抒情散文朗诵-阅兵式观后感

2006年高考试题辽宁卷理科数学试题
一. 选择题
(1) 设集合
A{1,2}
,则满足
AB{1,2,3}
的集合B的个数是
(A)1 (B)3 (C)4 (D)8
(2) 设
f(x)
是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)
f(x)f(x)
是奇函数 (B)
f(x)f(x)
是奇函数
(C)
f(x)f(x)
是偶函数 (D)
f(x)f(x)
是偶函数
(3) 给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线
l
1
,l
2
与同一平面所成的角相等,则
l
1,l
2
互相平行.
④若直线
l
1
,l
2是异面直线,则与
l
1
,l
2
都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是
．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(4) 双曲线
xy4
的两条渐近线与直线
x3
围成一个三角 形区域,表示该区域的不等
式组是
22

xy0

x y0

(A)

xy0
(B)

xy0
(C)

0x3

0x3


xy0


xy0
(D)

0x3


xy0


xy0


0x3

+
是R上的一个运算,A是 R的非空子集,若对任意
a,bA
有
a
○
+
b
 A
,则称A对运(5) 设○
+
封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 算○
(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集
(6 )
ABC
的三内角
A,B,C
所对边的长分别为
a,b,c
设向量
urrurr
p(ac,b)
,
q(ba,ca)
,若
pq
,则角
C
的大小为
(A)
2



(B) (C) (D)
3
632
2x
(7) 与方程
ye
(A)yln(1
2e
x
1(x0)
的曲线关于直线
yx
对称的曲线的方程为
x)
(B)
yln(1x)

x)
(D)
yln(1x)
(C)
yln(1 

x
2
y
2
x
2
y
21(m6)
与曲线
1(5m9)
的 (8) 曲线
10m6m5m9m
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
(9) 在等比数列

a
n

中,
a
1
2
,前
n
项和为
S
n
,若数列

a
n
1

也是等比数列,则
S
n
等于
(A)
2
n1
2
(B)
3n
(C)
2n
(D)
31

(10) 直线
y2k
与曲线
9k
2
x
2
y
2
18k
2
x

(kR,且k0)
的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(11)已知函数
f(x)
n
11
(s inxcosx)sinxcosx
,则
f(x)
的值域是
22


2

,1

(C)
2


2

1,

(D)
2


2

1,


2

(A)

1,1

(B)


uuuruuur
(12) 设
O(0,0)
,
A(1,0)
,
B(0,1)
,点
P
是线段
AB
上的一个动点,
AP

AB
,若
uuuruuuruuuruuu r
OPABPAPB
,则实数

的取值范围是
(A)
212
1


1
(C)


1
(D)


1
(B)
1
222
2
22


1

22
1
二. 填空题

e
x
,x0.
1
(13) 设
g(x)

则
g(g())
__________
2

lnx,x0.
464646
()(
2

2
)...(
n

n
)
5757

_____________ (14)
lim
57
n
545454< br>()(
2

2
)...(
n

n< br>)
656565
(15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出 3名队员排成1、2、3号参
加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有 1名新队员的排法有
_______种.(以数作答)
(16) 若一条直线与一个正四棱柱 各个面所成的角都为

,则
cos

=______
三． 解答题
(17) (本小题满分12分)
已知函数
f(x)sinx2sin xcosx3cosx
，
xR
.求:
(I) 函数
f(x)
的最大值及取得最大值的自变量
x
的集合；
22

(II) 函数
f(x)
的单调增区间.
(18) (本小题满分12分)]
已知正方形
ABCD
.
E、
F
分别是
AB
、
CD
的中点,将
VADE< br>沿
DE
折起,如图所示,记二面
角
ADEC
的大小为
(0



)
.
(I) 证明
BF
平面
ADE
;
(II)若
VACD
为正 三角形,试判断点
A
在平面
BCDE
内的射影
G
是否在直线
EF
上,证明你
的结论,并求角的余弦

值.
B A
B
E F
C
E
F
A D
D
C


(19) (本小题满分12分)
现有甲、乙两个项目， 对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万
元的概率分别为
111
、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下
623
降 的概率都是
p(0p1)
,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品
价格在一年内的下降次数为

,对乙项目每投资十万元,

取0、1、2时, 一年后相应利润是
1.3万元、1.25万元、0.2万元.随 机变量

1
、

2
分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一 年
后的利润.
(I) 求

1
、

2
的概率分布和数学期望
E

1
、
E

2
;
(II) 当
E

1
E

2
时,求< br>p
的取值范围.
(20) (本小题满分14分)
已知点
A(x< br>1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2)(x
1
x
2
0)
是抛物线
y2px(p0)< br>上的两个动点,
O
是坐标
2

uuuruuur
uuuruuuruuuruuur
原点,向量
OA
,
OB
满足OAOBOAOB
.设圆
C
的方程为
x
2
y< br>2
(x
1
x
2
)x(y
1
y
2
)y0

(I) 证明线段
AB
是圆
C
的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。



21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=
axbxcxd
,其中a , b , c是以d为公差的 等差数列，，且
a＞0,d＞0.设
x
0
为f(x)的极小值点，在
［1-
1
3
32
2b
,0
］上，
f
'(x)在x
1
处取得最大植
，在
a
（x
0
,f (x
0
)),(x
1
,f
'
(x
1
)), (x
2
,f
'
(x
2
,f(x
2
))依次 记为
A， B， C
x
2
处取得最小值
，将点
(I)求
x
o
的值

(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为
2
22．（本小题满分12分）
已知
3
，求a ,d的值
f
0
(x)x,< br>n
f
k
'
1
(x)
f
k
(x)
f
k1
(1)
,其中
kn(n,kN

)< br>,设
01kn
F(x)C
n
f
0
(x
2< br>)C
n
f
1
(x
2
)...C
nf
k
(x
2
)...C
n
f
n
( x
2
)
,
x

1,1

.
(I) 写出
f
k
(1)
;
(II) 证明:对任意的< br>x
1
,x
2


1,1

,恒有
F(x
1
)F(x
2
)2
n1
(n2) n1
.






2006年高考试题辽宁卷理科数学试题

一. 选择题
(2) 设集合
A{1,2}
,则满足
AB{1,2,3}
的集合B的个数是（ ）
(A)1 (B)3 (C)4 (D)8
【解析】
A{1 ,2}
，
AB{1,2,3}
，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合
A{1,2}
的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有
2
2
4
个。故选择答案C。
【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。
(2) 设
f(x)
是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)
f(x)f(x)
是奇函数 (B)
f(x)f(x)
是奇函数
(C)
f(x)f(x)
是偶函数 (D)
f(x)f(x)
是偶函数
【解析】A中
F(x)f(x)f(x)
则
F(x)f(x)f( x)F(x)
，
即函数
F(x)f(x)f(x)
为偶函数，B中< br>F(x)f(x)f(x)
，
F(x)f(x)f(x)
此
时
F(x)
与
F(x)
的关系不能确定，即函数
F(x)f(x )f(x)
的奇偶性不确定，
C中
F(x)f(x)f(x)
，< br>F(x)f(x)f(x)F(x)
，即函数
F(x)f(x)f( x)
为奇函数，D中
F(x)f(x)f(x)
，
F(x)f( x)f(x)F(x)
，即函数
F(x)f(x)f(x)
为偶函数，故 选择答案D。
【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。
(3) 给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线
l
1
,l
2
与同一平面所成的角相等,则
l
1
,l
2
互相平行.
④若直线
l
1
,l
2
是异面直线,则与
l
1
,l
2
都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是
．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D。
【点评 】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理
中运用特殊图形举例 反证的能力。
(4) 双曲线
xy4
的两条渐近线与直线
x3
围成一个三角形区域,表示该区域的不等
式组是
22


x y0

xy0

(A)

xy0
(B)

xy0
(C)

0x3

0x3

22

xy0


xy 0
(D)

0x3


xy0


xy0


0x3

【解析】双曲线< br>xy4
的两条渐近线方程为
yx
，与直线
x3
围成 一个三角形区

xy0

域时有

xy0
。

0x3

【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。
+
是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意
a,bA
有
a
○
+
b
A
,则称A对运(5) 设○
+
封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 算○
(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集
【解 析】A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1

2＝0.5不是整数，< br>即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中
222
不是无理数，即无理数集
不满足条件，故选择答案C。
【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。
(6)
VABC
的三内角
A,B,C
所对边的长分别为
a,b,c
设向量
urrurr
p(ac,b)
,
q(ba,ca)
,若< br>pq
,则角
C
的大小为
(A)
urr
222
【解析】
pq(ac)(ca)b(ba)bacab
，利用余弦定理可 得
2



(B) (C) (D) 3
632
2cosC1
，即
cosC
1

C
，故选择答案B。
23
【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件 及余弦定理和三角函数，同时着重考
查了同学们的运算能力。
(7) 与方程
ye
(A)
yln(1
2x
2e
x
1(x0)
的曲线关于直线
yx
对称的曲线的方程为
x)
(B)
yln(1x)

x)
(D)
yln(1x)

2x
(C)
yln(1
【 解析】
ye2e
x
1(x0)(e
x
1)
2< br>y
，
Qx0,e
x
1
，即：
e
x< br>1yxln(1y)
，所以
f
1
(x)ln(1x)
，故选择答案A。
【点评】本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解。同时还考查了转化能力。

< br>x
2
y
2
x
2
y
2
1(m6 )
与曲线
1(5m9)
的 (8) 曲线
10m6m5m9m
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
x
2
y
2
1(m6)
知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由【解析】由
10m6m
x
2
y
2
1(5m9)
知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A 。
5m9m
【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了 审题能力即参
数范围对该题的影响。
(9) 在等比数列

a
n< br>
中,
a
1
2
,前
n
项和为
S< br>n
,若数列

a
n
1

也是等比数列,则
S
n
等于
(A)
2
n1
2
(B)
3n
(C)
2n
(D)
31
n1
【解析】因数列

a
n

为等比，则
a
n
2q
，因数列

a
n
1

也是等比数列，
n
则
(a
n1
1)
2
(a
n
1)(a
n2
1)a
n1
2
2a< br>n1
a
n
a
n2
a
n
a
n2
a
n
a
n2
2a
n1
a
n
(1q2q)0q1
2

即
a
n
 2
，所以
S
n
2n
，故选择答案C。
【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。
2222
(10) 直线
y2k
与曲线
9kxy18kx

(kR,且k0)
的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】将
y2k
代入
9kxy18kx< br>得：
9kx4k18kx

22222222
9|x|
2
18x40
，显然该关于
|x|
的方程有两正解，即x有四解，所以 交点有4个，
故选择答案D。
【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧， 同时对二次方程的实根分布
也进行了简单的考查。
(11)已知函数
f(x)11
(sinxcosx)sinxcosx
,则
f(x)
的值域 是
22


2

,1

(C)
2


2

1,

(D)
2


2

1,


2

(A)

1,1

(B) 


cosx(sinxcosx)
11
【解析】
f(x)(sinxcosx)sinxcosx


sinx(sinx cosx)
22

即等价于
{sinx,cosx}
min
，故选择答案C。

【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同 时考查了简单的转化和估
算能力。
uuuruuur
(12) 设
O(0, 0)
,
A(1,0)
,
B(0,1)
,点
P
是线段
AB
上的一个动点,
AP

AB
,若
uuuru uuruuuruuur
OPABPAPB
,则实数

的取值范围是
21222
1


1
(C)


1

1
(D)
1



1
(B)
1
22 222
2
uuuruuuruuuruuuruuur
AP

AB OP(1

)OA

OB(1

,

),
【解析】
uuu

ruuuruuuruuuruuuruuu r
PBABAP(1

)AB(

1,1

),AP

AB(

,

)
(A)
uuuruuuruuuruuur
OPABPAPB(1

,< br>
)(1,1)(

,

)(

1 ,1

)2

2
4

10

解得:
1
22


1
,因点
P< br>是线段
AB
上的一个动点,所以
0

1
,即满足 条件的
22
2


1
,故选择答案B.
2< br>实数

的取值范围是
1
【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基 本运算,定比分点中定比的范围等等.
二. 填空题

e
x
,x0.
1
(13) 设
g(x)

则
g(g())
__________
2

lnx,x0.
1
ln
111
【解析】
g( g())g(ln)e
2

.
222
【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.
464646
()(
2

2
)...(
n

n
)
5757

_____________ (14)
lim
5 7
n
545454
()(
2

2
).. .(
n

n
)
656565
464646444666< br>()(
2

2
)...(
n

n< br>)(
2
...
n
)(
2
...
n
)
5757

555777
【解析】
lim
57
n
545454555444
()(
2

2< br>)...(
n

n
)(
2
...
n
)(
2
...
n
)
656565666555< br>4161
[1()
n
][1()
n
]
55

77
11115
11()
n
()
n
1 ()
n
577
lim
7
1

limli m
5
n
5
n
1
n
n
5
n
1411
[1()
n
][1()
n
]()()< br>n
()1
66

55656
11
11
65

【点评】本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型.
(15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参< br>加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有
_ ______种.(以数作答)
112
【解析】两老一新时, 有
C
3
C
2
A
2
12
种排法;
123
两新一老时, 有
C
2
C
3
A
3
36
种排法,即共有48种排法.
【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.
(16) 若一条直线与 一个正四棱柱各个面所成的角都为

,则
cos

=______
【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶
点 的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故
cos

< br>26
.

3
3
【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义 以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的
应用.
三． 解答题
(17) (本小题满分12分)
已知函数
f(x)sinx2sinxcosx3cosx，
xR
.求:
(I) 函数
f(x)
的最大值及取得最大值的自变量
x
的集合；
(II) 函数
f(x)
的单调增区间.
【解析】(I) 解法一:
22
f(x)
1cos2x3(1cos2x)

sin2x1sin2x cos2x22sin(2x)

224

当
2x

4
2k



2
,即
xk



8
(kZ)
时,
f(x)
取得最大值
22
.
函数
f(x)
的取 得最大值的自变量
x
的集合为
{xxR,xk


解法 二:

8
(kZ)}
.
f(x)(sin
2xcos
2
x)2sinxcosx2cos
2
x2sinxc osx12cos
2
xsin2xcos2x2
22sin(2x)

4

当
2x


4
2k< br>


2
,即
xk



8
(kZ)
时,
f(x)
取得最大值
22
. 函数
f(x)
的取得最大值的自变量
x
的集合为
{xxR,x k


(II)解:
f(x)22sin(2x

8
(kZ)}
.

4
)

由题意得:
2k


即:
k



22x

4
2k



2
(k Z)

3

xk

(kZ)

88
3

,k

](kZ)
.
8 8
因此函数
f(x)
的单调增区间为
[k


【点 评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合
运用三角有关知 识的能力.
(18) (本小题满分12分)]
已知正方形
ABCD
.< br>E
、
F
分别是
AB
、
CD
的中点,将
VADE
沿
DE
折起,如图所示,记二面
角
ADEC
的大小为

(0



)
.
(I) 证明
BF
平面
ADE
;
(II)若
VACD
为正 三角形,试判断点
A
在平面
BCDE
内的射影
G
是否在直线
EF
上,证明你
的结论,并求角

的余弦值.
B A
B
E F
C
E
F
A D
D
C

【解析】(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,

EBFD,且EB=FD,

四边形EBFD为平行四边形.

BFED
QEF平面AED,而BF平面AED


BF
平面
ADE
.
(II)解法1:
如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.
Q

ACD为正三角形,

AC=AD

CG=GD

Q
G在CD的垂直平分线上,

点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过G作GH垂直于ED于H,连结 AH,则
AHDE
,所以
AHD
为二面角A-DE- C的平面角.
即
AHG


设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的

AEF中,AF=
3a
,EF=2AE=2a,
即

AEF为直角三角形,
AGEFAEAF

AG
3
a

2
在Rt

ADE中,
AHDEAEAD

AH
2
a

5
a
25

GH
cos


GH1

.
AH4
解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF,在平面AE F内过点作
AG

EF
,垂足为
G

.
Q

ACD为正三角形,F为CD的中点,
AFCD

又因
EFCD
,
所以
CD平面AEF

QAG

平面AEF

AG

CD

又
AG

EF
且
CDEFF,CD平面BCDE, EF平面BCDE

AG

平面BCDE

G

为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AHDE
,所以
AHD
为二面角A-DE- C的平面角.
即
AHG


设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的

AEF中,AF=
3a
,EF=2AE=2a,
即

AEF为直角三角形,
AGEFAEAF

AG
3
a

2

在Rt

ADE中,
AHDEAEAD

AH
2
a

5
a
25

GH
cos


GH1

.
AH4
解法3: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF,在平面A EF内过点作
AG

EF
,垂足为
G

.
Q

ACD为正三角形,F为CD的中点,
AFCD

又因
EFCD
,
所以
CD平面AEF

CD平面BCDE

平面AEF平面BCDE

又
Q平面AEF平面BCDE=EF,AG

EF

AG

EF

AG

平面BCDE

G

为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AHDE
,所以
AHD
为二面角A-DE- C的平面角.
即
AHG


设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的

AEF中,AF=
3a
,EF=2AE=2a,
即

AEF为直角三角形,
AGEFAEAF

AG
3
a

2
在Rt

ADE中,
AHDEAEAD

AH
2
a

5
a
25
,
GH

cos


GH1

.
AH4
【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能 力.

(19) (本小题满分12分)
现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十 万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万
元的概率分别为
111
、 、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下
623
降的概率都是
p(0p1)
,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品
价格在一 年内的下降次数为

,对乙项目每投资十万元,

取0、1、2时, 一年 后相应利润是
1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量

1
、
2
分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年
后的利润.
(I) 求

1
、

2
的概率分布和数学期望
E

1
、
E

2
;
(II) 当
E

1
E

2
时,求
p
的取值范围.
【解析】
(I)解法1:

1
的概率分布为

1

P
1.2 1.18 1.17
1

6
1

2
1

3
E

1
=1.2

111
+1.18

+1.17
=1.18.
623
由题设得

~B(2,p)
,则

的概率分布为


P
0 1 2
(1p)
2

2p(1p)

p
2

故

2
的概率分布为


P
1.3 1.25 0.2
(1p)
2

2p(1p)

p
2

所以

2
的数学期望为
E

2
=
1.3(1p)
+
1.252p(1p)
+
0.2p
=
p0.1p1.3
.
222

解法2:

1
的概率分布为

1

P
1.2 1.18 1.17
1

6
1

2
1

3
E

1
=1.2

111
+1.18

+1.17
=1.18.
623
设
A
i
表示事件”第i次调整,价格下降 ”(i=1,2),则
2
P(

=0)=
P(A
1
)P(A
2
)(1p)
;
P(
=1)=
P(A
1
)P(A
2
)P(A
1
)P(A
2
)2p(1p)
;
2
P(
=2)=
P(A
1
)P(A
2
)p

故

2
的概率分布为


P
1.3 1.25 0.2
(1p)
2

2p(1p)

p
2

所以

2
的数学期望为
E

2
=
1.3(1p)
+
1.252p(1p)
+
0.2p
=
p0.1p1.3
.
(II) 由
E

1
E

2
,得:
222p
2
0.1p1.31.18(p0.4)(p0.3)00.4 p0.3

因0E

1
E
< br>2
时,p的取值范围是0【点评】本小题考查二项分布、分布列、数学 期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率
知识解决实际问题的能力.
(20) (本小题满分14分)
已知点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)(x
1
x
2
0)
是抛物线
y2px(p0)
上的两个动点,
O
是坐标2
uuuruuur
uuuruuuruuuruuur
原点,向量
OA
,
OB
满足
OAOBOAOB
.设圆
C
的方 程为
x
2
y
2
(x
1
x
2
)x(y
1
y
2
)y0

(I) 证明线段
AB
是圆
C
的直径;

25
时，求p的值。
5
uuuruuuruuuruuur uuuruuur
2
uuuruuur
2
【解析】(I)证明1:
Q
OAOBOAOB,(OAOB)(OAOB)

(II) 当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为
uuur
2
uuuruuuruu ur
2
uuur
2
uuuruuuruuur
2
OA2O AOBOBOA2OAOBOB

uuuruuur
整理得:
OAOB0

x
1
x
2
y
1< br>y
2
0

uuuruuur
设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则
MAMB0

即
(xx
1
)(xx
2
)(yy
1
)(yy
2
)0

22
整理得:
xy(x
1
x
2
)x( y
1
y
2
)y0

故线段
AB
是圆
C
的直径
uuuruuuruuuruu uruuuruuur
2
uuuruuur
2
证明2:
Q
OAOBOAOB,(OAOB)(OAOB)

uuur
2
uuuruuuruuur
2
uuur
2
uuuruuu ruuur
2
OA2OAOBOBOA2OAOBOB

uuuruuur
整理得:
OAOB0

x
1x
2
y
1
y
2
0
……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则
即
yy
2
yy1
1(xx
1
,xx
2
)

xx
2
xx
1
去分母得:
(xx
1
)(xx
2
)(yy
1
)(yy
2
)0

点
(x
1
,y
1
),(x
1
,y2
),(x
2
,y
1
)(x
2
,y
2
)
满足上方程,展开并将(1)代入得:
x
2
y
2(x
1
x
2
)x(y
1
y
2
)y0

故线段
AB
是圆
C
的直径
uuuru uuruuuruuuruuuruuur
2
uuuruuur
2
证明3:
Q
OAOBOAOB,(OAOB)(OAOB)

uuur
2
uuuruuuruuur
2
uuur
2
uuuruuu ruuur
2
OA2OAOBOBOA2OAOBOB

uuuruuur
整理得:
OAOB0

x
1x
2
y
1
y
2
0
……(1)

以线段AB为直径的圆的方程为
(x
x
1
x< br>2
2
yy
1
)(y
12
)
2
[(x
1
x
2
)
2
(y
1
y2
)
2
]

224
展开并将(1)代入得:
x
2
y
2
(x
1
x
2
)x(y< br>1
y
2
)y0

故线段
AB
是圆
C
的直径
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
x
1
x
2< br>
x


2


yy
2

y
1

2
Qy
1
2
2px1
,y
2
2
2px
2
(p0)

y
1
2
y
2
2
x
1
x
2


2
4p
又因
x
1
x
2
 y
1
y
2
0

x
1
x
2
y
1
y
2

y
1
2
y
2
2
y
1
y2


2
4p
Qx
1
x
2
0,y
1
y
2
0

y
1
y
2
4p
2

x
x
1
x
2
yy
11
(y
1
2
y
2
2
)(y
1
2
y
2
2
2y
1
y
2
)
12

24p4p4p

1
2
(y2p
2
)

p
22
所以圆心的轨迹方程为
ypx2p

设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
1
2
(y2p
2< br>)2y|
|x2y||y
2
2py2p
2
|
p
d

555p
|
|(yp)
2
p
2
|
< br>
5p

当y=p时,d有最小值
p
p25
,由 题设得

5
5
5
p2
.
解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则
x
1
x
2

x

2



y
y
1
y
2

2
Qy
1
2
2px
1
, y
2
2
2px
2
(p0)

y
12
y
2
2
x
1
x
2

< br>4p
2
又因
x
1
x
2
y
1y
2
0

x
1
x
2
y
1
y
2

y
1
2
y
2
2
y
1
y2


4p
2
Qx
1
x
2
0,y
1
y
2
0

y
1
y
2
4p
2

x
x
1
x
2
yy
11
(y
1
2
y
2
2
)(y
1
2
y
2
2
2y
1
y
2
)
12

24p4p4p

1
2
(y2p
2
)

p
22
所以圆心的轨迹方程为
ypx2p

设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为
25
,则
5
m2

因为x-2y+2=0与
ypx2p
无公共点,
所以当x-2y-2= 0与
ypx2p
仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
22
22

25

5

x2y20
L
(2)


22

ypx2p
L
(3)
将(2)代入(3)得
y2p y2p2p0

22
4p
2
4(2p
2
2p)0

Q
p0

p2.
解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
x
1
x
2

x


2



y
y
1
y
2

2
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
x
1
x
2
 (y
1
y
2
)|
2
d

5
|
Qy
1
2
2px
1
,y
2
2
 2px
2
(p0)

y
1
2
y
2
2
x
1
x
2


4p
2
又因
x
1
x
2
y
1
y
2
0< br>
x
1
x
2
y
1
y
2

y
1
2
y
2
2
y
1
y2


4p
2
Qx
1
x
2
0,y
1
y
2
0

y
1
y
2
4p
2

1
( y
1
2
y
2
2
)(y
1
y
2
)|
|y
1
2
y
2
2
2y
1
y
2
4p(y
1
y
2
)8p
2< br>|
4p
d

545p
|

(y< br>1
y
2
2p)
2
4p
2


45p
当
y
1
y
2
2p
时,d有最小 值
p
p25
,由题设得

5
5
5
p2
.
【点评】本小题考查了平面 向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础
知识,以及综合运用解析几何知识解决 问题的能力.
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=
axbxcxd
,其中a , b , c是以d为公差的 等差数列，，且a＞0,d＞
0.设
x
0
为f(x)的极小值点，在
［1-
1
3
32
2b
,0
］上，
f
'(x)在x
1
处取得最大植
，在
a
（x
0
,f (x
0
)),(x
1
,f
'
(x
1
)), (x
2
,f
'
(x
2
,f(x
2
))依次 记为
A， B， C
x
2
处取得最小值
，将点
(I)求
x
o
的值

(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为
2
【解析】(I)解:
Q2bac

3
，求a ,d的值
f

( x)ax
2
2bxcax
2
(ac)xc(x1)(ax c)

令
f

(x)0
,得
x1或x
c

a
Q
a0,d0

0abc
cc
1,1

aa
c
当
x1
时,
f

(x)0
;
a
当
x1
时,
f

(x)0

所以f(x)在x=-1处取得最小值即
x
o
1

(II)
Qf

(x)ax2bxc(a0)

2
b
f

(x)
的图像的开口向上,对称轴方程为
x

a
b2bbb
由
1
知
|(1)()| |0()|

aaaa

f

(x)
在
[1
即
x
1
=0

又由
2b
, 0]
上的最大值为
f

(0)c

a
bb2b
1,知[1,0]

aaa
bd
2
b
b

当
x
时,
f

(x)
取得最小值为
f

(),即x
2


aaa
a
1
Qf(x
0
)f(1)a

3
1bd
2
A(1,a),B(0,c)C(,)
3aa
1d
2
,即a
2
=3d
2
L(1) 由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以
a
3a
又由 三角形ABC的面积为
2
1ba
3
得
(1)(c)2 3

2a3
2d
2
23L(2)
利用b=a+d,c =a+2d,得
d
3a
联立(1)(2)可得
d3,a33
.
解法2:
Qf

(x)ax2bxc(a0)

2
Qf

(1
2b
)0,f

(0)c
a
2b
又c>0知
f(x)
在
[1,0]
上的最大值为
f

(0)c

a
即:
x
1
=0

又由
bb2b
1,知[1,0]

aaa
bd2
b
b

当
x
时,
f

(x)
取得最小值为
f

(),即x
2


aaa
a
1
Qf(x
0
)f(1)a

3
1bd
2
A(1,a),B(0,c)C(,)
3aa
1d
2
,即a
2
=3d
2
L(1) 由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以
a
3a

又由三角形ABC的面积为
2
1ba
3
得
(1) (c)23

2a3
2d
2
23L(2)
利用 b=a+d,c=a+2d,得
d
3a
联立(1)(2)可得
d3,a 33

【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差 数基础
知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
22．（本小题满分12分）
f
k
'
1
(x)
已知
f
0
(x)x,
f
k
(x)
,其中
kn(n,kN

)
,
f
k1
(1)
n
0212k2n2
设
F(x)C
n
f
0
(x) C
n
f
1
(x)...C
n
f
k
(x )...C
n
f
n
(x)
,
x

 1,1

.
(I) 写出
f
k
(1)
;
(II) 证明:对任意的
x
1
,x
2


1,1

,恒有
F(x
1
)F(x
2
)2
n1
(n2)n1
.
nk
【解析】(I)由已知推得< br>f
k
(x)(nk1)x
,从而有
f
k
(1) nk1

(II) 证法1:当
1x1
时,
12( n1)22(n2)k2(nk)n12
F(x)x
2n
nC
n
x(n1)C
n
x...(nk1)C
n
x...2 C
n
x1

当x>0时,
F

(x)0
,所以
F(x)
在[0,1]上为增函数
因函数
F(x)
为偶函数所以
F(x)
在[-1,0]上为减函数
所以对任意的
x
1
,x
2


1,1< br>
F(x
1
)F(x
2
)F(1)F(0)

012kn1
F(1)F(0)C
n
nC
n
(n 1)C
n
...(nk1)C
n
...2C
n
nC
n1
n
(n1)C
n2
n
...(nk 1)C
nk
n
...2CC
1
n
0
n< br>
nknknk
Q
(nk1)C
n
(nk)C
n
C
n
nC
k
n1
C(k1,2,3< br>L
n1)
k
n

12k112n10
F(1) F(0)n(C
n1
C
n1
...C
n1
) (C
n
C
n
...C
n
)C
n
 n(2
n1
1)212(n2)n1
nn1

因此结论成立.

证法2: 当
1x1
时,
1 2(n1)22(n2)k2(nk)n12
F(x)x
2n
nC
n
x(n1)C
n
x...(nk1)C
n
x... 2C
n
x1

当x>0时,
F

(x)0
,所以
F(x)
在[0,1]上为增函数
因函数
F(x)
为偶函数所以
F(x)
在[-1,0]上为减函数
所以对任意的
x
1
,x
2


1,1< br>
F(x
1
)F(x
2
)F(1)F(0)

012kn1
F(1)F(0)C
n
nC
n
(n 1)C
n
...(nk1)C
n
...2C
n

12k1n10
又因
F(1)F(0)2C
n
3C
n
...kC
n
...nC
n
C
n

12k1n10
所以
2[F(1)F(0)](n2)[C
nC
n
...C
n
...C
n
]2C
n

F(1)F(0)

n2
12k1n10
[C
n
C
n
...C
n
...C
n]C
n
2
n2
n
(22)12
n1
(n2)n1
2

因此结论成立.
证法3: 当
1x1
时,
12(n1)22(n2)k2(nk)n12F(x)x
2n
nC
n
x(n1)C
n
x.. .(nk1)C
n
x...2C
n
x1

当x>0时,
F

(x)0
,所以
F(x)
在[0,1]上为增函数
因函数
F(x)
为偶函数所以
F(x)
在[-1,0]上为减函数
所以对任意的
x
1
,x
2


1,1< br>
F(x
1
)F(x
2
)F(1)F(0)

012kn1
F(1)F(0)C
n
nC
n
(n 1)C
n
...(nk1)C
n
...2C
n

由
1n12n2knkn1
x[(1x)
n
x
n
]x[C
n
xC
n
x...C
n
x.. C
n
x1]
CxCx
1n
n
2
n
n1
...Cx
k
n
nk1
..C
n12< br>n
xx

对上式两边求导得
1n12n2knkn1(1x)
n
x
n
nx(1x)
n1
nx< br>n
nC
n
x(n1)C
n
x...(nk1)C
n
x..2C
n
x1
F(x)(1x
2
)
n
nx
2
(1x
2
)
n1
nx
2n

F(1)F(0)2
n
n2
n1
n1(n2)2
n1
n1

因此结论成立.
【点评 】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识,
考查归纳推理能力 以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.