设
l
：
x
＝
my
﹣
2
，

联立方程，消去
x
得，
y
2
﹣
2
pmy
+4
p
＝
0，

∴
y
1
+
y
2
＝
2pm
，
y
1
y
2
＝
4
p
，< br>
∵点
C
是
AB
的中点，∴
y
1
＝
2
y
2
，∴
∴
4
p
＝
∴
x
2
＝
my
2
﹣
2
＝
，∴
，，< br>
，∴
2
pm
2
＝
9
，

﹣
2
＝
1
，

∴点
C
的横坐标为定值
1
；

（
2
）直线
m
的倾斜角和直线
l
的倾斜角互补，所以直线
m
的 斜率和直线
l
的斜率互为相
反数，

又点
C
（1
，），所以设直线
m
的方程为：
x
＝﹣
m
（
y
﹣）
+1
，即
x
＝﹣
my
+4
，
设
M
（
x
1
，
y
2
），
N
（
x
2
，
y
2
），

联立方 程，消去
x
得，（
m
2
+2
）
y
2
﹣
8
my
+12
＝
0
，

∴△＝（8
m
）
2
﹣
48
（
m
2
+2
）＝
16
m
2
﹣
96
＞
0
，解得
m
2
＞
6
，

∴
∴
|
MN
|
＝
，，

＝＝
4
，

∵点
C
是
AB
的中点 ，∴
S
△
BMN
＝
S
△
AMN
，

设点
A
（﹣
2
，
0
）到直线
MN
的距离为
d
，则
d
＝＝，

∴
S< br>△
BMN
＝
S
△
AMN
＝＝
4
×＝
12
令
t
＝
m
2
﹣
6
，

∴
S
△
BMN
＝
12
，

＝12
≤
12
＝，当且仅当
t
＝，
即
t
＝
8
，
m
2
＝
14
时，等号成立，
∴
2
p
×
14
＝
9
，∴
p
＝ ．

20
．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首 先在已投
放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个
阶段．在随机问卷阶段，
A
，
B
两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及 时收回；在
整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对
15
至
45
岁的人群，按比例
随机抽取了
300
份，进行了数据统计，具体情况如表 ：

组别

年龄

[15
，
25
）

[25
，
35
）

[35
，
45
）

A
组统计结果

经常使用单车

27
人

23
人

20
人

偶尔使用单车

13
人

17
人

20
人

B
组统计结果

经常使用单车

偶尔使用单车

40
人

35
人

35
人

20
人

25
人

25
人

（
1
）先用分 层抽样的方法从上述
300
人中按“年龄是否达到
35
岁”抽出一个容量为< br>60
人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到
35
岁”的被抽个体数分配到 “经常使用单
车”和“偶尔使用单车”中去．

①求这
60
人中“年 龄达到
35
岁且偶尔使用单车”的人数；

②为听取对发展共享单车的建议， 调查组专门组织所抽取的“年龄达到
35
岁且偶尔使
用单车”的人员召开座谈会，会后 共有
3
份礼品赠送给其中
3
人，每人
1
份（其余人员
仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有
4
人来自
A
组，求
A
组这
4
人
中得到礼品的人数
X
的分布列和数学期 望；

（
2
）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车 与年龄（记作
m
岁）有关”的结
论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯 错误的概率尽可能小，年龄
m
应
取
25
还是
35
？ 请通过比较
K
2
的观测值的大小加以说明．

参考公式：
K
2
＝
解：（
1
）①由分层抽样性质得：

从
300
人中抽取
60
人，其中“年龄达到
35
岁“的人数为：100
×
”年龄达到
35
岁”中偶而使用单车的人数为：＝
9< br>人．

＝
20
人，

，其中
n
＝< br>a
+
b
+
c
+
d
．

②< br>A
组这
4
人中得到礼品的人数
X
的可能取值为
0，
1
，
2
，
3
，

P
（
X
＝
0
）＝＝，

P
（
X
＝
1
）＝＝，

P
（
X
＝
2
）＝＝，

P
（
X
＝
3
）＝＝，

∴
X
的分布列为：


X

P
∴
E
（
X
）＝

0


1


＝．


2



3


（
2
）按“年龄是否达到
35
岁”对数据进行整理，得到如下列联表：



未达到
35
岁


达到
35
岁


合计

m
＝
35
时，
K
2
的观测值：

k
1
＝＝＝．


经常使用单车

125

55

180


偶尔使用单车

75

45

120


合计

200

100

300

m
＝
25
时，按“年龄是否达到
25
岁”对数据进行整理，得到如下列联表：



未达到
25
岁


达到
25
岁


合计

m
＝
25
时，
K
2
的观测值：

k
2
＝
k
2
＞
k
1
，

欲使犯错误的概率尽量小，需取
m
＝
25
．

21
．已知函数
f
（
x
）＝
e
x
﹣
a x
2
﹣
bx
﹣
1
，其中
a
，
b< br>∈
R
，
e
＝
2.71828
…为自然对数的底数．< br>
（
1
）设
g
（
x
）是函数
f（
x
）的导函数，求函数
g
（
x
）在区间
[0
，
1]
上的最小值；

（
2
）若
f
（
1
）＝
0
，函数
f
（
x
）在区间（< br>0
，
1
）内有零点，求
a
的取值范围．

解 ：∵
f
（
x
）＝
e
x
﹣
ax
2< br>﹣
bx
﹣
1
，∴
g
（
x
）＝
f
′（
x
）＝
e
x
﹣
2
ax
﹣
b
，

又
g
′（
x
）＝
e
x
﹣
2
a
，
x
∈
[0
，
1]< br>，∴
1
≤
e
x
≤
e
，

∴ ①当时，则
2
a
≤
1
，
g
′（
x
）＝
e
x
﹣
2
a
≥
0
，

＝，


经常使用单车

67

113

180


偶尔使用单车

33

87

120


合计

100

200

300

∴函数
g
（
x
）在区间
[0
，
1]
上单调递增，
g
（
x
）
min
＝
g
（
0
）＝< br>1
﹣
b
；

②当，则
1
＜
2
a
＜
e
，
∴当
0
＜
x
＜
ln
（
2
a
） 时，
g
′（
x
）＝
e
x
﹣
2
a< br>＜
0
，当
ln
（
2
a
）＜
x
＜
1
时，
g
′（
x
）＝
e
x
﹣
2
a
＞
0
，

∴函数
g
（
x
）在区间
[0
，
ln
（
2
a
）
]
上单调递减，在区间
[
ln
（
2
a
），
1]
上单调递增，

g
（
x
）
min
＝
g
[
ln
（
2
a
）
]
＝
2
a
﹣
2
aln
（
2
a
）﹣
b< br>；

③当时，则
2
a
≥
e
，
g′（
x
）＝
e
x
﹣
2
a
≤
0
，

∴函数
g
（
x
）在区间
[0
，
1]
上单调递减，
g
（
x
）
min
＝< br>g
（
1
）＝
e
﹣
2
a
﹣
b
，

综上：函数
g
（
x
）在区间
[0，
1]
上的最小值为
；

（
2
）由
f
（
1
）＝
0
，⇒
e
﹣
a< br>﹣
b
﹣
1
＝
0
⇒
b
＝
e< br>﹣
a
﹣
1
，又
f
（
0
）＝
0
，

若函数
f
（
x
）在区间（
0
，
1
）内有零点，则函数
f
（
x
）在区间（
0< br>，
1
）内至少有三个单
调区间，

由（
1
） 知当
a
≤或
a
≥时，函数
g
（
x
）在区间
[0
，
1]
上单调，不可能满足“函数
f
（
x）在区间（
0
，
1
）内至少有三个单调区间”这一要求．

若
令
h
（
x
）＝
则
＜

）上单调递增，在区间（
＝
，
e
）上单调递减，

＜
0
，即
g
min
（
x
）＜
0
恒成立，

，则
g
min
（
x
）＝
2
a
﹣
2
aln
（
2
a
）﹣
b
＝
3
a
﹣
2
aln
（
2
a
）﹣
e
+1


（
1
＜
x
＜
e
）

＝，∴．由＞
0
⇒
x
∴
h
（
x
）在区间（
1< br>，
＝
∴函数
f
（
x
）在区间（
0
，
1
）内至少有三个单调区间⇔⇒

，
又，所以
e
﹣
2
＜
a
＜
1
，

综上得：
e﹣
2
＜
a
＜
1
．

另解：由
g
（
0
）＞
0
，
g
（
1
）＞0
解出
e
﹣
2
＜
a
＜
1
，

再证明此时
f
（
x
）
min
＜
0
由于
f
（
x
）最小时，
f
'
（
x
）＝
g
（
x
）＝
e
x
﹣
2
ax
﹣
b
＝
0
，

故有
e
x
＝
2
ax
+
b
且
f
（
1
）＝0
知
e
﹣
1
＝
a
+
b
，
则
f
（
x
）
min
＝
2
a x
+
b
﹣
ax
2
﹣（
e
﹣
1﹣
a
）
x
﹣
1
＝﹣
ax
2
+
（
3
a
+1
﹣
e
）
x
+
e
﹣
a
﹣
2
，

开口向下，最大值（
5< br>a
2
﹣（
2
e
+2
）
a
+
e
2
﹣
2
e
），分母为正，

只需看分子正负，分 子＜
5
﹣（
2
e
+2
）
+
e
2< br>﹣
2
e
（
a
＝
1
时取最大）＝
e< br>2
﹣
4
e
+3
＜
0
，

故
f
（
x
）
min
＜
0
，

故

e
﹣
2
＜
a
＜
1
．

（ 二）选考题，满分共
10
分，请考生在
22.23
题中任选一题作答，如果多 做，则按所做的
第一题计分．答时用
2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
[
选修
4-4
：坐标系与参数方
程
]

22．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
1
过原点且倾斜角为α（
0
）．以坐标原点

O
为极点，
x
轴正半轴为 极轴建立坐标系，曲线
C
1
的极坐标方程为ρ＝
2cos
θ．在平面 直
角坐标系
xOy
中，曲线
C
2
与曲线
C
1
关于直线
y
＝
x
对称．

（Ⅰ）求曲线
C
2
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线
l
2
过原点且倾斜角为，设直线
l
1
与曲线
C
1< br>相交于
O
，
A
两点，直
线
l
2
与曲 线
C
2
相交于
O
，
B
两点，当α变化时，求△AOB
面积的最大值．

解：（Ⅰ）由题可知，
C
1
的 直角坐标方程为：
x
2
+
y
2
﹣
2
x＝
0
，

设曲线
C
2
上任意一点（
x
，
y
）关于直线
y
＝
x
对称点为（
x0
，
y
0
），

∴，

又∵，即x
2
+
y
2
﹣
2
y
＝
0，

∴曲线
C
2
的极坐标方程为：ρ＝
2sin
θ；

（Ⅱ）直线
l
1
的极坐标方程为：θ＝α，直线
l
2
的极坐标方程为：．
设
A
（ρ
1
，θ
1
），B
（ρ
2
，θ
2
）．

∴，解得ρ
1
＝
2cos
α，

，解得．

∴

＝．

∵
0
≤α＜，∴＜．

当，即时，
sin
（）＝
1
，

S
△
AOB
取得最大值为：．

[
选修
4 --5
：不等式选讲
]

23
．已知函数
f
（x
）＝
|
ax
+1|+|2
x
﹣
1|
．

（
1
）当
a
＝
1
时，求不等式
f
（
x
）＞
3
的解集；

（
2
）若
0
＜
a
＜
2
，且对任意
x
∈
R
，恒成立，求
a
的最小值．


＝

解：（
1
）当
a
＝
1
时，
f
（
x
）＝
|
x
+1|+|2
x
﹣
1|
，
即；

解法一：作函数
f
（
x
）＝
|
x
+1|+|2
x
﹣
1|
的图象，它与直线
y< br>＝
3
的交点为
A
（﹣
1
，
3
），< br>B
（
1
，
3
），

如图所示；
< br>所以，
f
（
x
）＞
3
的解集为（﹣∞，﹣
1
）∪（
1
，
+
∞）；

解法二：原不等式
f
（
x
）＞
3
等价于
解得：
x
＜﹣
1
或无解或
x
＞
1
，

所以，
f
（
x
）＞
3
的解集为（﹣∞，﹣
1
）∪（
1，
+
∞）；

（
2
）由
0
＜
a
＜
2
，得﹣＜，
a
+2
＞
0
，且
a
﹣
2
＜
0
；

或或，

所以
f
（
x
）＝
|
ax
+1|+|2
x
﹣
1|
＝，

所以函数
f
（
x
）在
上单调递增；

所以 当
上单调递减，在上单调递减，在
时，
f
（
x
）取得最小值 ，且
恒成立，所以
；

；

因为对∀
x
∈
R
，
又因为
a
＞
0
，所以
a
2< br>+2
a
﹣
3
≥
0
，解得
a
≥
1
（
a
≤﹣
3
不合题意），

所以
a
的最小值为
1
．