白杨礼赞写作背景-经理岗位职责

2020高考数学模拟试题
（理科）
一、选择题（本大题共
10
小题）
1.

设全集
U=R
，集合
M={x|x
＞
1}
，
P={x|x
2
＞
1}
，则下列关系中正确的是（ ）
A.

B.

C.

D.

2.

设纯虚数z
满足
=1+ai
（其中
i
为虚数单位），则实数
a< br>等于（ ）
A.
1

B.

C.
2

D.

3.

若
x
、
y
满足约束条件，则的取值范围是
A.

A.

B.

B.

C.

C.

D.

D.

4.

已知
a
，
b
∈
R
，下列四个条件中，使
a
＞
b
成立的充分不必要的条件是（

）
5.

函数
y=
的图象大致是（ ）
A.

B.

C.

D.

6.

已知函数
1
D(x)


0
x为有理数
x为无理数
， 则（ ）
A.
,0
是的一个周期
B.
,1
是的一个周期
C.
,1
是的一个周期
D.
,
的最小正周期不存在
7.

若关于
x
的不等式
|x+t
2
-2|+|x+t
2
+2t-1|
＜
3 t
无解，则实数
t
的取值范围是（ ）
A.

A.

B.

B.

C.

C.

D.

D.

8.

若
O
是△
ABC
垂心，且，则
m=
（ ）
9.

已知二次函数
f
（
x
）
=ax2
+bx
（
|b|≤2|a|
），定义
f
1
（
x
）
=max{f
（
t
）
|-1≤t≤x≤1}< br>，
f
2
（
x
）
=min{f
（
t< br>）
|-1≤t≤x≤1}
，其中
max{a
，
b}
表 示
a
，
b
中的较大者，
min{a
，
b}
表示
a
，
b
中的较小者，下列命题正确的是（ ）
A.
若
,
则
B.
若
,
则
C.
若
,
则
D.
若
,
则

10.

已知数列
{a
n
}
满足， 若，设数列
{b
n
}
的前项和为
S
n
，则使得|S
2019
-k|
最小的整数
k
的
值为（ ）
A.
0

B.
1

C.
2

D.
3

二、填空题（本大题共
7
小题）
11.

（
1-2x
）
5
展开式中
x3
的系数为
______
；所有项的系数和为
______
．
12.

等比数列
{a
n
}
中，，则
=_ _____
，
a
1
a
2
a
3
a
4
=______
．
13.

在△
ABC
中，角< br>A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，已知，则
C=______
；若，△
ABC
的面积为，则
a+b=______
．
14.

已知函数，则=______
，若函数
g
（
x
）
=f
（x
）
-k
有无穷多个零点，则
k
的取值范围
是
______
．
15.

已知
x
，
y
∈
R
且
x
2
+y
2
+xy=1
，则
x+y+xy
的最小值为
______
．
16.

已知平面向量满足，则的最大值为
______
．
17.

当
x
∈
[1
，
4]
时，不等式
0≤ax
3
+bx
2
+4a≤4x
2
恒成立，则
7a+b
的 取值范围是
______
．
三、解答题（本大题共
5
小题）
18.

已知函数
f
（
x
）
=2sinx cos
（
x+
）
+
．
（Ⅰ）求函数
f
（
x
）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数< br>f
（
x
）在区间
[0
，
]
上的最大值及最小 值．







19.

已知在△
ABC
中，
|AB|=1
，
|AC|=2
．
（Ⅰ）若∠
BAC
的平分线与边
BC
交于点
D
，求；
（Ⅱ）若点
E
为
BC
的中点，求的最小值．







20.

已知正项 等差数列
{a
n
}
满足：，其中
S
n
是数列
{a
n
}
的前
n
项和．
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）令，证明：．







21.

设函数
f
（
x
）
=e
x
-ax+a
，< br>a
∈
R
，其图象与
x
轴交于
A
（
x
1
，
0
），
B
（
x
2
，
0
）两点，
且
x
1
＜
x
2
．
（
1
）求
a
的取值范围；
（
2
）证明：．

22.

已知函数
f
（
x
）
=lnx- ax
2
-bx-2
，
a
∈
R
．
（Ⅰ）当
b=2
时，试讨论
f
（
x
）的单调性；
（Ⅱ）若对任意的，方程
f
（
x
）
=0
恒有
2
个不等的实根，求
a
的取值范围．

答案和解析

1.
【答案】
C

【解析】解：∵全集
U=R
， 集合
M={x|x
＞
1}
，
P={x|x
2
＞< br>1}={x|x
＞
1
或
x
＜
-1}
，
∴
M
∪
P=P
，
M∩P=M
．
故选：
C
．
先分别求出集合
M
，
P
，利用交集和并集的定义直接求解．
本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．
2.
【答案】
A

【解析】解：由
=1+ai
，得
z=
，
由
z
为纯虚数，得，即
a=1
．
故选：
A
．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由实部为
0
且虚部不为
0
列式求
解
a
值．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.
【答案】
D

【解析】解：
x
、
y
满足约束条件，表示
的可行域如图：
目标函数
z=x+2y
经过
C
点时，函数取得
最小值，
由解得
C
（
2
，
1
），
目标函数的最小值为：
4
目标函数的范围是
[4
，
+∞
）．
故选：
D
．
画出约束条件的可行域，利用目标函数的
最优解求解即可．
本题考查线性规划的简单应用，画出可行
域判断目标函数的最优解是解题的关键．
4.
【答案】
B

【解析】【分析】
本题考查的知识点是充要条件的定义，属于基础题．
根据充要条件的定义，逐一分析给定四个 条件与
a
＞
b
的充要关系，可得答案．
【解答】
解：< br>a
＞
b+1
是
a
＞
b
的充分不必要的条件；
a
＞
b-1
是
a
＞
b
的必要不充分条件；
|a|
＞
|b|
是
a
＞
b
的既不充分也不 必要条件；
2
a
＞
2
b
是
a
＞
b
的充要条件
.
故选：
B
．


5.
【答案】
D

【解析】解：当x
＞
0
时，
y=xlnx
，
y
′
=1 +lnx
，
即
0
＜
x
＜时，函数
y
单调 递减，当
x
＞，函数
y
单调递增，
因为函数
y
为偶函数，
故选：
D
．
根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．
本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．
6.
【答案】
B

【解析】解：若
x
为有理数，
D
（
D
（
x
））
=D
（
1
）
=1
，
若
x
为无理数，
D
（
D（
x
））
=D
（
0
）
=1
，
综上
D
（
D
（
x
））
=1
，排除
C
，
D
．
根据函数的周期性的定义，周期不可能是
0
，故
A
错误，
若
x
为有理数，
D
（
x+1
））
=1
，< br>D
（
x
）
=1
，则
D
（
x+1）
=D
（
x
），
若
x
为无理数，
D
（
x+1
））
=0
，
D
（
x
）< br>=0
，则
D
（
x+1
）
=D
（
x< br>），
综上
D
（
x+1
）
=D
（
x
），
即
1
是函数
D
（
x
）的一个周期，
故选：
B
．
根据定义，结合函数值之间的关系以及函数周期性的定义进行判断即可．
本题主要考查命题的 真假判断，涉及函数值的计算以及函数周期的求解，根据条件和定
义是解决本题的关键．
7.
【答案】
C

【解析】解：∵
|x+t
2< br>-2|+|x+t
2
+2t-1|≥|
（
x+t
2
- 2
）
-
（
x+t
2
+2t-1
）
|=|- 2t-1|=|2t+1|
，
∴关于
x
的不等式
|x+t
2
-2|+|x+t
2
+2t-1|
＜
3t
无解等价于|2t+1|≥3t
，
∴或，
t
＜
0
，
解得
t≤1
．．
故选：
C
．
fx
）先 求（的最小值，然后把关于
x
的不等式
|x+t
2
-2|+|x+t
2
+2t-1|
＜
3t
无解转化为
|2t+1|≥3t，
解不等式可得．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．
8.
【答案】
D

【解析】解：在△
ABC
中，
sinBsinC≠0
，
由，
得
+=2m
•，
连接
CO
并延长交
AB
于
D
，
∵
O
是△
ABC
垂心，∴
CD
⊥
AB
，
= +

∴
+=2m
•（
+
），两端同乘以得
•
+
•
=2m
•（
+
）•，
=2m
•
bcosA
•
c
∴•
c
2+
•
bc
•
cosA=2m
••
=2m
•||
•
c
•
cos0°
∵
A=
∴•
c
2
+
•
bc
•
=bcm
，由正弦定理化为
•
sin
2
C+
•
sinBsinC
•
=m•
sinBsinC
，
∴
cosCsinC+cosBsinC=m< br>•
sinBsinC
，又
sinC≠0
，约去
sinC
，
得
cosC+cosB=m
•
sinB
，
∵
C=π-A-B=-B
，∴
cosC=cos
（
-B
）
= -cosB+sinB
，代入上式，得
∴
sinB=m
•
sinB
，又
sinB≠0
，约去
sinB
，
∴
m=
．
故选：
D
．

利用垂心的性质，连接
CO
并延长交
AB
于
D
，得到CD
⊥
AB
，把由，
变形，两端同乘以，利用数量积、正弦定理进行整 理化简得到得
cosC+cosB=m
•
sinB
，
再把
c osC
化为
cos
（
-B
）
整理就可以得到
m
的值．
本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理 、两角差的余弦公式、诱导公式、三
角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题 ．
9.
【答案】
C

【解析】解：对于
A
，若
f
1
（
-1
）
=f
1
（
1
），则
f
（
-1
）为
f
（
x
）在
[-1
，
1]
上的最大值，
∴
f
（
-1
）＞
f
（
1
）或
f
（
-1
）
= f
（
1
）．故
A
错误；
对于
B
，若f
2
（
-1
）
=f
2
（
1
） ，则
f
（
-1
）是
f
（
x
）在
[ -1
，
1]
上的最小值，
∴
f
（
-1
） ＜
f
（
1
）或
f
（
-1
）
=f< br>（
1
），故
B
错误；
对于
C
，若
f
2
（
1
）
=f
1
（
-1
），则
f
（
-1
）为
f
（
x
）在
[-1
，
1]
上的最小值，
而
f
1
（
-1）
=f
（
-1
），
f
1
（
1
）表示
f
（
x
）在
[-1
，
1]
上的最大 值，
∴
f
1
（
-1
）＜
f
1
（
1
）．故
C
正确；
对于
D
，若
f
2
（
1
）
=f
1
（
-1
），由新定义可 得
f
1
（
-1
）
≥f
2
（
-1< br>），
则
f
2
（
1
）
≥f
2
（
-1
），故
D
错误．
故选：
C
．
由新定义可知
f
1
（
-1
）
=f
2
（-1
）
=f
（
-1
），
f
（
x
）在
[-1
，
1]
上的最大值为
f
1
（
1
），最小
值为
f
2
（
1
），即可判断
A
，
B
，
D
错误，
C
正确．
本题考查了对于新定义的理解和二次函数的图象与性质，考查推理能力，属于中档题．
10.
【答案】
C

【解析】解：
a
n
+1
-a
n
=≥0
，
a
1
=-
，等号不成 立，可得
a
n
+1
＞
a
n
，∴数列
{a< br>n
}
是递增数列．
∵数列
{a
n
}
满足，
∴
==-
，
∴
b
n
==-

∴ 数列
{b
n
}
的前项和为
S
n
=-+-+
……
+-=2-
．
则使得
|S
2019
-k|=|2-- k|
使得
|S
2019
-k|
最小的整数
k
的值 为
2
．
故选：
C
．
a
n
+1
-a
n
=≥0
，可得数列
{a
n
}
是递增数列．数 列
{a
n
}
满足，可得
==-
，
b
n==-
进而得出结论．
本题考查了数列的递推关系、裂项求和方法、数列的单调性，考查 了推理能力与计算能
力，属于中档题．
11.
【答案】
-80 -1

【解析】解：根据题意得，（
1-2x
）
5
展开式的通项 为
T
r
+1
=
（
-2x
）
r
=< br>（
-2
）
r
x
r
令
r=3
得（
-2
）
3
=-80
，
令
x=1
得所有项的系数和为（
1-2
）
5
=-1
故答案为
-80
，
-1
运用二项展开式的通项及所有项系数的和可解决此问题．
本题考查二项展开式的通项及所有项的系数和．
12.
【答案】



【解析】解：∵等比数列
{a
n
}
中，，
∴
q==
，
∴
===
（）
6
=
，
a
1
a< br>2
a
3
a
4
==
（）
4
（）
6
=4×=
．

故答案为：，．
推导出
q==
，由等比数列的通项公式得
==
，
a
1
a
2
a
3
a
4
=
，由此能求出结果．
本题考查等差 数列的两项和的比值、四项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，
考查运算求解能力，是基础题．
13.
【答案】
7

【解析】解：∵在△
ABC< br>中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，已知，
∴由正弦定理可得，
解得，
∴，解得
ab=6
，
∵，
cosC=
，
∴，解 得
a=1
，
b=6
或
a=6
，
b=1
，
∴
a+b=7
．
故答案为：，
7
．
由正弦定理 可得，从而得到，由，得
ab=6
，由此利用余弦定理能求出
a+b
． 本题考查三角形的角及边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理
论证能力、运 算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
14.
【答案】
[0
，
+∞
）

【解析】解：根据题意，函数，
则f
（
-
）
=2f
（
-
）
=4f
（）
=4
（
+-2
）
=6-8
；
由
f
（
x
）
=2
x
+2
-
x
-2≥0
，
f
（
-x
）
=f
（
x
），可知
f
（
x
）偶函数，
∴当
x
＜
0
时，可得
f
（
x
）
=2f
（
x+1
），可 知周期为
1
，函数值随
x
的减小而增大，且
f
（
x
）
min
≥0
．
函数
g
（
x
）
=f
（
x
）
-k
有无穷多个零点，即函数
y=f< br>（
x
）与函数
y=k
有无穷多个交点，
则
k≥0
．
故答案为：
6-8
；
[0
，
+∞
）．
由
f
（
-
）
=2f
（
-
）
=4f< br>（）
=4
（
+-2
）
=6-8
可得解；根据由
f
（
x
）
=2
x
+2
-
x
-2 ≥0
，
f
（
-x
）
=f
（
x
）， 可知
f
（
x
）偶函数，当
x
＜
0
时，可得
f
（
x
）
=2f
（
x+1
），可知周期为
1
，函数
值随
x
的减小而增大，且
f
（
x
）
min
≥0
，零点问题转化为交点问题，即可求解．
本题考查分段函数的性质，涉及函数与方程的关系，属于基础题．
15.
【答案】


【解析】解：已知
x
，
y
∈
R
且
x
2
+y
2
+xy=1
，
所以
x
2
+y
2
=1-xy≥2xy
，
解得，
又由已知得（
x+y
）
2
=xy+1
，由于是求最小值，
故可取，
所以，
令，则
xy=t
2
-1
，
，
故当时
x+y+xy
的最小值为，
故答案为：．
本 题已知条件二元二次方程表示平面上的一条曲线，所求式子也是二元函数最值问题，
从基本不等式角度出 发，然后换元处理即可．
本题考查了基本不等式的性质、换元解决二元函数最值问题，考查了推理能力 与计算能
力，属于难题．

16.
【答案】
10

【解析】解：∵，设与的夹角为
θ
，
∴
===
，
∴
cosθ=-1
时，取得最大值
10
．
故答案为：
10
．
根据，可设与的夹角为
θ
，根据
=
进行数列的运算即可得出，从而可求出的最大值．
本题考查向量的数乘运算，向量数量积 的运算及计算公式，向量夹角的定义，考查了计
算能力，属于基础题．
17.
【答案】
[-4
，
8]

【解析】解：当
x
∈
[1
，
4]
时，不等式可化为，
若
a=0
，则
0≤b≤4
，故
7a+b
∈
[0
，4]
；
若
a
＞
0
，
y=
，
y'=a-=a
（
1-
）
=a
，当
x
∈
[ 1
，
2]
，
y
递减，
x
∈
[2
，
4]
，
y
递增，
可得
x=1
，
y
最大值为
5a
，
x=2
，
y
最小
3a
， 故
3a+b≥0
，
5a+b≤4
，
7a+b═-
（
3a+b
）
+2
（
5a+b
）
≤8
，
若
a
＜
0
，由上知，
5a+b≥0
，
3a+b≤4
，
由
7a+b═-
（
3a+b
）
+2
（
5a+b≥-4
，
综上，
7a+b
∈
[-4
，
8]
．
故答案为：
[-4
，
8]
．
当
x
∈[1
，
4]
时，不等式可化为，分三种情况讨论，根据
3a+b
，
5a+b
的范围，确定
7a+b
范围．
考查不等式恒成立问题，函数最值计算，线性规划解不等式，中档题．
（Ⅰ）函数
f
（
x
）
=2sinxcos
（
x+
）
+= 2sinx
•（
cosx-sinx
）
+=sinxcosx- sin
2
x+
18.
【答案】解：
=sin2x-
•< br>+=sin
（
2x+
）．
令
2kπ+≤x≤2kπ+
，求得
kπ+≤x≤kπ+
，可得函数的减区间为
[kπ+
，
kπ +]
，
k
∈
Z
．
（Ⅱ）在区间
[0
，< br>]
上，
2x+
∈
[
，
]
，
故当< br>2x+=
时，函数
f
（
x
）取得最大值为
1
；当
2x+=
时，函数
f
（
x
）取得最小值为
-< br>．

【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求 得函
数
f
（
x
）的单调递减区间．
（Ⅱ）利用正弦函数的 定义域和值域，求得函数
f
（
x
）在区间
[0
，
]
上的最值．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档
题． < br>19.
【答案】解：（
1
）
AD
为∠
BAC
的平分线，
|AC|=2|AB|
，所以
|BD|=2|DC|
，
由
B
，
C
，
D
三点共线，，
所以
==
．
（
2
）由
E
为
BC
的中点，，

由平行四边形对角线的性质，所以
=
，
所以由柯西不等式（）（）
≥
（
2+1
）
2
=9
，
当且仅当时，取等号，

故的最小值为．

【解析】（
1
）利用 三点共线定理，求出，代入求出即可；（
2
）根据平行四边形对角线
性质得到
=
，利用柯西不等式求出最值．
考查三点共线定理，向量的运算，平行四边形对角线性质，柯西不等式，中档题．
20.
【答案】解：（Ⅰ）依题意，
数列
{a
n
}
为正项等差数列，所以
a
1
=1
，
所以
=1+
，整理得：
a
2
（
a
2
+1
）（
a
2
-2
）
=0
，
所以
a
2
=2
，或
a
2
=0
（舍）或
a
2
=-1
（舍 ）
所以数列
{a
n
}
的公差
d=2-1=1
，
1=n
； 所以
a
n
=1+
（
n-1
）< br>×
（Ⅱ）证明：
=
（
-1
）
n
-1
-
（
-1
）
n
，
∴
b
1
+b< br>2
+b
3
+
……
+b
n
=
（
1+
）
+
（
--
）
+
（
+
）< br>+
……
+
（（
-1
）
n
-1
-（
-1
）
n
，）
=1-≤1+=
，
命题得证．

【解析】（Ⅰ）将原式中的
n
换为
1
，
2
得到
a
1
，
a
2
的方程组，解出< br>a
1
，
a
2
的值，即可
得到公差，进而得到数列{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项相消法求出数列
{b< br>n
}
的前
n
项和，再放缩证明即可．
本题考查了等差数列的 通项公式，列项相消法求数列的前
n
项和，放缩法证明不等式．考
查了运算求解能力和 推理能力，属于中档题．
21.
【答案】解：（
1
）∵
f
（
x
）
=e
x
-ax+a
，
∴
f'
（
x
）
=e
x
-a
， < br>若
a≤0
，则
f'
（
x
）＞
0
，则 函数
f
（
x
）是单调增函数，这与题设矛盾．
∴
a
＞
0
，令
f'
（
x
）
=0
，则
x=lna
，
当
f'
（
x
）＜
0
时，< br>x
＜
lna
，
f
（
x
）是单调减函数， < br>当
f'
（
x
）＞
0
时，
x
＞
lna
，
f
（
x
）是单调增函数，
于是当
x=lna
时，
f
（
x
）取得极小值， < br>∵函数
f
（
x
）
=e
x
-ax+a
（
a
∈
R
）的图象与
x
轴交于两点
A
（< br>x
1
，
0
），
B
（
x
2
，
0
）（
x
1
＜
x
2
），
∴f
（
lna
）
=a
（
2-lna
）＜
0
，即
a
＞
e
2
，
此时，存在
1
＜
lna
，
f
（
1
）
=e
＞
0
，
存在
3lna
＞
lna
，
f
（
3lna
）
=a
3
-3alna+a
＞
a
3-3a
2
+a
＞
0
，
又由
f
（x
）在（
-∞
，
lna
）及（
lna
，
+∞
）上的单调性及曲线在
R
上不间断，
可知
a
＞
e
2
为所求取值范围．
（
2
）∵，
∴两式相减得
a=
，
记
=s
（
s
＞
0
），
则
f
′（）
=-=[2s-
（
es- e-s
）
]
，
设
g
（
s
）
=2 s-
（
e
s
-e
-
s
），
则
g '
（
s
）
=2-
（
e
s
+e
-< br>s
）＜
0
，
∴
g
（
s
）是单调减函数，
则有
g
（< br>s
）＜
g
（
0
）
=0
，而＞
0，
∴
f
′（）＜
0
．
又
f'
（< br>x
）
=e
x
-a
是单调增函数，且＞，
∴
f
′（）＜
0
．

【解析】（
1）由
f
（
x
）
=e
x
-ax+a
，知
f
′（
x
）
=e
x
-a
，再由
a
的符号进行分类讨论，能求
出
f
（
x
）的单调区间，然后根 据交点求出
a
的取值范围；

（
2
）由< br>x
1
、
x
2
的关系，求出
f
′（）＜
0
，然后再根据
f
′（
x
）
=e
x
-a
的单调性，利用不
等式的性质，问题得以证明；
本题属于难题，考察了分类讨论的思 想，转化思想，方程思想，做题要认真仔细，方法
要明，过程要严谨，能提高分析问题解决问题的能力．
22.
【答案】解：（Ⅰ）当
b=2
时，
f
′（
x
）
=-2ax-2=
，
x
＞
0
，
（1
）当
a
＞
0
，令
f
′（
x
）
=0
，解得
x=
，
∴当
0
＜
x
＜时，
f
′（
x
）＞
0
，当
x
＞时，< br>f
′（
x
）＜
0
，
∴
f
（
x
）在（
0
，）上单调递增，在（，
+∞
）上单调递减，
（
2
）当
a=0
时，令
f
′（
x
）=0
，解得
x=
，
∴当
0
＜
x
＜时 ，
f
′（
x
）＞
0
，当
x
＞时，
f
′（
x
）＜
0
，
∴
f
（
x< br>）在（
0
，）上单调递增，在（，
+∞
）上单调递减，
（< br>3
）当
-
＜
a
＜
0
，令
f
′（
x
）
=0
，解得
x=
或
x=

∴当
0
＜
x
＜，或
x
＞时，
f
′（x
）＞
0
，当＜
x
＜时，
f
′（
x< br>）＜
0
，
∴
f
（
x
）在（
0，），（，
+∞
）上单调递增，在（，）上单调递减，
（
4
）
a≤-
，
f
′（
x
）＞
0
恒成立， ∴
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上单调递 增；
（Ⅱ）问题等价于
=ax+b
有两解
令
g
（
x
）
=
，
x
＞
0
有
g
′（x
）
=
，
x
＞
0
，
令
g< br>′（
x
）
=0
，解得
x=e
3
，
当
0
＜
x
＜
e
3
，
g
′（
x
）＞
0
，当
x
＞
e
3
，
g< br>′（
x
）＜
0
，
∴
g
（
x
）在（
0
，
e
3
）上单调递增，在（
e
3
，
+∞
）上单调递减，

当
x→-∞
时，
g（
x
）
→-∞
，
当
x→+∞
时，
g
（
x
）
→0
，
∵
g
（
e
2
）
=0
，
∴由图象 可知
a
＞
0
时，过（
0
，
-
）作切线时， 斜率
a
最大，
设切点为（
x
0
，
y
0
），
则有
y=
•
x+
，
∴
=-
，
∴
x
0
=e
，此时斜率
a
取最大值，
故
a
的取值范围为（
0
，
]
．

【解析】（Ⅰ）根据导数和函数单调性的关系，分类讨论即可求出，
（Ⅱ）问题等价于
=ax+b
有两解，令
g
（
x
）
=
，利用导数和 函数最值的关系，即可求出．
本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用等基础知识 ，考查抽象概
括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想．