高考数学试卷-毕业班教师寄语

山东省泰安市宁阳县第一中学2020届高三上学期阶段性测试（二）
数学
一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分. 其中1-10题是单选题，11-13题是多选题）
1. 设集合
A{x12x1 3},B{xylog
2
x}
，则
AB
( )
A.
(0,1]

2
3
B.
[1,0]
C
[1,0)
D.
[0,1]

2
3

1

1

2．已知
a

,b

,clog
3

，则
a,b, c
的大小关系为( )

3

2

A．
abc
B．
acb
C．
cab
D．
cba

3. 已知
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前n项和，
a
3
a
7
8,S< br>7
35
，则
a
2

( )

A.5 B.6 C.7 D.8
4. 命题为“
x

1,2

,2x
2
a0
”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.
a1
B.
a2
C.
a3
D.
a4

5
．已知
a0,b0,ab2
，则
y
A
．
7

2
14

的最小值是（ ）

ab
B.
9

2
C
．
5 D
．
4
e
x
1
6. 函数
f

x


（其中e为自然对数的底数）的图象大致为( )
x
x

1e


7. 已知定义在 R上的函数
f(x)
满足
f

x

f

x

,f

x1

f

1 x

，且当
x

0,1

时，
f
x

log
2

x1

，则< br>f

2019


( )
A.0 B.1 C.
1
D.2

b
满足
ab
，向量
2ab
与
b
垂直，则
a
与
b
的夹角为 8．若非零向量
a、

A．
150
B．
120
C．
60
D．
30

9. 已知函数
f(x)asinx3cosx
的图 像的一条对称轴为直线
x
5

，且
f(x
1
) f(x
2
)4
，则
6
x
1
x
2的最小值为( )


2

B.
0
C. D.
3 33
10．已知三棱锥
PABC
的各顶点都在同一球面上，且
PA
平面
ABC
，若该棱锥的体积为
A.

1,
AB2,AC1,BAC60
,则此球的表面积等于( )
A.
43


B.
32


3

C.
12


D.
16



11.将函数
f(x)sin2 x
的图象向左平移

个单位长度后得到函数
g(x)
的图象，则( )
6
3





A.
g( x)
在

0,

上的最小值为

B.
g(x)
在

0,

上的最小值为
1

2

2

2

3


C.
g(x)
在

0,

上的最大值为
2
2





D.
g(x )
在

0,

上的最大值为1

2

12.如图,在棱长均相等的四棱锥P- ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有
下列结论正确的有: ( )
A．PA∥平面OMN B. 平面PCD∥平面OMN
C. 直线PD与直线MN所成角的大小为90° D. ON⊥PB ax
2
lnax(a0)
，若
f(x)
有4个零点，则a
的可能取值有( ) 13. 设函数
f(x)
2e
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）


3

14. 已知



0 ,


且
cos




．则
sin


_________.
6

5

15．若在
△ABC
中，
BC1
，其外接圆圆心O
满足
OA

OB

OC
0
，则< br>ABAC

.
16
．已知函数
yf

x

在
R
上的图象是连续不断的一条曲线，并且 关于原点对称，其导函数为
f


x

，
2
当
x0
时，有不等式
xf


x

 2xf

x

成立，若对
xR
，不等式
e< br>2
x
f
(
e
x
)
a
2
x
2
f
(
ax
)0
恒成立，

则正数
a
的最大值为
_______.
17. 如图，设
ABC
的内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，
3(
a
cos
C

c
c os
A
)2
b
sin
B

，且

CAB


3
.若点
D
是
ABC
外一
面积的最大
D
=

,点，
DC
1,DA
3
，则当四边形
ABCD
面积最大时，
值为
三、解答题（本大题共6小题，第18题10分，第19-21题14分，第22-23题15分，共8 2分）
18
．（
10
分）已知
ABC
中，角
A ,B,C
的对边分别为
a,b,c
，
2cosC(acosCccosA) b0
．

（
1
）求角
C
的大小；
< br>（
2
）若
b2,c23
，求
ABC
的面积．< br>



19. （14分）设数列

a
n

的前
n
项和
S
n
2
n1
2
，数列

b
n

满足
b
n

（1）求数列

a
n

的通项公式；
（2）求 数列

b
n

的前
n
项和
T
n< br>


20.（14分）如图，四棱锥
PABCD
的一个侧面PAD为等边三角形，且平面
PAD
平面ABCD，

1
，
(
n
1)log
2
a
n
四边形ABCD是平行四边形,
AD2,BD23,BAD
.
3

（1）求证：
BDPD
；
（2）求二面角
PBCD
的余弦值





21.（14分）某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该
商品每件定价x最多为多少元?
(2)为了扩 大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改
1
革 ,并提高定价到x元.公司拟投入
(
x
2
600)
万元作为技改费 用,投入50万元作为固定宣传费用,
6
投入
1
x
万元作为浮动宣传 费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明
5
年的销售收入不低 于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.


22.（15分）已知函 数
f

x

x2sinx
.



（Ⅰ）求函数
f

x

在

，

上的最值；

33




（Ⅱ）若存在
x

0,

,使得不等式
f

x

ax
成立，求实数
a
的取值范围．

2




23
．（15分）已知函数
f(x)
1
2
xalnx1(aR)
.
2
（Ⅰ）若函数
f(x)
在
[1,2]
上是单调递增函数，求实数
a
的取值范围；

（Ⅱ）若
2a0
，对任意
x
1
,x
2


1,2

，不等式
f(x< br>1
)f(x
2
)m
范围
.






11

恒成立，求实数
m
的取值
x
1
x
2

答案
一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分. 其中1-10题是单选题，11-13题是多选题）
1-5. ADCAB 6—

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
14.
433
5

5
1
15．
16． e 17.
，
10
2

62
33

三、解答题（本大题共6小题，第18题10分，第19-21 题14分，第22-23题15分，共82分）
18
．

（
1）∵
2cosC(acosCccosA)b0
，

由正弦定理可 得
2cosC(sinAcosCsinCcosA)sinB0
，
…………… ……………………2

∴
2cosCsin(AC)sinB0
，即< br>2cosCsinBsinB0
，
…………………3

又
0B180
，∴
sinB0
，∴
cosC
1
， 即
C120
．
…………………5

2
（
2）由余弦定理可得
(23)
2
a
2
2
2
 22acos120a
2
2a4
，

又
a0,a2
，

……………………………………8

∴
S
ABC

1
absinC3
，∴
ABC
的面积为
3
．
……………………………10

2
19.解：（1）
n1时，a
1
S
1
2,
…………………………………………………………2
S
n
2
n1
2,S
n1
2
n
2

n2

a
n
S
n
S
n1
2
n

n2

…………………4
a
1
2
符合
a
n
2
n

数列

a
n

的通项公式为：
a
n
2
n
………………………………………………………6
（2）
b
n

11

(
n
1)
n
(n
1)log
2
2
n

1
n
1
………………………10
n
1
T
n
1
11111




223
nn
11
1
……………………………………………………………………………14
n
1

20.（1）证明：在
ABD
中，
AD2,BD23,BAD

3

ADBD
…………………………………………………………………………………2
又平面
PAD
平面ABCD
平面
PAD
平面ABCD =AD，
BD
面
ABCD

BD
平面PAD， ………………………………………………………………4
又
PD
面
PAD
BDPD
…………………………………………………………6
（2）
如图，作
POAD
于点O，
则
PO
平面ABCD
过点O作
OEBC
于点E，连接PE，
以O为坐标原点，以OA,OE,OP所在直线为x轴，
y轴，z轴建立空间直角坐标系，……………………………8
则
D

1,0,0

,B1,23,0,p0,0,3,C3,23,0


BP1,23,3,BC

2,0,0

…… ………………10
由（1）知平面DBC的一个法向量为

0,0,1


设平面PBC的法向量为
n

x,y,z


 



nBC0

2x0
则


即





x23 y3z0

nBP0
取
n

0,1,2

,
……………………………………………………………………………12
设平面DBC与平面PBC所成二面角的平面角为


则
cos

25
…………………………………………………………………………14
5
21. (1)设每件定价为x元,依题意得
x≥25×8, ……………………………………………………………3
整理得x-65x+1 000≤0,解得25≤x≤40……………………………………………5
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元………………………6
2
(2)依题意不等式ax≥25×8+50+(x-600)+x有解, ………………………………8
2
等价于x>25时,a≥+x+有解, …………………………………………………10

因为+x≥2=10……………………………………………………………12
(当且仅当x=30时,等号成立),所以a≥10.2. ………………………………………13 < br>所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入 之和,此时
该商品的每件定价为30元. …………………………………14
22. 解：（Ⅰ）
f
(
x
)
x
2sin
x
，
f

(
x
)12cos
x
0
… …………………2
在单调递减……………………………………………………4
当
当
（Ⅱ）令
①
②
③
递增，
时，

时

时

存在
………………………………………………………6
…………………………
8

，
，
在
在
递减，
递增，


，不成立；


，恒成立；
递减，所以存 在



x

0,

，
2


…………
14

综上可知，实数的取值范围………………………………………
15

23
．（ Ⅰ）易知
f(x)
不是常值函数，∵
f(x)
∴
f'(x)x
1
2
xalnx1
在

1,2

上是 增函数，

2
a
0
恒成立，…………………………………………… ………
3

x
2
所以
ax
2
，只需a(x)
min
1
；…………………………………………………
6< br>
（Ⅱ）因为
2a0
，由（Ⅰ）知，函数
f(x)
在< br>[1,2]
上单调递增，

不妨设
1x
1
x2
2
，则
f

x
1

f

x
2

m
11

，

x
1
x
2

可化为
f( x
2
)
mm
（fx
1
)
，…………………… …………………………
8

x
2
x
1
设
h (x)f(x)
m1
2
m
xalnx1
，则
h (x
1
)h(x
2
)
，

x2x
所以< br>h(x)
为
[1,2]
上的减函数，………………………………………………… …
10

即
h

(x)x
am
0
在
[1,2]
上恒成立，

xx
2
等价于
mx
3
ax
在
[1,2]
上恒成立，……………………………… ……………
12

3
设
g(x)xax
，所以
mg(x)
max
，

因
2a0
，所以
g '(x)3xa0
，所以函数
g(x)
在
[1,2]
上是增函 数，

2
所以
g(x)
max
g(2)82a12
（当且仅当
a2
时等号成立）．…………
14

所以
m12
．

……………………………………………………
15