2020年广东省梅州市高考数学一模试卷(理科)
山东招生考试院网-接待员岗位职责
高考数学一模试卷（理科）
题号
得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
1.
已知集合
A={x|x=3n-1
，
n
∈<
br>N}
，
B={6
，
8
，
10
，
12
，
14}
，则集合
A∩B
中元素的个
数为（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
2.
已知复数
z
满足
i
（
2-z
）
=3+i
，则
|z|=
（ ）
A.
B.
5
C. D.
10
3.
下列函数为奇函数的是（ ）
A.
y=
B.
y=|sinx|
C.
y=cosx
D.
y=e
x
-e
-
x
4.
等差
数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且满足
2S
3
=a
3
+a
7
=18
，则
a
1
=
（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
5.
某中学
2018
年的高考考生人数是
2015
年高考考生人数的
1.5
倍，为了更好地对比
该校考生的升学情况，统计了该校2015
年和
2018
年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是
( )
A.
与
2015
年相比，
2018
年一本达线人数减少
B.
与
2015
年相比，
2018
年二本达线人数增加了
0.5
倍
C.
2015
年与
2018
年艺体达线人数相同
D.
与
2015
年相比，
2018
年不上线的人数有所增加
且
=2
，则
=
（ ）
6.
如图在平
行四边形
ABCD
中，对角线
AC
与
BD
交于点
O
，
A. B. C. D.
第1页，共16页
7.
若变量
x
，
y
满足约束条件
A. B.
-2
，则
z=2x-y
的最小值等于（ ）
C. D.
2
”组成．已知在一个显示
每一个数字都在固定的全等矩形“显示
8.
一种电子计时器显示时间的方式如图所示，
池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“数字
8
的显示池中随机取一点
A
，点
A
落在深色区域内
的概率为．若在一个显示
数字
0
的显示池中随机取一点
B
，则点B
落在深色区域的概率为（ ）
A.
9.
已知双曲线
C
：
B. C. D.
=l
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）一个焦点为
F
（
2
，
0
），且
F
到双曲线
C
的
渐近线的距离为
1
，则双曲线
C
的方程为（ ）
A.
x
2
=1
B.
=1
C.
x
2
=1
D.
=1
10.
《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以
深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广
”指羡除的
三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在
平面的距离，“袤”指这两
条侧棱所在平行线之间的距离，
用现代语言描述：在羡除
ABC-A
1
B1
C
1
中，
AA
1
∥
BB
1
∥
CC
1
，
AA
1
=a
，
BB
1
=b
，
CC
1
=c
，两条平行线
AA
1<
br>与
BB
1
间的距离
为
h
，直线
CC
1
到平面
AA
1
B
1
B
的距离为
h
′，则该羡除的
体积为
V=
（
a+b+c
）．已知某羡除的三视图
如图所示，则该羡除的体积为（ ）
A.
3
B. C. D.
2
点
Q
在曲线
y=1-
（
x
＞
0
）上，点
R
在直线
y=x
上，则
|PR|+|R
Q|
11.
设点
P
在曲线
y=lnx
上，
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12.
在等腰直角△
ABC<
br>中，
AB
⊥
AC
，
BC=2
，
M
为
BC
中
点，
N
为
AC
中点，
D
为
BC
边上一个动点，△
ABD
沿
AD
翻折使
BD<
br>⊥
DC
，点
A
在平面
BCD
上的投影
为点<
br>O
，当点
D
在
BC
上运动时，以下说法错误的
是（
）
A.
线段
NO
为定长
∠
AMO+
∠
ADB
＞
180°
B.
D.
点
O
的轨迹是圆弧
C.
线段
CO
的长
|CO|
∈
[1
，）
二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
2S
n
=a
n
+1
-1
，首项
a
1
=1
，且满足：则
a
3
+a
4
+a
5
=
______
．
13.
已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
14.
过定点
F
（
1
，
0
）且与直线
x=-1
相切的动圆圆心
M
的轨迹方程为
______
．
第2页，共16页
15.
若将函数
f
（
x
）
=sin2x+cos2x
的图象向右平移
φ
个单位后
所得图象关于
y
轴对称，
则
φ
的最小正值为
______<
br>．
16.
某大学安排
4
名毕业生到某企业的三个
部门
A
，
B
，
C
实习，要求每个部门至少安
排1
人，其中甲大学生不能安排到
A
部门工作，安排方法有
______<
br>种（用数字作答）．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
，
sin
∠
BAC=
，
AB=3
，
17.
如图，在△
ABC
中，已知点
D
在边
BC
上，且∠
DAC=90°
AD=3
．
（
1
）求
BD
长；
（
2
）求
cosC
．
18.
已如图，
已知矩形
ABCD
中，
AD=2AB=2
，点
E
是
AD
的中点，将△
DEC
沿
CE
折起到△
D
′EC
的位置，
使二面角
D
′
-EC-B
是直二面角．
（
1
）证明：
BE
⊥
CD
′；
（
2
）求二面角
D
′
-BC-E
的余弦值．
19.
某学校为
调研学生在
A
，
B
两家餐厅用餐的满意度，从在
A
，
B
两家餐厅都用过餐
的学生中随机抽取了
100
人，每人分别对这两家餐厅
进行评分，满分均为
60
分．整
理评分数据，将分数以
10
为组距分
成
6
组：
[0
，
10
），
[10
，
20
），
[20
，
30
），
[30
，
4
0
），
[40
，
50
），
[50
，
60]
，得到
A
餐厅分数的频率分布直方图和
B
餐厅分数的频
数分
布表：
B
餐厅分数频数分布表
分数区间
[0
，
10
）
[10
，
20
）
[20
，
30
）
[30
，
40
）
频数
2
3
5
15
第3页，共16页
[40
，
50
）
[50
，
60]
分数
满意度指数
40
35
[0
，
30
）
0
[30
，
50
）
1
[50
，
60]
2
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：
（
1
）在抽样的
10
0
人中，求对
A
餐厅评价“满意度指数”为
0
的人数；
（
2
）以频率估计概率，从该校在
A
，
B
两家餐厅都用过餐的
学生中随机抽取
1
人进
行调查，试估计其对
A
餐厅评价的“满意度指
数”比对
B
餐厅评价的“满意度指
数”高的概率；
（
3
）
如果从
A
，
B
两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
20.
已知椭圆（
a
＞
b
＞
0
）的左、右焦点分别为点
F
1
，
F
2
，其离心率为，
短轴长为．
（
1
）求椭圆
C
的标准方程；
N
两点，（
2
）过点
F
1
的直线
l
1
与椭圆
C
交于
M
，过点
F
2
的直线
l
2
与椭圆
C
交于
P
，
Q
两点，且
l
1
∥
l
2
，证明：四边形
MNPQ
不可能是菱形．
21.
已知函数
f
（
x
）
=2lnx-2mx+x
2
（
m
＞
0
）．
（
1
）讨论函数
f
（
x
）的单调性；
（
2
）当
m
时，若函数
f
（
x
）的导函数<
br>f
′（
x
）的图象与
x
轴交于
A
，
B
两点，
第4页，共16页
其横坐标分别为
x
1<
br>，
x
2
（
x
1
＜
x
2
），
线段
AB
的中点的横坐标为
x
0
，且
x
1
，
x
2
恰为函
2
数
h
（
x
）=lnx-cx-bx
的零点．求证（
x
1
-x
2
）<
br>h'
（
x
0
）
≥+ln2
．
22.
已知直线
l
的参数方程为
(t
为参数
)
，以坐标原点为极点，
x
轴的非负半
轴为极轴，建立极坐标系，圆
C
的极坐标方程为
ρ<
br>＝
4cosθ
，直线
l
与圆
C
交于
A
，
B
两点．
(1)
求圆
C
的直角坐标方程及弦
AB
的长；
<
br>(2)
动点
P
在圆
C
上
(
不与
A<
br>，
B
重合
)
，试求△
ABP
的面积的最大值．
23.
<
br>已知函数
f
（
x
）
=|2x-2|+|2x+3|
．
（
1
）求不等式
f
（
x
）＜
15
的解集；
2
（
2
）若
f
（
x
）
≥a-x+x
对于
x
∈
R
恒成立，求
a
的取值范围
．
第5页，共16页
答案和解析
1.
【答案】
A
【解析】【分析】
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
【解答】 <
br>解：∵集合
A={x|x=3n-1
，
n
∈
N}
，<
br>B={6
，
8
，
10
，
12
，
14
}
，
∴
A∩B={8
，
14}
，
∴集合
A∩B
中元素的个数为
2
．
故选：
A
．
2.
【答案】
C
【解析】【分析】
本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的运算法则等基础知识，考查
运算求解能
力，考查函数与方程思想，是基础题．
由题意推导出
z=2-=1+3i
，由此能求出结果．
【解答】
解：∵
i
（
2-z
）
=3+i
，
∴
z=2-=1+3i
，
∴
|z|=
．
故选：
C
．
3.
【答案】
D
【解析
】解：
A
．函数的定义域为
[0
，
+∞
），定义域关于原点
不对称，故
A
为非奇非偶
函数．
B
．
f
（
-x
）
=|sin
（
-x
）
|=|sinx|=f
（
x
），则
f
（
x
）为偶函数．
C
．
y=cosx
为偶函数．
D
．
f
（
-x
）
=e
-
x
-e
x
=-
（<
br>e
x
-e
-
x
）
=-f
（
x
），则
f
（
x
）为奇函数，
故选：
D
．
根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．
4.
【答案】
A
【解析】解：设公差为
d
，∵
2S
3
=a
3
+a
7
=18
，
∴，
解得
a
1
=1
，
故选：
A
．
设公差为
d
，由
2S
3=a
3
+a
7
=18
，列出关于
a
1
，
d
的方程组，解得即可．
第6页，共16页
本题考查了
等差数列的前
n
项和公式和等式数列的通项公式，属于基础题．
5.
【答案】
D
【解析】【分析】
本题考查了柱状图，考查数据处理能力，属于基础题．
作差比较可得．
【解答】
解：设
2015
年高考考生人数为
x
，则
2018
年高考考生人数为
1.5x
，
由
24%
•
1.5x-28
%
•
x=8%
•
x
＞
0
，故选项
A
不正确；
32%
•
x=
，故选项
B
不正确； 由（40%
•
1.5x-32%
•
x
）
÷
由
8%
•
1.5x-8%
•
x=4%
•
x
＞
0
，故选项
C
不正确；
由
28%
•
1.5x-
32%
•
x=10%
•
x
＞
0
，故选项
D
正确．
故选：
D
．
6.
【答案】
C
【解析】解：
=
故选：
C
．
由平面向量的基本定理得：
==-=
（）
=
，得解
=-=
（）
=
，
本题考查了平面向量的基本定理，属简单题．
7.
【答案】
A
【解析】解：由变量
x
，
y
满足约束条件
作出可行域如图，
由图可知，最优解为
A
，
联立，解得
A
（
-1
，）．
∴
z=2x-y的最小值为
2×
（
-1
）
-=-
．
故选：
A
．
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，
求出最优解的坐标，数形结合得答案．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
8.
【答案】
D
【解析】【分析】
设全等矩形“显示
池”的面积为
S
，每一个深色区域的面积为
x
，运用几何概率的公式，
计算可得所求值．
本题考查几何概率的应用题，注意运用面积这个测度，考查运算能力和题目的理解
能力，
属于中档题．
【解答】
解：设全等矩形“显示池”的面积为
S
，
每一个深色区域的面积为
x
，
第7页，共16页
则
=
，可得
=
，
即有点
B
落在深色区域内的概率为
=6×=
，
故选：
D
．
9.
【答案】
B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点的位置．根据题
意，分析可得要求双曲
线的焦点在
x
轴上，且
c=2
，设双曲线的方
程为双曲线
C
：
=l
（
a
＞
0
，
b
＞
0
），求
=1
，解可得
bbx=0
，又由点<
br>F
到渐近线的距离为
1
，则有出其渐近线方程为
ay±
的值，
计算可得
a
的值，将
a
、
b
的值代入双曲线方程即可得答案
．
【解答】
解：根据题意，要求双曲线
C
的中心为原点，点
F<
br>（
2
，
0
）是双曲线
C
的一个焦点，
即双曲线的焦点在
x
轴上，且
c=2
，
设双曲线
C
：
=l
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）其渐近线方程为
y=±x
，即
ay±bx=0
，
=1
， 若点
F
到渐近线的距离为
1
，则有有
解可
得
b=1
，
222
则
a=c-b=3
，
2
则要求双曲线的方程为：
-y=1
；
故选：
B
．
10.
【答案】
B
【解
析】解：由三视图还原原几何体知，羡除
ABC-A
1
B
1
C
1
中，
AB
∥
EF
，底面
ABCD
是
矩形，
AB=CD=2
，
EF=1
，
AB
，
CD
间的距离
h=AD=2
，平面
ADE
⊥平面
ABCD
，
如图，取
AD
中点
G
，连接
EG
，则
EG
⊥平面
ABCD
，
由侧视图知，直线
EF
到平面<
br>ABCD
的距离为
h
′
=1
，
∴该羡除的体积为<
br>V=
（
a+b+c
）
=
故选：
B
．
根据三视图求出羡除的体积
V=
（
a+b+c
）中所需数据，代入得答案．
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
11.
【答案】
D
．
第8页，共16页
【解析】解：函数
y=lnx
的导数为
y
′
=
，
设曲线
y=lnx
与直线
y=x
的平行线相切的切点为（
m
，
n
），
可得
=1
，即
m=1
，可 得切点为（
1
，
0
），
此时
PR
的最小值为
=
；
y=1-
（
x
＞
0
）的导数为
y
′
=
，
设曲线
y=1-
（
x
＞
0
）与直线
y=x
的平行线相切 的切点为（
s
，
t
），
可得
=1
，即
s =1
，可得切点为（
1
，
0
），
此时
RQ
的最小值为
=
；
则
P
，
Q
重合为（
1
，
0
），
R
为（，），
|PR|+|RQ|
取得最小值为
故选：
D
．
．
求出两曲线对应函数的导数，求得切线的斜率，由与直线
y=x
的平行，可得切点，由点到直线的距离公式可得最小值，进而得到所求和的最小值
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考 查点到直线的距离公式的运用，考查最值的求
法，属于中档题．
12.
【答案】
B
【解析】解：如图所示，
对于A
，△
AOC
为直角三角形，
ON
为斜边
AC
上的
中线，
ON=AC
为定长，即
A
正确；
D
在
M
时，
AO=1
，
CO=1
，对于
B
，∴ ，
即正确；
对于
D
，由
A
可知，点
O
的 轨迹是圆弧，即
D
正确；
故选：
B
．
作出图形，判定
A
，
B
，
D
正确，即可得出结论．
本题考查平面图形的翻折，考查学生的计算能力，
正确作出图形是关键．
13.
【答案】
117
【解析】解：∵
2S
n
=a
n
+1
-1
，∴
a
n
+1
= 2S
n
+1
，
∴
a
1
=1
，
a
2
=2×1+1=3
，
a
3
=2×
（
1+3
）
+1=9
，
a
4
=2×
（
1+3+9
）
+1=27
，
a
5
=2×
（
1+3+9+27
）
+1=81，
故
a
3
+a
4
+a
5
=9+27 +81=117
，
故答案为：
117
．
化简可得
an
+1
=2S
n
+1
，从而依次求数列的前
5
项即可．
本题考查了数列的递推公式的应用，属于基础题．
第9页，共16页
14.
【答案】
y
2
=4x
【解析】【分析】
根据题意，结合抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是以
F
为焦点，直线
l
为准线的抛物
线，由此不难求出它的轨迹方程．
本题给出动
圆经过定点并且与定直线相切，求动圆圆心的轨迹方程，着重考查了抛物线
的定义与标准方程的知识，属
于基础题．
【解答】
解：设动圆的圆心为
M
（
x
，
y
）
∵圆
M
过点
F
（
1
，
0
）且与直线
l
：
x=-1
相切
∴点
M
到
F
的距离等于
点
M
到直线
l
的距离．
由抛物线的定义，得
M
的
轨迹是以
F
为焦点，直线
l
为准线的抛物线
2
设方程为<
br>y=2px
（
p
＞
0
），则
=1
，
2p=4
2
∴
M
的轨迹方程是
y
=4x
2
故答案为：
y=4x
15.
【答案】
【解析】解：由，
把该函数的图象右移
φ
个单位，所得图象对应的函数解析式为：
sin（
2x
又所得图象关于
y
轴对称，则
φ=k
-2φ）．
，
k
∈
Z
．
∴当
k=-1
时，
φ
有最小正值是．
故答案为：． 把函数式
f
（
x
）
=sin2x+cos2x
化积为<
br>移得到
sin
（
2x
，然后利用三角函数的图象平
-2φ）．结合该函数为偶函数求得
φ
的最小正值．
本题考查了三角函数的图象平移，考查了三角函数奇偶性的性质，是中档题．
16.
【答案】
24
【解析】解：根据题意，设
4名毕业生为甲、
A
、
B
、
C
，分
2
种
情况讨论：
①，甲单独一人分配到
B
或
C
部门，则甲有
2
种情况，
1
将
A
、
B
、
C
分成
2
组，有
C
3
=3
种分组方法，再将
2
组
全排列，分配到其他
2
个部门，
2
有
A
2
=2种情况，
3×2=12
种安排方法；
则此时有
2×
②，甲和其他人一起分配到
B
或
C
部门，
1
2=6
种情况， 在
A
、
B
、
C
中任选
1
人，与甲一起分配到
B
或
C
部门，有
C
3
×
2
将剩余的
2
人全排列，分配到其他
2
个部门，有
A
2
=2
种情况，
2=12
种安排方法；
则此时有
6×
则一共有
12+12=24
种不同的安排方法；
故答案为：
24
第10页，共16页
根据题意，设
4
名毕业生为甲、
A
、
B
、
C
，分
2<
br>种情况讨论：①，甲单独一人分配到
B
或
C
部门，②，甲和其他人一起
分配到
B
或
C
部门，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．
17.
【答案】（本小题满分
12
分）
解：（
1
）∵∠
DAC=90°
，
∴
sin∠
BAC=sin
（
+
∠
BAD
）
=cos<
br>∠
BAD
，
∴
cos
∠
BAD=
，…（
2
分）
22
2
在△
ABD
中，由余弦定理得，
BD=AB+AD-2AB
•AD
•
cos
∠
BAD
，…（
4
分）
2
即
BD=18+9-2×=3
，得
BD=
．…（
6分）
（
2
）由
cos
∠
BAD=
，得
sin
∠
BAD=
，…（
8
分）
． 在△
AB
D
中，由正弦定理，得：
∴
sin
∠
ADB===
，…（<
br>10
分）
∵∠
ADB=
∠
DAC+C=+C
，
∴
cosC=
．…（
12
分）
【解析】（1
）由已知利用诱导公式可求
cos
∠
BAD
的值，利用余弦定
理即可计算
BD
的
长．
（
2
）由（
1
）
可求
cos
∠
BAD
的值，利用同角三角函数基本关系式可求
sin
∠
BAD
，由正
弦定理可求
sin
∠
ADB
的值，根据诱导公式可求
cosC
的值．
本题主
要考查了诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，
两角和的正弦函数公式在
解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.
【答案】解：（
1
）证明：∵
AD=2AB=2
，
E
是
AD
的中
点，
∴△
BAE
，△
CDE
是等腰直角三角形，∠
BEC
=90°
，
又∵平面
D'EC
⊥平面
BEC
，面
D'EC∩
面
BEC=EC
∴
BE
⊥面
D'EC
，∴
BE
⊥
CD
’．
（
2
）如图，以
E
B
，
EC
为
x
轴、
y
轴，过
E
垂
直于平面
BEC
的射线为
z
轴，建立空间
直角坐标系．
<
br>则
设平面
BEC
的法向量为
D'BC
的法向量为
；平
面
，
代入整理可得：
第11页，共16页
不妨取
x
2
=l
得，
∴
∴二面角
D'-BC-E
的余弦值为．
【解析】（
1<
br>）一般是通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明其中一条直线与另一条
直线所在的平面垂直．
（
2
）利用向量法求二面角的平面角，建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两
个平面的法向量，进而求出二面角的余弦值．
解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，
以便于正确利用线面垂直与线面平行关
系，并且利于建立坐标系利用向量法解决空间角与空间建立问题．
19.
【答案】（本小题满分
13
分）
解：（
1
）由对
A
餐厅评分的频率分布直方图，得
10=0.2
，
[
（
2
分）
]
对
A
餐厅“满意度指数”为
0
的频率为（
0.003+0.005+0.01
2
）
×
0.2=20
．
[
（
3
分）
]
所以，对
A
餐厅评价“满意度指数”为
0
的人数为
1
00×
（
2
）设“对
A
餐厅评价‘满意度指数’比对
B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件
C
．
记“对
A
餐厅评价‘
满意度指数’为
1
”为事件
A
1
；“对
A
餐厅评价
‘满意度指数’为
2
”为事件
A
2
；“对
B
餐厅评
价‘满意度指数’为
0
”为事件
B
0
；“对
B
餐厅
评价‘满
意度指数’为
1
”为事件
B
1
．
10=
0.4
，
P
（
A
2
）
=0.4
，
[
（
5
分）
]
所以
P
（
A
1<
br>）
=
（
0.02+0.02
）
×
由用频率估计概率得
：，．
[
（
7
分）
]
因为事件
A
i与
B
j
相互独立，其中
i=1
，
2
，
j=0
，
1
．
所以
P
（
C
）
=
P
（
A
1
B
0
+A
2
B
0
+A
2
B
1
）
=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0
.55=0.3
．
[
（
10
分）
]
所以该学生对
A
餐厅评价的“满意度指数”比对
B
餐厅评价的“满意度指数”高
的概率为
0.3
．
（
3
）如果从学生对
A
，
B
两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：
A
餐厅“满意度指数”
X
的分布列为：
X
P
Y
P
0
0.2
0
0.1
1
0.4
1
0.55
2
0.4
2
0.35
B
餐厅“满意度指数”
Y
的分布列为：
0.2+1×0.4+2×0.4=1.2
；
因为
EX=0×
EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25
， 所以
EX
＜
EY
，会选择
B
餐厅用餐．
[（
13
分）
]
注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．
【解析】（
1
）由对
A
餐厅评分的频率分布直方图，求解
对
A
餐厅“满意度指数”为
0
的频率．然后求解对
A
餐厅评
价“满意度指数”为
0
的人数．
（
2
）设“对
A
餐厅评价‘满意度指数’比对
B
餐厅评价‘满意度指数’高”为事件
C
．记“
对
A
餐厅评价‘满意度指数’为
1
”为事件
A
1
；
“对
A
餐厅评价‘满意度指数’
第12页，共16页
为2
”为事件
A
2
；“对
B
餐厅评价‘满意度指数’为<
br>0
”为事件
B
0
；“对
B
餐厅评价‘满
意度
指数’为
1
”为事件
B
1
．求出概率，利用独立重复概率乘法公式求
解即可．
（
3
）从学生对
A
，
B
两家餐厅评价的
“满意度指数”的期望角度看：得到分布列，求出
期望，即可推出结果．
本题考查概率的应用，分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．
20.
【答案】（
1
）解：由已知，得
22222
又
c=a-b
，故解得
a=4
，
b=3
，
，，
所以椭圆
C
的标准方程为．
（
2
）证明：由（
1
），知
F
1
（
-1
，
0
），如图，
易知直线
MN
不能平行于
x
轴，
所以令直线
MN
的方程为
x=my-1
，
M
（
x
1
，y
1
），
N
（
x
2
，
y
2<
br>），
联立方程
22
得（
3m+4
）
y-6my-9
=0
，
所以
此时
，．
．
同理，令直线PQ
的方程为
x=my+1
，
P
（
x
3
，
y
3
），
Q
（
x
4
，
y4
），
此时
此时
，，
，
故
|MN|=|PQ|
．所以四边形
MNPQ
是平行四边形． 若平行四边形
MNPQ
是菱形，则
OM
⊥
ON
，即于是有
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0
．
2
又
x
1
x
2
=
（my
1
-1
）（
my
2
-1
）
=my
1
y
2
-m
（
y
1
+y
2
）
+1
，
2
所以有（
m+1
）
y
1<
br>y
2
-m
（
y
1
+y
2
）
+1=0
，
整理得到
2
，
，
即
12m+5=0
，上述关于
m
的方程显然没有实数解，
故四边形
MNPQ
不可能是菱形．
【解析】本题考查了椭圆的标
准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方
程的根与系数的关系、平行四边形与菱形的定义
与性质、分类讨论方法，考查了推理能
力与计算能力，属于难题．
（
1
）由
已知，得，
222
，
c=a-b
，联立解出即可得出．
（
2
）由（
1
），知
F
1
（
-1
，
0
），如图，易知直线
MN
不能平行于
x
轴，所以令直线
M
N
2
的方程为
x=my-1
，
M
（
x
1<
br>，
y
1
），
N
（
x
2
，
y
2
），联立直线
MN
与椭圆的方程得（
3m+4
）
y
2
-6my-9=0
，利用根与系数的关系可得：
令直线
PQ的方程为
x=my+1
，
P
（
x
3
，
y
3
），
Q
（
x
4
，
y
4），，
|MN|=|PQ|
．可得四边形
MNPQ
是
第13页，
共16页
．同理，
平行四边形．若平行四边形
MNPQ
是菱
形，则
OM
⊥
ON
，即
得出．
2
（
1<
br>）由于
f
（
x
）
=2lnx-2mx+x
的定义域为
（
0
，
+∞
），
21.
【答案】解：
，得出矛盾即
可
．
22
对于方程
x-mx+1=0
，其判别式△
=m-4
．
2
当
m-4≤0
，即
0
＜
m≤2
时，f'
（
x
）
≥0
恒成立，故
f
（
x<
br>）在（
0
，
+∞
）内单调递增．
22
当
m
-4
＞
0
，即
m
＞
2
，方程
x-mx+1
=0
恰有两个不相等是实根，
令
f'
（
x
）＞
0
，得
令
f'
（
x
）＜
0
，得
或，
此时
f
（
x
）单调递增；
，此时
f
（
x
）单调递减．
综上所述，当
0＜
m≤2
时，
f
（
x
）在（
0
，+∞
）内单调递增；
当
m
＞
2
时，
f
（
x
）在
在，
内单调递减，
内单调递增．
， （2
）证明：由（
1
）知，
2
所以
f'
（
x
）的两根
x
1
，
x
2
即为方程
x-m
x+1=0
的两根．
因为
2
，所以△
=m-4
＞
0
，
x
1
+x
2
=m
，
x
1x
2
=1
．
2
又因为
x
1
，
x
2
为
h
（
x
）
=lnx-cx-
bx
的零点，
所以，
，
，两式相减得
得
所以（
x
1
-x
2
）
h'
（
x
0
）=
．而，
==
．
=
令，由得
，
或
t≥2
，所以
，
，
因为
x
1
x
2
=1
，两边同时除以
x
1
x
2
，得
因为
设
则
y=G
（
t
）在
所以
，
故，解得
，所以
上是减函数，
，
．
第14页，共16页
即
y=
（
x
1
-x
2
）
h'
（
x
0
）的最小值为
所以．
．
【解析】（
1
）求出函数的导数，通过讨论
m
的范围，求出函数的单调区间
即可；
（
2
）求出函数的导数，表示出
b
，令
，得
，由得
，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应
用以及分类讨论思想，转化思想，
考查不等式的证明，是一道综合题．
22.
【答案
】解：（
1
）由
ρ=4cosθ
得
ρ
2
=4ρco
sθ
，
2222
所以
x+y-4x=0
，所以圆
C
的直角坐标方程为（
x-2
）
+y=4
．
22
将直线<
br>l
的参数方程代入圆
C
：（
x-2
）
+y=4
，并整理得，
解得
t
1
=0
，．
所以直线
l
被圆
C
截得的弦长为．
（
2
）直线
l
的普通方程为
x-y-4=0
．
圆
C
的参数方程为（
θ
为参数），
可设曲线
C<
br>上的动点
P
（
2+2cosθ
，
2sinθ
）， <
br>则点
P
到直线
l
的距离
当
所以
=
，
． 时，
d
取最大值，且
d
的最大值为
，
即△
ABP
的面积的最大值为
2+2
．
【解析
】本题考查了极坐标方程以及普通方程的转化，考查点到直线的距离以及三角函
数的性质，是一道中档题
．
（
1
）根据极坐标以及直角坐标方程的关系求出圆
C
的直角坐标
方程即可，联立直线的
参数方程和圆的方程，求出弦长即可；
2sinθ
）（
2
）求出直线的普通方程以及圆的参数方程，可设曲线
C
上的动点
P
（
2+2cosθ
，，
求出点
P
到直线
l
的距离
，结合三角函数的性质求出△
ABP
的面积的最大值．
23.
【答案】解：
（
1
）函数
f
（
x
）
=|2x-2|+|2x+3
|=
；
当
当
时，有
-4x-1
＜
15
，
解得
x
＞
-4
，即
时，
5
＜
15
恒成立，即
，即
；
；
；
；
当
x≥1
时，有
4x+1
＜
15
，解得
综上，不等式
f
（
x
）＜
15
的解集为
22
（
2
）由
f
（
x
）
≥a-x+x
恒成立，得
a≤|2x-2|+|
2x+3|+x-x
恒成立，
第15页，共16页
∵
|2
x-2|+|2x+3|≥|
（
2x-2
）
-
（
2x+3<
br>）
|=5
，
当且仅当（
2x-2
）•（
2x+3<
br>）
≤0
，即
又因为
又因为
所以
所以
a
的取值范围是．
，当且仅当
，
，
是等号成立；
时等号成立，
【解析】（
1
）利用分类讨论法去掉绝对值，再求
不等式
f
（
x
）＜
15
的解集；
2
（<
br>2
）由题意得出
a≤|2x-2|+|2x+3|+x-x
恒成立，
2
求出
|2x-2|+|2x+3|+x-x
的最小值即可．
本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．
第16页，共16页