2020高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理增分练
金正昆商务礼仪-高考报考时间
2019年
【2019最新】精选高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲正
弦定理和余弦定理增分练
四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·北京西城期末]已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A等于( )
A．150° B．90° C．60° D．30°
答案 D
解析 由正弦定理，
得＝，得sinA＝.又a
cosB＝，则b＝(
)
A．14 B．6 C. D.
6
答案 D
解析 bsinA＝
3csinB⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－
2×3×1×＝6，b＝.故选D.
3．[2018·甘肃张掖月考]在△ABC中，内角A，B，C的
对边分别是a，b，c，若c
＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB为(
)
A. B. C. D.
3
答案 A
解析 由bsinB－a
sinA＝asinC，且c＝2a，得b＝a，∵cosB＝＝＝，∴sinB＝＝.
4．设A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝，则这个三角形是( )
B．钝角三角形
D．等腰直角三角形
A．锐角三角形
C．等边三角形
答案 B
解析 将sinA＋cosA＝两边平方得sin2A＋2sinA·cosA＋c
os2A＝，又sin2A＋
cos2A＝1，故sinAcosA＝－.因为0
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的
边，且cos2B＋3cos(A＋C)＋
2＝0，b＝，则c∶sinC等于( )
A．3∶1 B.∶1 C.∶1 D．2∶1
1
2019年
答案 D
解析 由cos2B＋3cos(
A＋C)＋2＝0，得2cos2B－3cosB＋1＝0，解得cosB＝1(舍
去)或cosB＝
，所以sinB＝，所以c∶sinC＝b∶sinB＝2∶1.
6．[2017·浙江高考]我国古代
数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，
理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展
了“割圆术”，将π的值精确
到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单
位圆内接正
六边形的面积S6，S6＝________.
答案
33
2
解析
作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1.
S6＝6S△OAB＝6××1×＝.
7．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC＝________.
答案 7
解析
由S△ABC＝得×3×AC·sin120°＝，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－
2AB·AC·cos120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.
8．[2018·渭南模拟]在△ABC中，若a2－b2＝bc且＝2，则A＝________.
答案
π
6
解析
因为＝2，故＝2，即c＝2b，则cosA＝＝＝＝，所以A＝.
9．在△ABC中，A，B，C的
对边分别为a，b，c，若tanA＋tanC＝(tanAtanC－1)．
(1)求角B；
(2)如果b＝2，求△ABC面积的最大值．
解
(1)∵tanA＋tanC＝(tanAtanC－1)，
∴＝，
即＝－，即tan(A＋C)＝－.
又∵A＋B＋C＝π，
∴tanB＝－tan(A＋C)＝，∴B＝.
(2)由余弦定理的推论得cosB＝＝，
即4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，
∴ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立．
∴S△ABC＝acsinB≤×4×＝.
故△ABC的面积的最大值为.
2019年
10．[2018·长沙模拟]已知△ABC的内角A，B，C的
对边分别为a，b，c，若a＝1,2cosC
＋c＝2b.
(1)求A；
(2)若b＝，求sinC.
解 (1)因为a＝1,2cosC＋c＝2b，
由余弦定理得2×＋c＝2b，即b2＋c2－1＝bc.
所以cosA＝＝＝.
因为0°
即4c2－2c－3＝0，
解得c＝或c＝(舍去)．
由正弦定理得＝，
得sinC＝×sin60°＝.
解法二：由a＝1，b＝及正弦定理＝，
得sinB＝sin60°＝.
由于b
由于A＋B＋C＝180°，则C＝120°－B.
所以sinC＝sin(120°－B)
＝sin120°cosB－cos120°sinB
＝×＋×
3
4
＝.
[B级 知能提升]
1．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝
7，c＝6，则b＝(
A．10
B．9 C．8 D．5
答案 D
解析
由23cos2A＋cos2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，
解得cosA＝±.∵A是锐角，∴cosA＝.
又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，
)
2019年
∴49＝b2＋36－2×b×6×，
∴
b＝5或b＝－.又∵b>0，∴b＝5.
2．[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对
边分别为a，b，c.已知sinB＋
sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A. B. C.
D.
3
答案 B
解析 因为a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sinA＝sinC.
又B＝π－(A＋C)，
故sinB＋sinA(sinC－cosC)
＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC
＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC
＝(sinA＋cosA)sinC
＝0.
又C为△ABC的内角，
故sinC≠0，
则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
从而sinC＝sinA＝×＝.
由A＝知C为锐角，故C＝.
故选B.
3．[2017·浙江高考]已知△ABC，AB＝A
C＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD
＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.
答案
10
4
π
解析 依题意作出图形，如图所示，
则sin∠DBC＝sin∠ABC.
由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，
则sin∠ABC＝，cos∠ABC＝.
所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC
2019年
＝×2×2×＝.
因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝
BD2＋BC2－CD2
2BD·BC
＝，所以CD＝.
由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.
4．△ABC的内角A，B，C的对
边分别为a，b，c，已知2cosC·(acosB＋bcosA)＝
c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解
(1)由已知及正弦定理得，
2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，
2cosCsin(A＋B)＝sinC.
故2sinCcosC＝sinC.
可得cosC＝，所以C＝.
(2)由已知，得absinC＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7.
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
5．[201
7·天津高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA
＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)．
(1)求cosA的值；
(2)求sin(2B－A)的值．
解 (1)由asinA＝4bsinB，及＝，
得a＝2b.
由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，
得cosA＝＝＝－.
(2)由(1)，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB，
得sinB＝＝.
由(1)知，A为钝角，
所以cosB＝＝.
2019年
于是sin2B＝2sinBcosB＝，
cos2B＝1－2sin2B＝，
故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝×－×＝－.