北京二建报名-重庆医科大学录取分数线

江苏省2020年高三百校大联考数学试卷
参考答案与评分标准
数学Ⅰ
参考公式：
1
n
1
n
2
样本数据
x1
,x
2
,L,x
n
的方差
s

( x
i
x)
，其中
x

x
i
．
n
i1
n
i1
2
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分 ，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位
．．．．．．．
置上．
．．
1．已知集合
A

1,0

，则满足
AUB

1,0,1

的集合
B
的个数是 ▲ ．
【答案】4
【解析】本题考查集合的概念与运算．由题意，
1B
，集合< br>B
的个数即

1,0

的子集个数，
共
4
个．
a2i
bi(a,bR)
，其中
i
为虚数单 位，则
ab
▲ ．
i
【答案】3
a2i< br>【解析】本题考查复数的四则运算．因为
2aibi(a,bR)
，所以，< br>a
＝1，
b
＝
i
2，所以
ab
＝3．
3． 从
1,2,3,4
中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ．
2
【答案】
3
2
【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为 6，符合要求的事件数为4，故所求概率为．
3
rr
rrr
rr
4 ．已知单位向量
i,j
满足
(2ji)i
，则
i,j
的 夹角为 ▲ ．
2. 已知
4．【答案】


3rrrrrr
(2ji)i(2i0
，【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的 计算．因为，所以
ji)g
rr
rr
rurr
2
1

即
2i ji
＝0，所以，
2|i||j|cos

10
，即
cos


，则
i,j
的夹角为．
23
5. 设五个数值31，37，33，
a
，35的平均数是34，则这组数据的方差是 ▲ ．
【答案】4
【解析】由
313733a35
34
， 可得
a34
，所以方差
5
1
22222

S< br>2


(3134)(3734)(3334)(3434) (3534)

4

5


yx

6．已知实数
x
，
y
满足

xy1
， 则
x2y
的最大值是 ▲ ．

y1


【答案】
3

211
【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为
(,)
．
22
7．执行如图所示的流程图，则输出
S
的值为 ▲ ．
开始

←1 k
S0

k≤20
N
Y
SS2k

输出
S

结束
kk1

（第6题）
【答案】420

20(240)
420
．
2
8．已知直线
l
、
m
与平面

、

，
l

,m 

，则下列命题中正确的是 ▲ （填
【解析】本题考查流程图和循环 结构．
S246L40
写正确命题对应的序号）．
①若
lm
，则



②若
lm
，则




③若
l

，则



④若



，则
m


【答案】③
【解析】本题考查线面及面面位置关系的判断．由面面垂直的判定定理可得答案为③．
9．已 知
cos(



4
433
【答案】
10
)
10


，

(0,)
，则
sin(2

)
▲ ．
10
3
2
【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，
< br>

3

(,)
444
，所以
sin(



4
)
310
10
，故
 
4
sin2

sin[2(

)]cos 2(

)12cos
2
(

)
4244 5
，
，因此

3
cos2

cos[2 (

)]sin2(

)2sin(

)co s(

)
424445

4133433
sin( 2

)()
．
3525210

10 ．在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆
C
与
x
轴交于
A
(1,0)，
B
(3,0)两点，且与直线
x
－
y－3＝0相切，则圆
C
的半径为 ▲ ．
|－1－
b|
22
解析：可设圆心为(2，
b
)，半径
r
＝
b
＋1，则＝
b
＋1，解得
b
＝1．故
r
＝2．
2
答案：2
x
2
y
2
11．已知椭圆方程为2

2
1(ab0)
，
A
、
B
分别是椭圆长轴的两个端点，
M
、
N
是
ab
椭圆上关于x
轴对称的两点，直线
AM,BN
的斜率分别为
k
1
, k
2
，若
k
1
k
2

的离心率为 ▲ ．
11．【答案】
1
，则椭圆
4
3

2
【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设
M(x
0
,y
0
)
，则
N(x
0
,y
0
)
，
2
x
0
b(1
2
)
2
y
0
y0
y
0
b
2
1
c3
22
a
k
1
k
2

2

，可得，从而．
e
3a4c
2222
x
0
aax
0
a x
0
ax
0
a4
a2
2
12．若
a 0,b0
，且
2ab1
，则
S2ab(4a
2
 b
2
)
的最大值是 ▲ ．
12．【答案】
21

2
(2a)
2
b
2
2ab
≥≥2ab
得
22
【解析】由
2ab≤11
，
4a
2
b
2
≥
，所以
22< br>22
S2ab(4a
2
b
2
)22ab


(2a)b


≤
21
1
，当且仅当
2ab
时取到等
22
2
号．
13．已 知数列

a
n

为等差数列，首项
a
1
 1
，公差
d0
，若
a
k
1
,a
k
2
,a
k
3
,L,a
k
n
,L
成等比数
列，且
k
1
1
，
k
2
2
，< br>k
3
5
，则数列

k
n

的通项 公式
k
n

▲ ．
3
n1
1
【答案】
2
2
a
1a
5
，
(1d)
2
1(14d)
，【解析】 本题考查等差数列和等比数列．由题意，
a
2
得
d2
，
即
a
n
2n1
，所以
a
k
n
2kn
1
．又等比数列
a
1
,a
2
,a
5
的公比为3，所以
a
k
n
3
n1
．根据3
n1
1
2k
n
13
可得
k
n

．
2
lnkx
14．若函数
f(x)ln(x 1)
不存在零点，则实数
k
的取值范围是 ▲ ．
2
n1
14．【答案】
[0,4)

【解析】本题考查函数的性质与方程思想及数形结合思想．


kx0

1
解法一：由题意可知

x10
，可设
g(x)x2,(x1,x0)
，函数图象(图1)
x

1

kx2
x

与直线
yk
没有交点， 则
0k4
．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文
．．．．．．．
字说明、证明或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
ur
在
ABC
中，
A,B ,C
的对边分别是
a,b,c
，已知平面向量
m(sin(
C),cosC)
，
urr
r

n(sin(B),si nB)
，且
mnsin2A
．
2

（1）求
sinA
的值；
（2）若
a1,cosBcosC1
，求边
c
的值．
15．【解析】（1）由题意，
sin2AsinCcosBsinBcosC
…………………………2分
得
2sinAcosAsin(BC)sinA
………………………………………………4分
由于
ABC
中
sin A0
，
2cosA1
，
cosA
∴
sinA1cos
2
A
1
………………………………5分
2
3
………………………………………………………6分
2
（2 ）由
cosBcosC1
得
cos(AC)cosC1
………………………………7分
31
sinCcosC1
…………9分
22
25
得
sin(C)1
，
Q0C
，平方得
C
……………12分
,C
3
63666< br>所以为正三角形，
ABC
c1
………………………………………………… 14分
16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥
E
－
ABCD
中，
EA
＝
EB
，
AB
∥
CD
，
AB
⊥
BC
，
AB
＝2
CD
．
（1）求证：
AB
⊥
ED
；
（2）线段
EA上是否存在点
F
，使得
DF
∥平面
BCE
？请说明你的 理由．
解析：（1）证明：如图，取
AB
中点
O
，连结
E O
，
DO
.
因为
EA
＝
EB
，所以EO
⊥
AB
. …………………………1分
因为
AB
∥
CD
，
AB
＝2
CD
，
（第16题）
所以
BO
∥
CD
，
BO
＝
CD
.
又因为
AB
⊥
BC
，所以四边形
OBCD
为矩形，
所以
AB
⊥
DO
. ……………………………………………4分
因为
EO
∩
DO
＝
O
，
所以
AB
⊥平面
EOD
. ……………………………………5分
又因为
ED
⊂平面
EOD
，
所以
AB
⊥
ED
. ……………………………………………6分 < br>（2）当点
F
为
EA
中点时，有
DF
∥平面
BCE
.
证明如下：取
EB
中点
G
，连结
CG< br>，
FG
.
因为
F
为
EA
中点，
即
sinAsinCcosAcosCcosC1
，


1
所以
FG
∥
AB
，
FG
＝
AB
. ………………………………8分
2
1
因为
AB
∥
CD
，
CD
＝
AB
，………………………………9分
2
所以
FG
∥
CD
，
FG
＝
CD
. ………………………………10分
所以四边形
CDFG
是平行四边形， ……………………11分
所以
DF
∥
CG
. ……………………………………………12分
因为
DF
⊄平面
BCE
，
CG
⊂平面
BCE
，
所以
DF
∥平面
BCE
. ………………………………………14分
17．（本小题满分14分）
如图，
ABCD
是边长为1百米的正方形区域 ，现规划建造一块景观带△
ECF
，其中动点
E
、
F
分别在
CD
、
BC
上，且△
ECF
的周长为常数
a
（单位：百米）．
（1）求景观带面积的最大值；
（2）当
a=
2时， 请计算出从
A
点欣赏此景观带的视角（即

EAF
）．









17．解析： （1）设
ECx,CFy
，则
xyx
2
y
2a
（※）
由基本不等式，
xyx
2
y
2
2xy2xy(22)xy
……… 3分
D
E
C
F
A
（第17题）
B
11

a

322
2
所以，△
ECF
的面积
Sxy

a
……………… 5分

22

22

4
当且仅当
xy
2
22
a
时等号成立
2
322
2
a
……………………………………… 6分
4
故景观带面积的最大值为
（2）记
EAD

,FAB

，

,

(0,),



(0,)
,

22
则
tan

1x,tan

1y

故
tan(



)
2xy2(xy)


1(1x)(1y)xyxy

a
2
由（※）可得，
xya(xy)
，即
xy2(xy)2
………… ……… 10分
2
代入上式可得，
tan(



)
2(xy)
=1
2(xy)
所以
 EAF

2
(



)

4
故当
a2
时，视角
EAF
为定值
18．（本小题满分16分）

……………………………………………… 14分
4
已知椭圆
C
的中心在坐标原点，右焦点为
F(1,0)
，
A
、
B
是椭圆
C
的左、右顶点，
P
是椭
圆
C
上异于A
、
B
的动点，且△
APB
面积的最大值为
23
．
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）直线
AP
与直线< br>x2
交于点
D
，证明：以
BD
为直径的圆与直线
P F
相切．
x
2
y
2
18．解析：（1）由题意可设椭圆< br>C
的方程为
2

2
1(ab0)
．
ab

1

2
2ab23,

由题意知
c1,
解得
a2,b3
．

22 2

abc.

x
2
y
2
故椭圆C
的方程为
1
．……………………6分
43
（2）由题意 ，设直线
AP
的方程为
yk(x2)
(k0)
.
则点
D
坐标为
(2, 4k)
，
BD
中点
E
的坐标为
(2, 2k)
．
A
y
P
D
E

yk(x2),
由

x
2
y
2
得
(34k
2
)x
2
16k
2
x16k
2
120
．
1


3

4
16k
2
12
设点
P
的坐标为
(x
0
,y
0
)
，则
2x
0

．

34k
2
68 k
2
12k
所以
x
0

，．………………………… ……………10分
yk(x2)
00
34k
2
34k< br>2
因为点
F
坐标为
(1, 0)
，
1
3
当
k
时，点
P
的坐标为
(1, )
，点
D
的坐标为
(2, 2)
.
2
2直线
PFx
轴，此时以
BD
为直径的圆
(x2)
2
(ym1)
2
1
与直线
PF
相切．…11分
y
1
4k
当
k
时，则直线
PF
的斜率
k
PF

0

.
x
0
114k2
2
所以直线
PF
的方程为
y
O
FB
x
4k
(x1)
． …………………………………………13分
14 k
2

点
E
到直线
PF
的距离
d< br>8k4k
2k
14k
2
14k
2
16k2
1
(14k
2
)
2
2k8k
3
14k
2
2|k|
．…………15分
14k
2
|14k
2
|
1
|BD|
．
2
故以
BD
为直径的圆与直线
PF
相切．
综上得，以
BD
为直径的圆与直线
PF
相切． ………………………………………16分
19．（本小题满分16分）
又因为
|BD|4|k|
，所以
d
若数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，且满足等式< br>a
n
2S
n
3
.
（1）求数列
a
n

的通项
a
n
；
（2）能否在数列
a
n

中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由 ；
（3）令
b
n
log
1
a
n
3
1
，记函数
f(x)b
n
x
2
2bn1
xb
n2
(nN*)
的图象在
x
轴上截得 的
2
2
n1
1
线段长为
c
n
，设
T
n
(c
1
c
2
c
2
c
3
Lc
n1
c
n
)
(n2)
，求
T
n
，并证明：
T
2
T
3
T
4
LT
n

．
n
4
【解析】（1）当
n1
时 ，
a
1
2a
1
3
，则
a
1
 1
.
1
又
a
n
2S
n
3
，所以
a
n1
2S
n1
3
，两式相 减得
a
n1
a
n
，
3
1
即

a
n

是首项为1，公比为的等比数列，
3
所以
a
n

1
…………………………………………4分
n1
3
（2） 假设存在三项按原来顺序 成等差数列，记为
a
p
,a
q
,a
r
,(pq r)

则
211211

p1

r1
，即
q

p

r
，
33333 3
q1
所以
23
rq
3
rp
1
，即
23
rq
3
rp
1
，即
3
rq
(23
qp
)1

又
Qp qr
，
rq,rpN
，所以
3
rq
3,2 3
qp
0

所以
3
rq
(23
qp
)0



假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列……………………9分
（3） 设
f(x)
与
x
轴交点为
(x
1
,0),(x2
,0)

*
Q2b
n1
b
n
b
n2
， < br>
当
f(x)
=0时有
(x1)(b
n
xbn2
)0

x
1
1,x
2< br>
b
n2
b2b2
2

c
n< br>|x
1
x
2
||1
n

n
|
b
n
b
n
b
n
|b
n
|
11
n0
，
22
又
Qb
nlog
1
a
n

3
c
n

2

b
n
c
n1
c
n

2 211
4()

b
n1
b
n
b
n1
b
n
1111111
T
n
4[()() L()]

4b
1
b
2
b
2
b3
b
n1
b
n


11112(n1)
………………………………14分

1
b
1
b
n
1
n
1
n
22 2
2(n1)2(n1)


1
n
n
2T
n

22223242(n1)2
n1
………… ……………………16分
T
2
T
3
T
4
LT< br>n
L
2345nn
20．（本小题满分16分）
已知函数
f(x)x
3
x
2
b
，
g(x)aln x
．
（1）若
f(x)
的极大值为
4
，求实数
b
的值；
27
（2）若对任意
x

1,e

，都有
g(x)≥x
2
(a2)x
恒成立，求实数
a
的取值范围；


f

x

,x1
（3）当
b0
时，设
F(x)

，对任意给定的正实数
a
，曲线
yF(x)
上是否存


g

x
,x≥1
在两点
P,Q
，使得
POQ
是以
O
（
O
为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形
斜边中点在
y
轴上？请说明理由．

20．解析：（1）由
f(x)x
3
x
2
b
，得
f

(x)3x
2
 2xx(3x2)
，
令
f

(x)0
，得
x0
或
2
．
3
当
x
变化时，
f
(x)
及
f(x)
的变化如下表：
x

(,0)

0

2
(0,)

3
2

3
2
(,)

3

f

(x)

-
↘
0

极小值
+
↗
0

极大值
-
↘
f(x)

所以
f(x)
的极大值为
f()
244
，
b
=
32727
b0
．…………………………………………………………… ……………………4分
（2）由
g(x)x
2
(a2)x
，得
(xlnx)ax
2
2x
．
Qx[1,e],lnx1x
，且等号不能同时取，
lnxx
，即
xlnx0

x
2
2x x
2
2x
恒成立，即
a(a)
min
……………… ……………………………6分
xlnxxlnx
(x1)(x22lnx)
x
2
2x
令
t(x)
，
,(x[1,e])，求导得，
t

(x)
(xlnx)
2
xlnx
当
x[1,e]
时，
x10,0lnx1,x22lnx0
，从而
t

(x)0
，
t(x)
在
[1,e]
上为增函数，
t
min
(x)t(1)1
，
a1
．………………………………………………………………………………8分

x
3
x
2
,
x1
（3）由条件，
F(x)

，
alnx,
x1

假设曲线
yF(x)
上存在两点
P
，
Q
满足题意，则
P
，
Q
只能在
y
轴两侧，……9分
不妨设
P(t,F(t)) (t0)
，则
Q(t,t
3
t
2
)
，且t1
．
uuuruuur
QPOQ
是以
O
为直角 顶点的直角三角形，
OPOQ0
，
t
2
F(t)(t
3
t
2
)0
（*），
是否存在
P
，
Q
等价于方程
()
在< br>t0
且
t1
时是否有解．………………………11分
①若
0t1
时，方程
()
为
t
2
t
3< br>t
2
t
3
t
2
0
，化简得
t
4
t
2
10
，此方程
无解；…………………………… ……………………………………………………………12分
②若
t1
时，方程()
为
t
2
alntt
3
t
20
，即
设
h

t



t 1

lnt

t1

，则
h
t

lnt1
，
显然，当
t1
时，
h

t

0
，
即
h

t< br>
在

1,

上为增函数，




1


t1

lnt
，
a
1
t

h

t

的值域 为

h

1

,

，即
< br>0,

，

当
a0
时，方程（*）总有解．

对任意给定的正实数
a
，曲线
yF(x)
上总存在两 点
P
，
Q
，使得
POQ
是以
O
（
O
为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
y
轴上．………… …16分

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A、B、C、D四小 题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题
．．．．．．．．
卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
．．．．．
A．选修
41
：几何证明选讲
如图，⊙
O< br>的直径
AB
的延长线与弦
CD
的延长线相交于点
P
，
E
为⊙
O
上一点，
AE
＝
AC
，
求证：∠
PDE
＝∠
POC
.



【解析】因
AE
＝
AC
，
AB
为直径，
故∠
OAC
＝∠
OAE
. ………………………………………………2
分
所以∠
POC
＝∠
O AC
＋∠
OCA
＝∠
OAE
＋∠
OAC
＝∠
EAC
. …………………………6分
又∠
EAC
＝∠
PDE< br>，…………………………………………………………………… 8分
所以∠
PDE
＝∠
POC
. ………………………………………………………………… 10分


B．选修
42
：矩阵与变换

1 1

1< br>
2
已知矩阵
A
＝

，向量
β
＝

．求向量
α
，使得
Aα
＝
β
．

2 1

2

【解析】∵
A
＝

（第21(A)题）

1

2
1

1
2
，∴
A
＝

1

2
1

1 1

3

＝

1

2 1

4
2

3


．……………………………………3分

x

2
设
α
＝

，则
Aα
＝
β
⇔

y



3
x
＋2
y
＝1，


4
x
＋3
y< br>＝2，


3


4
2
< br>x

1

3
x
＋2
y
1


＝

⇔

＝
.即
3

y

2

4
x
＋3
y

2


…………8分


x
＝－1，
解得


y
＝2，




－1

∴
α
＝

． ……………………………………………………………………………10

2

分

C．选修
44
：坐标系与参数方程
1
x
＝
t< br>，


2
在直角坐标系
xOy
中，直线
l< br>的参数方程为

23
y
＝＋
t


22

(
t
为参数)，若以直
角坐标系
xOy
的< br>O
点为极点，
Ox
为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线
C
的极
π

坐标方程为
ρ
＝2cos

θ
－

．若直线
l
与曲线
C
交于
A
，
B
两点，求线段
AB
的长度．
4

【解析】 直线
l
的直角坐标方程为
y
＝3
x
＋
2
， …………………………………………3分
2
2

2

2< br>
2

＋

y
－

＝1，………… ………………6
2

2

ρ
＝2cos

θ
－

的直角坐标方程为

x
－
4
< br>
π




分
∴圆心

分
∴
AB
＝
10
．…………… ………………………………………………………………10分
2
6
2
< br>2
，

到直线
l
的距离
d
＝，……………… ………………………………8
4
2

2


D．选修
45
：不等式选讲
111
若正数
a
，
b
，
c
满足
a
＋
b
＋
c
＝1，求＋＋的最小值．
3
a
＋23
b
＋23
c
＋2
【解析】因为正数
a
，
b
，
c
满足
a
＋
b
＋
c
＝1，
所以

分
即
111
＋＋≥1，…………………………………………………………8分
3
a
＋23
b
＋23
c
＋2

1
＋
1
＋
1

[(3
a
＋2)＋(3
b＋2)＋(3
c
＋2)] ≥(1＋1＋1)
2
，…………6


3
a
＋23
b
＋23
c
＋2

1
当且仅当3
a
＋2＝3
b
＋2＝3
c
＋ 2，即
a
＝
b
＝
c
＝时，原式取最小值1. …………10分
3


【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计 20分．请在答题卡指定区域内作答，解答
．．．．．．．
时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤．
22．（本小题满分10分）
甲、乙、丙三人商量周末自驾游，甲提议去六朝古都南 京，乙提议去江南水乡无锡，丙

表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是 ：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝
上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先 得4分者获胜．三人
均执行胜者的提议．记所需抛掷硬币的次数为
X
．
（1）求
X6
的概率；
（2）求
X
的分布列和数学期望．

1

1< br>
15
【解析】（1）
P

X6

2 C




………………………………4分
22216

3
5
32
（2）分布列为:
X

P
4 5 6 7
1

8
1

4
5

16
5

16
……………………………8分
∴
EX45
1
8
15593
67
………………………………………………10分
4161616
23．（本小题满分10分）
在如图所示的几何体中，四边形
ABCD
为矩形，平面
ABEF
⊥平面
ABCD
，
EF

AB
，∠
BAF
=90º，
AD
= 2，
AB
=
AF
=2
EF
=1，点
P
在棱
DF
上．
（1）若
P
是
DF
的中点， 求异面直线
BE
与
CP
所成角的余弦值；
（2）若二面角
D
-
AP
-
C
的余弦值为
F
6
3
，求
PF
的长度．

E

P


A

D

B

C
23. 解析：（1）因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，
因为 平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，
所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别
为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系
Oxyz
．
z
F
11
所以
B(1,0,0)
，
E(,0,1 )
，
P(0,1,)
，
C(1,2,0)
．
22
uuuruuur
11
所以
BE(,0,1)
，
CP(1,1,)
，
22
uuuruuur
uuuruuur
BECP45
ruuur

所 以
cosBE,CP
uuuu
，
|BE||CP|
15< br>即异面直线BE与CP所成角的余弦值为
E
P
A
B
x
C
D
y
45
． --------------------------5分 < br>15

uur
（2）因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为< br>n
1
(1,0,0)
．
uuuruuur
设P点坐标为< br>(0,22t,t)
，在平面APC中，
AP(0,22t,t)
，AC(1,2,0)
，
uur
2t2
)
， 所以 平面APC的法向量为
n
2
(2,1,
t
uuruur
uuruur
|n
1
n
2
|
26
uruurcosn
1
,n
2

u

所以，
3

|n
1
||n
2
|
2t2
2
(2)
2
1()
t
2
5
解得
t< br>，或
t2
（舍）． 所以
|PF|
． -------------------------10分
3
3
∴
EX45


1
8
15593
67
………………………………………………10分
4161616