文学硕士-开学的感受

2020
届高三年级
1
月调研

理科数学试题


注意事项：

1
．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
[
2
．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3
．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第
I
卷

选择题（共
60
分）
一、选择题
(
本大题共
12
小题
,
每小题
5< br>分
,
共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合 题目要求的。
)
1.
已知复数
位，则

C. D.
与为共轭复数，其中，为虚数单
A. 1 B.

2.
已知集合
A.

3.
已知单位向量
B.
，则
C.

D.
的夹角为，且，若向量< br>m
＝
2-3
，则
|m|
＝

A. 9 B. 10 C. 3 D.
4.
下列说法正确的是

A.
若命题
B. “
若
C.
在
D.
命题
“
5.
已知正项等比数列
A.

6.
已知函数
，则的取值范围是


- 1 -
均为真命题，则命题
，则
，
“
”
的否命题是
“
若
”
是
“
为真命题

”
”
的充要条件

”
的否定为
“”
，则

的前项和为，若
C. B. D.
.
若不等式的解集中整数的个数为

A.

B. C. D.
7.
已知程序框图如图，则输出
i
的值为


A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
8.
曲线的一条切线< br>l
与轴三条直线围成的三角形记为，则外接
圆面积的最小值为

A. B. C.
，若
D.
，则函数

的单调递增区间为


9.
已知为实数，
A.
D.
10.
定义在
R
上的函数
f

x

{
B. C.
x,1x0
1

fx2fx,gx
，且，则
 
x
2
,0x1
x2
方程
f
x

g

x

在区间
5,9
上的 所有实数根之和最接近下列哪个数

A.
14
B.
12
C.
11
D.
10

11.
如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为
120°
的扇形
AOB
，
C
是该小区的一个出入口，
且小区里有一条 平行于
AO
的小路
CD
．已知某人从
O
沿
OD走到
D
用了
2
分钟，从
D
沿着
DC
走 到
C
用了
3
分钟．若此人步行的速度为每分钟
50
米，则该 扇形的半径的长度为



- 2 -

A
．
505
B
．
507
C
．
5011

D
．
5019

12.
f

x

是定义在
R
上的奇函数，对
xR
，均有
f
< br>x2

f

x

，已知当
x0,1< br>
时，

f

x

21
，则下列结论正确的是（

）

x

A.
f

x

的图象关于
x1
对称
B.
f

x

有最大值
1
C.
f< br>
x

在
1,3
上有
5
个零点
D.
当
x2,3
时，

f

x

2
第
II
卷

非选择题（共
90
分）

二、填空题
(
本大题共< br>4
小题
,
每小题
5
分
,
共
20分
)
13.
在
14.
曲线
中，已知，若，则

周长的取 值范围为
__________
．

x1
1
< br>在点（
0,0
）处的切线方程为
______________
；
的前项和为，已知
,
则
，
______
。

,
则
_____. 15.
各项均为正数的等比数列
16.
已知且
三、解答题
(
本大题共
6
小题
,
共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17.
（本题
12
分）

在中，内角
求；

若，且面积，求的值．

的对边分别为，已知．

18.
（本题
12
分）

uuuvuuuvuuuvuuuv
在
ABC
中，

CACBCACB
.
(1)
求角
C
的大小；

(2)
若
CDAB
， 垂足为
D
，且
CD4
，求
ABC
面积的最小值
.

- 3 -

19.
（本题
12
分）

在中，内角
中，
的对边分别为
，公差为
.
，，三边成等比 数列，且面积
为
1
，在等差数列
（
1
）求数列
（< br>2
）数列
的通项公式；

满足，设为数列的前项和，求的取值范围
.
20.
（本题
10
分）

某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域 （区域
I
）设计成半径为
1km
的扇形
中心角（
，
）
.
为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域
II
）
，其中点，分和休闲区（区域
III
），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形
别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是
10
万元、
2 0
万
元、
20
万元
.
（
1
）要使观赏区的年收入不低于
5
万元，求的最大值；

（
2
）试问：当为多少时，年总收入最大？



21.
（本题
12
分）

已知函数
(1)
当
(2)
若函数
时求函数
在
.
的最小值；

上恒成立求实数的取值范围
.
22.
（本题
12
分）

已知函数
f

x


a
3
11
x

a1

x
2
x

aR

.
323
（1
）若
a1
，求函数
f

x

的极 值；

（
2
）当
0a1

时，判断函数
f

x

在区间
0,2
上零点的个数
.


- 4 -

参考答案


题
号

答
案

13. 14.

，

asinC
，

15.10 16.1
D A C D B D D C B
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
A
1
1
B
1
2
C
1
17.
（
1
）；（
2
）
解析：（
1
）∵
∴
b=2a
（
cos Ccos+sinCsin
），可得：
b=acosC+
由正弦定理可得：
s inB=sinAcosC+sinAsinC
，

可得：
sin
（
A+C
）
=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+
可得 ：
cosA=sinA
，可得：
tanA=
，

sinAsinC
，

∵
A
∈（
0
，
π
），

∴
A=
（
2
）∵，且△
ABC
面积
，

×2×=28
，解得：
a=2
=bcsinA=2c×c×
，

∴解得：
c=2
，
b=4
∴由余弦定理可得：
a
2
=b
2
+c
2< br>-2bccosA=48+4-2×
18.
（
1
）
C（
2
）

S
ABC

min
16

2
uuuvuuuvuuuvuuuv
uuuvuuuv
2
uuuvuuuv
2
CACBCACB
1
解析：（）由，两边平方< br>CACBCACB
，

即
CACB
所以
C 


uuuvuuuv

2
uuuvuuuv
2
uuuvuuuvuuuvuuuv
CACB
，得到
2CACB0
，即
CACB
。



2
.
CD4


，

sinAsinA
CD4


，

在直角
BDC
中，

BC
sinBsinB
（
2
）在直角
ADC
中，

AC
又
A

0,




2


，所以
sinBsin




A

cosA
，


2

- 5 -

所以
S
ABC

由
A+B
11448 16

，

CACB
22sinAsinBsi nAcosAsin2A
得，

2A

0,


，故
sin2A

0,1
，


2
当且仅当
A
19.
（
1
）

4< br>时，


sin2A

max
1
，从而< br>
S
ABC

min
16
.
，
，
.
，


（
2
）

，，

解析：（
1
）∵
∴
（
2
） ∵
∴
∵
∴
，
是关于
n
的增函数
.
，

20.
（
1
）（
2
）

解析：（
1
）∵
所以
，，，所以与全等
.
，观赏区的面积为

，要使得观赏区的
年收入不低于
5
万元，则要求
为
.
（
2
）种植区的面积为
正方形面积为
设年总收入为万元，则

，即，结合可知，则的最大值
，

，

，

其中
当
所以当
，求导可得
时，
时，
，递增；当
.
时，，递增
.
取得最大值，此时年总收入最大
.

- 6 -

21.(1)4.(2)
解析：（
Ⅰ
）当
.
时，

，当且仅当，即时等号成立，

所以．

在
在上恒成立，

在
在
，则
，

，

，

上恒成立，

上恒成立，
（
Ⅱ
）由题意得
即
所以
即
设
∴
又上恒成立，

在上单调递减，在上单调递增，

解得，

．

所以实数的取值范围是
22.
解析：

（1
）∵
f

x


2
a
3< br>11
x

a1

x
2
x
，

323


1


，

a

∴
f


x

ax

a1

x1a

x1


x< br>因为
a1
，所以
0
1
1
，

a
当
x
变化时，

f


x
,f

x

的变化情况如下表：

x

1

,


a

1

a
0

1


,1



a

1

1,




递增

f


x


f

x





递增



递减

0
极大值

极小值

- 7 -

1
由表可得当
x
时，

f
x

有极大值，且极大值为
a
当
x1
时，

f

x

有极小值，且极小值为
f

1< br>

（
2
）由（
1
）得
f

x

a

x1


x
∵
0a1
，∴
①

当
2

1

2a3a1
f


，

2
a6a

1

a1

.
6


1


。

a

1
1
.
a
11
2，即0a
时，

f

x< br>
在

0,1

上单调递增，在

1,2< br>
上递减

a2
111
0,f

1



a1

0,f

2



2a1

0

363
又因为
f< br>
0


所以
f

x

在（
0,1
）和（
1,2
）上各有一个零点，

所以
f

x

在0,2
上有两个零点。

②

当
1
上递增，

又因为
f

0



11

1

< br>1


f

x

在

0, 1

上单调递增，
2
，即
a1
时，在
1,

上递减，在

,2

a2

a


a

11

1



2a1

a1

0,f

1
< br>

a1

0,f

0

2
36a6a

所以
f

x

在0,1
上有且只有一个零点，在
1,2
上没有零点，

所以在
0,2
上有且只有只有一个零点
.
综上：

当
0a
当




1
时，

f

x

在

0,2

上有两个零点；

2
1
a1
时，

f

x
< br>在

0,2

上有且只有一个零点。

2

- 8 -