河南省教育学院-教师资格证考试科目

2017
年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）


< br>一、选择题（共
10
小题，每小题
5
分，满分
50
分
.
在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）

1< br>．设集合
A=
{
x
|
x=2n
，
n
∈
N
*
}，
B=
{
x
≤
2
}，则
A
∩
B=
（ ）

A
．{
2
}
B
．{
2
，
4
}
C
．{
2
，
3
，
4
}
D
．{< br>1
，
2
，
3
，
4
}

2< br>．若复数
z
满足（
1
﹣
i
）
z=i
，则
z
在复平面内对应的点位于（ ）

A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限

3
．已知命题
p
：对任意
x
∈
R
，总有
2< br>x
＞
x
2
；
q
：
“ab
＞
1“
是
“a
＞
1
，
b
＞
1”
的充 分不
必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）

A
．
p
∧
q B
．￢
p
∧
q C
．
p
∧￢
q D
．￢
p
∧￢
q


4
．已知函数
f
（
x
）
=log
a
x
（
0
＜
a
＜
1
），则函数
y=f
（|
x
|+
1
）的图象大致为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．


5
．运行如图的程序框图，如果输出的数是
13
，那么输入的正整 数
n
的值是（ ）

A
．
5 B
．
6 C
．
7 D
．
8

6
．下列结论中错误的是（ ）


- 1 -

A
．若
0
＜< br>α
＜，则
sinα
＜
tanα

为第一象限或第三象限角

B
．若
α
是第二象限角，则C
．若角
α
的终边过点
P
（
3k
，
4 k
）（
k
≠
0
），则
sinα=

D．若扇形的周长为
6
，半径为
2
，则其中心角的大小为
1
弧度

7
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）


A
．
16π B
．
8π C
．
8
．已知双曲线﹣
π D
．
π

=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的一条渐近 线被圆（
x
﹣
c
）
2
+
y
2
=4 a
2
截得
弦长为
2b
（其中
c
为双曲线的半焦距） ，则该双曲线的离心率为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

9
．设变量
x
，
y
满足约束条件
则实数
a
等于（ ）

A
．
2 B
．
1 C
．﹣
2 D
．﹣
1

，若目标函数
z=a
|
x
|+
2y
的最小值为﹣
6
，
10
．定义在
R
上 的奇函数
f
（
x
）满足
f
（
x
+
2
）
=f
（
2
﹣
x
），当
x
∈[
0
，
2
]时，
f
（
x
）
=
﹣
4x
2
+
8x
．若在区间[
a
，
b< br>]上，存在
m
（
m
≥
3
）个不同整数
xi
（
i=1
，
2
，
…
，
m
） ，
满足|
f
（
x
i
）﹣
f
（
x< br>i
+
1
）|≥
72
，则
b
﹣
a的最小值为（ ）

A
．
15 B
．
16 C
．
17 D
．
18



二、填空题（ 共
5
小题，每小题
5
分，满分
25
分）

11
．已知向量，，其中||
=2
，||
=1
，且（+）⊥，则|﹣
2
|
=
．

12
．在（﹣
4
，
4
）上随机取一个数
x
，则事件
“
|
x
﹣
2
|+|
x
+
3
|≥
7
成立
”
发生的概率

- 2 -

为 ．

13
．在二项式（
x
2
﹣）
5
的展开式中，含
x
4
的项的系数是
a
，则
x
﹣
1
dx=
．

14
．对于函数
y=f
（
x
），若其定义域内 存在不同实数
x
1
，
x
2
，使得
x
if
（
x
i
）
=1
（
i=1
，
2
）成立，则称函数
f
（
x
）具有性质
P
，若函数
f
（
x
）
=
的取值范围为 ．

15< br>．已知抛物线
C
：
y
2
=4x
焦点为
F，直线
MN
过焦点
F
且与抛物线
C
交于
M，
N
两点，
P
为抛物线
C
准线
l
上一 点且
PF
⊥
MN
，连接
PM
交
y
轴于Q
点，过
Q
作
QD
⊥
MF
于点
D，若|
MD
|
=2
|
FN
|，则|
MF
|
=
．




三、解答题（共
6
小题，满分
75
分
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）< br>具有性质
P
，则实数
a
16
．在△
ABC
中 ，内角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，b
，
c
，已知
A
为锐角，且
bsinAcosC
+
csinAcosB=
（
1
）求角
A
的大小；

（
2
）设函数
f
（
x
）
=tanAsin ωxcosωx
﹣
cos2ωx
（
ω
＞
0
），其图 象上相邻两条对称
轴间的距离为，将函数
y=f
（
x
）的图象向左平 移
，]上值域．

个单位，得到函数
y=g
（
x
）
a
．
< br>图象，求函数
g
（
x
）在区间[﹣
17
．如图，在四 棱锥
P
﹣
ABCD
中底面
ABCD
是直角梯形，
A B
∥
CD
，∠
ABC=90°
，
AB=2CD
，< br>BC=CD
，△
APB
是等边三角形，且侧面
APB
⊥底面< br>ABCD
，
E
，
F
分别是
PC
，
A B
的中点．

（
1
）求证：
PA
∥平面
DEF
．
（
2
）求平面
DEF
与平面
PCD
所成的二面角（锐角 ）的余弦值．


18
．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲 猜哥歌名活动，在每一
轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首．若< br>
- 3 -

有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组 进入下一轮．该小组最
多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是．甲、乙、丙猜对互不影响．

（
1
）求该小组未能进入第二轮的概率；

（
2
） 记乙猜对歌曲的次数为随机变量
ξ
，求
ξ
的分布列和数学期望．
< br>19
．已知数列{
a
n
}是等差数列，其前
n
项和为
S
n
，数列{
b
n
}是公比大于
0
的等比 数
列，且
b
1
=
﹣
2a
1
=2
，
a
3
+
b
2
=
﹣
1
，
S
3
+
2b
3
=7
．

（
1
）求数列{
a
n
}和{
b
n
}的通项公式；
< br>（
2
）令
c
n
=
，求数列{
c
n< br>}的前
n
项和
T
n
．

20
．已知 椭圆
C
与双曲线
y
2
﹣
x
2
=1
有共同焦点，且离心率为
（
1
）求椭圆
C
的标准方程；

．

（
1
）设
A
为椭圆
C
的下顶 点，
M
、
N
为椭圆上异于
A
的不同两点，且直线
A M
与
AN
的斜率之积为﹣
3

①试问
M
、
N
所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；

②若< br>P
点为椭圆
C
上异于
M
，
N
的一点，且|< br>MP
|
=
|
NP
|，求△
MNP
的面积的最 小
值．

21
．设函数
f
（
x
）
=lnx
﹣
e
1
﹣
x
，
g
（
x< br>）
=a
（
x
2
﹣
1
）﹣．

（
1
）判断函数
y=f
（
x
）零点的个数，并说明理由；

（
2
）记
h
（
x
）
=g
（
x
）﹣
f
（
x
）+，讨论
h
（
x
）的单调性；

（
3
）若
f
（
x）＜
g
（
x
）在（
1
，+∞）恒成立，求实数
a
的取值范围．




- 4 -

2017
年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题（共
10
小 题，每小题
5
分，满分
50
分
.
在每小题给出的四个选项中 ，
只有一项是符合题目要求的）

1
．设集合
A=
{
x
|
x=2n
，
n
∈
N
*
}，
B=
{
x
≤
2
}，则
A
∩
B=
（ ）

A
．{
2
}
B
．{
2
，
4
}
C
．{
2
，
3
，
4
}
D
．{< br>1
，
2
，
3
，
4
}

【考点】交集及其运算．

【分析】求出
B
中不等式的解集确定出< br>B
，找出
A
与
B
的交集即可．

【解答】解 ：∵
A=
{
x
|
x=2n
，
n
∈
N
*
}
=
{
2
，
4
，
6
，
…
}，
B=
{
x
∴
A
∩
B=< br>{
2
，
4
}，

故选：
B
．



2
．若复数
z
满足（
1
﹣
i
）
z=i
，则
z
在 复平面内对应的点位于（ ）

A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限

≤
2
}
=
{
x
|
0
≤
x
≤
4
}，

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由 条件求出
z
，再根据复数与复平面内对应点之间的关系，可得结论．

【解答 】解：由（
1
﹣
i
）
z=i
，可得
z=
面 内对应的点的坐标为（﹣，），

故选：
B
．



3
．已知命题
p
：对任意
x
∈
R
，总有< br>2
x
＞
x
2
；
q
：
“ab
＞
1“
是
“a
＞
1
，
b
＞
1”< br>的充分不
必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）

A
．
p
∧
q B
．￢
p
∧
q C
．
p
∧￢
q D
．￢
p
∧￢
q

===
﹣+
i
，它在复平
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题
p
：是假命题，例如取
x=2
时，
2
x< br>与
x
2
相等．
q
：由
“a
＞
1，
b
＞
1”
⇒：

- 5 -

“ab
＞
1”
；反之不成立，例如取
a=10
，
b=．进而判断出结论．

【解答】解：命题
p
：对任意
x
∈
R
，总有
2
x
＞
x
2
；是假命题，例如 取
x=2
时，
2
x
与
x
2
相等．

q
：由
“a
＞
1
，
b
＞
1”⇒：
“ab
＞
1”
；反之不成立，例如取
a=10
，< br>b=
．

∴
“ab
＞
1“
是
“a< br>＞
1
，
b
＞
1”
的必要不充分条件，是假命题．
∴下列命题为真命题的是￢
p
∧（￢
q
），

故选：
D
．




4
．已知函 数
f
（
x
）
=log
a
x
（
0< br>＜
a
＜
1
），则函数
y=f
（|
x
|+
1
）的图象大致为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】对数函数的图象与性质．

【分析】利用特殊点代入计算，排除即可得出结论．

【解答】解：由题意，
x=0
，
y=f
（
1
）
=0
，排除
C，
D
．

x=1
，
y=f
（
2
）＜
0
，排除
B
，

故选
A
．




5
．运行如图的程序框图，如果输出的数是
13，那么输入的正整数
n
的值是（ ）

- 6 -

A
．
5 B
．
6 C
．
7 D
．
8

【考点】程序框图．

【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得
8
＞
n
≥
7
，
即可得解输入的正整数
n
的值．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

A=1
，
B=1
，
k=3

满足条件
k< br>≤
n
，执行循环体，
C=2
，
A=1
．
B= 2
，
k=4

满足条件
k
≤
n
，执行循环 体，
C=3
，
A=2
．
B=3
，
k=5

满足条件
k
≤
n
，执行循环体，
C=5
，
A=3
．
B=5
，
k=6

满足条件
k
≤
n
，执行循环体，
C=8
，
A=5
．
B=8
，
k=7

满足条件
k
≤
n
，执行循环体，C=13
，
A=8
．
B=13
，
k=8
由题意，此时应该不满足条件
8
≤
n
，退出循环，输出
C
的值为
13
，

可得：
8
＞
n
≥
7
，所以输入的正整数
n
的值是
7
．

故选：
C
．



6
．下列结论中错误的是（ ）

A
．若
0
＜< br>α
＜，则
sinα
＜
tanα

为第一象限或第三象限角

B
．若
α
是第二象限角，则C
．若角
α
的终边过点
P
（
3k
，
4 k
）（
k
≠
0
），则
sinα=

D．若扇形的周长为
6
，半径为
2
，则其中心角的大小为
1
弧度

【考点】任意角的三角函数的定义．


- 7 -

【分析】利用任意角的三角函数的定义，象限角的定义，判断各个选项是否正确，
从 而得出结论．

【解答】解：若
0
＜
α
＜，则
si nα
＜
tanα=
，故
A
正确；

∈（
k π
，
kπ
+），为第一若
α
是第二象限角，即
α
（
2kπ
，
2kπ
+
π
），
k
∈
Z
，则
象限或第三象限，故
B
正确；

4k
）若角< br>α
的终边过点
P
（
3k
，（
k
≠
0
），则
sinα=
故
C
不正确；

=
，不 一定等于，
若扇形的周长为
6
，半径为
2
，则弧长
=6﹣
2
×
2=2
，其中心角的大小为
=1
弧度，

故选：
C
．



7
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）


A
．
16π B
．
8π C
．
π D
．
π

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】解： 由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为
2
，高为
4
，利用圆锥的
体积公式，求出几何体的体积．

【解答】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2
，高为
4
，几何体的体
积为
故选
D
．



8
．已知双曲线﹣
=1
（
a
＞< br>0
，
b
＞
0
）的一条渐近线被圆（
x
﹣c
）
2
+
y
2
=4a
2
截得
=
，

弦长为
2b
（其中
c
为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（ ）


- 8 -

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．

【分析】求出双曲线的一条渐近 线方程，利用渐近线被圆（
x
﹣
c
）
2
+
y
2
=4a
2
截得弦
长为
2b
，结合勾股定理，推出
a
，
b
，
c
关系，即可求出双曲线的离心率．

【解答】解：双曲线﹣
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的一条渐近线方程为
bx
+
ay=0
，圆
（
x
﹣
c
）
2
+
y
2
=4a
2
的圆心到双曲线的渐近线的距离为：
∵渐近线被圆（
x
﹣
c）
2
+
y
2
=4a
2
截得的弦长为：
2b
，

∴
b
2
+
b
2
=4a< br>2
，

∴
b
2
=2a
2
，即
c
2
=3a
2
，

∴
e=
．

，

故选：
B
．



9
．设变量
x
，
y
满足约束条件
则实数
a
等于（ ）

A
．
2 B
．
1 C
．﹣
2 D
．﹣
1

，若目标函数
z=a
|
x
|+
2y
的最小值为﹣
6
，
【考点】简单线性规划．

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，判断目标函数的最优
解，求解
a即可．

【解答】解：变量
x
，
y
满足约束条件的可行域如图，
< br>目标函数
z=a
|
x
|+
2y
的最小值为﹣
6
，

可知目标函数的最优解为：
B
，

由，解得
B
（﹣
6
，
0
），

﹣
6=a
|﹣
6
|，解得
a=
﹣
1
；


- 9 -

故选：
D
．




10
．定义在
R
上的奇函数
f
（x
）满足
f
（
x
+
2
）
=f
（
2
﹣
x
），当
x
∈[
0
，
2< br>]时，
f
（
x
）
=
﹣
4x
2
+
8x
．若在区间[
a
，
b
]上，存在
m
（
m
≥
3
）个不同整数
x
i
（
i=1< br>，
2
，
…
，
m
），
满足|
f
（
x
i
）﹣
f
（
x
i
+
1）|≥
72
，则
b
﹣
a
的最小值为（ ）

A
．
15 B
．
16 C
．
17 D
．
18

【考点】函数的周期性．

【分析】根据已知可 得函数周期为
8
，且函数的图形关于
x=2
对称，从而画出函数
图象 ，结合图象，要使
b
﹣
a
取最小值，则不同整数
x
i
为极值点即可．

【解答】解：定义在
R
上的奇函数
f
（
x
）满足
f
（
x
+
2
）
=f（
2
﹣
x
），得
f
（
x
+
2
+
2
）
=f
（
2
﹣
x
﹣
2
）
=f
（﹣
x
）
=
﹣
f
（x
），即
f
（
x
+
4
）
=
﹣
f
（
x
），

则
f
（
x
+
4
）
=
﹣
f
（
x
+
4
）
=
﹣[﹣
f
（
x
）]
=f
（
x
）．∴
f
（
x
）的周期为
8
．函数
f（
x
）的
图形如下：


比如，当不同整数
x
i
分别为﹣
1
，
1
，
2
，
5，
7…
时，
b
﹣
a
取最小值，∵
f
（ ﹣
1
）
=

- 10 -

﹣
4< br>，
f
（
1
）
=4
，
f
（
2
）
=0
，

，则
b
﹣
a
的最小值为
18
，

故选：
D



二、填空题（共
5
小题， 每小题
5
分，满分
25
分）

11
．已知向量，， 其中||
=2
，||
=1
，且（+）⊥，则|﹣
2
|
=

2
【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据（+）⊥ 得出（+）
•=0
，求出
•
的值，再计算
而求出|﹣
2|．

【解答】解：向量，中，||
=2
，||
=1
， 且（+）⊥，

∴（+）
•=
∴
•=
﹣
∴
+
•=0
，

从

．
=
﹣
4
，

=
﹣
4•
+
4
．

．

=4
﹣
4
×（﹣
4
）+
4
×
1=24，

∴|﹣
2
|
=2
故答案为：
2


12
．在（﹣
4
，
4
）上随机取一个数
x
，则事件
“
|
x
﹣
2
|+|
x
+
3
|≥
7
成立
”
发生的概率
为 ．

【考点】几何概型．

【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用 解得的区间长度
与区间（﹣
4
，
4
）的长度求比值即得．

【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．

由不等式|
x
﹣
2
|+|
x
+
3
|≥
7
可得

x
≤﹣
3
，﹣
x
+
2
﹣
x
﹣
3
≥
7
，∴
x
≤﹣
4
；
< br>﹣
3
＜
x
＜
2
，﹣
x
+
2
+
x
+
3
≥
7
，无解；

x≥
2
，
x
﹣
2
+
x
+
3≥
7
，∴
x
≥
3

故原不等式的解集为{x
|
x
≤﹣
4
或
x
≥
3
}，


- 11 -

∴在（﹣
4
，
4
）上随机取一个数
x
，则事件
“
|
x
﹣
2
|+|
x
+
3
|≥
7
成立
”
发 生的概率为
P==
．

故答案为．



5
13
．在二项式（
x
2
﹣）的展开式中，含
x
4
的项的系数是
a
，则

x
﹣
1
dx=

ln10
．
【考点】定积分；二项式系数的性质．

【分析】利用二项式定理求出
a= 10
，从而
【解答】解：对于
Tr
+
1=
由
10< br>﹣
3r=4
，得
r=2
，

则
x
4
的项的系数
a=C
5
2
（﹣
1
）
2
=10
，

∴
x
﹣
1
dx=x
﹣
1
dx=lnx=ln10
﹣
ln1=ln10
．

x
﹣
1
dx=

x
﹣
1
dx，由此能求出结果．
（
x2
）
5
﹣
r
（﹣）< br>r=
（﹣
1
）
r
x10
﹣
3r
，< br>
故答案为：
ln10
．



14
．对于函数
y=f
（
x
），若其定义域内存在不同实数
x
1
，
x
2
，使得
x
i
f
（
xi
）
=1
（
i=1
，
2
）成立，则称函数f
（
x
）具有性质
P
，若函数
f
（
x
）
=
的取值范围为
【考点】函数的值．

【分析】由题意 将条件转化为：方程
xe
x
=a
在
R
上有两个不同的实数根 ，设
g
（
x
）
=xe
x
并求出
g′
（
x
），由导数与函数单调性的关系，判断出
g
（
x
）在 定义域上的单调
性，求出
g
（
x
）的最小值，结合
g
（
x
）的单调性、最值、函数值的范围画出大致
的图象，由图象求出实数
a
的取值范围．

【解答】解：由题意知：若
f
（
x
）具有性质
P
，

则在定义域内
xf
（
x
）
=1
有两个不同的实数根，

∵，∴，

．

具有性质
P
，则实数
a
即方程
xe
x
=a
在
R
上有两个不同的实数根，

设
g
（
x
）
=xe
x
，则
g′
（
x
）
=e
x
+
xe
x
=
（
1
+
x
）
e
x
，


- 12 -

由< br>g′
（
x
）
=0
得，
x=
﹣
1，

∴
g
（
x
）在（﹣∞，﹣
1
）上 递减，在（﹣
1
，+∞）上递增，

∴当
x=
﹣
1
时，
g
（
x
）取到最小值是
g
（﹣
1）
=
∵
x
＜
0
，
g
（
x）＜
0
、
x
＞
0
，
g
（
x< br>）＞
0
，

∴当方程
xe
x
=a
在
R
上有两个不同的实数根时，

即函数
g
（
x）与
y=a
的图象有两个交点，

由图得，

，

，

∴实数
a
的取值范围为
故答案为：．




15
．已知抛物线
C
：
y
2
=4x焦点为
F
，直线
MN
过焦点
F
且与抛物线
C< br>交于
M
，
N
两点，
P
为抛物线
C
准 线
l
上一点且
PF
⊥
MN
，连接
PM
交< br>y
轴于
Q
点，过
Q
作
QD
⊥
MF< br>于点
D
，若|
MD
|
=2
|
FN
| ，则|
MF
|
=

【考点】抛物线的简单性质．

x
+
k
2
=0
，【分析】直线
MN
的方程为
y=k
（
x
﹣
1
），代入抛物线方程可得
k
2< br>x
2
﹣（
2k
2
+
4
）
求出
k
的值可得
M
的坐标，即可得出结论．

【解答】解：设
M
（
x
1
，
y
1
），
N
（
x
2
，
y
2
），直线
MN
的方程为
y= k
（
x
﹣
1
），代入
抛物线方程可得
k
2
x
2
﹣（
2k
2
+
4
）
x
+
k
2
=0

∴
x
1
+
x
2
=2
+，

+
2
．

2
|
FN
|
=
|
MD
|，可得
2
（
x
2
+
1
）
=
|
MD
|，


- 13 -

∵，∴
，

，

=
，∴
x
2
=
﹣
1
，

联立可得
x
1
=2
+
∵
x
1
=
∴
2
+
∴
3k
2
=4
∴
x
1
=
=
+
4
，

+
1
，

+
2
，

+
2
．

，

∴|
MF
|
=
故答案为



三 、解答题（共
6
小题，满分
75
分
.
解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤）
16
．在△
ABC
中，内角
A
，B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c，已知
A
为锐角，且
bsinAcosC
+
csinAcosB =
（
1
）求角
A
的大小；

（
2
）设函数
f
（
x
）
=tanAsinωxcosωx
﹣cos2ωx
（
ω
＞
0
），其图象上相邻两条对称
轴间 的距离为，将函数
y=f
（
x
）的图象向左平移
，]上值域．

个单位，得到函数
y=g
（
x
）
a
．

图象，求函数
g
（
x
）在区间[﹣
【考点】三角函数中的恒 等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】（
1
）由正弦定理可得：
sinBsinAcosC
+
sinCsinAcosB=sinA
，由于
s inA
≠
0
，
利用两角和的正弦函数公式可求
sinA
的值 ，结合
A
的范围即可得解
A
的值．

（
2
）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得
f
（
x
）
=si n
（
2ωx
﹣
gx
）
=sin
由已知可求
T
，利用周期公式可求
ω
，利用三角函数平移变换可求（（
2x
+< br>由
x
的范围，利用正弦函数的性质可求
g
（
x
）的值 域．

【解答】（本题满分为
12
分）

），
），

- 14 -

解：（
1
）∵
bsinAcosC
+
csinAcosB=a
，

sinA
，

∴由正弦定理可得：
sinBsinAcosC
+
sinCsinAcosB=
∵
A
为锐角，
sinA
≠
0
，

∴
sinBcosC
+
sinCcosB=
∴
A=
．

，可得：
tanA=
，
，可得：
sin
（
B
+
C
）
=sinA=，

（
2
）∵
A=
∴
f
（
x
）
=sinωxcosωx
﹣
cos2ωx=sin2ωx
﹣
cos2ωx=sin
（
2ωx
﹣
，可得：
T=2
×=
），

∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为
∴
f
（
x
）
=sin
（
2x
﹣），

，解得：
ω=1
，

∴将函数
y=f
（
x
）的图象向左平移
（
x
）
=sin
[
2
（
x
+
∵
x
∈[﹣，
）﹣]
=sin
（2x
+
∈[
个单位，得到图象对应的函数解析式为
y=g
），< br>
，]，

]，可得：
2x
+
∴
g
（
x
）
=sin
（
2x
+


）∈[，
1
]．

17
．如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中底面
ABCD
是直角梯形，
AB
∥
CD
，∠
ABC=90°
，
AB=2CD
，
BC=CD，△
APB
是等边三角形，且侧面
APB
⊥底面
ABCD
，
E
，
F
分别是
PC
，
AB
的中点．< br>
（
1
）求证：
PA
∥平面
DEF
．
（
2
）求平面
DEF
与平面
PCD
所成的二面角（锐角 ）的余弦值．


【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（
1
）连结
AC
，交
DF
于
O< br>，连结
OF
，推导出四边形
CDFB
是平行四边形，

- 15 -

从而
DF
∥
BC
，进而
O
是
AC
中点，由此得到
OE
∥
PA
，从而能证明
PA
∥平面
DEF
．
（
2
）以F
为原点，
FA
为
x
轴，
DF
为
y< br>轴，
FP
为
z
轴，建立空间直角坐标系，利
用向量法能求出平 面
DEF
与平面
PCD
所成的二面角（锐角）的余弦值．

【解答】证明：（
1
）连结
AC
，交
DF
于
O，连结
OF
，

∵
AB
∥
CD
，∠< br>ABC=90°
，
AB=2CD
，

E
，
F
分别是
PC
，
AB
的中点．

∴
CDBF
，∴四边形
CDFB
是平行四边形，∴
DF
∥
BC
，

∴
O
是
AC
中点，∴
OE
∥
PA
，

∵
PA
⊄平面
DEF
，
OE⊂平面
DEF
，

∴
PA
∥平面
DEF
．

解：（
2
）∵在四棱锥
P
﹣
ABCD
中底面
ABCD
是直角梯形，
AB
∥
CD
，∠
ABC=90°
，

△< br>APB
是等边三角形，且侧面
APB
⊥底面
ABCD
，
F
是
AB
的中点，

∴
DF
⊥
AF，
PF
⊥平面
ABCD
，

以
F
为原 点，
FA
为
x
轴，
DF
为
y
轴，
FP
为
z
轴，建立空间直角坐标系，

设
BC=CD=，
=
（
0
，﹣
﹣，﹣
，则
D
（
0
，﹣，
0
），
C
（﹣
1
，﹣，
0），
P
（
0
，
0
，），
E
（﹣
），
F
（
0
，
0
，
0
），

，
0
），
），

=
（﹣，），
=
（﹣
1
，﹣，﹣），
=
（
0
，
设平面
DE F
的法向量
=
（
x
，
y
，
z
），

则，取
z=1
，得
=
（，
0
，
1
），

设平面
PCD
的法向量
=
（
a< br>，
b
，
c
），

则，取
b=
，得< br>=
（
0
，，﹣
1
），

cos
＜＞
===
﹣，

．

∴平面DEF
与平面
PCD
所成的二面角（锐角）的余弦值为

- 16 -

18
．甲、乙、丙三人组成一个小 组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动，在每一
轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第 二首，丙猜第三首．若
有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮．该小组最< br>多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙
猜对歌名的概率是． 甲、乙、丙猜对互不影响．

（
1
）求该小组未能进入第二轮的概率；

（
2
） 记乙猜对歌曲的次数为随机变量
ξ
，求
ξ
的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（< br>1
）设
“
该小组未能进入第二轮
”
为事件
A
，其对立事件为，则
P
（
A
）
=1
﹣
P
， 即可得出．

（
2
）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算 公式即可得出．

【解答】解：（
1
）设
“
该小组未能进入 第二轮
”
为事件
A
，其对立事件为，则
P
（
A）
=1
﹣
P=1
﹣
=
．

（
2
）由题意可得：
ξ
的可能取值为
0
，
1
，
2
，
3
．

P
（
ξ=0
）
=< br>+
P
（
ξ=3
）
=
×
××
=
，
P
（
ξ=1
）
=
××+××
=
，
×××
=
，


- 17 -

P
（
ξ=2
）
=1
﹣
P
（
ξ=0）﹣
P
（
ξ=1
）﹣
P
（
ξ=3
）< br>=
∴
ξ
的分布列为：

ξ

P

∴
Eξ=0
+
1
×


0


．

1


2


3


+
3
×
=
．

19
．已知数列{
a
n
}是等差数列，其前
n
项和为
S
n
，数列{
b
n
}是公比大于
0
的等比数列，且
b
1
=
﹣
2a
1
=2
，
a
3
+
b
2
=
﹣
1
，
S
3
+
2b
3
=7
．

（
1
）求 数列{
a
n
}和{
b
n
}的通项公式；

（
2
）令
c
n
=
，求数列{
c
n
}的前
n
项和
T
n
．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（
1
）设等差数列{
a
n
}的公差为
d
，等比数列{
b
n
}的 公比为
q
＞
0
，利用等差
数列与等比数列的通项公式即可得出．
（
2
）
c
n
=
．对
n
分类 讨论，分组求和，利用
“
错位相减法
”
与等比
数列的求和公式即可得 出．

【解答】解：（
1
）设等差数列{
a
n
}的 公差为
d
，等比数列{
b
n
}的公比为
q
＞
0
，

且
b
1
=
﹣
2a
1=2
，
a
3
+
b
2
=
﹣
1< br>，
S
3
+
2b
3
=7
．

∴
a
1
=
﹣
1
，
b
1
=2
，﹣
1
+
2d
+
2q=
﹣
1
，
3
×（﹣
1
）+
3d
+
2
×
2
×
q
2
=7
，

解得
d=
﹣
2
，
q=2
．

∴< br>a
n
=
﹣
1
﹣
2
（
n
﹣< br>1
）
=1
﹣
2n
，
b
n
=2
n
．

（
2
）
c
n
=
．


①
n=2k
（
k
∈
N
*
）时，数列{
cn
}的前
n
项和
T
n
=T
2k
=（
c
1
+
c
3
+
…
+
c2k
﹣
1
）+（
c
2
+
c
4
+
…
+
c
2k
）
=2k
+（+
…
+），


- 18 -

令
A
k
=
∴
=
+
…
+
+
…
+
，

+，

∴
A
k
=
+﹣
=
+
4
×﹣，

可得
A
k
=
﹣
﹣
．

．

﹣
∴
T
n
=T
2k
=2k
+
②< br>n=2k
﹣
1
（
k
∈
N
*
）时，数 列{
c
n
}的前
n
项和
T
n
=T
2k
﹣
2
+
a
2k
﹣
1
=2
（< br>k
﹣
1
）+
+
2

=2k
+﹣．

∴
T
n
=
，
k< br>∈
N
*
．



20
．已知椭圆< br>C
与双曲线
y
2
﹣
x
2
=1
有共同 焦点，且离心率为
（
1
）求椭圆
C
的标准方程；

（
1
）设
A
为椭圆
C
的下顶点，
M
、N
为椭圆上异于
A
的不同两点，且直线
AM
与
AN的斜率之积为﹣
3

①试问
M
、
N
所在直线是 否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；

②若
P
点为椭圆C
上异于
M
，
N
的一点，且|
MP
|
=
|
NP
|，求△
MNP
的面积的最小
值．

【考点】圆锥曲线的综合．

【分析】（
1
）由题意，椭圆的焦点坐 标为（
0
，±
的标准方程．

，得（
k
2
+
3
）
x
2
+
2kmx
+
m
2< br>），
=
，由此能求出椭圆
C
．

（
2
）①设直线
MN
的方程为
x=ky
+
m
，联立

- 19 -

﹣
3=0
．由此利用韦达定理、直线斜率，结 合已知条件，能求出直线
MN
恒过（
0
，
0
）．

②推导出
OP
⊥
MN
，设
OP
所在直线方程为y=
﹣，则，，
由此利用三角形面积公式、基本不等式性质，能求出
k=
±
1
时，△
MNP
的面积最
小，并能求出最小值．

【解答】解：（
1
）由题意，椭圆的焦点坐标为（
0
，±
设椭圆方 程为
∴
c=
，
a=
=1
（
a
＞
b
＞
0
），

，
b=1
，

=1
；

），
=
，

∴椭圆
C< br>的标准方程为
（
2
）①若
MN
的斜率不存在，设
M< br>（
x
1
，
y
1
），
N
（
x
1
，﹣
y
1
）．

则
k
AM•k
AN
=
而
==
﹣
3
，

，故不成立，∴直线
MN
的斜率存在，

设直线
MN
的方程为
x=ky
+
m
，
< br>，得（
k
2
+
3
）
x
2
+
2kmx
+
m
2
﹣
3=0
．

联立
∴
x
1
+
x
2
=
﹣，
x
1x
2
=
，，，

∵直线
AM
与直线
AN
斜率之积为﹣
3
．

∴
k
AM
•k
AN
=•=

=


- 20 -

=

==
﹣
3
，

整理得
m=0
．

∴直线
MN
恒过（
0
，
0
）．

②由①知，，

∵|
MP
|
=
|
NP|，∴
OP
⊥
MN
，

当
k
≠
0
时，设
OP
所在直线方程为
y=
﹣
当
k=0< br>时，也符合上式，

∴
MNP
=
|
OM
|< br>•
|
OP
|
=
，则，，

S
•=•
△
=3
，

令
k
2+
1=t
（
t
≥
1
），
k
2
=t
﹣
1
，

=3
∵
t
≥
1，∴
0
当
．

取最大值
4
，

，

，即
t=2
时，﹣
∴当
k
2
=1
，即
k=
±
1
时，△
MNP
的面积最小，最小 值为．



21
．设函数
f
（
x
）
=lnx
﹣
e
1
﹣
x
，
g
（
x
）
=a
（
x
2
﹣
1
）﹣．
（
1
）判断函数
y=f
（
x
）零点的个数， 并说明理由；

（
2
）记
h
（
x
）
=g
（
x
）﹣
f
（
x
）+

，讨论
h
（
x
）的单调性；

- 21 -

（
3
）若
f
（
x
）＜
g
（
x
）在（
1
，+∞）恒成立，求实数
a
的取值范围．< br>
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数
判断．

【分析】（
1
）求出函数的导数，计算
f
（
1
），
f
（
e
）的值，求出零点个数即可；

（
2
）求出
h
（
x
）的导数，通过讨论
a
的范围求出函数的单 调区间即可；

（
3
）问题等价于
a
（
x
2
﹣
1
）﹣
lnx
＞﹣
=
在（
1
，+∞）恒成立，设
k
（
x
）
=
﹣
，根据函数的单 调性求出
a
的范围即可．

【解答】解：（
1
）由题意得：
x
＞
0
，

∴
f′
（
x
）
=
+＞
0
，

故
f
（
x
）在（
0
，+∞）递增；

又
f
（
1
）
=
﹣
1
，
f
（
e
）
=1
﹣
e
1
﹣
e
=1
﹣＞
0
，

故函数
y=f
（
x
）在（
1
，
e
）内存在零点，

∴
y=f
（
x
）的零点个数是
1
；
（
2
）
h
（
x
）
=a
（
x< br>2
﹣
1
）﹣﹣
lnx
+
e
1
﹣x
+﹣
h′
（
x
）
=2ax
﹣
=（
x
＞
0
），

=ax
2
﹣
a
﹣
lnx
，

当< br>a
≤
0
时，
h′
（
x
）＜
0
，
h
（
x
）在（
0
，+∞）递减，

当
a
＞
0
时，由
h′
（
x
）
=0< br>，解得：
x=
±
∴
x
∈（
0
，
x< br>∈（
（舍取负值），

）时，
h′
（
x
）＜
0
，
h
（
x
）递减，

，+∞）时，h′
（
x
）＞
0
，
h
（
x
） 递增，

综上，
a
≤
0
时，
h
（
x
）在（
0
，+∞）递减，

a
＞
0
时，
h
（
x
）在（
0
，
（
3
）由题意 得：
lnx
﹣
）递减，在（
＜
a
（
x
2< br>﹣
1
）﹣，

在（
1
，+∞）恒成立，

，+∞）递增；

问题等价于
a
（
x
2
﹣
1
）﹣
lnx
＞﹣
设
k
（
x
）< br>=
﹣
=
，


- 22 -

若记
k
1
（
x
）
=e
x
﹣
ex
，则
x
＞
1
时，（
x
）＞
0
，< br>
（
x
）
=e
x
﹣
e
，

k
1
（
x
）在（
1
，+∞）递增，
k
1
（
x
）＞
k
1
（
1
）< br>=0
，即
k
（
x
）＞
0
，

若
a
≤
0
，由于
x
＞
1
，
< br>故
a
（
x
2
﹣
1
）﹣
lnx
＜
0
，故
f
（
x
）＞
g
（
x< br>），

即当
f
（
x
）＜
g
（
x
）在（
1
，+∞）恒成立时，必有
a
＞
0
，< br>
当
a
＞
0
时，设
h
（
x
）
=a
（
x
2
﹣
1
）﹣
lnx
，

①若＞
1
，即
0
＜
a
＜时，

），
h
（
x
）递减，
x
∈（
）＞
0
，

，+∞），
h
（
x
）递增，
由（
2
）得
x
∈（
1
，
故
h
（
即存在
x=
）＜
h
（
1
）
=0
，而
k
（
＞
1
，使得
f
（
x
）＜
g
（
x
），

故
0
＜
a
＜时，
f
（
x
）＜
g
（
x
）不恒成立；< br>
②若≤
1
，即
a
≥时，

，
< br>设
s
（
x
）
=a
（
x
2
﹣
1
）﹣
lnx
﹣+
s′
（
x
）
= 2ax
﹣+﹣，

由于
2ax
≥
x
，且
k
1
（
x
）
=e
x
﹣
ex
＞
0
，

即＜，故﹣＞﹣，

﹣＞
=
＞
0
，

因此
s′
（x
）＞
x
﹣+
故
s
（
x
）在（
1
，+∞）递增，

故
s
（
x
）＞
s< br>（
1
）
=0
，

即
a
≥时，
f
（
x
）＜
g
（
x
）在（
1
， +∞）恒成立，

综上，
a
∈[，+∞）时，
f
（
x
）＜
g
（
x
）在（
1
，+∞）恒成立．




- 23 -

2017
年
3
月
30
日


- 24 -