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人教版高中数学必修五培优辅导拔高讲义
第一章 解三角形
1、正弦定理：在
C
中，
a
、
b
、
c
分别为角

、

、
C
的对边，
R
为C
的外接圆的半径，则
有
abc
2R
．
sinsinsinC
2、正弦定理的变形公式： ①
a2Rsin
，
b2Rsin
，
c2RsinC
；
abc
，
sin
，
sinC
； ③
a:b:csin:sin:sinC
；
2R2R2R
abc abc
④．（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其

sins insinCsinsinsinC
②
sin
中一边所对的角，求其余的 量。2、已知两角和一边，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）
如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a< br>扰着C点旋转，看所得轨迹与AD有无交点：1.当无交点则B无解、 2. 当有一个交点则B有一解、 3.
当有两个交点则B有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a的情况： 1.当a2.当bsinAb时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：
S
C
A
b
bsinA
D
C
a
111
bcsinabsinCacsin
．
222
2 22222
4、余弦定理：在
C
中，有
abc2bccos< br>，
bac2accos
，
c
2
a
2
b
2
2abcosC
．
b
2
c
2
a
2
a
2
b2
c
2
a
2
c
2
b
2
5、余弦定理的推论：
cos
，
cos
，
cosC
．
2bc2ab
2ac
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余 的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状：设
a
、
b
、
c
是
C
的角

、

、
C
的对边，
则：①若
abc
，则
C90
；②若
abc
，则
C90
；
③若
abc
，则
C90
．
222
o
222
o
222
o
A
B
C D
7.正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选 取相距
3
千米的C、D
两点，并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30, ∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B
之间的距离。



1
OOOO

8.三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
第二章 数列
1、数列：按照一定顺序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列．
5 、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a
n+1
>a
n< br>）．
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a
n+1< br>n
）．
7、常数列：各项相等的数列（即：a
n+1
=a
n
）．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
9、数 列的通项公式：表示数列

a
n

的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项
a
n< br>与它的前一项
a
n1
（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一 个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这
个常数称为 等差数列的公差．符号表示:
a
n1
a
n
d
。注：看 数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
a
n
a
n1d(n2,d为常数)
②2
a
n
a
n1
a< br>n1
(
n2
) ③
a
n
knb
(
n,k
为常数)
12、由三 个数
a
，

，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 ，则

称为
a
与
b
的等差中项．若
b
a c
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
13、若等差数列

a
n

的首项是
a
， 公差是
d
，则
a
1
n
a
1


n1

d
．
；
a
n
a
1
14、通项公式的变形：①
a
n
a
m


nm

d
；②
a
1
a
n


n1

d
；③
d
n1
a
n
a
m
a
n
a
1
d
1
；⑤④n
nm
d
．
*
15、若

a
n

是等差数列，且
mnpq
（
m
、
n
、
p
、
q
），则
a
m
差数列，且
2 npq
（
n
、
p
、
q
），则
2a
n
*
a
n
a
p
a
q
；若< br>
a
n

是等
a
p
a
q
．
n

a
1
a
n

S
n< br>
2
；②
S
n
na
1

16、等 差数列的前
n
项和的公式：①
n

n1

d．③
2
s
n
a
1
a
2
La< br>n

17、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn

2

*

，则
S
2n
n
< br>a
n
a
n1

，且
S
偶
S< br>奇
nd
，

S
奇
a
n
．②若项数为
2n1

n
*

，则< br>S
2n1


2n1

a
n
， 且
S
奇
S
偶
a
n
，
S
奇
n
（其中
S
偶
a
n1
S
偶
n1
S
奇
na
n
，
S
偶


n1

a
n
）．
18、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这
个常数称为等比 数列的公比．符号表示：
a
n1
q
（注：①等比数列中不会出现值为0的 项；②同号位上
a
n
的值同号） 注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：①a
n
a
n1
q(n2,q为常数,且0)

②
2
a
n
a
n1
a
n1
(n2
，
a
n
a
n1
a
n1
0
) ③
a
n
cq
n
(
c,q
为非零常数). ④正数 列{
a
n
}成等比的充要条件
是数列{
log
x
a
n
}（
x1
）成等比数列.
19、在
a
与b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比中项．若Gab
，
则称
G
为
a
与
b
的等比中 项．（注：由
Gab
不能得出
a
，
G
，
b
成等比，由
a
，
G
，
b

Gab
）
n1
20、若等比数列

a
n

的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
a
1
q
．
2
22


n1

nmn1
aaq
aaq
21、通项公式的变形：①
n
；②1
；③
q
m
n
a
n
nm
a
n
q

；④．
a
m
a
1
*
2 2、若

a
n

是等比数列，且
mnpq
（
m
、
n
、
p
、
q
），则
a< br>m
a
n
a
p
a
q
；若
a
n

是等比
数列，且
2npq
（
n、
p
、
q
），则
a
n
*
2
a
p
a
q
．

na
1

q1


23、等比数列

a
n

的前
n
项和的公式：①
S
n


a
1

1q
n

aaq
．②
s
n

1n

q1


1q

1q
a
1
a
2
La
n


s
1< br>a
1
(n1)
a
24、对任意的数列{
a
n< br>}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关 系：
n

[注]： ①

s
n
s
n 1
(n2)
（
d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等 差数列）→若
d
a
n
a
1


n1< br>
dnd

a
1
d

不为0，则是等 差数列充分条件）.②等差{
a
n
}前
n
项和
S
n
An
2
Bn

n
2


a
1


n
→


d

2


d

2

d
可以为 零
2
也可不为零→为等差的充要条件→若
d
为零，则是等差数列的充分条件； 若
d
不为零，则是等差数列的充
分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
．．
2 5、几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前
n
项和为
S
n
，在
d0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取
最大值时的n
值，有两种方法：一是求使
a
n
0,a
n1
0
，成立的
n
值；二是由
S
n

次函数的性质求n
的值.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

3
d2
d
n(a
1
)n
利用二
22

数列
等差数列
等比数列
通项公式

对应函数
（时为一次函数）
（指数型函数）


数列
等差数列

等比数列

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项 公式以及前n项和看成是关于n的函数，为
我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
26、等差数列
分析：因为
中，
是等差数列，所以
，则 .
前n项和公式 对应函数
（时为二次函数）
（指数型函数）
是关于 n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则
（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，所以利 用每两点形成直线斜率相等，即，得
=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关 系，并结合图像，直观、简洁。
27、等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大？
分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，
是抛物线=上的离散点，根据题意，，
则因为欲求
最大。
28、递增数列
最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，
，对任意正整数n，
递增得到：
恒成立，设
恒成立，求
对于一切

恒成立，即
，则只需求出
恒成
的最大值即可，
构造一次函数，由数列
立，所以

对一切
4

显然有最大值，所以的取值范围是：。
，它的定义域是，因为是递构造二次函数，看成函数
增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物 线对称轴，因为函数f(x)
为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上 看，对称轴在
的左侧也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，，得
⑵如果数列可以看 作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n
项和可依照等比数列前
111
n
项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
1,3,...(2n1),...

n
24
2
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，
公差是两个数列公差
d
1
，d
2
的最小公倍数.
29. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证
a< br>n
a
n1
(
a
n
)
为同一常数(2)通 项公式法。(3)中项公式法:验证
a
n1
2
2a
n1
a
n
a
n2
(a
n1
a
n
a< br>n2
)nN
都成立。

a
m
0
30. 在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的最值问题：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足

的项数m使得
s
m
取
a0

m1
最大值. (2)当
a
1
<0,d >0时，满足的项数m使得
s
m
取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化
思想的应用。
二、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于

的数列等。
3.错位相减法:适用于

a
n
b
n

其中{
a
n
}是等 差数列，

b
n

是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论1）: 1+2+3+...+n =

c


其中{
a
n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘

a
n< br>a
n1

n(n1)
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n

2
5

1

1

3）
12n

n(n1)

4）
1
2
2
2
3
2
n
2n(n1)(2n1)

6

2

333
2
5）

()
6）
()(pq)

n(n1)nn1n(n2)2nn2pqqppq
第三章 不等式
1、
ab0ab
；
ab0ab
；
ab0a b
．
2、不等式的性质： ①
abba
；②
ab,bc ac
；③
abacbc
；
④
ab,c0ac bc
，
ab,c0acbc
；⑤
ab,cdacbd
；
b
n

n,n1

； ⑧
ab0
n
a
n
b

n,n1
．
d0ac
a
bd
⑥

；⑦
b0 a
n
3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
5.整式不等式（高次不等式）的解法
穿根法（零点分段法）求解不等式：
a
0
x
n
a
1
x
n1
a
2
x
n2
a
n
0(0)(a
0
0)

解法：①将不等式化为a
0
(x-x
1
)(x-x
2
)…(x-x
m
)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)
②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；③由右上方穿线（即从右向左、从上往下：
偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化 “+”
后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的 区间.（自右
向左正负相间）



+

X
1
+

—X
2
X
3
+

X
n-2
X
n-1
—X
n
+

X

一元二次不等式的求解：
① 一元一次不等式ax>b解的讨论； ②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.

二次函数

0

0

0

2
yax
2
bxc

（
a0
）的图象




6

一元二次方程
有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

ax
2
bxc0

a0

的根
a x
2
bxc0
(a0)的解集
ax
2
bxc 0
(a0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
 x
2
)

x
1
x
2

b

2a

b


xxx
1
或xx
2




xx


2a



xx
1
xx
2








对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
2.分式不等式的解法（1）标准 化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
g(x)g(x)g(x)g(x)
（2）转化为整式不等式（组）
f(x)f(x)
f(x)g(x)0
0f(x)g(x)0;0


g(x)0

g(x)g(x)

3.含绝对值不等式的解法：基本形式：①型如：|x|＜a (a＞0) 的不等式 的解集为：

x|axa


②型如：|x|＞a (a＞0) 的不等式 的解集为：

x|xa,或xa

变型：其中-c|axb|c(c0)型的不等式的解集可以由
x|caxbc

解得。

axbc
在解-caxbc(c0)
型的不等式的解法可以由< br>
axbc


x|axbc,或axbc

来解。 ③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”
分类讨论来解. ④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：
设ax+bx+c=0的两根为

、

，f(x)=ax+bx+c,那么：
22
2
y

0

①若两根都大于0，即
0,

0
，则有



0



•

0


o


x
对称轴x=

b

2a
y

0

b

②若两根都小于 0，即

0,

0
，则有

0


2a


f(0)0


7

b
对称轴x=


2a

o x

③若两根有一根小于0一根大于0，即

0

，则有
f(0)0



④若两根在两实数m ,n之间，即
m



n
，
o
y


x


y

0
< br>b

mn

则有


2a

f(m)0



f(n)0
⑤若两个根在三个实数之间，即
m

t

n
，
o
y
m

n
b
X=


2a

x

f(m)0

则有

f(t)0


f(n)0

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
o m

X=
t

n
x
5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

b
< br>2a
7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对

x,y

，所有这
样的有序数对< br>
x,y

构成的集合．
8、在平面直角坐标系中，已知直线
xyC0
，坐标平面内的点


x
0
,y0

．
①若
0
，
x
0
y
0
C0
，则点


x
0
,y
0

在直线
xyC0
的上方．
②若
0，
x
0
y
0
C0
，则点


x
0
,y
0

在直线
xyC0
的下方．
9、在平面直角坐标系中，已知直线
xyC0
．
（ 一）由B确定：①若
0
，则
xyC0
表示直线
x yC0
上方的区域；
xyC0
表示直线
xyC0
下方的区域．②若
0
，则
xyC0
表示直线
xyC0
下方
的区域；
xyC0
表示直线
x yC0
上方的区域．
（二）由A的符号来确定： 先把x的系数A化为正后，看不等号方向：①若是“>”号，则
xyC0

8

所表示的区域为直线l:
xyC0
的右边部分。②若是“<”号，则
xyC0
所表示的区
域为直线l:
xyC0
的左边部分。
（三）确定不等式组所表示区域的步骤： ①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线②定测：由上
面（一）（二）来确定 ③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
10、线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性 约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解

x,y

． 可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
a b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称为正数< br>a
、
b
的几何平均数．
2
ab
12、均值不等式定理： 若
a0
，
b0，则
ab2ab
，即
ab
．
2
11、设
a
、
b
是两个正数，则
a
2
b
2
13 、常用的基本不等式：①
ab2ab

a,bR

；②
ab

a,bR

；③
2
22
a
2
b
2

ab

ab

ab



a0,b0

； ④


a,bR

．
222

14、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有：⑴若
xys
（和为定值），则当
xy
时，积
xy
取得最大值
22
s
2
．⑵若
xyp
（积为定值），则当
xy
时，和xy
取得最小值
2p
．
4
第1讲 正弦定理和余弦定理
★ 知 识 梳理 ★
1. 内角和定理：在
ABC
中，
A BC

；
sin(AB)sinC
；
cos(AB) cosc

cos
C
AB

sin
2

2
2.面积公式:
S
ABC

111
absinCbcsinA casinB

222
abc


sinAsinBs inC
3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 公式为：
4.余 弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
公式为：
abc2bccosA

bca2cacosB

cab2abcosC

222222
222

9

b
2
c
2
a
2
c
2
a
2
b< br>2
a
2
b
2
c
2
变形为：
co sA
；
cosB
；
cosC

2bc2ca2ab
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：熟练掌握正弦定理、余 弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注
意四大定理的正用、逆用和变形 用
2.难点：根据已知条件,确定边角转换.
3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知 条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程
以及解三角形中的分类讨论问题.
(1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论
o
问题1: 在
ABC
中，A、B的对边分别是
a
、且
A30
,a23
，那么满足条件
ABC
（ ）
b
，
b4
，
A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定
问题2: 已知圆内接四边形
ABCD< br>的边长分别为
AB2
，
BC6
，
CDDA4
，求四边形
ABCD
的





★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1: 运用正、余弦定理求角或边
题型1.求三角形中的某些元素
例1. 已知：
A
、
B
、
C
是
ABC
的内角，
a
，
b
，
c
分别是其对边长，向量
B
O
C
D
A
m(3,c os


A

1)
,
n(cos(A), 1)
2
cosB







10



mn
.，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若< br>a2
，

3
，求
b
的长.
3

题型2判断三角形形状
[例2] 在
ABC
中，
bcosAacosB
，试判断三角形的形状.



考点2: 三角形中的三角变换
题型:利用正、余弦定理和三角函数的 恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.
例1. 设
ABC< br>的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
，且
A60
，
c3b
。 求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）
o
a
c
cotBcotC
的值.




考点3 与三角形的面积相关的题
题型1:已知条件求面积
例1: 在
ABC
中，
cosA
面积．




题型2:已知面积求线段长或角
例2.在
ABC
中，
cosB
的长．






11
53
，
cosB
． （Ⅰ）求
sinC
的值；（Ⅱ）设< br>BC5
，求
△ABC
的
135
5433
,
cosC
． ⑴求
sinA
的值；⑵设
ABC
的面积
S
ABC

，求
BC
1352

第2讲 解三角形应用举例
★ 知 识 梳理 ★
1.已知两角和一边（如< br>A,B,c
），由
ABC

求
C
，由正弦定理 求
a,b
．
2.已知两边和夹角（如
a,b,C
），应用余弦定理 求
c
边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用
ABC
，求另一角．
3.已知两边和其中一边的对角（如
a,b,A
），应用正弦定理 求
B
，由
ABC

求
C
，再由正弦定理或余弦定理求
c
边，要注意解可能有多种情况．
4.已知三边
a,b, c
，应用余弦定理求
A,B,C
，再由
ABC

，求 角
C
．
5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向 旋转到目标的方向线所成的角
（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，偏西××度.
6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上
方的角叫仰角,视线在 水平线下方的角叫俯角.如图中
OD,OE
是视线，
DOC
是仰角，
EOC
是俯角.
7.关于三角形面积问题
111
ah
a＝bh
b
＝ch
c
（h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c上的高）；
222
111
②
SABC
＝absinC＝bcsinA＝acsinB； ③
S
ABC
＝2R
2
sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）
222
1
abc

④
S
ABC
＝； ⑤
S
ABC
＝
s(sa)(sb)(sc)
,
< br>s(abc)

；
2
4R

①
S
ABC
=
⑥
S
ABC
＝
r
·
s
,( r为△ABC内切圆的半径)

★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题
2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.， 熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；（1）解三角函数应用
题要通过审题领会其中的数的本质，将问 题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模
型，需要哪些定理或边角关系列出等量或 不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出
数学问题。
问题1. 如图， 为了计算北江岸边两景点
B
与
C
的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取< br>A
和
D
两个测
量点，现测得
ADCD
，
A D10km
，
AB14km
，
BDA60
，
B CD135
，求两景点
B
与

C
的距离（假设
A,B,C,D
在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：
21.414,






12
31.732,52.236
）

问题2. 用同样高 度的两个测角仪
AB
和
CD
同时望见气球
E
在它们的正西方 向的上空，分别测得气球的
仰角是

和

,已知
B,D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.

.



★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1:测量问题
题型:运用正、余弦定理解决测量问题
例1.如图4-4-12，甲船以每小时
30 2
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲
船位于
A
1
处时，乙船位于甲船的北偏西
105
方向的
B
1
处，此时两 船相距20海里，当甲船航行20分钟到
o
达
A
2
处时，乙船航行到 甲船的北偏西
120
方向的
B
2
处，此时两船相距
102< br>海里，问乙船每小时航行多
o
少海里？





北
120
o

A

2
B
2

B
1

乙
105
o

A
1

甲
例2.如图，某住 宅小区的平面图呈扇形
AOC
．小区的两个出入口设置在点
A
及点
C
处，小区里有两条
笔直的小路
AD,DC
，且拐弯处的转角为
120
．已知某人从
C
沿
CD
走到
D
用了10分钟，从< br>D
沿
DA
走
到
A
用了6分钟．若此人步行的速度为每 分钟50米，求该扇形的半径
OA
的长（精确到1米）．








13
A
120
0
o
C
H
O

【新题导练】
1． 为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图 ，要求
ACB60
，
BC
的
o
长度大于1米，且
AC
比
AB
长0.5米 为了广告牌稳固，要求
AC
的长度越短越好，求
AC
最短
A
为多少米？且当
AC
最短时，
BC
长度为多少米？








★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1:测量问题
题型:运用正、余弦定理解决测量问题
[例1] (2007·山东) 如图4-4-12，甲船以每小时
302
海里的速度向正北方 航行，乙船按固定方向匀速直
线航行，当甲船位于
A
1
处时，乙船位于甲船的 北偏西
105
方向的
B
1
处，此时两船相距
20
海 里，当甲船航
o
行
20
分钟到达
A
2
处时，乙船航 行到甲船的北偏西
120
方向的
B
2
处，此时两船相距
10 2
海里，问乙船
o
C B
每小时航行多少海里？
.







【新题导练】
1．甲船在 A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行
驶，而甲 船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60
o
方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船 相
距最近？
北







14
120
o
A
2
B
2
B
1
乙
105
o
A
1
甲

2．在奥运会 垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向
把球击出， 根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击
手能不能接 着球？（如图所示）

[例2] （08上海高考）如图，某住宅小区的平面图呈扇形A OC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，
小区里有两条笔直的小路
AD，DC
， 且拐弯处的转角为
120
．已知某人从
C
沿
CD
走到
D
用了10分钟，
从
D
沿
DA
走到
A
用 了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径
OA
的长（精确到1
米 ）．









【新题导练】
1.如图，货轮在海上以35公里小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到 目标方向线的水平角)为152
o
的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角 为122
o
．半小时后，货轮到达C点处，观
测到灯塔A的方位角为32
o< br>．求此时货轮与灯塔之间的距离．
北
B

北




15
32
o
152
o
122
o
o

A
C

2. （汕头市金山中学2015届高三数学期中考试）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角
形支架形状如图，要求
ACB60
，BC的长度大于1米，且AC比AB长0 .5米 为了广告牌稳固，
0
求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？









★ 抢 分 频 道 ★
1. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30 千米内的
地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（ ）
A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时
2．在ABC
中，
A:B1:2
，
C
的平分线
CD
把三角形面积分成
3:2
两部分，则
cosA
（ ）
A
A
C B
北
D
C
30 km
西
45
0
A
40 km
B
东
南
113
B C D
0

324
r

3．如图，在斜度一定的山坡上的一点 A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山
顶前进100m后，又从点B测得斜度为4 5，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度，则
h
cos= .
4．如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子
边缘的光线与桌面的夹角
θ
的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即
sin

I=k·
2
，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么电灯悬挂的高度h= ，才能使桌子
r
边缘处最亮.
5.（15年韶关市二模） 某市电力部门在今年的抗 雪救灾的某项重建工程中，需要在
A
、
B
两地之间架设
高压电线，因 地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距
3
km
的
C
、
D
两地（假
设
A
、
B
、
C< br>、
D
在同一平面上），测得∠
ACB75
，
BCD45
，
ADC30
，
ADB45
（如
图），假如考虑到 电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是
A
、
B
距离 的
问施工单位至少应该准备多长的电线？










16
oooo
R
4
倍，
3
B
A
75

45

45< br>
30

C
D

6. 在海岛A上有 一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，
俯角为30° 的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。(1)求船的航行速度是
每 小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？


P
北


B
C

西
东

D
A



7. 在正三 角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边
BC上 ，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值






8. 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开 ，小船被风刮跑，其方向
与湖岸成15°角，速度为2.5kmh，同时岸边有一人，从同一地点开始追 赶小船，已知他在岸上跑的速度
为4kmh，在水中游的速度为2kmh.问此人能否追上小船.若小船 速度改变，则小船能被人追上的最大速
度是多少？

,





.











17
B
vt
2(1－k)t
O
15°
4kt
A

第3讲 等差数列
★ 知 识 梳理 ★
1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数
d< br>，这个数列叫做
等差数列，常数
d
称为等差数列的公差.
2.通项公式与前
n
项和公式 ⑴通项公式
a
n
a
1(n1)d
，
a
1
为首项，
d
为公差.⑵前
n
项和公式
S
n

n(a
1
a
n)
1
或
S
n
na
1
n(n1)d
.
22
3.等差中项 如果
a,A,b
成等差数列，那么
A< br>叫做
a
与
b
的等差中项. 即：
A
是
a与
b
的等差中项

2Aab

a
，
A
，
b
成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：< br>a
n1
a
n
d
（
nN

，
d
是常数）


a
n

是等差数列； < br>⑵中项法：
2a
n1
a
n
a
n2
(
nN

)


a
n

是等差数 列.
⑶通项公式法：
a
n
knb
（
k,b
是常数）


a
n

是等差数列；
2
⑷ 前
n
项和公式法：
S
n
AnBn
（
A,B是常数，
A0
）


a
n

是等差 数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列

a
n
是等差数列，则数列

a
n
p

、

pa
n

（
p
是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列< br>
a
n

中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即
a< br>n
,a
nk
,a
n2k
,a
n3k
, 
为等差数列，
公差为
kd
.
2
⑶
a
n
a
m
(nm)d
；
a
n
anb
(
a
,
b
是常数)；
S
n
anbn
(
a
,
b
是常数，
a0
)
⑷若
mn pq(m,n,p,qN

)
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
⑸若等差数列

a< br>n

的前
n
项和
S
n
，则


S
n


是等差数列； ⑹当项数为
2n(nN
)
，则
n

S
偶
S
奇
nd,
S
偶
a
n1
S
n1
； 当项数为2n1(nN

)
，则
S
奇
S
偶
a
n
,
偶

.

S
奇
a
n
S
奇
n
★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前
n
项和公式并能解决实际问题；理解等差中
项的概念,掌握等差数列的性质.
2.难点：利用等差数列的性质解决实际问题.
3.重难点：正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题.

18

⑴求等差数列的公差、求项、求值、求和、求
S
n
最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质.
问题1：已知
mn
,且
m ,a
1
,a
2
,a
3
,n
和
m,b
1
,b
2
,b
3
,b
4
,n
都是等差数 列，则
a
3
a
1


b
3b
2
4
x
12
.
问题2：已知函数
f(x) 
则 ①
f()f()
；
x
24
33
②
f(
122008
)f()f()
.
2
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1等差数列的通项与前n项和
题型1已知等差数列的某些项，求某项
【例1】已知

a
n

为等差数列，
a
15
8,a
60
20
，则
a
75


题型2已知前
n
项和
S
n
及其某项，求项数.
【 例2】⑴已知
S
n
为等差数列

a
n

的 前
n
项和，
a
4
9,a
9
6,S
n
63
，求
n
；
⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为 124，且所有项的和为780，求这个数列的项数
n
.





2
【例3】已知
S
n
为等差数列
< br>a
n

的前
n
项和，
S
n
12n n
.
⑴
a
1
a
2
a
3
； ⑵求
a
1
a
2
a
3
a
10
； ⑶求
a
1
a
2
a
3
a
n
.




【新题导练】
1.已知

a< br>n

为等差数列，
a
m
p,a
n
q（
m,n,k
互不相等），求
a
k
.
2.已知
S
n
为等差数列

a
n

的前< br>n
项和，
a
1
1,a
4
7,S
n
100
，则
n
.
3.已知
5
个数成 等差数列，它们的和为
5
，平方和为
165
，求这
5
个数.
4.已知
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
S
10
100,S
100
10
，求
S
110
.
考点2 证明数列是等差数列
【例4】 已知
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
b
n




19
S
n
(nN

)
.求证：数列

b
n< br>
是等差数列.
n

【新题导练】 5.设
S
n
为数列

a
n

的前n
项和，
S
n
pna
n
(nN

)
，
a
1
a
2
.
⑴求常数
p
的 值；⑵求证：数列

a
n

是
等差数列.


考点3 等差数列的性质
【例5】⑴已知
S
n
为等差数 列

a
n

的前
n
项和，
a
6< br>100
，则
S
11

；
⑵ 知
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
S
n
m,S
m
n(nm)，则
S
mn

.
【新题导练】
6.含
2n1
个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）
A.
2n1n1n1
n1

B.

C.

D.

nn
n2n
1
211
b
3
11
，
b
n2
2b
n 1
b
n
，数列

b
n

满足：
nn
；
22
考点4 等差数列与其它知识的综合
【例6】已知
S
n
为数列

a
n

的前
n
项 和，
S
n

其前
9
项和为
153.
⑴求 数列

a
n

、

b
n

的通项公式； ⑵设
T
n
为数列

c
n

的前
n
项和，
c
n









6
k
，求使不等式
T
n

对
nN

都成立的最大正整数
k
的值. < br>(2a
n
11)(2b
n
1)
57
【新题导练】
8.已知
S
n
为数列

a
n

的 前
n
项和，
a
1
3
，
S
n
S< br>n1
2a
n
(n2)
.⑴求数列

a
n

的通项公式；⑵数列

a
n

中是否存在正整 数
k
，使得不等式
a
k
a
k1
对任意不小于< br>k
的正整数都成立？若存在，求最小的正整数
k
，
若不存在，说明理由 .









20

★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1.(2014广雅中学)设数列

a
n

是等差数列，且
a
2
8
，
a
15
5
，
S
n
是数列

a
n

的前
n
项和，则( )
A．
S
10
S
11
B．
S
10
S
11
C．
S
9
S
10
D．
S
9
S
10

2.在等差数列

a
n

中，
a
5
120
，则
a
2
a
4
a
6
a
8

.
3.数列

a
n

中，
a
n
2n49
，当数列

a
n

的前
n
项 和
S
n
取得最小值时，
n
.
4.已知等 差数列

a
n

共有
10
项，其奇数项之和为10
，偶数项之和为
30
，则其公差是 .
5.设数列

a
n

中，
a
1
2,a
n 1
a
n
n1
，则通项
a
n

.
6.从正整数数列
1,2,3,4,5,
中删去所有的平方数，得到一个新数 列，则这个新数列的第
1964
项是 .
7.(2013广雅中学)已知等差数 列

a
n

中，
a
2
20,a
1
a
9
28
.⑴求数列

a
n

的通项公式；
⑵若数列

b
n

满足
a
n
log
2
b
n
，设
T
n
b
1
b
2
Lb
n
，且
T
n
1，求
n
的值.








8.已知
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
a
1
25,a
4< br>16.
⑴当
n
为何值时，
S
n
取得最大值； ⑵求
a
2
a
4
a
6
a
8
a
20
的值；⑶求数列
a
n
的前
n
项和< br>T
n
.









*
9.(2015执信中学)已知数列

a
n

满足
a
1
1,a
2
3,a
n2< br>3a
n1
2a
n
(nN).
⑴证明：数列

a
n1
a
n


是等比数列；⑵求数列
a
n

的通项公式；⑶若数列

b
n

满足
4
1
4
是等差数列.




21
b1b
2
1
...4
b
n< br>1
(a
n
1)
b
n
(nN
*
),
证明

b
n


、
2
10.(2008北京）数列
a
n

满足
a
1
1,a
n1
( nn

)a
n
(n1,2,)
，

是常数 .⑴当
a
2
1
时，求

及
a
3
的值；⑵数列

a
n

是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项 公式；若不可能，说明理由；
⑶求

的取值范围，使得存在正整数
m
，当
nm
时总有
a
n
0
.









第4讲 等比数列
★ 知 识 梳理 ★
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它 前一项的比等于同一个常数
q(q0)
，这个数列叫做等比数
列，常数
q
称为等比数列的公比.
n1
2.通项公式与前
n
项和公式 ⑴通项公式：
a
n
a
1
q
，
a
1
为首项，
q
为公比 .
a
1
(1q
n
)
a
1
a
n
q
⑵前
n
项和公式：①当
q1
时，
S
n
na
1
②当
q1
时，
S
n

.

1q1q
3.等比中项 如果
a,G,b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项.即：
G
是a
与
b
的等差中项

a
，
A
，
b
成等差数列

G
2
ab
.
4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：
a
n1
q
（
nN

，
q0
是常数）


a
n
是等比数列；
a
n
⑵中项法：
a
n1
 a
n
a
n2
(
nN

)且
a
n
0


a
n

是等比数列.
2
5.等比数列的常用性质
⑴数列

a
n
是等比数列，则数列

pa
n

、

pan

（
q0
是常数）都是等比数列；
⑶ 等比数列

a
n

中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即
a
n
,a
nk
,a
n2k
,a
n3k
,为等比数列，
k
nm
公比为
q
. ⑶
a
n
a
m
q(n,mN

)

⑷
mnpq(m,n,p,qN

)
，则
am
a
n
a
p
a
q
；

22

⑸ 等比数列

a
n
< br>的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2k
S
k
、
S
3k
S
2k
、
S
4k
S
3k
是等比数列.
⑹ 等比数列的判定方法：
⑴定义法：
a
n1
q
（
nN

，
q0
是常数）


a
n

是等比数列；
a
n
2
⑵中项法：
a
n1
a
n
a
n2
(
nN

)且
a< br>n
0


a
n

是等比数列.
★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通 项公式、前
n
项和公式并能解决实际问题；理解等比中
项的概念,掌握等比数列的性质 .
2.难点：利用等比数列的性质解决实际问题.
3.重难点：正确理解等比数列的概念，灵活运用等比数列的性质解题.
⑴求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.
n
问题1：已知等比数列

a
n

的前
n
项 和
S
n
p1
(
p
是非零常数),则数列
a
n

是( )
A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列
问题2：若实数数列
1,a
1< br>,a
2
,a
3
,4
是等比数列，则
a
2
.
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1等比数列的通项与前n项和
题型1已知等比数列的某些项，求某项
【例1】 已知

a
n

为等比数列，
a
2
2,a
6
162
，则
a
10


【例2】⑴已知
S
n
为等比数列

a
n

前
n
项和，
S
n
93
，
a
n< br>48
，公比
q2
，则项数
n
.
⑵已知 四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为
37
，中间两数
之和为
36
，求这四个数.

题型3 求等比数列前
n
项和
【例3】等比数列
1,2,4,8,
中从第5项到第10项的和.
23n 1
【例4】已知
S
n
为等比数列

a
n

前
n
项和，
a
n
13333
，求
S
n

n
【例5】已知
S
n
为等比数列

a
n

前
n
项和，
a
n
(2n1)3
，求
S
n
.
【新题导练】
1. 已知

a
n

为等比数列，
a
1
a2
a
3
3,a
6
a
7
a
8< br>6
，求
a
11
a
12
a
13
的值.
2.如果将
20,50,100
依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则 这个等比数列的公比为 .
3.已知
S
n
为等比数列
a
n

的前
n
项和，
a
2
3,a< br>6
243,S
n
364
，则
n
；
4.已知等比数列

a
n

中，
a
21
，则其前3项的和
S
3
的取值范围是 .
5.已知
S
n
为等比数列

a
n

前n
项和，
a
n
0
，
S
n
80，
S
2n
6560
，前
n
项中的数值最大的项为54 ，
求
S
100
.

23

考点2 证明数列是等比数列
2
a
nn4
，
b
n
(1)
n
(a
n
3n21)
，其中

为
3
实数，
nN
.⑴ 对任意实数

，证明数列

a
n

不是 等比数列；⑵ 试判断数列

b
n

是否为等比数列，并
【 例6】已知数列

a
n

和

b
n

满足：
a
1


，
a
n1

证明你的结论.








【新题导练】
6.已知数列
{a
n
}
的首项< br>a
1






考点3 等比数列的性质
【例7】已知
S
n
为等比数列

a
n

前
n
项和，
S
n
54
，
S
2n
60
，则
S
3n

.
【新题导练】
7.已知等比数列

a
n

中，< br>a
n
0,(2a
4
a
2
a
6
)a
4
36
，则
a
3
a
5

.
考点4 等比数列与其它知识的综合
【例8】设
S
n
为数列< br>
a
n

的前
n
项和，已知
ba
n
2

b1

S
n
⑴证明：当
b 2
时，
a
n
n2
n1
是
n
2a< br>n
1
2
，
a
n1

，
n1,2 ,3,
…．证明：数列
{1}
是等比数列；
a
n
 1a
n
3

等比数列；⑵求

a
n
< br>的通项公式





【新题导练】
n n
*
8.设
S
n
为数列

a
n

的前
n
项和，
a
1
a
，
a
n 1
S
n
3
，
nN
.⑴ 设
b
nS
n
3
，求数列

b
n

的通< br>项公式；⑵ 若
a
n1
a
n
(nN

)
，求
a
的取值范围．



24

★ 抢 分 频 道 ★
拔高巩固训练
1.设

a
n

是公比为正数的等 比数列，若
a
1
1,a
5
16
，则数列
a
n

前7项的和为（ ）
A.
63

B.
64

C.127

D.
128

S
4

（ ）
a
2
1517

C.

D.

A.
2

B.
4

2
2
3.已知等比数列
{a
n
}
满足
a< br>1
a
2
3，a
2
a
3
6
， 则
a
7

（ ）

D.
243

A.
64

B.
81

C.128

2.设等比数列
{a
n
}
的公比
q2
， 前n项和为
S
n
，则

4.已知等比数列

an

的前三项依次为
a1
，
a1
，
a4
，则
a
n

（ ）


3

2

3

A．
4

B．
4

C．
4


2

3

2

nnn1

2

D．
4


3

n1

1
，则
a
1
a
2
a
2
a
3
 a
n
a
n1
=（ ）
4
3232
A.
16(14
n
)

B.
16(12
n
)

C.
(14
n
)

D.
(12
n
)

33
6.(2014广雅中 学)在等比数列中，已知
a
9
a
10
a(a0)
，< br>a
19
a
20
b
，则
a
99
 a
100

.
5.已知

a
n

是等比数列，
a
2
2，a
5

7.( 2015执信中学)等差数列

a
n

中，
a
4< br>10
且
a
3
，a
6
，a
10
成等 比数列，求数列

a
n

前20项的和
S
20．




8.(2009金山中学)已知数列
< br>a
n

的前
n
项和为
S
n
，
S
n

⑵证明数列

a
n

是等比数列 ，并求
S
n
．








1
(a
n
1)

nN


； ⑴求
a
1
，
a
2
的值；
3
2< br>a
n
n4
，
b
n
(1)
n
(a
n
3n21)
，
3
其中

为实数，
nN

.⑴ 对任意实数
，证明数列

a
n

不是等比数列；⑵ 证明：当< br>
18
，数列

b
n

是等比数列； ⑶设
S
n
为数列

b
n

的前
n
项和，是否存在实数

，使得对任意正整数
n
，都有
Sn
12
？
9.(2014湖北)已知数列

a
n

和

b
n

满足：
a
1


，
a
n1


25

若存在，求

的取值范围；若不存在，说明理由.


第4讲 数列的通项的求法
★ 知 识 梳理 ★
1．数列通项的常用方法：
⑴利用观察法求数列的通项.
⑵利用公式法求数列的通项：①< br>a

S（
1
n1)
n


2)< br>；②


S
a
n

等差、等比数列

a
n

公式.
n
S
n1
(n< br>⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①
a
n1
a
n
f(n)
；②
a
n1
a
n
f(n).

⑶构造等差、等比数列求通项：
2．
aq
；②
a
n< br>n1
pa
n
n1
pa
n
q
；③< br>a
n1
pa
n
f(n)
；④
a
n2
pa
n1
qa
n
.
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法.
2.难点：由数列递推关系式的特点，选择合适的方法.
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点 求数列的通项公式
题型1 利用公式法求通项
【例1】已 知
S
项和，求下列数列

a
2
n
为数列

a
n

的前
n
n

的通项公式：⑴ S
n
2n3n1
；
S
n
2
n
1
.






题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项
【例2】⑴已知数列

a
n
< br>中，
a
1
2,a
n
a
n1
2n1 (n2)
，求数列

a
n

的通项公式；
⑵已 知
S

a
n
项和，
a
2
n
为数列
n

的前
1
1
，
S
n
na
n
，求数列

a
n

的通项公式.






题型3 构造等比数列求通项
【例3 】已知数列

a
n

中，
a
1
1,a< br>n1
2a
n
3
，求数列

a
n

的通项公式.

26
⑵

n
【例4】已知数列

a
n

中，a
1
1,a
n1
2a
n
3
，求数列< br>
a
n

的通项公式.






【例5】已知数列

a
n

中，a
1
1,a
2
2,a
n2
3a
n1
2a
n
，求数列

a
n

的通项公式.





【新题导练】
1.已知
S< br>n
为数列

a
n

的前
n
项和，
S
n
3a
n
2(nN

,n2)
，求数列

a
n

的通项公式.



2.已知数列

a
n

中，
a
1
2,(n2)a
n1
(n1)a
n
0(nN

)
，求数列

a
n

的通项公式.



3.⑴已知数列

a
n

中，
a
1
1,a
n1

2
a
n
2
，求数 列

a
n

的通项公式；
3
⑵已知数列

a
n

中，
a
1
1,a
n1
2a
n
n
，求数列

a
n

的通项 公式.



n
4.已知数列

a
n< br>
中，
a
1
1,a
n1
3a
n
3
，求数列

a
n

的通项公式.




nn
5.（2012全国卷理）设数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
a,a
n1
S
n
3(nN

)
，设
b
n
S
n
3
，
求数列

b
n

的通项公式．





27

6.(2014广东文
•
节选) 已知数列

a
n

中，
a
1
1,a
2
2,a
n
项公式.






★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
n
1.若数列

a
n

的前
n
项和
S
n
a1
（
aR
，且
a0
），则此数列是( )
12
a
n1
a< br>n2
(n3)
，求数列

a
n

的通< br>33
A.
等差数列
B.
等比数列
C.
等差数列或等比数列
D.
既不是等差数列，也不是等比数列 2.数列

a
n

中，
a
1
1,a
n
n(a
n1
a
n
)
，则数列
< br>a
n

的通项
a
n

( )
n1
n1
)

D.
n

n
3.数列

a
n

中，
a
n1
3a
n
2(nN

)
,且
a
10
 8
，则
a
4

( )
180126

D.


A.

B.


C.
81812727
224.设

a
n

是首项为1的正项数列，且
(n1) a
n1
na
n
a
n1
a
n
0( nN

)
，则数列

a
n

的通项A.2n1

B.
n
2

C.
(
a
n

.
5.数列

a
n

中，
a
1
1,a
n 1

2a
n
(nN

)
，则

a
n

的通项
a
n

.
2 a
n
6.数列

a
n

中，
a
1
1,a
n
a
n1

7.数列

a
n

中，
a
1
2,a
n1

a
n
a
n1
(nN

)
，则

a
n

的通项
a
n

.
2a
n
(nN

)
，求数列

a
n
的通项公式.
4a
n






8.已知数列

a
n

中，
a
1
2,a
2
1,a
n2
5a
n1
a< br>n
0(nN

)
，求数列

a
n

的通项公式.








28

第5讲 数列求和
★ 知 识 梳 理 ★
1.基本数列的前
n
项和

n(a
1
a
n
)

2

1

⑴ 等差数 列

a
n

的前
n
项和：
S
n< br>

na
1
n(n1)d

2

2

anbn


⑵ 等比数 列

a
n

的前
n
项和
S
n：
a
1
(1q
n
)
a
1
an
q
①当
q1
时，
S
n
na
1< br>；②当
q1
时，
S
n

；

1q1q
⑶ 基本数列
n
的前
n
项和：S
n


2
1
n(n1)(2n1)
.
6
2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：掌握由数列通项公式求数列的前
n
项之和的方法；
2.难点：利用裂项相消法、错位相减法求数列的前
n
项之和.
3.重难点：灵活选择数列求和的方法，注意裂项相消法求和中项数及项的处理.
4.数列求和的常用方法：公式法、性质法、拆项分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.
⑴抓住等差，等比数列的项的性质，整体代值可简化解题过程.
问题1：⑴已知
S< br>n
为等比数列

a
n

的前
n
项和 ，公比
q2,S
99
7
，则
a
3
a
6
a
9
a
99

；
⑵等差数列

a
n

中，公差
d
1
，且
a
1
a
3
a
5
a
99
60
，则
a
1
a
2
a
3
a
100

.
2
⑵裂项相消法求和中注意项数及项的处理.
问题2：数列
1111
,,,,,
的前
n
项和
S
n


223234234(k1)
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点 已知数列的通项公式，求数列前n项之和
题型1 公式法、性质法求和
2，2，2,
中的第5项到第10项的和为： 【例1】⑴等比数列
1，
⑵等差数列

a
n

的前
n
项和为 18，前
2n
项为和28，则前
3n
项和为
题型2 拆项分组法求和
【例2】求数列
(2n1)
的前
n项和
S
n
.


29
23

2


题型3 裂项相消法求和
【例3】求和：





题型4错位相减法求和
n
【例4】若数列

a
n

的通项
a
n
(2n1)3
，求此数列的前
n
项和
S
n
.
1111

.
122334n(n1)



题型5 倒序相加法求和
x
2
11
【例5】设
f(x)
，求：⑴
f(1
4
)f(
3
)f(
2
)f(2)f(3) f(4)
；
2
1x
111
)f(
2009
) f(
1
⑵
f(
20103
)f(
2
)f (2)f(2009)f(2010).





【新题导练】
1.已知等比数列

a
n

中，< br>a
n
0,a
1
,a
9
为
x
210x160
的两个根，则
a
4
a
5
a6

.
2.设函数
f(x)
定义如下表，数列{x
n
}
满足
x

5
且
x
n1
f(x
n
)(nN)
，则
x
2010

.
x

f(x)

1
4
2
1
3
3
4
5
5
2 3.求数列
1，2，3，，(n
1
2
1
4
1
8
1
)，
的前
n
项和
S
n
.
n
2
4.求数列
1,12,123,,123n,
的 前
n
项和
S
n
.
5.⑴ 求和：
1111

；
132435n(n2)
1111

；
1447710(3n2)(3n1)
1111

.
213243n1n
30
⑵ 求和：
⑶ 求和：

,(2n1)a
6.求数列
1,3a,5a，
2n1
(a0)
的前
n
项和
S
n
.
352n1
.
7.求和：
S
n
lnxlnxlnxlnx
★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1.数列

a
n

中，a
1
60,a
n1
a
n
3
，则数列

a
n

的前
30
项的绝对值之和为( )
A.120

B.
495

C.765

D.
3105

2.n(n1)2(n2)2(n3)222
23n2
12
n1
的结果为( )
A.
2
n1
n

B.
2
n1
n2

C.
2
n1
n2

D.
2
n
n2

3.在项数为
2n1
的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和的比是( )
n1n12n12n1

B.

C.

A.
D.
n2n
n2n
4.数 列

a
n

中，
a
n

1
2009
，若

a
n

的前
n
项和为， 则项数
n
为( )
n(n1)
2010

D.
2011

A.
2008

B.
2009

C.2010

111
5.
1
的结果为 .

12123123n
2
6.数列

a
n

中，
a
1
2,a
n1
a
n
(n N

)
，则数列

a
n

的前
n
项和
S
n
为 .
n
7.数列

a
n

中，
a
n
2n2(1)(n N

)
，则数列

a
n

的前
n
项和
S
n
为 .
2
8.设
S
n
是数列

a
n

的前
n
项和，
a
1
1
，
S
n
a
n

S< br>n



1


(n2)
.⑴求

a
n

的通项；
2

⑵设
b
n

S
n
，求数列

b
n
的前
n
项和
T
n
.
2n1





9.(2015恩城中学)观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：
⑴求第六行的第一个数；
⑵求第20行的第一个数；
⑶求第20行的所有数的和．







31
1
3
7
1315
9
17
5
11
19
 

第6讲 数列的综合问题
★ 知 识 梳理 ★
1.等差数列的补充性质

a
n
0
⑴若
a< br>1
0,d0,S
n
有最大值，可由不等式组

来确定n
；
a0

n1
⑵若
a
1
 0,d0,S
n
有最小值，可由不等式组

2.若干个数成等差、等比数列的设法
⑴三个数成等差的设法：
xd,x,xd
；四个数成等差的设法：
x3d,xd,xd,x3d
.
⑵三个数成等比 的设法：
xq,x,xq
；四个数成等比的设法：
x,xq,xq,xq
.
3.用函数的观点理解等差、等比数列
⑴等差数列

a
n

中，
a
n
a
1
(n1)ddna
1< br>d
， 当
d0
时，

a
n

是 递增数列，
a
n
是
n
的一次
函数； 当
d0时，

a
n

是常数列，
a
n
是n
的常数函数；当
d0
时，

a
n

是递减数列，
a
n
是
n
的一次
函数.
n1< br>⑵等比数列

a
n

中，
a
n
a
1
q
， 当
a
1
0,q1
或
a
1
0,0q1
时，

a
n

是递增数列； 当

a
n
0
来确定
n
.

a
n1
0
23
a
1
0,0q1
或
a
1
0,q1
时，

a
n

是递减数 列； 当
q1
时，

a
n

是一个常数列；当< br>q0
时，

a
n

是一个摆动数列.
4.解答数列综合问题的注意事项 ⑴ 认真审题、展开联想、沟通联系； ⑵ 将实际应用问题转化为数学
问题；⑶ 将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来.
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用.
2.难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题.
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点 数列的综合应用
题型1 等差、等比数列的综合应用
【例1】已知等差数列

a
n

与等比数列

b
n

中，
b
1
a2
1,b
2
a
3
,b
3
a
6< br>，求

b
n

的通项.




【例2】已知
S
n
为数列

a
n

的前
n
项和，
a
1
1
，
S
n
4a
n
2
.⑴设数列

b
n
中，
b
n
a
n1
2a
n
，求
证 ：

b
n

是等比数列；⑵设数列

c
n

中，
c
n

前
n
项和.



32
a
n
，求证：

c
n

是等差数列；⑶求数列

a
n

的通项公式及< br>2
n

题型2 数列与函数、方程、不等式的综合应用 < br>【例3】（2014韶关模拟）设函数
f(x)
的定义域为
R
，当x0
时，
f(x)1
，且对任意的实数
x,yR
，
有
f(xy)f(x)f(y)
．⑴求
f(0)
，判断并证明函数f(x)
的单调性；⑵数列

a
n

满足
a< br>1
f(0)
,且
f(a
n1
)
1
a< br>n1




1
(nN
*
)
①求
f(2a
n
)
...

a
n

通项公式；②当
a1
时，不等式

1
a
n2
112
(log
a 1
xlog
a
x1)
对不小于
2
的正整数恒成立，求< br>x
的取值范围.
a
2n
35
题型3 数列的应用问题 < br>【例4】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为
10m
，在第一面小旗处有某 人把小旗全部集中
到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗 的位置上?最短路程
是多少?








【例5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…
依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?






【例6】2002年底某县的绿化面 积占全县总面积的
40
％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的
8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化. ⑴设该县的总面积为1,2002 年底绿化面
积为
a
1

4
,经过
n
年后绿 化的面积为
a
n1
,试用
a
n
表示
a
n 1
；⑵求数列

a
n

的第
n1
项< br>a
n1
；
10
⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60% (参考数据:
lg20.3010,lg30.4771
)






33

【新题导练】
1.四个实数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求原来的四个数 .




2.已知
S
n
为数列

a
n

的前
n
项和，点

a
n
,S
n

在直线
y2x3n
上．⑴若数列

a
n
c

成等比，求常数
的值； ⑵求数列
< br>a
n

的通项公式；⑶数列

a
n

中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求
出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 ．










2S
n
2
3.(2014金山中学)数列

a< br>n

首项
a
1
1
，前
n
项和S
n
与
a
n
之间满足
a
n
 (n 2)
（1）求证：数
2S
n
1

1

列

是等差数列 （2）求数列

a
n

的通项公 式（3）设存在正数
k
，使

S
n


1 S
1

1S
2

L

1S
n

k2n1
对于一切
nN

都成立，求
k
的最大值。









4.夏季高山上的温度从脚起，每升高
100m
，降低
0.7℃，已知山顶处的温度是
14.8
℃，山脚处的温度为
26
℃，问此山相 对于山脚处的高度是多少米.












34

5. 由原点
O
向三次曲线
yx3axbx(a0)
引切线,切于不同于点
O
的点
P
1
(x
1
,y
1
)，再由
P
1
引此
曲线的切线，切于不同于
P
1
的点
P
2
(x
2
,y
2
)
，如此继续地作 下去,……,得到点列

P
n
(x
n
,y
n
)

，试回答下
正奇数时,

x
n
a
.








★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1.首项 为
a
的数列

a
n

既是等差数列，又是等比数列 ，则这个的前
n
项和
S
n
为（ ）
A.
a
n1
B.
a
n
C.
(n1)a
D.
na

2.等差数列

a
n

及等比数列

b
n
< br>中，
a
1
b
1
0,a
2
b
2
0,
则当
n3
时有
A.
a
n
b
n
B.
a
n
b
n
C.
a
n
b
n
D.
a
n
b
n

3. 已知
a,b,c
成等 比数列，
m
是
a,b
的等差中项，
n
是
b,c的等差中项，则
列问题： ⑴求
x
1
； (2)求
x
n
与
x
n1
的关系式； (3)若
a0
，求证:当
n
为正偶数时,

x
n
a
；当
n
为
32
ac

.
mn
4.⑴
S
n
为等差数列

a
n< br>
的前
n
项和，
a
1
0
，
S3
S
11
，问数列的前几项和最大？
⑵公差不为零的等差数列

a
n

中，
a
3
15
，
a
2
,a
5
,a
14
成等比数列，求数列

a
n

的前
n
项和
S
n
.




5.已知
a0,a1
，数列

b
n

的前
n
项和
S
n

项总小 于它后面的项，求
a
的取值范围.










35
alga
n
1 (1nna)a(nN

)
，若数列

b
n

的每一
2
(1a)


6.等差数 列

a
n

中，
a
n
0
，其公 差
d0
；数列

b
n

是等比数列，
b
n
0
，其公比
q1.

⑴若
a
1b
1
,a
2n1
b
2n1
，试比较
a
n1
与
b
n1
的大小，说明理由；
⑵若
a< br>1
b
1
,a
2
b
2
，试比较
a
n1
与
b
n1
的大小，说明理由.








7.某养渔场，据统计测量，第一年鱼的重量增长率为200﹪，以后每年的增长率为前一年的一半.
⑴饲养5年后，鱼重量预计是原来的多少倍？
⑵如因死亡等原因，每年约损失预计重量的10﹪，那么，经过几年后，鱼的总质量开始下降？








8.数列
a
n

的前
n
项和为
S
n
(nN

)
，点
(a
n
,S
n
)
在直线
y2x3n
．⑴若数列
{a
n
c}
成等比数 列，
求常数
C
的值；⑵求数列
{a
n
}
的通项公式 ； ⑶数列
{a
n
}
中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存
在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．











9.(2011
•
全国)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根
1
，本年度当地旅游业收入估计400万元，由
5
1
于该项建设对旅游业的促进作用， 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
4
据规划，本年度投入800万元，以后每年投入 将比上年减少
⑴设
n
年内（本年度为第一年）总收入为
a
n
万元，旅游业总收入为
b
n
万元，写出表达式

36

⑵至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？








x
2
a

b,cN


.若方程
f

x
x
的根为
0
和
2
, 10.（2012执信中学）设函数f

x


bxc
且
f

2


1
. (1)求函数
f

x

的解析式； (2)已知各项均不为零的数列

a
n

满足:
2
4S
n
f(
1
)1
(
S
n
为该数列前
n
项和),求该数列的通项
a
n
.
a
n











第1讲 不等关系与不等式
★ 知 识 梳理 ★
1.比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;aabab0
；
abab0
；
abab0
．
2．不等式的性质：（1）对称性:
abba
，
abba
（2）传递性:
ab,bc
，
ac

（3）可加性:
ab
.
acbc
移项法则:
abcacb
推论：同向不等式可加.
ab,cd

acbd
（4）可乘性:
ab,c0 acbc
，
ab,c0
acbc

nn
推论1：同向(正)可乘:
ab0,cd0
acbd
推论2：可乘方(正):
ab0

ab
`
(nN

,n2)
(5) 可开方(正):
ab0

n
a
n
b

(nN

,n2)

★ 重 难 点 突 破 ★
1 .重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解
不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.熟悉不等式的性质。
2.难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。
3 .重难点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单不等式,利用不等式的性质证明简单的不等式.
（1）用不等式表示不等关系
问题1. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销

37

售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低
于20万元呢？






（2）用不等式的性质精确的估算变量或参数的取值范围
问题2. 已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.






★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1 不等关系及不等式
题型1.建立不等关系
[例1] 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢 管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数
量不能超过500mm钢管 的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？





题型2用:比较法两个数的大小
例2. 比较
ama
与（其中
ba0
，
m0
）的大小
bmb




【新题导练】.
1.设a=2 －
5
，b=
5
－2，c=5－2
5
，则a、b、c之间的大 小关系为____________.
2. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，如果它每天
行驶的路程比原来少12 km，那 么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)
范围是________ ________.
考点2 不等式的性质
题型：验证或推导简单不等式的有关结论
例1. 已知：
m
＞
n
，
a
＜
b
，求证：
m
－
a
＞
n
－
b
.


例2.已知下列三个不等式①
ab0
;②
成几个正确命题.

38
cd

;③
bcad
,以其中两个作为 条件,余下一个作结论,则可组
ab

【新题导练】.
3..若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是( )
．．
A.
11
＞
ab
B.2
a
＞2
b
C.|a|＞|b| D.（
1
a
1
）＞（）
b

22
4. 已知四个条件，①
b
＞0＞
a
②0＞
a
＞
b
③
a
＞0＞
b
④
a
＞
b
＞0能推出
A.1个 B.2个
考点3 不等式性质综合应用
题型1.用比较法证函数的单调性
C.3个 D.4个
11

成立的有( )
ab
例1. （广东省揭 阳二中2015届高三上学期期中考试）已知函数
f(x)
的定义域为
xxR,且x 0
对定
义域内的任意
x
1
、
x
2
，都有
f(x
1
x
2
)f(x
1
)f(x
2
),且当x1时f(x)0,f(2)1.
（1）求证：
f(x)
是 偶函数；（2）求证：
f(x)
在
(0,)
上是增函数；（3）解不等式
f(2x1)2.










题型2.用比较法处理数列中的不等关系.
例2. （广 东省揭阳市2012年高中毕业班高考调研测试改编）已知数列
{a
n
}
满足
2

1
a
n
2n
，且
a
n
a
n
0
。（1）求数列
{a
n
}
的通项 公式；（2）数列
{a
n
}
是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应
的项数；若不存在，说明理由。
















【新题导练】
5. 已知
f(x)
是定义在
[1,1]
上的奇函数，且
f(1)1
，若
a
、有
b
[1,1]
，
ab0
，

39
f(a)f(b)
0
；
ab

（1） 判断函数
f(x)
在
[1,1]
上的单调性，并证明你的结论；（2）、若
f(x)
≤
m
2
2am1
对所有的
x
[1,1]
、
a
[1,1]
恒成立，求实数
m
的取 值范围。










6. 已知等差数列{a
n
}的公差大于0，且a
3
，a
5
是方程x
2
－14x＋45＝0的两根，数列{b
n
}的 前n项和为S
n
，
1
且S
n
＝1－ b
n
.(1)求数列{a
n
}、{b
n
]的通项公式；(2)记c
n＝a
n
b
n
，求证：c
n
＋
1
≤c< br>n
.
2








★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1. 如果
a,b,c
满足
cba
,且
ac0
,那么下列选项中不一定成立的是( )
A.
abac
B.
c(ba)0
C.
cb
2
ab
2
D.
ac(ac)0

2.(2015·吴川一中)对于实数
a、b
，“
b(ba)0
”是“
a
1
”成立的( )

b
ba
ab
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3. 若
0
, 则下列不等式:①
abab
;②
|a||b|
;③
ab;④
2
中,正确的不等式有( )
A．1个
4.若

B．2个 C．3个 D．4个
11
ab

2






2
,则



的取值范围是
1111
a
2
2
b
2
2
5. 设
a0,b0,
求证
()()a
2
b
2
.

ba





40

6.某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为1 0元，每km价1.2元的出租车；
第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租 车管理条例，在起步价内，不同型号的
出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案 比较适合？











7.已知函数f（x）=|log
2
（x+1）|，实数m、n 在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）.
求证：（1）m+n＞0；（2）f（m
2
）＜f（m+n）＜f（n
2
）.










8. (广东省惠州市2014届高 三第二次调研考试)设单调递增函数
f(x)
的定义域为

0,

，且对任意的正
实数x,y有：
f(xy)f(x)f(y)
且
f()1
．⑴、一个各项均为正数的数列

a
n

满
足:
f(s
n
)f(a
n
)f(a
n
1)1
其中
S
n
为数列

a
n
的前n项和,求数列

a
n

的通项公式；⑵、在⑴的条
件下，是否存在正数M使下列不等式：
2a
1
a
2
KKa
n
M2n1(2a
1
1)(2a
2
1)KK(2a
n
1)

对一切
nN
*
成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．













41
n
1
2

第2讲 一元二次不等式及其解法
★ 知 识 梳理 ★
一.解不等式的有关理论
（1） 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；
（2） 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同
解变形；
（3） 解不等式时应进行同解变形；
（4） 解不等式的结果，原则上要用集合表示。
二.一元二次不等式的解集


二次函数

0

0

0

yax
2
bxc

yax
2
bxc

yax
2
bxc

yax
2
bxc
（
a0
）的图
象

一元二次方程
有两相异实根

x
1
,x2
(x
1
x
2
)


有两相等实根


无实根

R








axbxc0
2

a0

的根
ax
2
bxc0
(a0)的解集
ax
2
bxc 0
(a0)的解集
x
1
x
2

b

2a


xxx或xx

12

b< br>

xx


2a



xx
1
xx
2


三.解一元二次不等式的基本步骤：
（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数；
（2） 尝试用“十字相乘法”分解因式；
（3） 计算
b
2
4ac

（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。
四.高次不等式解法：
尽可能进行因式分解，分解成一 次因式后，再利用数轴标根法求解（注意每个因式的最高次项的系数要求
为正数）
五.分式不 等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求
解；

★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。
2. 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等
式 以及简单的含参数的不等式
3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单 的分式不等式和高次不等式以及

42

简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.
(1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解
问题1. 设
a0
，解关于x的不等式
log
2
ax
1

x1





(2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系.
问题2. 已 知函数
f(x)ax
2
a
2
x2ba
3
当
x(2,6),f(x)0,当x(,2)(6,),f(x)0
，求
f(x)
的解析式；




★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1 一元二次不等式的解法
题型1.解一元二次不等式
[例1] 不等式
x
2
x
的解集是( )
A．

,0

B.

0,1

C.

1,

D.

,0

U

1,


题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.
[例2]已知关于
x
的不等式
ax
2
2xc0
的解集为
(,)
,求
c x
2
2xa0
的解集.



【新题导练】
1.不等式（
a
－2）
x
2
+2(
a
－2) -4＜0,对一切
x
∈R恒成立，则a的取值范围是（ ）
A.
（
-∞,2] B.
（
-2,2] C.
（
-2,2
）
D.
（
-∞,2)
11
32
2. 关于
x
的不等式(
mx
-1)(
x
-2)＞0，若此不等式的解集为{
x
|
A.
m
＞
0 B.0
＜
m
＜
2 C.
m
＞
＜x＜2}，则
m
的取值范围是（ ）
D.
m
＜
0
考点
2
含参数不等式的解法

题型1：解含参数有理不等式
例1：解关于
x
的一元二次不等式
x(3a)x3a0







43
2