段振豪-广州市劳动合同范本

巢湖一中高二年级2020学年度第二学期第三次月考
数 学 试 卷（理科）

满分150分 考试时间120分钟

一、选择题：本大 题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．复数
1
等于 （ ）
(1i)
2
B．

A．
1

2
111
C．
i
D．
i

222
2．
nN
且
n55
,则乘积
(55n)(56n)L(69n)
等于（ ）
A．
A
69n
B．
A
69n
C．
A
55n
D．
A
69n

55 n
151514
x

(



0,2


)
是偶函数,则


（ ）
3
2

3

5


A． B． C． D．
323
2
rr
rrrr
4．设
xR
，向量
a(x,1),b(1,2),
且
ab
，则
|ab|
（ ）
3．若函数
f(x)sin
A．
5
B．
10
C．
25
D．
10

5. 下面使用类比推理正确的是 ( )
A．“若
a3b3
,则
ab
”类推出“若
a0 b0
,则
ab
”
B．“若
(ab)cacbc
”类推出“
(ab)cacbc
”
abab


(c0)
”
ccc
nn
（ab）a
n
b
n
” 类推出“
（ab）a
n
b
n
” D．“
C．“若
(ab)cacbc
” 类推出“
3
6.
(12x)(2x)
的展开式中
x
的项的系数是 ( )
5
A.
120
B．
120
C．
100
D．
100

7．在
ABC
中，内角A，B，C所对的边分别是
a,b,c
，已知
8b5c
，
C2B

则
cosC
( )

A．
77724
B．

C．

D．
25252525
8. 已知

a
n
为等比数列，< br>a
4
a
7
2
，
a
5
a
6
8
，则
a
1
a
10

（ ）
A．
7
B．
5
C．

D．


9. 下面的四个不等式：①
abcabbcca
；②
a

1 a


222

1
；
4
③
ab
2
2
；④

a
2
b
2

•

c
2
d
2



acbd

.其中不成立的有（ ）
ba
1
2
3
x(m2)xm
,（其中为
m
常数）
22
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10. 已知函数
f(x)4ln(x1)
函数
y=f(x )
有两个极值点，则数
m
的取值范围是（ ）
A．
< br>,3



1,

B．

,3



1,

C．

1,3

D．

3,


11. 现有5种不同的颜色，给四棱锥P- ABCD的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜
色不能相同，一共有（ ）种方法
A．240 B．360 C．420 D．480
12．设函数
f
(
x
)
(xR)
满足
f
(
x
)=
f
(
x
)，
f
(x
)=
f
(2

x
)，且当
x[0,1]< br>时，
f
(
x
)=
x
.又函
3
数g
(
x
)=|
x
cos
(

x)|，则函数
h
(
x
)=
g
(
x
)-< br>f
(
x
)在
[,]
上的零点个数为（ ）
13
22
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.将答案填在题中横线上.
13. 仔细观察下面4个数字所表示的图形：





请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为 ．
14. 在△
ABC
中，已知
AB
3，
O
为△
ABC
的外心，且
OABC

15. 函数
g
(
x
)＝
ax
＋2(1－
a
)x
－3
ax
(
a
<0) 在区间（-∞，
32
1，则
AC
________．
a
）内单调递减，则
a
的取值范
3

围是 ．
16. 关于二项式
(x1)
2005
，有下列命题：
6 1999
①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为
C
2 005
x
项展开式中系数最大的项为第1002项；④当
x2006
时，< br>(x1)
2005
；③该二
除以
2006
的余数是
2005
。其中所有正确命题的序号是 。

三、解答题：本大题共5小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
一袋中共有个大小相同的黑球
5
个和白球
5
个．
(1) 若从袋中任意摸出
2
个球，求至少有
1
个白球的概率.．
(2)现 从中不放回地取球，每次取
1
个球，取
2
次，已知第
1
次取 得白球，求第
2
次取得黑
球的概率．




18. （本小题满分12分）
已知函数
f(x)1sinxcosx,g(x )cos
2
(x

12
)

(1)设
xx
0
是函数
yf(x)
图象的一条对称轴，求
g(x
0
)
的值；
（2） 求使得函数
h(x)f(
大值．




19．（本小题满分12分）
（本小题满分12分）如图, 在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
A D
平面
A
1
BC
，其垂足
D
落在直
线< br>A
1
B
上．

A
1
C
1

x
2
)g(

x
2
)(

0 )
在区间
[
2

,]
上是增函数的

的最
33
B
1
D
P

（1）求证：
B C
⊥
A
1
B

（2）若
AD3
，
ABBC2
，
P
为
AC
的中点，
求二面角
PA
1
BA
的平面角的余弦值








20.（本小题满分12分） 某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则
是：盒子中装 有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，
要求4人一组参加游戏 ，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放
回，直到4人中一人一次抽到2张“ 奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏。
（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中
任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为
呢？
（2） 现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取。用

表示4人中的
某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求

的概率分布及

的数学期望。



21．（本小题满分12分）
25
，请你回答有几张“奥运会徽” 卡
28
x
2
y
2
已知椭圆
C:
2

2
1(ab0)
的两 焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
ab

形，直线
xy 10
与以椭圆
C
的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）过点
M(2,0)
的直线
l
与椭圆
C
相交于不同的两点
S,T
，若椭圆
C< br>的左焦点为
F
1
，求
F
1
ST
面积的最大 值.




22．（本小题满分12分）
f

x

xalnx

a0

.
(1)若
a1,
求
f

x

的单调区间及
f

x

的最小值;
(2)若
a0
,求f

x

的单调区间;
ln2
2
ln3
2
lnn
2

n1

2n1

(3)试比较
2

2

与的大小.
n N且n2
,并证明
2
2

n1

23n

你的结论.

D
B
C
B
C
B
A
D
A
D
C
B
20201
7


,1


①、④
17. 解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件
A
， C
5
2
7
则
P(A)1
2

，… …………………….4分
C
10
9
(2)令“第1次取得白球”为事件
B
,
“第2次取得黑球”为事件
C
，则
11
C
5
C< br>5
P(BC)
1
5
1

，
C
1 0
C
9
18
1111
C
5
C
5
 C
5
C
4
1
P(B)
.
11
C10
C
9
2
故
P(C|B)
P(BC)5

………………………….10分
P(B)9
1cos(2x)
sin2x
6
18. 解：(1 )
f(x)1,g(x)
22


2x
0
k



2

2x
0


6
k


2

3
1cos(
g(x
0
)
2

)
3

1

24
5

)
3
3
或
g(x
0)

24
13
∴
g(x
0
)或
-------------------------6分
44
1cos(
1cos(

x)
sin

x
6

3

1
sin(

x

)
（2）h(x)1
22223
2


x

1



且

所以



3323322
1
∴

的最大值 -------------------------12分
2
19. （Ⅰ）证明：
Q
三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
为直三棱柱，


A
1
A
平面
ABC
，又
BC
平面
ABC
，


A
1
ABC
< br>-
Q
AD
平面
A
1
BC
，且
BC 
平面
A
1
BC
，

ADBC
. 又
AA
1

平面
A
1
AB
,
AD
平面
A
1
AB
,
A
1
AADA
，

BC
平面
A
1
AB
，
又
A
1
B
平面
A
1
BC
，


BCA
1
B
------------------ -----------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
BC
平面
A
1
AB
，
AB
平面
A
1
AB
,从而
BCAB
如图,以B 为原点建立空间直角坐标系
Bxyz


Q
AD
平面
A
1
BC
，其垂足
D
落在直线
A
1
B
上,
z
A
1
C
1


ADA
1
B
.
在
RtABD
中，
AD3
，AB=2，
y
B1
sinABD
AD3
0

,
ABD60
AB2
D
A
x
P
C
在直三棱柱
A BCA
1
B
1
C
1
中，
A
1
A
AB
.
B

在
RtABA
1
中，
AA
1
ABtan6023
0
, ……………………………………..7分
则
B
(0,0,0),
A(0,2 ,0)
,
C
（2，0，0）,
P
（1，1，0）,
A
1
（0，2，2
3
）,
BP(1,1,0)

BA
1

（0，2，2
3
）
设平面
PA
1
B
的一个法向量
n
1
(x,y,z)



n
1
•BP0

xy0
则

即


2y23z0


n
1
•BA
1
0

可得
n
1< br>(3,3,3)
…………………………..9分
平面
AA
1B
的一个法向量
n
2
(1,0,0)


cosn
1
,n
2
21


7
n
1
n
2
21
………12分
7n
1
•n
2

二面角
PA
1
BC
平面角的余弦值是

2
C
n
25
20. 解：（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，
1
2


C
8
28
解得n=3
即盒中有“会徽卡”3张。……5分
（2）因为

表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以

的所有可能取值为1，2，3，4，……4分
C
5
25
P(

1)
2

；
C
814
11
2
C
3
2
C
5
2
C
3
•C
5
C
4
2
；
P(
2)
2
•
2
•
2
C
8
C6
C
8
2
C
6
7
111111
222 11
C
3
2
C
1
•C
5
C
3•C
5
C
3
•C
5
C
3
2
3 C
4
C
2
C
4
C
2
•C
4
P(

3)
2
••
2
•
2
•2
••
2

；
2222
C
8
C< br>6
C
4
C
8
C
6
C
4
C< br>8
C
6
C
4
14

1111
1 12
C
3
•C
5
C
1
•C
3
C< br>2
•C
4
C
2
1
，
P(

4)•••
2222
C
8
C
6
C
4
C
2
7
概率分布表为：


P
1 2 3 4
5

14
2

7
3

14
1

7
……10分


的数学期望 为
E

1
523115
234
。……1 2分
1471477
21. 解：（Ⅰ）由题意，以椭圆
C
的右焦点为圆心 ，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为
(xc)
2
y
2
a< br>2
，
∴圆心到直线
xy10
的距离
d
c 1
a
（*）-------------------1分
2
∵椭圆
C
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴
bc
,
a2c
，
代入（*）式得
bc1
，

∴
a2b2
，

x
2
y
2
1.
故所求椭圆方程为…………………………………5分
2

（Ⅱ）由题意知直线
l
的斜率存在，设直线
l
方程为
yk(x2)
， 2
222
将直线方程代入椭圆方程得：
(12k)
x8kx8k 20
，
∴
64k
4
4(12k
2
)(8k
2
2)0
，解得
k
2

1
．
2
8k
2
8k
2
2
设
S(
x< br>1
,y
1
)
,
T(
x
2
,y
2
)
，则
x
1
x
2

，
,x
1
x
2

22
12k12k
∴
S T1kx
1
x
2
1k
22
816k
2

12k
2
F
1
到
l
的距离
d 
3k
1k
2
………………………………….9分
12k
2
(12k
2
)
2
t12k,t(1,2)
< br>SSTd3
令
22
2
(12k)
12k
2< br>(12k
2
)1
2
1
32()3()1
则
SSTd3
2tt
(12k
2
)
2

当
t
413
,即k
2
时S
max
 2
……………………………12分
364

22.解:(1)
a 1,f

x

x1lnx

当
x1时,
f

x

x1lnx,f
'
x

1
1

x
x1
0.

x
f

x

在区间

1,

上是递增的
当
0x1
时,
f

x
x1lnx,f
'

x

1
1
0.

x
f

x

在区间

0,1

上是递减的. ------
故
a1
时,< br>f

x

的增区间为

1,

,减区间为

0,1

,
f

x

min
f

1

0
…………3分
< br>(2)若
a1
,当
xa
时,
f

x
xalnx,
f'

x

1
则< br>f

x

在区间

a,

上是 递增的;
当
0xa
时,
f

x

axlnx
,
f'

x

1
1x1
0.

xx
f

x

在区间

0,a

上是递减的 ……………………5分
若
0a1
,当
xa
时,
f

x
xalnx,

1
0.

x
f
'

x

1
1x1
,x1,f
'

x

0,ax1,f
'

x

0

xx
则
f

x

在区间

1,

上是递增的,
f

x
< br>在区间

a,1

上是递减的;
当
0xa< br>时,
f

x

axlnx
,
f'

x

1
1
0.

x
f

x

在区间

0,a

上是递减的,而
f

x

在
xa
处有意义;
则
f

x

在区间

1,

上是递增的,在区间

0,1

上是递减的 ………………………7分
综上: 当
a1
时,
f

x

的递增区间是

a,

,递减区间是
0,a

;
当
0a1
,
f

x

的递增区间是

1,

,递减区间是
< br>0,1

………………………8分

(3)由(1)可知 ,当
a1,x1
时,有
x1lnx0,
即
lnx1
1

xx

ln2
2
ln3
2
lnn
2
11111

1

2

2< br>
2
1
2
1
2
1
2< br>n1

2

2

2

2 3n23n3n

2


111

11

1111

n1

n1



2334


nn12334 nn1


1


n1

2n 1


1
=
n1


2

n1





2

n1

. …………………………12分