2017年全国2卷高考文科数学试题及答案解析
福建高考-感人的分手信
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2016
年普通高等学校招生全统一考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
24 题，共 150
分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共
（ 1）
已知集合
A
（ A）
12 小题，每小题
5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1,2,3
，
B x x 9
，则
A
（ B）
2
B
（ C）
1,2,3
y
2
2, 1,0,1,2,3
1,0 ,1,2
（ D）
1,2
（ 2） 设复数
z
满足
z
（ A）
1 2i
（ 3） 函数
y Asin(
x
i 3 i
，则
z
（ B）
1
2i
（C）
3 2i
（ D）
3
2i
)
的部分图像如图所示，则
（ A）
y
2sin(2x
)
6
（B）
y
2 sin(2
x
)
3
-
π
6
x
（ C）
y
2sin(2x
)
6
（ D）
y
2 sin(2x
)
3
O
π
3
（
4） 体积为
8
的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A）
12
（B）
2
32
3
-2
（C）
8
（D）
4
（ 5） 设
F
为抛物线
C
：
y
k
4x
的焦点，曲线
y
(k
0)
与
C
交于点
P
，
PF
x
轴，则
k
（A）
1
2
x
（B）
1
（C）
3
（D）
2
（6） 圆
2
2
x
（A）
3
y
2
x
8
y
13 0
的圆心到直线
3
4
2
的距离为
，则
a
ax
（C）
y
1
0
（D）
2
1
（ B）
3
2 3
（ 7）
右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表
面积为
（ A） 20π
4
（ B） 24π
4
4
（ C） 28π
（ D） 32π
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（ 8）
某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，
一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待
（A）
红灯持续时间为
40
秒．若
7
（B）
5
（C）
3
15
秒才出现绿灯的概率为
（D）
3
开始
10
8
8
10
.
执行
输入
x,n
（ 9）
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，
该程序框图， 若输入的
x
（A）7
（B）12
右图是实现该算法的程序框图
2
，
n 2
,
依次输入的
a
为
2，2，5，则输出的
s
（ C）17
（D）34
lg x
k
0, s 0
（ 10）下列函数中， 其定义域和值域分别与函数
y 10
x
的定义域和值域相同的是
（ D）
y
输入
a
（ A）
y x
（ B）
y lg
x
（ C）
y 2
1
x
s s x a
k
k 1
否
（ 11）函数
f
x
)
cos 2
x
（
6
cos
x）
的最大值为
2
k
n
是
（A）4
（B）5
（C）6
（D） 7
（ 12）已知函数
f (x) (x
R)
满足
f ( x)
f (2
x)
，若函数
y
x
2
2x 3
与
输出
s
m
y f (x)
图像的交点为
(x
1
, y
1
),
(x
2
, y
2
),
,( x
m
, y
m
)
，则
i
1
x
i
结束
（A）
0
（B）
m
（ C）
2m
（ D）
4m
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第
选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共
（
13）已知向量
(13) ～ (21)
题为必考题，每个试题都必须作答。第
(22) ～ (24) 题为
4 小题，每小题
，
5 分。
，且 ∥
，则
m
．
a
(m,4)
b
(3,
2)
a b
x
y
x
y
1
0,
3
（ 14）若
x,
y
满足约束条件
0,
则
z
x 2 y
的最小值为
．
x
3
0,
（
15）
△
ABC
的内角
A, B, C
的对边分别为
a, b,c
，若
cosA
4
5
, cosC
, a 1
，则
b
13
5
．
（
16）有三张卡片，分别写有
1 和 2， 1 和 3， 2 和
3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片
2”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不
5”，则甲的卡片上的数字是
．
后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是
是
1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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（ 17）（本小题满分 12 分）
等差数列
a
n
中，且
a
3
（Ⅰ）求
a
n
的通项公式；
（Ⅱ）记
b
n
a
4
4
，
a
5
a
7
6
．
a
n
，求数列
b
n
的前
10
项和，其中
x
表示不超过
x
的最大整数， 如
0.9
0
，
2.6
2
．
（ 18）（本小题满分 12 分）
某险种的基本保费为
a
（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保
费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
a
2
1.25a
3
1.5a
4
1.75a
5
2a
保
费
0.85a
随机调查了设该险种的
200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
50
2
30
3
30
4
20
5
10
概 数
60
（Ⅰ）记
A
为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”
．求
P( A)
的估计值；
160%”．求
P(B)
的估计值；
（Ⅱ）记
B
为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
（Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值．
D′
（ 19）（本小题满分
12 分）
如图，菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，点
E, F
分别在
AD,CD
上，
AE CF
，
EF
A
E
H
O
F
C
交
BD
于点
H
.将
△DEF
沿
EF
的位置
.
折到
△D EF
D
（Ⅰ）证明：
AC
（Ⅱ）若
AB
H D
；
5
，
AC
6
，
AE
B
5
4
，
OD
2 2
，求五棱锥
D
ABCFE
的体积．
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（ 20）（本小题满分 12 分）
已知函数
f
( x) ( x 1) ln x a ( x
1)
．
（Ⅰ）当
a 4
时，求曲线
y
f (x)
在
(1, f (1))
处的切线方程；
（Ⅱ）若当
x (1, )
时，
f (x)
0
，求
a
的取值范围．
（ 21）（本小题满分 12 分）
x
2
y
2
已知
A
是椭圆
E
：
1
的左顶点，斜率为
k(k
0)
的直线交
4
3
上，
MA
NA
.
（Ⅰ）当
AM
AN
时，求
△ AMN
的面积；
（Ⅱ）当
2 AM
AN
时，证明：
3
k 2
.
请考生在第（
22）～（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（ 22）（本小题满分
10 分）选修
4-1 ：几何证明选讲
如图，在正方形
ABCD
中，
E,G
分别在边
DA, DC
上（不与端点
重
合），且
DE
DG
,过
D
点作
DF CE
,垂足为
F
.
（Ⅰ）证明：
B,C,G, F
四点共圆；
（Ⅱ）若
AB 1
，
E
为
DA
的中点，求四边形
BCGF
的面积
.
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于
A,M
两点，点
N
在
E
G
D
C
E
F
A
B
E
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（ 23）（本小题满分
10
分）选修
4-4 ：坐标系与参数方程
2
在直角坐标系
（Ⅰ）以坐标原点为极点，
（Ⅱ）直线
l
的参数方程是
xOy
中，圆
C
的方程为
( x 6)
y
2
25
.
C
的极坐标方程；
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
x
t
cos
,
（
t
为参数），
l
与
C
交于
A, B
两点，
AB
10
，求
l
的斜率
.
y
t sin
,
（
24）（本小题满分 10 分）选修
4-5 ：不等式选讲
1
1
已知函数
f (x) x
x
，
M
为不等式
2
2
（Ⅰ）求
M
；
（Ⅱ）证明：当
a,b
M
时，
a
b
1 ab
.
范文范例
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2
的解
f (x)
集
.
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2016 年全国卷Ⅱ高考数学（文科）答案
一.
选择题
（1）D
（7） C
（2） C
（8） B
（3） A
（9） C
（4） A
（10） D
（5） D
（11） B
（6） A
（12） B
二．填空题
(13)
6
(14)
5
（ 15）
21
（16）1和 3
13
三、解答题
（ 17） ( 本小题满分
( Ⅰ)
设数列
12 分)
a
n
的公差为
d
，由题意有
2a
1
5d
2n
3
.
4, a
1
5d 3
，解得
a
1
1,d
2
5
，
所以
a
n
的通项公式为
a
n
5
2n 3
，
（Ⅱ）由 ( Ⅰ ) 知
b
n
5
3
2n
当 n=1,2,3
时，
1
当 n=4,5
时，
2
5
2n
3
2, b
n
1
；
5
2n
2n
3,b
n
2
；
3
3
当 n=6,7,8
时，
3
5
5
4, b
n
3
；
当 n=9,10
时，
4
n
5,b
n
4
，
2
所以数列
的前 10
项和为
1 3
2 3
3
4224
.
b
（ 18） (
本小题满分
12 分)
(
Ⅰ ) 事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于
2.
由所给数据知，一年内险次数小于
2 的频率为
60
50
0.55
，
200
故 P(A) 的估计值为 0.55.
（Ⅱ）事件 B
发生当且仅当一年内出险次数大于
小于 4 的频率为
1 且小于
4. 由是给数据知， 一年内出险次数大于
1 且
30
30
0.3
，
200
0.3.
故 P(B) 的估计值为
( Ⅲ ) 由题所求分布列为：
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保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
调查 200
名续保人的平均保费为
0.85a 0.30 a 0.25 1.25a
0.15 1.5a 0.15 1.75a
0.30 2a
0.10
因此，续保人本年度平均保费估计值为
1.1925
a.
（ 19）（本小题满分 12 分）
（ I ）由已知得，
AC
BD,AD
CD
.
又由
AE
CF
得
AECF
，故
AC EF.
AD
CD
由此得
EF
HD ,EF
HD
，所以
AC
HD .
.
（II ）由
EF AC
得
OH
AE
1
.
DO
AD
4
由
AB 5,AC
6
得
DO
BO
AB
2
AO
2
4.
所以
OH
1,D H
DH
3.
于是
OD
2
OH
2
(2
2)
2
1
2
9
DH
2
,
故
OD
OH .
由（I）知
AC
HD
，又
AC
BD,BD
HD
H
，
所以
AC
平面
BHD ,
于是
AC
OD .
又由
OD
OH,AC
OH O
，所以，
OD
平面
ABC.
又由
EF
DH
得
EF
9
.
AC
DO
2
五边形
ABCFE
的面积
1
1
9
69
S
6
8
3.
2
2
2
4
所以五棱锥
D '
ABCEF
体积
V
1
69
2 2
23
2
.
3
4
2
（
20）（本小题满分 12 分）
（ I ）
f
(x)
的定义域为
(0,
)
.
当
a
4
时，
f ( x)
( x1)ln1), f (x)ln x
1
x
4( x
3
，
f
(1)
2, f (1) 0.
曲线
y
x
的切线方程为
2x
y
2
0.
（ II ）当
x
(1,
)
时，
f ( x)
0
等价于
ln x
a( x
1)
x
1
0.
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2a
0.05
1.1925a
，
f (x)
在
(1, f (1))
处
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令
g( x) ln x
g ( x)
1
a( x
1)
，则
x
1
2
x
2(1
a) x
2a
2
2
1
, g (1)
0
，
x
( x
1)
（ i ）当
a
x( x
)
时，
x
1)
2
2
，
x
(1,
2(1 a)x
1
x
2
2x
1 0
，故
g
(x)
0, g( x)
在
x (1, )
上单调递增，因此
g ( x)
0
；
（ ii ）当
a
2
时，令
g ( x)
0
得
x
1
a 1
(a 1)
2
1, x
2
a 1
(a
1)
2
1
，
由
x
2
1
和
x
1
x
2
1
得
x
1
1
，故当
x
(1, x
2
)
时，
g ( x)
0
，
g( x)
在
x
(1,x
2
)
单调递减，因此
g(x) 0
.
综上，
a
的取值范围是
,2 .
（
21）（本小题满分
12 分）
（Ⅰ）设
M ( x
1
, y
1
)
，则由题意知
y
1
0
.
由已知及椭圆的对称性知，直线
AM
的倾斜角为
，
4
又
A(
2,0)
，因此直线
AM
的方程为
y
x
2
.
x
将
x
2
y 2
代入
y
2
1
得
7 y
2
12 y 0
，
4
3
0
12
12
解得
y
或
y
，所以
y
.
7
1
7
因此
AMN
的面积
S
AMN
2
1
12
12
144
.
2
7
7
49
（ II ）将直线
AM
x
2
y
2
的方程
y
k
(x
2)( k
0)
代入
1
得
4
3
(3
4k
2
) x
2
16k
2
x
16k
2
12
0
.
124k
由
x
1
(
2)
2
得
x
1
2
)
16 k
2(3
，故
| AM |
1 k
2
|
x
2
1
2 |
12
1
k
2
.
3
4k
3
4k
2
3
4k
2
由题设，直线
AN
1
的方程为
y
(x
2)
，故同理可得
| AN |
12k
1
k
2
.
k
4
3k
2
由
2|AM | |AN|
得
2
k
，即
4k
3
6k
2
3k 8 0
.
3
4k
2
4
3k
2
范文范例
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设
f (t ) 4t
3
6t
2
3t 8
，则
k
是
f (t )
的零点，
f '(t)
)
单调递增，又
f ( 3)
15 3
12t
2
12t
3
6
0
，
3
k
3(2t
1)
2
0
，
所以
f (t)
在
(0,
因此
f (t)
在
(0,
26
0, f (2)
)
有唯一的零点，且零点
k
在
(
3, 2)
内，所以
2
.
（ 22）（本小题满分 10 分）
（I ）因为
DF
EC
,
所以
DEF
CDF ,
则有
GDF
DEF
FCB,
DF
CF
DGF
DE
CD
DG
CB
CBF ,
,
所以
由此
DGF
CGF
CBF ,
由此可得
CBF
0
180 ,
所以
B,C,G, F
四点共圆
.
（ II
）由
B,C,G, F
四点共圆，
CG
由
G
为
Rt DFC
斜边
CD
CB
知
FG
FB
，连结
GB
，
的中点，知
GF
GC
, 故
Rt
BCG
Rt
BFG ,
因此四边形
BCGF
的面积
S
是
GCB
面积
S
GCB
的
2
倍，即
1.
2S
S
GCB
2
1
1
2
2
1
2
（ 23）（本小题满分 10 分）
（ I
）由
x
cos
, y
sin
可得
C
的极坐标方程
2
12
cos
(
11
0.
（ II
）在（ I ）中建立的极坐标系中，直线
l
的极坐标方程为
R)
,
由
A,
B
所对应的极径分别为
2
1
2
,
将
l
的极坐标方程代入
C
的极坐标方程得
12
cos
1 2
11
12cos
0.
于是
,
1 2
11,
|
|AB| |
由
|AB|
1
2
(
1
2
10
得
cos
3
2
)
2
4
1 2
144cos
15
，
3
2
44,
, tan
8
所以
l
的斜率为
15
或
3
范文范例
15
.
3
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（ 24）（本小题满分 10
分）
（ I ）先去掉绝对值，再分
x
1
，
1
2
x
1
2
和
x
1
2
三种情况解不等式，即可得
；（ II
）采
2
用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当
a
，
b
时，
a b 1 ab
．
2x, x
试题解析：（ I ）
f ( x)
1,
1
x
1
,
2
1
2
,
2
2 x, x
1
.
2
2
得
2x
当
x
1
2
x
时，由
f ( x)
2,
解得
x
1
；
当
1
2
1
1
2
时，
f
(x)
2
；
当
x
2
时，由
f
(x)
2
得
2x
2,
解得
x 1
.
所以
f ( x)
2
的解集
M
（ II
）由（ I
）知，当
a,b
{ x |
1
x
M
时，
b
1}
.
1
a
1, 1
b
1
，从而
2
(a
b)
2
(1
ab)
2
a
2
2
ab
22
1
(a
1)(1
b ) 0
，
2
因此
| a
b | |1 ab |.
范文范例
参考指导