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上海中学高三周练数学试卷17
2020.03

一. 填空题
1. 若复数
z
满足
(12i)z43i
（
i
是虚数单位），则
z
的虚部为
2. 设
z
1 3
i
，那么
zz
2
z
3
z
4z
5
z
6


22
3. 设
mR
，若
z
是关于
x
的方程
x
2mxm
2
10
的一个虚根，则
|z|
的取值范围是

4. 已知
cos2



5. 关于
x
的方程
x
2
(2i)x1mi0< br>（
mR
）有一实根为
n
，则
2
75
3

，

(0,)
，
sin


，

(

,)
，用反余弦表示




2513
22
1


mni
y
2
6. 已知椭圆
x1
，
A
、
B
是椭圆的左、右顶点，
P
是椭圆上不与
A
、
B
重合的一点，
4
cos(



)
< br>
PA
、
PB
的倾斜角分别为

、

，则
cos(



)
1
s inxcosx
的不同的实根个数是 7. 在闭区间
[
,

]
上，方程
|sinx|
8. 已知复数
z
1
、
z
2
和
z
，其中
z
2
2 2i
，
zz
1
iz
2
，若复数
z
1
所对应点
M
在曲线
y(x3)
2
1
上运动 ，则复数
z
所对应点的轨迹方程是
9. 把10个相同的球放入三个不同的盒子中，使得每个盒子中的球数不少于2，则不同的放
法有
10. 在△
ABC
中，角
A
、
B
、
C< br>的对边分别为
a
、
b
、
c
，面积为
S
，且
4S(ab)
2
c
2
，
则
cosC

11. 方程
5cosxcos2xsinx0
，
x[0,2

]
的解为
12. 定义：关于< br>x
的两个不等式
f(x)0
和
g(x)0
的解集分别为< br>(a,b)
和
(,)
，则称这
2
两个不等式为对偶不等式， 如果不等式
x43xcos2

20
与不等式
11
b a
2x
2
4xsin2

10
为对偶不等式，且
(,

)
，则



2

二. 选择题
13. 已知
z
1
和
z
2
都是复数，
z
1
z
2
0
是
z
1
z
2
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件


14. 将函数
f(x)2sin(3x 

4
)
的图像向下平移1个单位，得到
g(x)
的函数， 若
x
1
的最大值为（ ）
x
2
g(x
1
)g(x
2
)9
，其中
x
1
,x
2< br>[0,4

]
，则
A. 9 B.
37
C. 3 D. 1
5
15. 设
a
n
(27)
2n1
，
b
n
是
a
n
的小数部分，则当
nN
*
时，
a
n
b
n
的值（ ）
A. 必为无理数 B. 必为奇数 C. 必为偶数 D. 可为无理数或有理数
2020

2
16. 方程
2cos(2x)(cos(2x)c os())cos(4x)1
所有的正数解之和为（ ）
x
A.
825

B.
1011

C.
1836

D.
2020



三. 解答题
17. 设集合
A {a,b}
，其中
a
和
b
都是复数，且使得
{a,b} {a
2
,b
2
}
成立，试求所有满足要
求的集合
A
.




18. 已知△
ABC
的三 个内角
A
、
B
、所对应的边分别为
a
、
b
、
c
，复数
z
1
abi
，
z
2
cosAicosB
（其中
i
是虚数单位），且
z
1
z
1
3i
.
（1）求证：
acosBbcosAc
，并求边长
c
的值； < br>（2）判断△
ABC
的形状，并求当
b3
时，角
A
的大小.




1ra
2
19. 设非零复 数
z
、
w
满足关系
wzw0
，且
z
的 实部为（
a,rR
）.
1a
2
（1）当
r2
时，
z
对应的复平面上的点位于实轴的下方，求
a
的取值范围；
2
（2）是否存在正整数
r
，使得
u|zz2|
对于任意实数
a
，只有最小值而无最大值，若
存在，请求出使
u
取得最小值的a
的值，若不存在，请说明理由.

20. 已知点
P
是直角坐标平面内的动点，点
P
到 直线
l
1
:x2
的距离为
d
1
，到点
F(1,0)
的
距离为
d
2
，且
d
2
2

.
d
1
2
（1）求动点
P
的轨迹
C
的方程；
（2）直线
l
过点
F
且与曲线
C
交于不同两点A
、
B
（
A
、
B
不在
x
轴上 ），分别过
A
、
B
点作直线
l
1
:x2
的垂线，对应的垂足分别为
M
、
N
，试判断点
F
与以线段
MN
为直径
的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记< br>S
1
S
V
FAM
，
S
2
SV
FMN
，
S
3
S
V
FBN
（A
、
B
、
M
、
N
是（2）中的点），问是2


S
1
S
3
成立，若存在，求出

的值，若不存在，请说明理由. 否存在常数

，使
S
2








21. 已知二次函数< br>yf(x)
的图像的顶点坐标为
(1,)
，且过坐标原点，数列
{a
n
}
的前
n

项和为
S
n
， 点
(n,S
n
)
（
nN
*
）在二次函数
yf(x)
的图像上.
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
2
（2）设
b
n
a
n
a
n1
cos(n1)

（
nN
*
），数列
{b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，若
T
n
tn
对
nN
*
1
3
恒成立，求实数
t
的取值范围；
（3）在数列
{a
n
}
中是否存在这样一些项：
a
n
1
,a
n
2
,a
n
3
,,a
n< br>n
,
（
1n
1
n
2
n
3
n
k

，
kN
*
），这些项 都能够构成以
a
1
为首项，
q
（
0q5
，qN
*
）为公比的等比数列
{a
n
k
}
（< br>kN
*
）？若存在，写出
n
k
关于
k
的表 达式，若不存在，
说明理由.

参考答案

一. 填空题
1.
1
2.
0
3.
(
5.
3
33
,)
4.

arccos

3
65
3
11
i
6.

7. 2 8.
xy
2
2y

5
22
1
3
5


6
9. 15 10. 0 11.
2

arccos
12.

二. 选择题
13. B 14. A 15. B 16. C

三. 解答题
17. 当
a
13i13i13i13i13i
时，
b
，此 时
A{
时，
,}
；当
a
22222
b
13i13i13i
，此时
A{,}
.
222
1 8.（1）证明略，
c3
；（2）△
ABC
是等腰三角形或直角三角形，当
AB
时，
A

6
；
当
C

2
时，
Aarcsin
3
.
3
19.（1）设
zxyi
，由题意，
x
2
y
2
1
，求得
a(2,2)
；
（2）存在，
r1
，
umin

1455
，
a
.
411
x2
20.（1）
y
2
1
；（2）点
F
在以
MN
为直径的圆的外部；（3）存在，

4
.
2
2n15
3
k
1
*
21.（1）
a
n

，
nN
；（2）
t
；（3）存在，
n
k

，
kN
*
.
39
2