河南省会计财政厅-师说翻译

正弦定理练习题
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
A.6 B.2 C.3 D．26
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
32
A．42 B．43 C．46 D.
3

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a
＝43，b＝42，则角B为( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定
5．在 △ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，
B＝45°，b＝2，则c＝ ( )
11
A．1 B.
2
C．2 D.
4

cos Ab
6．在△ABC中，若
cos B
＝
a
，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积
为( )

33333
A.
2
B.
4
C.
2
或3 D.
4
或
2

8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、 c.若c＝2，b＝6，
B＝120°，则a等于( )
A.6 B．2 C.3 D.2
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 a＝1，
π
c＝3，C＝
3
，则A＝________.
4310．在△ABC中，已知a＝
3
，b＝4，A＝30°，则sinB＝________ .
11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝
___ _____.
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________． < br>13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S
△
ABC
＝183 ，则
a＋b＋c
＝________，c＝________.
sinA＋sinB ＋sinC
1
14．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝
3
，S
△
ABC
＝43，则b＝
________.
15．在△ABC中，a、 b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，
CC1A
2
sin
2
cos
2
＝
4
，sin Bsin C＝cos
2
，求A、B及b、c.
16．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，
求边b的长．

余弦定理练习题
1
1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝
3
，那么AC等于( )
A．6 B．26 C．36 D．46
2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( )
A.3 B.2 C.5 D．2
3．在△ABC中，a
2
＝b
2
＋c
2
＋3bc，则∠A等于( )
A．60° B．45° C．120° D．150°
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a
2＋
c
2
－b
2
)tanB＝3ac，则∠B的值为( )
πππ5ππ2π
A.
6
B.
3
C.
6
或
6
D.
3
或
3

5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA
等于( )
A．a B．b C．c D．以上均不对
→
|＝4，
→
|＝1，6．已知锐角三角形ABC中，|AB|AC△ABC 的面积为3，
→
·
→
的值为( ) 则ABAC
A．2 B．－2 C．4 D．－4
7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )
A.3 B．23 C.3或23 D．2

8 ．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则
边BC上的中线AD的长为_ _______．
9．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，
b＝5，S＝53，则边c的值为________．
10．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos
B∶cos C＝________.
1
11．在△ABC中，a＝32，cos C＝
3
，S
△
ABC
＝43，则b＝________.
a
2
＋b
2
－c
2
12．已知△ABC的三边长分别是a、 b、c，且面积S＝，
4
则角C＝________.
13．在△ABC中，BC＝ a，AC＝b，a，b是方程x
2
－23x＋2＝0
的两根，且2cos(A＋B)＝ 1，求AB的长．





14．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；
π
(2)求sin(2A－
4
)的值．

正弦定理


1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
A.6 B.2 C.3 D．26
abasinB
解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝6.
sinAsin BsinA
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
32
A．42 B．43 C．46 D.
3
asinB
解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝46.
sinA
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42 ，则角
B为( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
abbsinA2
解析：选C.由正弦定理＝得：s inB＝＝，又∵a>b，∴B<60°，∴B
sinAsinBa2
＝45°.
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.
5． 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，
则c ＝( )
11
A．1 B. C．2 D.
24
bc2×sin 30°
解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.
sinBsinCsin45°
cos Ab
6．在△ABC中，若＝，则△ABC是( )
cos Ba
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
bsin Bcos Asin B
解析：选D.∵＝，∴＝，
asin Acos Bsin A
sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
π
即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.
2
7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )
33
A. B.
24
333
C.或3 D.或
242
ABAC3
解析：选D.＝，求出sinC＝，∵AB＞AC，
sinCsinB2
∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.

1
再由S
△
ABC
＝AB·ACsinA可求面积．
2< br>8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )
A.6 B．2
C.3 D.2
62
解析：选D.由正弦定理得＝，
sin120°sinC
1
∴sinC＝.
2
又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，
△ABC为等腰三角形，a＝c＝2.
π
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边 分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝，则A
3
＝________.
ac
解析：由正弦定理得：＝，
sinAsinC
a·sinC1
所以sinA＝＝.
c2
ππ
又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝.
36
π
答案：
6
43
10．在△ABC中，已知a＝，b ＝4，A＝30°，则sinB＝________.
3
ab
解析：由正弦定理得＝
sinAsinB
1
4×
2
bsinA3
⇒sinB＝＝＝.
a
43
2
3
3
答案：
2
1 1．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，
ab12×sin30°
由＝得，a＝＝43，
sinAsinBsin120°
∴a＋c＝83.
答案：83
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，
代入式子a＝2bcosC，得
2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，
所以sinA＝2sinB·cosC，
即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，
化简，整理，得sin(B－C)＝0.

∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，
∴－180°＜B－C＜180°，
∴B－C＝0°，B＝C.
答案：等腰三角形

a＋b＋c
13 ．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S
△
ABC
＝183，则＝__ ______，
sinA＋sinB＋sinC
c＝________.
a＋b＋c
a6311
解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S
△
ABC
＝bcs inA，∴
22
sinA＋sinB＋sinC
sinAsin60°
×12 ×sin60°×c＝183，
∴c＝6.
答案：12 6
1
14．在 △ABC中，已知a＝32，cosC＝，S
△
ABC
＝43，则b＝_______ _.
3
221
解析：依题意，sinC＝，S
△
ABC
＝ absinC＝43，
32
解得b＝23.
答案：23

CC 1
15．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sincos＝，sin Bsin
224
A
C＝cos
2
，求A、B及b、c.
2
CC11
解：由sincos＝，得sinC＝，
2242
π5π
又C∈(0，π)，所以C＝或C＝.
66
A
由sin Bsin C＝cos
2
，得
2
1
sin Bsin C＝[1－cos(B＋C)]，
2
即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，
即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得
cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，
π
5π
即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)，
66
2π
A＝π－(B＋C)＝.
3
abc
由正弦定理＝＝，得
sin Asin Bsin C
1
2
sin B
b＝c＝a＝23×＝2.
sin A
3
2

2π
π
故A＝，B＝，b＝c＝2.
36
253105102
＝×－×＝.
5105102
π
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝.
4
3π2
(2)由(1)知，C＝，∴sin C＝.
42
abc
由正弦定理：＝＝得
sin Asin Bsin C
5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.
∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.
∴a＝2，c＝5.
16．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．
11
解：由S＝absin C得，153＝×603×sin C，
22
1
∴sin C＝，∴∠C＝30°或150°.
2
又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.
当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.
ab
又∵ab＝603，＝，∴b＝215.
sin Asin B
当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．
故边b的长为215.
余弦定理
1
1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于( )
3
A．6 B．26
C．36 D．46
解析：选A.由余弦定理，得
AC＝AB
2
＋BC
2
－2AB·BCcosB
1
＝ 4
2
＋6
2
－2×4×6×＝6.
3
2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( )
A.3 B.2
C.5 D．2
22
解析：选B.由余弦定理，得c＝a＋b
2
－2abcosC
＝2
2
＋(3－1)
2
－2×2×(3－1)cos30°
＝2，
∴c＝2.
3．在△ABC中，a
2
＝b
2＋c
2
＋3bc，则∠A等于( )
A．60° B．45°
C．120° D．150°

b
2
＋c2
－a
2
－3bc
3
解析：选∠A＝＝＝－，
2bc2bc2
∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.
4．在△ABC中， ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a
2
＋c
2
－b
2
)tanB＝3ac，
则∠B的值为( )
ππ
A. B.
63
π
5π
π2π
C.或 D.或
6633
解析：选D.由(a
2
＋c
2
－b
2
)tanB＝3ac， 联想到余弦定理，代入得
a
2
＋c
2
－b
2
31 3cosB
cosB＝＝·＝·.
2ac2tanB2sinB
π
3
π2π
显然∠B≠，∴sinB＝.∴∠B＝或.
2233
5．在△ABC中，a 、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于( )
A．a B．b
C．c D．以上均不对
a
2
＋c
2
－b
2
b
2
＋c
2
－a
2
2c
2
解析： 选C.a·＋b·＝＝c.
2ac2bc2c
→→→→
6．已知锐角三角形ABC中 ，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为3，则AB·AC的值
为( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
1
→→
解析：选A.S
△
ABC
＝3＝|AB|·|AC|·sinA
2
1
＝×4×1×sinA，
2
3
∴sinA＝，又∵△ABC为锐角三角形，
2
1
∴cosA＝，
2
1
→→
∴AB·AC＝4×1×＝2.
2
7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )
A.3 B．23
C.3或23 D．2
解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB，即3＝a
2
＋ 9－33a，
∴a
2
－33a＋6＝0，解得a＝3或23.
8．已知△ ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线
AD的长为_____ ___．
π
解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝.
3
在△ABD中，
AD＝AB
2
＋BD
2
－2AB·BDcosB

1
1＋4－2×1×2×＝3.
2
答案：3 < br>9．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，
则 边c的值为________．
13
解析：S＝absinC，sinC＝，∴C＝60°或120°.
22
1
∴cosC＝±，又∵c
2
＝a
2
＋b
2
－2 abcosC，
2
∴c
2
＝21或61，∴c＝21或61.
答案：21或61
10．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.
解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，
a
2
＋c
2－b
2
2k
2
＋4k
2
－3k
2
11
cos B＝＝＝，
2ac2×2k×4k16
71
同理可得：cos A＝，cos C＝－，
84
∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)．
答案：14∶11∶(－4)
1
11．在△ABC中，a＝32，cos C＝，S
△
ABC
＝43，则b＝________.
3
122
解析：∵cos C＝，∴sin C＝.
33
1
又S
△
ABC
＝absinC＝43，
2
122
即·b·32·＝43，
23
∴b＝23.
答案：23

a
2
＋b
2
－c
2
12．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________.
4a
2
＋b
2
－c
2
a
2
＋b
2
－c
2
ab1
解析：absinC＝S＝＝·
242ab21
＝abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°.
2
答案：45°

13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方 程x
2
－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)
＝1，求AB的长．
解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，
11
∴cos(π－C)＝，即cosC＝－.
22
又∵a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的两根，
＝

∴a＋b＝23，ab＝2.
∴AB
2
＝AC< br>2
＋BC
2
－2AC·BC·cosC
1
＝a
2
＋b
2
－2ab(－)
2
＝a
2
＋b
2
＋ab＝(a＋b)
2
－ab
＝(23)
2
－2＝10，
∴AB＝10.
14．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.
(1)求AB的值；
π
(2)求sin(2A－)的值．
4
ABBC
解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
sin Csin A
sinC
得AB＝BC＝2BC＝25.
sinA
(2)在△ABC中，根据余弦定理，得
AB
2
＋AC
2
－BC
2
25
cos A＝＝，
2AB·AC5
5
于是sin A＝1－cos
2
A＝.
5
4
从而sin 2A＝2sin Acos A＝，
5
3
πππ
2
cos 2A＝cos
2
A－sin
2
A＝. 所以sin(2A－)＝sin 2Acos－cos 2Asin＝.
544410