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沈阳二中2018——2018学年度下学期期末考试
高二（17届）数学(文)试题

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上


第Ⅰ卷 （60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数
f(x)
3x
2
1 x
lg(3x1)
的定义域为（ ）
1
3
11
33
1
3
A
(,)
B
(,1)
C
(,)
D
(,)

2.已知角< br>
的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线
y2x
上，则< br>tan2


（ ）
A
1
3
43
43
B C

D


34
34
3.在
ABC
中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，
AN

AB

AC
,则



的
值为（ ）
A
111
B C D 1
234
3
4.已知
a 0
，函数
f(x)xax
在
[1,)
是单调增函数，则a
的最大值是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
5若实数
a,b
满足
A
12
ab
，则
ab
的最小值是（ ）
ab
2
B 2 C
22
D 4
6. 已知数列{a
n
}，{b
n
}满足a
1
＝1，且a
n
，a
n
＋
1
是函数f(x)＝x
2
－b
n
x＋2
n的两个零点，则b
10
等于( )
A．24 B． 32 C． 48 D． 64
7. 函数
y
cosx
的图象大致是（ ）
ln|x|

A B C D
8. 某 货轮在A处看灯塔S在北偏东
30
方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯
塔S在北偏东
75
方向，则此时货轮看到灯塔S的距离为_________海里
A
123
B
122
C
1003
D
1002

9. .已知

(0,

)
，则
y
19
的最小值为 ( )

22
sin

cos

A 6 B 10 C 12 D 16
10.在斜三角形ABC中，
sinA2cosBcosC
且
tanBtanC12
，则角A的值为
（ ）
A
3




B C D
4
432
a
时，
2
2
11.若函数
f(x)log
a
(xax5)(a0且a1)
满足对任意的
x
1
,x
2
，当
x
1
x
2

f(x
2
)f(x
1
)0
，则实数
a
的取值范围为（ ）
A
(,25)
B
(25,)
C
[1,25]

2
D
(1,25)

12.设函数
f(x)x2x1alnx
有两个极值点
x
1
,x
2
，且
x
1
x< br>2
，则
f(x
2
)
的取值范
围是（ ）
A
(0,
12ln212ln212ln212ln2
)
B
(,)
C
(,)
D
(,0)

4444
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二
．
填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

yx

13. 设变量x,y满足约束条件

x3y 4
，则
zx3y
的最大值为________

x2< br>
14.若将函数
f(x)sin(2x
最小正值是_______
15. 已知
ABC
的外接圆圆心为O，满足
COmCAnCB
且
4m3n2
，

4
所得图像关于y轴对称，则
< br>的
)
的图像向右平移

个单位，
CA43,CB6
,则
CACB
_____________

16 已知函数
f(x)


2x,x2

(x2),x 2
2
.函数
g(x)bf(2x),
其中
bR
， 若函数
yf(x)g(x)
恰有4个零点，则b的取值范围是___________
三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题10分）
设
f(x)6cos
2
x23sinxcosx
.
(Ⅰ)求
f(x)
的最小正周期;
(Ⅱ)求单调递增区间;

18. （本小题12分）
1
a
*
xx
f(x)a
已知函数
f(x)a
的图象过点(1,),且点
(n1,
n
(
n
∈N)在函数的图象
)
2
2
n
上.
(1)求数列

a
n

的通项公式;
(2)令< br>b
n
a
n1

1
a
n
,若数列

b
n

的前
n
项和为
S
n,求证:
S
n
5

2

19. （本小题12分）
已知函数
f(x)xalnx(aR)

(1)当
a2
时,求曲线
yf(x)
在点
A(1,f(1))
处 的切线方程;
(2)求函数
f(x)
的极值.
20. （本小题12分）
如图：梯形ABCD中，ABCD，BC=6，
tanABC22

（1）若
ACD






C


B

4
，求AC的长；（2）若BD=9，求
BCD
的面积；
A
D

21. （本小题12分）
已知函数f(x)=
log
2
且．
ABAC0

（1）求
a
的值；
12n1
（2）若
S
n=
f()f()f(),n
∈N
*
，且n≥2，求
S< br>n
．
nnn
2x
11
，过定点A(
,
)的 直线与函数f(x)的图象交于两点B、C，
ax
22
（3）已知数列
< br>a
n

满足：
a
1

2
1
，=(S
n
+1)(S
n+1
+1)，其中n∈N
*
．T< br>n
为数列{a
n
}的前n项
3
a
n
和，若< br>T
n


(S
n1
1)
对一切n∈N< br>*
都成立，试求

的取值范围．


22. （本小题12分）

已知函数
f(x)
＝
lnx1
，< br>(e
＝
2.71828…
是自然对数的底数
)
。

e
x
(1)
求
f(x)
的单调区间；

( 2)
设
g(x)
＝
xf

(x)
，其中
f

(x)
为
f(x)
的导函数．证明：对任意
x>0
，
g(x)<1
＋
e
－
2.





















沈阳二中2018——2018学年度下学期期末考试

高二（17届）数学(文)试题答案
一． 选择题：
1. B 2 C 3 A 4 D 5 C 6 D 7 C 8 B 9 D 10.A 11 D
12.D
二．填空题：
13. 8 14.
三．解答题：
17. 解:(Ⅰ)
f(x)6
3

7
15 36 16.
b2

84
(1cos2x)

3s in2x23cos(2x)3
,
26
故
f
(
x
)的最小正周期
T

,
5

由

2k

2x2

2k

< br>6
5

11
得
f
(
x
)的单调递增 区间为
[k

,k



](kZ)

1212
1
x
18. (1)∵函数
f
(
x
)=
a
的图象过点(1,),
2
11
∴a=,f(x)=()
x
.
22
a< br>n
a
n
1
n
2
x
*
又点(n-1,
2
)(n∈N)在函数f(x)=a的图象上,从而
2
=
n
－1
,即a
n
=
n
－1
.
nn
22< br>(2)证明:由b
n
=
n
＋1
2
n
2
-
n
=
n
得,
22
n
2
2
n
＋1
352
n
＋1
(3)S
n
=+
2
++
n
,
222< br>1352
n
－12
n
＋1
则S
n
=
2
+
3
++
n
+
n
＋1
,
2 2222
131112
n
＋1
两式相减得:S
n
=+2(< br>2
+
3
++
n
)-
n
＋1
,
222222
11
[1()
n1
]
132n1
2
s
n
2
4

n1
1
2221

2
2
n
＋5
∴
S
n
=5-
n
,
2

2n5
0
∴S
n
<5
n
2
19. 函数
f(x)
的定义域为
(0,)
,
f

(x)1
a
.
x
(Ⅰ)当a2
时,
f(x)x2lnx
,
f

(x)1 
2
(x0)
,
x

f(1)1,f

(1)1
,
yf(x)
在点
A(1,f(1))
处的切线方程为
y1(x1)
,
即
xy20
.
(Ⅱ)由
f

(x) 1
axa
,x0
可知:
xx
①当
a0时,
f

(x)0
,函数
f(x)
为
(0, )
上的增函数,函数
f(x)
无极值;
②当
a0
时,由
f

(x)0
,解得
xa
;
Q x(0,a)
时,
f

(x)0
,
x(a,)< br>时,
f

(x)0

f(x)
在
x a
处取得极小值,且极小值为
f(a)aalna
,无极大值.
综上:当
a0
时,函数
f(x)
无极值
当
a0
时,函数
f(x)
在
xa
处取得极小值
aaln a
,无极大值
20.（1）
Q
tanABC22,ABC
为钝角，且
sinABC
221
,cosABC

33
QABCD,BACACD
(2)

4
,在
ABC
中，
BCAC
,AC8
;
sinBA CsinABC
1
3
,
QABCD,ABCBCD
< br>,
cosBCDcosABC
136CD
2
81
22
sinBCDsinABC
,在
BCD
中，
co sBCD
,
3
326CD
1
CD
2
4CD450,CD9
,
S
BCD
69sinBCD 182
；
2

21. 1）证明：∵
ABAC0
∴A是BC的中点．设A(x,y)，B(x
1
,y
1
)，C(x
2
,y
2
),
由
分）
而
11
(x
1
+x
2
)=，得x
1
+x< br>2
=1，则x
1
=1x
2
或x
2
=1x
1
． （2
22
1111< br>2x
1
2x
2
=(y
1
+y
2
)= [f (x
1
)+f(x
2
)]=( log
2
)
log
2
ax
1
ax
2
2222

=
1
xx
2
xx
2
(1+log
2
1
log
2
)，∴log
2
=
1

0 ，

2
ax
1
ax
2
ax
1
ax
2

因此λ＞

22. (1)得f ′(x)＝
1
(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，
xe
x
11
，即λ的取值范围是（
,
+∞）．
22
令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又e
x
>0，
所以x∈(0,1)时，f ′(x)>0；
x∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)证明：因为g(x)＝xf ′(x)．
1
所以g(x)＝
x
(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．
e
由(2)h(x)＝1－x－xlnx，
求导得h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne
2
)，
－

所以当x∈(0，e
2
)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；
当x∈(e
2
，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．
所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e
2
)＝1＋e
2
.
1
又当x∈(0，＋∞)时，0<
x
<1，
e
1
－－
所以当x∈(0，＋∞)时，
x
h(x)<1＋e
2
，即g(x )<1＋e
2
.
e
综上所述结论成立．

－－
－
－