藿香正气水的功效-阑珊是什么意思

2017年河南省许昌市高考数学三模试卷（文科）



一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知集合A={ x|y=ln（x﹣1）}，B={x|﹣1＜x＜2}，则（∁
R
A）∩B=（ ）

A．（﹣1，1）

B．（﹣1，2）

C．（﹣1，1]

D．（1，2）

2．（5分）已知复数z满足
A．4+3i

•z=3+4i，则z的共轭复数为（ ）

C．﹣4﹣3i

”的（ ）条件．

B．必要不充分

B．﹣4+3i

＞
D．4﹣3i

3．（5分）“2
a
＞2
b
＞1”是“
A．充要

C．充分不必要

D．既不充分也不必要

4．（5分）已知一种腌菜食品按行业生产标准分为A，B，C三个等级，现针对某
加工厂同一批次的 三个等级420箱腌菜进行质量检测，采用分层抽样的方法
进行抽取．设从三个等级A，B，C中抽取的 箱数分别为m，n，t，若2t=m+n，
则420箱腌菜中等级为C级的箱数为（ ）

A．110

B．120

C．130

D．140

5．（5分）函数f（x）=•sin（cosx）的图象大致为（ ）

A．

B．
第1页（共26页）

C．

D．
6．（5分）若a=sin3，b=sin1.5，c=cos8.5，执行如图所示的程序框图，输出的是
（ ）


A．c

B．b

﹣
C．a

=1（a＞0，b＞0）与椭圆
D．
+

7．（5分）已知双曲线C：=1的焦点重
合，离心率互为倒数，设F
1
，F
2
为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意
一点，则的最小值为（ ）

第2页（共26页）

A．4

B．8

C．16

D．32

8．（5分）在 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱
锥称为阳马，将四个面都为直角三角形 的四面体称为鳖臑，某几何体τ的三
视图如图所示，将该几何体分别沿棱和表面的对角线截开可得到到一 个鳖臑
和一个阳马，设V表示体积，则V
τ
的外接球
：V
阳马
：V
鳖臑
=（ ）


A．9π：2：1


B．3

π：3：1

C．3π：2：1
D．3π：1：1
9．（5分）若将函数f（x）=的正零点从小到大依次排成
一列，得到 数列{a
n
}，n∈N*，则数列{（﹣1）
n
+
1
an
}的前2017项和为（ ）

A．4032

B．2016

C．4034

D．2017

，M为DC的中点，
•=（ ）

D．6

10．（5 分）在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠A=
N为平面ABCD内一点，若|
A．16

B．12

﹣|=|﹣
C．8

|，则
11．（5分）已知倾斜角为的直线l过抛物线C：y
2
=2px（p＞0）的焦点F ，抛
物线C上存在点P与x轴上一点Q（5，0）关于直线l对称，则P=（ ）

A．

B．1

C．2

D．4

）的 图象过点B（0，12．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
﹣1） ，且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与
第3页（共26页）

原来的图象重合，当x
1
，x
2
∈（﹣< br>则f（x
1
+x
2
）=（ ）

A．﹣



，﹣），且x
1
≠x
2
时， f（x
1
）=f（x
2
），
B．﹣1

C．1

D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）若函数y=2x
3
+1与y=3x
2
﹣b的图象在一个公共点处的切线相同，则
实数 b= ．

14．（5分）如图将边长为1的正六边形ABCDEF绕着直线l旋转1 80°，则旋转所
形成的几何体的表面积为


15．（5分）已 知等比数列{a
n
}满足a
2
a
5
=2a
3
，且a
4
，，2a
7
成等差数列，则a
1
a
2< br>a
3
…a
n
的最大值为 ．

16．（5分）已知不等式组表示的平面区域的面积为，则实数
k= ．



三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）已知 角A，B，C为等腰△ABC的内角，设向量=（2sinA﹣sinC，sinB），
=（cosC， cosB），且∥，BC=
（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）在△ABC的外接圆的劣弧
形ABCD的面积．

18．（12分）某 商家在网上销售一种商品，从该商家的销售数据中抽取6天的价
第4页（共26页）


上取一点D，使得AD=1，求sin∠DAC及四边

格与销量的对应数据，如下表所示：

价格x（百元）

4

5

84

6

83

7

80

8

75

9

68

销量y（件天）

90
（Ⅰ）由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的
线性回归方程=x+ ，并预测当价格为1000元时，每天的商品的销量为多
少；

（Ⅱ）若以从这6天中随机抽取2天，至少有1天的价格高于700元的概率．

参考数据：x
i
y
i
=3050，x=271．

参考公式：==，=﹣．

19．（12分）如图，在几何体A
1
B
1
C
1
﹣ABC中，△ABC为等边三角形，AA
1
⊥平面
ABC，AA
1
∥BB
1
∥CC
1
，BB
1
：CC
1
：AA
1
=3：2：1

（Ⅰ）求证： 平面A
1
B
1
C
1
⊥平面A
1
ABB1
；

（Ⅱ）F为线段BB
1
上一点，当A
1
B
1
∥平面ACF时，求的值．


20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F
1
，F
2
，离心
率为．设过 点F
2
的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时， 直线TS与TR的斜率之和为定
值．

第5页（共26页）

21．（12分）已知函数f（x）=alnx，g（x）=x++f′（x）

（Ⅰ）讨论h（x）=g（x）﹣f（x）的单调性；

（Ⅱ）若h（x）的极值点为 3，设方程f（x）+mx=0的两个根为x
1
，x
2
，且≥
ea
，求证：


＞．

四、选修4-4：坐标系与参数方程

22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为，
（α为参数），A，B在曲线C上，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建 立
极坐标系，A，B两点的极坐标分别为A（ρ
1
，
（Ⅰ）求曲线C的极坐标 方程；

（Ⅱ）设曲线C的中心为M，求△MAB的面积．



五、解答题（共1小题，满分0分）

23．已知函数f（x）=|2x+a|+|2x﹣2b|+3

（Ⅰ）若a=1，b=1，求不等式f（x）＞8的解集；

（Ⅱ）当a＞0，b＞0时，若f（x）的最小值为5，求+的最小值．




），B（ρ
2
，）

第6页（共26页）

2017年河南省许昌市高考数学三模试卷（文科）

参考答案与试题解析



一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知集合A={ x|y=ln（x﹣1）}，B={x|﹣1＜x＜2}，则（∁
R
A）∩B=（ ）

A．（﹣1，1）


B．（﹣1，2）

C．（﹣1，1]

D．（1，2）

【分析】直接求解对数函数 化简集合A，然后求出∁
R
A，再由交集的运算性质计
算得答案．

【解答】解：∵A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），∴∁
R
A=（﹣∞，1]，

∵B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），∴（∁
R
A）∩B=（﹣∞ ，1]∩（﹣1，2）=（﹣1，
1]．

故选：C．

【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算和对数函数的性质，是基础题．



2．（5分）已知复数z满足
A．4+3i


•z=3+4i，则z的共轭复数为（ ）

C．﹣4﹣3i

D．4﹣3i

B．﹣4+3i

【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．

【解答】解：
∴z=
∴=4+3i，

故选：A．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．



3．（5分）“2
a
＞2
b
＞1”是“
A．充要

C．充分不必要


•z=3+4i，

===4﹣3i，

＞”的（ ）条件．

B．必要不充分

D．既不充分也不必要

第7页（共26页）

【分析】由“2
a
＞2
b
＞1 “⇒a＞b＞0，但是由“
可得出结论．

＞“⇒a＞b，不一定大于0．即
【解答】解：由“2
a
＞2
b
＞1“⇒a＞b＞0，但是由“
0．< br>
∴“2
a
＞2
b
＞1“是“
故选：C．

＞“的充分不必要条件．

＞“⇒a＞b，不一定大于
【点评】本题考查了函 数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计
算能力，属于基础题．



4．（5分）已知一种腌菜食品按行业生产标准分为A，B，C三个等级，现针对某
加工厂同一批次的三个等级420箱腌菜进行质量检测，采用分层抽样的方法
进行抽取．设从三个等级A ，B，C中抽取的箱数分别为m，n，t，若2t=m+n，
则420箱腌菜中等级为C级的箱数为（ ）

A．110


B．120

C．130

D．140

【分析】由2t=m+n，可知等级为C级的腌菜占全部箱数的，问题得以解决

【解答】解：由2t=m+n，可知等级为C级的腌菜占全部箱数的，

故420箱腌菜中等级为C级的箱数为420×=140，

故选：D．
< br>【点评】本题考查基本的分层抽样，属基本题．抽样在日常生活中经常用到，培
养学生从现实生活 或其他学科中提出具有一定价值的统计问题的能力．



5．（5分）函数f（x）=•sin（cosx）的图象大致为（ ）

第8页（共26页）

A．

B．

C．

D．


【分析】确定函数为奇函数，再利用排除法，可得结论．

【解答】解：由题意，f（﹣x）=
f（x），

∴f（x）为奇函数，排除A，

f（0）=0，排除D，f（
故选：B．

第9页（共26页）

=﹣•sin（cosx）=﹣
）=0，排除C，

【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形
结合的思维能力．


6．（5分）若a=sin3，b=sin1.5，c=cos8.5，执 行如图所示的程序框图，输出的是
（ ）


A．c


B．b

C．a

D．

【分析】分析该程序框图的功能是求三个数中的最大值，

比较a、b、c的大小即可．

【解答】解：根据题意，该程序框图的功能是求三个数中的最大值，

因为a=sin3＞0，

又a=sin（π﹣3）＜b=sin1.5，

c=cos8.5=sin（
所以c＜a＜b，

即最大值是b．

故选：B．

【点评】本题主要考查了程序框图和三角函数的诱导公式、单调性以及数 据处理
能力和逻辑推理能力．

第10页（共26页）

﹣8.5）＜0，

7．（5分）已 知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）与椭圆+=1的焦点重
合，离心率互为倒数，设F
1< br>，F
2
为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意
一点，则
A．4


的最小值为（ ）

B．8

C．16

D．32

【分析】由椭圆+=1，可得：焦点F1
（﹣1，0），F
2
（1，0），离心率为．双
曲线的离心率e=2= ，解得a=．设|PF
2
|=t．
+2，利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：由椭圆
为．

∴双曲线的离心率e=2=，解得a=．设|PF
2
|=t．

∴
等号．

∴的最小值为4．

===t++2≥
+
===t+
=1，可得：焦点F
1
（﹣1，0），F
2
（ 1，0），离心率
+2=4，当且仅当t=|PF
2
|=1时取
故选：A．< br>
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程与几何性质、基本不等式的性
质，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题．



8．（5分）在《九章算术》 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱
锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为 鳖臑，某几何体τ的三
第11页（共26页）

视图如图 所示，将该几何体分别沿棱和表面的对角线截开可得到到一个鳖臑
和一个阳马，设V表示体积，则Vτ
的外接球
：V
阳马
：V
鳖臑
=（ ）


A．9π：2：1



B．3

π：3：1

C．3π：2：1

D．3π：1：1
【分析 】首先还原几何体为三棱柱，根据数学文化得到一个鳖臑和一个阳马几何
体以及计算体积．

【解答】解：由已知得到几何体是以边长为2的等腰三角形为底面，高为2的三
棱柱，

其外接球的体积为=4，由题意，得到一个鳖臑的体积为
，

：2：1；

，一个阳马的体积为
所以V
τ
的外接球
：V
阳马
：V
鳖臑
=4
故选：C．

：：=3

第12页（共26页）

【 点评】本题考查了数学文化以及由几何体的三视图求相关几何体的体积；关键
是正确理解数学文化，正确 还原几何体．



9．（5分）若将函数f（x）=的正零点从小到大依次 排成
一列，得到数列{a
n
}，n∈N*，则数列{（﹣1）
n
+< br>1
a
n
}的前2017项和为（ ）

A．4032


B．2016

C．4034

D．2017

【分析】由题意知，函数f（x）的最小正周期T=2，且f（x） =0时，x=2k+2，k
∈Z，得到数列{a
n
}，的通项公式，再求出b
n
=（﹣1）
n
+
1
（2n﹣1），求出数列
的前2017 项和即可

【解答】解：由题意知，函数f（x）的最小正周期T=2，且f（x）=0时，x =2k+2，
k∈Z，

又∵x＞0，

∴a
n
=2n﹣1，（n∈N*），

设b
n
=（ ﹣1）
n
+
1
（2n﹣1），则数列{b
n
}的前n项和为 T
n
，

∴b
n
+b
n
+
1=（﹣1）
n
+
2
•2，

∴T
2017=T
2016
+2×2017﹣1=﹣1008×2+2×2017﹣1=2017，
故选：D．

【点评】本题考查了分段函数和周期函数的零点，等差数列，数列 求和，以及运
算求解能力，属于中档题．



10．（5分）在平 行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠A=
N为平面ABCD内一点，若|
A．16


，M为DC的中点，
•=（ ）

D．6

﹣|=|﹣
C．8

|，则
B．12

【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|
数量积公式计算即可

第13页（共26页）

|=||，再根据向量的

【解答】解：由|﹣|=|﹣|，可得||=||，

取AM的中点为O，连接ON，则ON⊥AM，

又
所以
=
•
+
=
，

=（+）
2
=（++•）=（4+×16+2×4
×）=6，

故选：D．


【点评】本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何 意义，运算求解能
力，属于中档题



11．（5分）已知倾斜角 为的直线l过抛物线C：y
2
=2px（p＞0）的焦点F，抛
物线C上存在点P与x 轴上一点Q（5，0）关于直线l对称，则P=（ ）

A．


B．1

C．2

D．4

【分析】设P（x< br>0
，y
0
），直线PQ的方程为y=﹣
结合抛物线的定义，即可得出结 论．

（x﹣5），由，
【解答】解：由题意，F（，0），设P（x
0，y
0
），

直线PQ的方程为y=﹣
∴3
又
=2px
0
，

=5﹣，

（x﹣5），∴，

联立解得x
0
=3，p=2，

故选：C．

第14页（共26页）

【点评】本题考查抛物线的方程 与性质，考查直线与抛物线的位置关系的运用，
属于中档题．



12．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
﹣1），且在（，
）的图象过点B（0，
）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与
，﹣），且x
1
≠x
2
时，f（x
1
）=f（x
2
）， 原来的图象重合，当x
1
，x
2
∈（﹣
则f（x
1
+x
2
）=（ ）

A．﹣


B．﹣1

C．1

D．

【分析】由题意求得 φ、ω的值，写出函数f（x）的解析式，求图象的对称轴，
得x
1
+x
2< br>的值，再求f（x
1
+x
2
）的值．

【解答】解：由函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象过点B（0，﹣1），

∴2sinφ=﹣1，解得sinφ=﹣，

又|φ|＜，∴φ=﹣，

）；

∴f（x）=2sin（ωx﹣
又f（x）的图象向左平移π个单位之后为

g（x）=2sin[ω（x+π）﹣]=2sin（ωx+ωπ﹣），

由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k，k∈Z；

又﹣≤=，

∴ω≤，∴ω=2；

），其图象的对称轴为x=
，﹣
）=﹣
）

]

第15页（共26页）
∴f（x）=2sin（2x﹣
当x
1
，x
2
∈（﹣
∴x
1
+x
2
=2×（﹣
∴f（ x
1
+x
2
）=f（﹣
=2sin[2×（﹣

+，k∈Z；

+=﹣，

），其对称轴为x=﹣3×
，

）﹣

=2sin（﹣
=﹣2sin
=﹣2sin
应选：B．


）

=﹣1．

【点评】本题主要考查了三角函数的图象变换和性质 的应用问题，也考查了运算
求解能力，是综合题．



二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）若函数y=2x
3
+1与y=3x
2
﹣b的图象在一个公共点处的切线相同，则
实数 b= 0或﹣1 ．


【分析】设公共切点的横坐标为x
0
，求出 函数的导数，由导数的几何意义，可得
6x
0
2
=6x
0
， 1+2x
0
3
=3x
0
2
﹣b，解方程即可得到所求b的值 ．

【解答】解：设公共切点的横坐标为x
0
，

函数y= 2x
3
+1的导数为y′=6x
2
，y=3x
2
﹣b的导数 为y′=6x，

由图象在一个公共点处的切线相同，可得：

6x
0
2
=6x
0
，1+2x
0
3
=3x
0< br>2
﹣b，

解得x
0
=0，b=﹣1或x
0
=1，b=0．

则b=0或﹣1．

故答案为：0或﹣1．

【点评】本题考查导数 的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及方程
的思想和运算能力，属于基础题．



14．（5分）如图将边长为1的正六边形ABCDEF绕着直线l旋转180° ，则旋转所
形成的几何体的表面积为 2

第16页（共26页）

【分析】由题意，所得几何体的表面积为一个圆柱和两 个圆锥的侧面积的和，即
可得出结论．

【解答】解：由题意，所得几何体的表面积为 一个圆柱和两个圆锥的侧面积的和，
所以S=
故答案为：2．

+2×=2．

【点评】本题考查侧面积的计算，考查学生的计算能力，确定由题意， 所得几何
体的表面积为一个圆柱和两个圆锥的侧面积的和是关键．


15．（5分）已知等比数列{a
n
}满足a
2
a
5
= 2a
3
，且a
4
，，2a
7
成等差数列，则a
1< br>a
2
a
3
…a
n
的最大值为 1024 ．


【分析】利用等比数列通项公式和等差数列定义列出方程组，求出首项和公比，
从而 得到
此能求出结果．

【解答】解：∵等比数列{a
n
}满足a2
a
5
=2a
3
，且a
4
，，2a
7
成等差数列，

，进而a
1
a
2
a
3…a
n
=2
4
+
3
+
2
+
1
+
…
+（
5
﹣
n
）
=，由
∴，< br>
解得
∴
，

，

第17页（共26页）

∴a
1
a
2
a
3…a
n
=2
4
+
3
+
2
+
1
+
…
+（
5
﹣
n
）
=
∴当n=4 或n=5时，

，

a
1
a
2
a
3
…a
n
取最大值，且最大值为2
10
=1024．

故答案为：1024．

【点评】本题考查等比数列、等差数列等基础知识，考查推理 论证能力、运算求
解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．



16．（5分）已知不等式组表示的平面区域的面积为，则实数k= 4 ．


【分析】由约束条件作出可行域，然后代入三角形面积公式求得实数k的值，．

【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，

如图所示，

由题意可知k＞0，可行域的三个顶点为A（0，0），

B（，），C（，
∵AB⊥BC，|AB|=
），

k，

k，

k×k=，

点C到直线AB的距离为
∴S
△
ABC
=AB•BC=×
解得k=4，

故答案为：4．


第18页（共26页）

【点评】本题主要考查了约束条件下函数的最值问题，以经济运算求解能力



三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）已知角A，B， C为等腰△ABC的内角，设向量=（2sinA﹣sinC，sinB），
=（cosC，cosB） ，且∥，BC=
（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）在△ABC的外接圆的劣弧
形ABCD的面积．



上取一点D，使得AD=1，求sin∠DAC及四边
【分析】（Ⅰ）利用向量共线的条件，即可求角 B；

（Ⅱ）求出CD，∠ADC=
的面积．

【解答】解：（Ⅰ） ∵向量=（2sinA﹣sinC，sinB），=（cosC，cosB），且∥，

∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB=sin（B+C），

∴2sinAcosB=sinA，

∴cosB=，

∵0＜B＜π，

∴B=；


，由正弦定理可得sin∠ DAC，即可求出四边形ABCD
（Ⅱ）根据题意及（Ⅰ）可得△ABC是等边三角形，∠ADC=△ADC中，由余弦定理可得
∴CD
2
+CD﹣6=0，

∴CD=2，

由正弦定理可得sin∠DAC=
∴四边形ABCD的面积．S=
=，

+
，

=．

【点评】本题考查向量共线条件的运用，考查余弦定理、正弦定理，属于中档题．

第19页（共26页）

18．（ 12分）某商家在网上销售一种商品，从该商家的销售数据中抽取6天的价
格与销量的对应数据，如下表 所示：

价格x（百元）

4

5

84

6

83

7

80

8

75

9

68

销量y（件天）

90

（Ⅰ）由表中数据 ，看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的
线性回归方程=x+，并预测当价格为10 00元时，每天的商品的销量为多
少；

（Ⅱ）若以从这6天中随机抽取2天，至少有1天的价格高于700元的概率．

参考数据：x
i
y
i
=3050，x=271．

参考公式：==，=﹣．


【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得y关于x的 线性回归方程=x+，并预测
当价格为1000元时，每天的商品的销量为多少；

（Ⅱ）求出基本事件的个数，即可得出相应的概率．

【解答】解：（Ⅰ）===﹣4，=80﹣（﹣4）
×6.5=106，

∴=﹣4x+106，

x=10时，=﹣40+106=66，即预测当价格为10 00元时，每天的商品的销量为66
件；

（Ⅱ）以从这6天中随机抽取2天，有
元，

第20页（共26页）

=15种，至少有1天的价格高于700

有﹣=9种，概率P==．

【点评】本题考查独立性检验知识的运用，考查概率的计算，属于中档题．



19．（12分）如图，在几何体A
1
B
1
C
1
﹣ABC中，△ABC为等边三角形，AA
1
⊥平面
ABC，AA
1
∥BB
1
∥CC
1
，BB
1
：CC
1：AA
1
=3：2：1

（Ⅰ）求证：平面A
1
B1
C
1
⊥平面A
1
ABB
1
；
（Ⅱ）F为线段BB
1
上一点，当A
1
B
1
∥平面AC F时，求的值．



【分析】（Ⅰ）：取A
1
B
1
，AB的中点M，N，连接C
1
M，CN，MN，只需证明四边
形C
1
MNC是平行四边形，即可得到C
1
M⊥平面A
1
ABB
1
，平面A
1
B
1
C
1
⊥平面
A1
ABB
1

（Ⅱ）可得四边形A
1
AFB
1
是平行四边形，即B
1
F=AA
1
，由BB
1
：A A
1
=3：1，得
=．

【解答】解：（Ⅰ）证明：取A
1
B
1
，AB的中点M，N，连接C
1
M，CN，MN，
< br>∴AA
1
∥BB
1
∥MN，CC
1
∥MN；

又因为
所以
，BB
1
：CC
1
：AA
1< br>=3：2：1

，即四边形C
1
MNC是平行四边形，∴C
1
M∥CN
< br>又AA
1
⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面A
1
ABB
1< br>，

∵平面A
1
B
1
C
1
∩平面A
1
ABB
1
=AB，又CN⊥AB，∴CN⊥平面A
1
AB B
1

∴C
1
M⊥平面A
1
ABB
1
，又C
1
M平面A
1
B
1
C
1

∴平面A
1
B
1
C
1
⊥平面A
1
ABB
1

第21页（共26页）

（ Ⅱ）∵A
1
B
1
∥平面ACF，A
1
B
1
⊂平面A
1
ABB
1
，面ACF∩平面A
1
ABB
1
，∴A
1
B
1
∥
AF．

又AA
1
∥BB
1
，所以四边形A
1
AFB
1
是平行四 边形，∴B
1
F=AA
1
，因为BB
1
：AA
1< br>=3：
1．

∴=，


【点评】本题考查了空间面面平行的判定，线面平行的性质，转化思想，属于中
档题，



20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F
1
，F
2
，离心
率为．设过点F
2
的直线l被椭圆C截得的 线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，直线TS与TR的斜率之和为定
值．


【分析】（Ⅰ）由题意可知：a=2c，
求得椭圆方程；

=3， 且a
2
=b
2
+c
2
，即可求得a和b的值，
（Ⅱ ）分类讨论，当直线l不垂直与x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦
达定理及直线的斜率公式，即 可求得k
TR
+k
TS
=0，即可证明直线TS与TR的斜
率之和为 定值．

【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e==，则a=2c，将x=c代入椭圆方程，

解得：y=±，|RS|==3，

第22页（共26页）

由a
2
=b
2
+c
2
， 则a=2，b=
∴椭圆的标准方程为
，c=1，

；

（Ⅱ）证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0，

当直线 l不垂直与x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），R（x
1
，y
1
） ，S（x
2
，
y
2
），

，整理得：（3+4k< br>2
）x
2
﹣8k
2
x+4k
2
x+4k2
﹣12=0，

△=64k
4
﹣4（3+4k
2）（4k
2
﹣12）=k
2
+1＞0恒成立，

x1
+x
2
=，x
1
x
2
=，

由k
TR
+k
TS
=+，TR，TS的斜率存在，

由R，S两点的直线y=k（x﹣1），

故y
1
=k（x
1
﹣1），y
2
=k（x
2
﹣1），

则=，

由2x
1
x
2
﹣5（x
1
+x
2
）+8=2×
∴k
TR
+k
TS
=0，< br>
∴直线TS与TR的斜率之和为0，

﹣5×+8=0，

综上所述，直线TS与TR的斜率之和为为定值，定值为0．

【点评】本题考查椭圆 的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考
查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力， 属于中档题．



21．（12分）已知函数f（x）=alnx，g（x）=x++f′（x）

（Ⅰ）讨论h（x）=g（x）﹣f（x）的单调性；

（Ⅱ）若h（x）的极值点为 3，设方程f（x）+mx=0的两个根为x
1
，x
2
，且≥
第23 页（共26页）

e
a
，求证：

＞．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ ）求出a的值，得到=+ln，令=t≥e
2
，根据函数的
单调性证明即可．

【解答】解：（Ⅰ）∵h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣alnx+
∞），

∴h′（x）=，

，其定义域是（0，+
①1+a≤0即a≤﹣1时，x∈ （0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递
增；

②a+1＞0即 a＞﹣1时，x∈（0，1+a）时，h′（x）＜0，x∈（1+a，+∞）时，h′
（x）＞0，< br>
h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增，

综上，a＞﹣1时，h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增，

a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）递增；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得x=1+a是函数h（x）的唯一极值点，故a=2；

∵2lnx
1
+mx
1
=0，2lnx
2
+mx
2
= 0，

∴2（lnx
2
﹣lnx
1
）=m（x
1< br>﹣x
2
），

∴=（+m）=+m=+ln，

令=t≥e
2
，φ（t）=+lnt，则φ′（t）=＞0，

∴φ（t）在[e
2
，+∞）上递增，

φ（t）≥φ（e
2
）=1+

＞1+=，

第24页（共26页）

故＞．

【点评】本题考 查了函数的单调性、极值问题，考查不等式的证明以及函数和方
程思想，考查转化思想以及计算能力，是 一道综合题．



四、选修4-4：坐标系与参数方程

22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，
（α为参数），A，B在曲线 C上，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，A，B两点的极坐标分别为A（ρ
1
，
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C的中心为M，求△MAB的面积．


），B（ρ
2
，）

【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C的极坐标方程；

（Ⅱ）求出A， B的坐标，可得|AB|，设曲线C的中心为M，求出M到AB的距
离，即可求△MAB的面积．

【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为
2
，（α为参数），得（x﹣3）2
+（y﹣4）=25，即x
2
+y
2
﹣6x﹣8y=0，∴曲 线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ；

（Ⅱ）A，B两点的极坐标分别为A（ρ
1
，
），B（8，
∴|AB|=
），

=5
），B（ρ
2
，），可得A（4+3，

设曲线C的中心为M，M到AB的距离d=
∴△MAB的面积S==．

=，

【点评】本题考查三种方程的转化，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决
问题的能力，属于中档题．



五、解答题（共1小题，满分0分）

23．已知函数f（x）=|2x+a|+|2x﹣2b|+3

第25页（共26页）

（Ⅰ）若a=1，b=1，求不等式f（x）＞8的解集；

（Ⅱ）当a＞0，b＞0时，若f（x）的最小值为5，求+的最小值．


【分析】（Ⅰ）若a=1，b=1，不等式f（x）＞8为|2x+1|+|2x﹣2|＞5，分类讨论
求不等式f（x）＞8的解集；

（Ⅱ）f（x）的最小值为a+2b+3，利用“1”的代换 ，结合基本不等式，即可得出
结论．

【解答】解：（Ⅰ）若a=1，b=1，不等式 f（x）＞8为|2x+1|+|2x﹣2|＞5

x≥1，不等式可化为4x﹣1＞5，∴x＞1.5，

﹣0.5＜x＜1，不等式可化为3＞5，不成立，

x≤﹣0.5，不等式可化为1﹣4x＞5，∴x＜﹣1，

综上所述，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞1.5}；

（Ⅱ）f（x）=|2 x+a|+|2x﹣2b|+3≥|2x+a﹣2x+2b|+3=|a+2b|+3，

∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最小值为a+2b+3，

∴a+2b+3=5，∴a+2b=2，

∴+=（+）（a+2b）=（3+
∴+的最小值为．

+）≥，

【点评】本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，考查基本不等式，
属于中档题．< br>


第26页（共26页）