胜利学院-辞职信范本

2020年高考大冲刺卷




理 科 数 学（八）





注意事项：




1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形


号
码粘贴在答题卡上的指定位置。

位
封
座< br>2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂


黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。



3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草




稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
密



4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。





号
场
第Ⅰ卷

不
考
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，




只有一项是符合题目要求的．



订
1．若集合
M{x|(x1)(3x)0}
，
N{x|x 20}
，则
MUN
（ ）






A．
{x|2x3}
B．
{x|x1}






C．
{x|x1
或
x2}
D．
{x|x3}

装

号
证
考
2．复 数
za
2
1(a1)i
为纯虚数，则
|z|
（ ）
准

A．
0
B．
4
C．
2
D．
2


只



3．已知棱长为
2
的正方体的俯视图是一个面积为
4
的正方形，则该 正方体的正视图的面积不可能等



于（ ）





卷
A．
4
B．
42
C．
222
D．
222






4．已知函数
f(x)2cos
2
x

名
2
sinx
，则
f(x)
的最大值为（ ）

姓

A．
21
B．
21
C．
21
D．
21
此






5．已知圆
C:x
2
y
2
2，直线
l:xym0
，则“
l
与
C
相交”是“< br>m2
”的（ ）




A．充分不必要条件 B．必要不充分条件



级
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
班
6．已知圆
C< br>的半径为
2
，在圆
C
内随机取一点
M
，则过点
M
的所有弦的长度都大于
23
的概率

为（ ）

A．
1
π
B．
3
4
C．
1
4
D．
1
2

．若双曲线
E:< br>x
2
y
2
7
22
a
2

b
2
1(a0,b0)
的一条渐近线被圆
(x3)y9
所 截得的弦长为
3
，
则
E
的离心率为（ ）
A．
2
B．
3
C．
2
D．
23
3

1
8．设实数
ax
，则
( 2ax
1
x
2
)
6
展开式中的常数项为（ ） < br>

1x
2
d
1
A．

5
3
2
π
B．
20π
3
C．
15π
4
16
D．
15π
4

9
．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）


A
．
9π
2
18
B
．
9π
2
36
C
．
18π18
D
．
18π36

10．已知函数
f(x)e
x
e
x
ln(e
|x|
1)
，则（ ）
A ．
f(
3
5)f(3)f(log
11
5
4
)
B．
f(3)f(
3
5)f(log
5
4
)

C．
f(log
11
5
4
)f(3)f(
3
5)
D．
f(
3
5)f(log
5
4
)f(3)

11．抛物线
y
2
2px(p0)
焦点为
F
， 点
P
满足
u
OP
uur


u
O F
uur
（
O
为坐标原点），若过点
O
作互相
垂直 的两弦
OA,OB
，则当弦
AB
过点
P
时，
的所有可能取值的集合为（ ）
A．
{4}
B．
{3}
C．
{
1
4
,4,3}
D．
{
1
3
,3,4}

12．设函数
f(x) logx
，若常数
A
满足：对
x
20202020
11
[2,2]
，

唯一的
x
2
[2,2]
，使得
f(x
1
)
，
2
A
，
f( x
2
)
成等差数列，则
A
（ ）
A．
1010.5
B．
1011
C．
2019.5
D．
2020

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已 知向量
a(1,1)
，
c(x,2)
，
2ab(4,3)
，若
bc
，则
x
的值为 ．

x y20
14．设
x
，
y
满足约束条件

< br>x2y40
，若目标函数
zabxy(a0,b0)
的最大值为
12
，


2xy40
则
ab
的 最小值为 ．
15．已知
△ABC
的内角
A
，B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c，若
c(cosA3sinA)b
，
b3
，
c13
，则
△ABC
的面积为 ．
16．已知倾斜 角为
60
的直线过曲线
C:y2x
2
的焦点
F
，且与
C
相交于不同的两点
A
，
B
（
A
在
第一象限），则
|AF|
．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
< br>17．（12分）已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为< br>S
n(n1)(2n1)
n

6
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
b
1
n

a
，设
T
是数列
{b
n< br>nn
}
的前
n
项和，求证：
T
n

．
n
n1

















18．（12分）某公司为了提升公司业绩，对公司销售部的所有销售
12
月份的产品 销售量做了一次调
查，得到如下的频数分布表：

（1）若将
12
月份的销售量不低于
30
件的销售员定义为“销售达人”，否则定义为“非销售达人”，请根据频数分布表补全以下
22
列联表：

并判断能否在犯错误的概率 不超过
0.1
的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关；
（2）在 （1）的前提下，从所有“销售达人”中按照性别进行分层抽样，抽取
6
名，再从这
6
名“销售
达人”中抽取
4
名作销售知识讲座，记其中男销售员的人数为
X
，求
X
的分布列和数学期望．
附表及其公式：

K
2

n(adbc)
2
(ab)(cd)(ac)(bd )
，
nabcd
．

19．（12分）如图，四边形
ABCD
为矩形，
△A BE
和
△BCF
均为等腰直角三角形，且
BAE

BCFDAE90
，
EA∥FC
．
（1）求证：
ED∥
平面
BCF
；
（2）设
BC
AB


，问是否存在

，使得二面角
BEF D
的余弦值为
3
3
？若存在，求出

的值；
若不存 在，请说明理由．















分）已知椭圆
C :
x
2
y
2
20．（12
2
a
2

b
2
1(ab0)
的右焦点为
F(c,0)
，离心 率为
2
，且经过点
(1,
6
2
)
，点
M< br>为椭圆上的动点．
（1）求
M
到点
D(1,0)
的最短与最长距离；
（2） 设直线
l:yxm
与椭圆
C
相交于
A
，
B两点，则是否存在点
P(2,m)
，使得
△ABP
的内
切圆恰好 为
x
2
y
2
1
？并说明理由．

















21．（12分）已知函数
f(x) x(lnxa)1
的最小值为
0
，
(aR)
．
（1）求
a
的值；
（2）设
x
2
1
n< br>ln(1)
，求证：
x
1
x
n
n
2< br>
L
x
n

2n4
．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系
xOy中，以坐标原点
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
C
1
的极坐标方程为

sin(x
π
4
)2
，曲线
C



x22t
2
的参 数方程为
t
（
t
为参数）．


y
2
（1）求
C
1
的直角坐标方程和
C
2
的普通方程；

（2）若
C
1
与
C
2
相交于
A
，
B
两点，求
△AOB
的面积．









23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数
f(x)|x1||x2|
．
（1）求不等式
|f(x)|2
的解集；
（2）记
f(x)的最大值为
m
，设
a,b,c0
，且
a2b3cm，求证：
1
a

1
2b

1
3c3
．

2020年高考大冲刺卷
理 科 数 学（八）答 案
第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．答案：B
解：计算得集合
M{x|1 x3}
，
N{x|x2}
，
MUN{x|x1}
，故选 B．
2．答案：C
解：复数
z
为纯虚数，故


a
2
10
a10
，所以
a1
，
z 2i
，

|z|0
2
(2)
2
2
．
3．答案：C
解：该正方体的正视图是一个矩形，但根据正方体视角不同，
则面积不同，面积的范围是
[4,42]
．

4
．答案：
A

解：
化简函数得
f(x)1c osxsinx2sin(x
π
4
)1
，
所以函数
f(x)
的最大值为
21
．
5．答案：A < br>解：圆
C
与直线
l
相交，
d
|m|
22
，
|m|2
，解得
2m2
，
因为
{m|2m2}
是的
{m|m2}
子集，所以选A．
6．答案：C
解：过点
M
的所有弦的长度都大于
23
的点
M
落在以点
C
为圆心，半径为
1
的圆内，
π
1
2
则所求概率为
P
π

2
2< br>
1
4
．
7．答案：C
解：设双曲线的一条渐近线方程为
bxay0
，

则圆心(3,0)
到该直线的距离
d
|3b|
a
2
b
2

3b
c
，
由题意得
329(
3 b
c
)
2
，化简得
b
2
3c
2
 a
2
a
2
c
2

4
，即
c
2
1
3
c
2

4
，
所以
a
2
1
c
c
2

4
，即
ea
2
．
8．答案：D
解：由定积分的几何意义可知，
a
1
2

π

1
2

π
2
，
所以
(2ax
1
6
24
1
24x
2
)
展开式中的常数项为
C
6
(πx)(
x
2
)15π
．
9
．答案：
A
解：由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，

其中半圆柱的底面半径为
3
，高为
1
，

故其体积 为
V
1
2
(π3
2
1166)
9π
2
18
．

10．答案：B
解：因为函数
f( x)f(x)
，因此函数
f(x)
是定义域上的偶函数，
又因为函数< br>f(x)
在
(0,)
上单调递增，而
|3||
35||log
1
5
4
|
，
所以
f(3) f(
3
5)f(log
1
5
4
)
．
11．答案：A
解：由题意得，
F(
p
,0)
，
∵
u
OP
uur


u
OF
uur，
u
OP
uur
2
(x
uuur
,y
p
P
,y
P
)
，
OF(x
FF
)(
2
,0)
，
∴
x
(

p
P

x
F
，
y
P


yF
，∴
P
2
,0)
，
当弦
AB
过点
P
时，设直线
AB
的方程为
xmy

p
2
，
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，


联立方程


xmy
p
2
，可得
y
2
2pmy

p
2
0
，


y
2
2 px
∴
yy
y
2
12
2pm
，
1y
2


p
，
x
1
x
2
(my

p

p
1

2
)(m y
2

2
)m
2
y
1
y
pm
2

2
(y
1
y
2
)(
p
2
)
2
，

2
整理得
x

2
p
1
x
2
4
，
∵
OAOB
，∴
u
OA
uur

u
OB
uur
0
，
u
OA
uur< br>(x
uuur
1
,y
1
)
，
OB(x< br>2
,y
2
)
，
∴
x
2
1
x
2
y
1
y
2
0
，即

2< br>p
2
4


p0
，
又
p0< br>，∴
1
4

2


0
，解得
4
，

0
（不合题意，舍去），
∴

的可能取值的集合为
{4}
．
12．答案：A 解：∵对
x
1
[2,2
2020
]
，
< br>唯一的
x
2
[2,2
2020
]
，
使得
f(x
1
)
，
A
，
f(x
2
)< br>成等差数列，
∴
2Af(x
1
)f(x
2
)
，
∵
f(x)log
2
x
，
x[2,2
2020
]
，是单调增函数，
∴
A
1
2
(log
1
2log
1
2
2020
)1010.5
，故选A．
22

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案：
1

解：
2ab(4,3)
，
a(1,1)
，
b(2, 1)
，故
bc
，
x1
．
14．答案：
22

解：直线
l
0
:yabx
平移到点
(4,4)
时目标函数取最大值，即
4ab412
，
所以
ab2
，满足题意，
由
ab2ab22
，在
ab2
时等号成立，得
ab
的最小值为
22
．
15．答案：
3
2

解：由正弦定理得
sinC(cosA3sinA)sinB
，
因为
sinBsin(AC)
，所以
sinC(cosA3sinA)s inAcosCsinCcosA
，
因为
sinA0
，所以
 3sinCcosC
，
tanC
3
3
，
C
5π
6
，
由余弦定理
c
2
a
2
b< br>2
2abcosC
，即
13a
2
33a
，解 得
a2
，
所以
S
1
2
absinC
3
2
．
16．答案：
23
2

解：由曲线
C:y2x
2
，即
x
2

1
2
y
，得
2p
1
2
，
p
1
4
，
过
A
作
AH
垂直
y
轴于点
H
，
AA

垂直准线于
A

点，
Q
为准线与
y
轴的交点，
则
|AF||AA

||QH||QF||FH|
14
|AF|sin60
，
1
所以
|AF|
4
23
1sin60

2
．

三、解答题： 本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．答案：（1）
an
2
n

；（2）证明见解析．
解：（1）当
n2
时，
S
1)n(2n1)
n1

(n
6，
a
n(n1)(2n1)(n1)n(2n1)
n
Sn
S
n1

6

6
n
2
，
当
n1
时，
a
1
S
1
1满足上式，
所以
a
2
n
n
．
（2）由（ 1）知，
b
a

1
n

1
n(n1)< br>
1
n

1
n

1
2
n 1
，
n
所以
T
n
b
1
b
2
b
3

L
b
111111n
n
1
2

2

3

L

n

n1
1
n1

n1
．
18．答案：（ 1）列联表见解析，能在犯错的概率不超过
0.1
的前提下认为；（2）分布列见解析，
E(X)
8
3
．
解：（1）频数分布表补全以下
22
列联表：

所以，
K
2

120(1200600)
2
70506060
3.4292.706
，
所以能在犯错的概率 不超过
0.1
的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关．
（2）由 （1）知，抽取的
6
名“销售达人”中，有
4
名男销售员，有
2名女销售，
所以
X
的可能取值为
2
，
3
，< br>4
．
2231
4
P(X2)
C
4
C< br>2
C
4

6
，
P(X3)
C
4
C
2
4

8
，
P(X4)
C
4

1
4
，
6
15C
6
15
C< br>6
15

所以
X
的分布列为

所以数学期 望
E(X)2
68
15
3
15
4
1< br>15

8
3
．
19．答案：（1）证明见解析；（2）不存在，详见解析．
解：（1）因为
AD∥ BC
，所以
AD∥
平面
BCF
，
因为
EA∥FC
，所以
EA∥
平面
BCF
， 所以平面
ADE∥
平面
BCF
，故
ED∥
平面
BCF
．
（2）以
D
为原点，建立空间直角坐标系，如图．
因为
BAEDAE90
，所以
EA
平面
ABCD
，
又因为
EA∥FC
，所以
FC
平面
ABCD
，
设
ABa
，
BCb
，则
D(0,0,0)
，< br>F(0,a,b)
，
E(b,0,a)
，
B(b,a,0)
，
则
u
DE
uur
(b,0,a)
，
u
D F
uur
(0,a,b)
，
u
设平面
DEF
的 法向量为
n(x,y,z)
，则由


DE
uur

n0

bxaz0

uuur
，∴

DFn0


aybz0
，
取
x1
，
因为
BC
AB

b
a


，则
n(1,

2
,

)
；
设平面
BEF
的法向量为
m(x

,y

,z

)
，

∵
u
BEuur
(0,a,a)
，
u
BF
uur
(b, 0,b)
，
u
则由

uur


BE< br>
uuur
m0
，∴


BFm0

ay

az

0
，∴
x


bx

bz

0
y

z< br>
，取
m(1,1,1)
，
因为二面角
BEFD的余弦值为
3
mn

2


1
3
，所以
|m||n|

3

4


2
1

3
3
，
即

2
< br>
10
，由于
Δ30
，
所以不存在正实数

，使得二面角
BEFD
的余弦值为
3
3
．
20．答案：（1）
M
到点
D
的最短与最长距离分别为
1
，
3
；（2）不存在，详见解析．


13
a
2

2b
2
1

解：（1）依题意得


c

2
，所以



a2
a2
，

cb2


a
2
 b
2
c
2


所以椭圆的方程为
x
2< br>y
2
4

2
1
，

设
M (x
1
0
,y
0
)
到点
D
的距离为
d
，则
d
2
(x
22
0
1)y
0

2
x
2
0
2x
0
3
，
因为二次函数的对称轴为直线
x2
，
所以，该函数在
[2,2 ]
上单调递减，所以当
x
0
2
时取得最小值，
x
0
2
时取得最大值．
所以
M
到点
D
的最短与最 长距离分别为
1
，
3
．
（2）假设存在点
P(2,m)< br>，使得
△ABP
的内切圆恰好为
x
2
y
2
1
，

设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，
因为直线
AB与圆
x
2
y
2
1
相切，∴
|n|
2
1
，∴
n2
，

∴当
n2
时，
AB:yx2
，



yx2
联立得

22
3x
2
42x0< br>x
42

xy
，∴，∴
x
1
0
，
2

，

4

2
1
3∴
A(0,2)
，
B(
42
3
,
2
3
)
，
因为
AO
为
BAP
的角平分线，所以
k
AP
k
AB
1
，

其中
k
2m
AP
02
 1
，∴
m0
，即
P(2,0)
，

所以直线
BP
的方程为
x7y20
，
因为圆心到直 线
BP
的距离为
|2|
1
2
7
2
1
5
1
，
所以此时
BP
不是圆的切线；
同理，当
n2
时，
BP
也不是圆的切线，
综上所述：
P
不存在．
21．答案：（1）
a1
；（2）证明见解析．
解：（1）
f( x)x(lnxa)1(x0)
，
f

(x)lnx1a，
令
f

(x)0
，解得
x(e
a1
,)
；令
f

(x)0
，解得
x(0,e
a1
)
，
所以，
f(x)
在
x(0,ea1
)
单调递减，在
x(e
a1
,)
上单调 递增，
所以
f(x)
a1
e
a1
min
 f(e)10
，解得
a1
．
（2）令数列
{a
n< br>1
n
}
的前
n
项和
S
n

2n4
，则
a
n

(n1)(n2)
，
由 （1）得
f(x)x(lnx1)10
，变形可得
lnx
x1< br>x
，
令
x1
1
n

n1
n
，则
ln(1
1
n
)
1
n1
， < br>因此
x
2
1
n
ln(1)
1
(n1 )
2

1
n1

1
nn2

1
(n1)(n2)
a
n
，
所以
x
1x
2

L
x
n

n
2n4．
22．答案：（1）
C
2
1
:xy20
，< br>C
2
:x8y
；（2）
82
．
解：（1）
C
1
的极坐标方程可化为
2
2

sin


2
2

cos

2
，
因为


x

cos

sin

，故
y

C
1
的直角坐标方程为
xy20
，
消参可得
C
2
2
的普通方程为
x8y
．
（2）
C
2
的焦点坐标为
(0,2)
，
C
1
为过
(0,2)
的直线，

联立


x
2
8y
xy20
，得
y
2
12y4 0
，

所以
|AB|y
1
y
2
 p12416
，
点
O
到直线
AB
的距离
d 2
，所以
S
1
△AOB

2
16282< br>．
23．答案：（1）
(
1
,
3
22
)
；（2）证明见解析．

3,x1
解：（1）
f(x)< br>

2x1,1x2
，


3,x2< br>故当
x1
或者
x2
不成立，
当
1x2
时，
|2x1|2
，解得

1
2
x
3
2
，
故
|f(x)|2
的解集为
(
1< br>,
3
22
)
．
（2）由（1）知
f(x)[3 ,3]
，故
f(x)
max
3m
，所以
a2b3c 3
，
(a,b,c0)
，
1
a

1
2 b

1
3c

1
3
(a2b3c)(
11112baa3c3c2b
a

2b

3c
)
3
[3(
a

2b
)(
3c

a< br>)(
2b

3c
)]

3
，

当且仅当
a2b3c
时，即
a1
，
b
1< br>2
，
c
1
3
时，等号成立，
所以
1a

11
2b

3c
3
．